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1、陜西省周至縣高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 1.4 數(shù)學(xué)歸納法 第二課時教案 北師大版選修2-2
教學(xué)目標:
1、知識與技能
(1)了解歸納法,理解數(shù)學(xué)歸納法的原理與實質(zhì),掌握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個步驟。
(2)會證明簡單的與正整數(shù)有關(guān)的命題。
2、過程與方法
努力創(chuàng)設(shè)課堂愉悅的情境,使學(xué)生處于積極思考,大膽質(zhì)疑的氛圍,提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和課堂效率,讓學(xué)生經(jīng)歷知識的構(gòu)建過程,體會類比的數(shù)學(xué)思想。
3、情感態(tài)度價值觀
通過本節(jié)課的教學(xué),使學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想和辯證唯物主義觀點,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)熱情,提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣,培養(yǎng)學(xué)生大膽猜想,小心求證的辯證思維素質(zhì),以及發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意見
2、和數(shù)學(xué)交流能力。
教學(xué)重點、難點:
教學(xué)重點:借助具體實例了解數(shù)學(xué)歸納法的基本思想,掌握它的基本步驟,運用它證明一些簡單的與正整數(shù)n(n取無限多個值)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題。
教學(xué)難點:
(1)學(xué)生不易理解數(shù)學(xué)歸納法的思想實質(zhì),具體表現(xiàn)在不了解第二個步驟的作用,不易根據(jù)歸納假設(shè)作出證明。
(2)運用數(shù)學(xué)歸納法時,在“歸納遞推”的步驟中發(fā)現(xiàn)具體問題的遞推關(guān)系。
第2課時
一、復(fù)習(xí)鞏固
數(shù)學(xué)歸納法的兩個步驟
二、實例應(yīng)用
例1、平面內(nèi)有n個圓,其中每兩個圓都相交于兩點,且無3個圓交于一點。求證:這n個圓將平面分成個部分。
解析:當時,一個圓將平面分成2個部分,,結(jié)論成立;
假
3、設(shè)當時,結(jié)論成立,即n個圓將平面分成個部分,
當時,第(k+1)個圓與前面k個圓有2k個交點,這2k個交點將
第(k+1)個圓分成2k段,每段將各自所在區(qū)域一分為二,于是增加了2k
個區(qū)域,所以k+1個圓將平面分成了個部分,;
所以,當時,結(jié)論成立。
綜上所述,這n個圓將平面分成個部分。
例2、對于,求證:,可被整除。
證明:(1)當時,左成立
(2)假設(shè)n=k時成立
即:
當時,
∴ 時成立
綜上所述由(1)(2)對一切
例3、用數(shù)學(xué)歸納法證明:(其中是正整數(shù)).
例4、若不等式對一切正整數(shù)n都成立,求正整數(shù)a的最大值,并證明你的結(jié)論。
解析:從特例入手,探求正整數(shù)a的最大值,然后用數(shù)學(xué)歸納法證明。
證明:取n=1,,
令
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:。
(1)n=1,已證結(jié)論正確;
(2)假設(shè)n=k時,成立,
則當n=k+1時,有
即n=k+1時,結(jié)論也成立。
由(1)(2)可知,對一切n∈N+,都有
故a的最大值為25。
三、課堂練習(xí)
課本19頁練習(xí)
四、課堂小結(jié)
1、用數(shù)學(xué)歸納法證明命題的一般步驟:
2、在證明遞推步驟時,要有目標意識(恒等變形、不等式的縮放)。