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2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 板塊(一)系統(tǒng)思想方法——融會(huì)貫通試題 文

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1、2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 板塊(一)系統(tǒng)思想方法——融會(huì)貫通試題 文 板塊(一) 系統(tǒng)思想方法——融會(huì)貫通 一、直接法 直接從題目條件出發(fā),運(yùn)用有關(guān)概念、性質(zhì)、定理、法則和公式等知識(shí),通過(guò)嚴(yán)密的推理和準(zhǔn)確的運(yùn)算,得出正確的結(jié)論.涉及概念、性質(zhì)的辨析或運(yùn)算較簡(jiǎn)單的題目常用直接法. [典例] (xx·全國(guó)卷Ⅱ)若雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線被圓(x-2)2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)為2,則C的離心率為(  ) A.2         B. C. D. [技法演示] 由圓截得漸近線的弦長(zhǎng)求出圓心到漸近線的距離,利用點(diǎn)到直線的距離公式得出a2,b2的關(guān)

2、系求解. 依題意,雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的一條漸近線方程為bx-ay=0.因?yàn)橹本€bx-ay=0被圓(x-2)2+y2=4所截得的弦長(zhǎng)為2,所以=,所以3a2+3b2=4b2,所以3a2=b2,所以e===2. [答案] A [應(yīng)用體驗(yàn)] 1.(xx·全國(guó)卷Ⅲ)設(shè)集合S={x|(x-2)(x-3)≥0},T={x|x>0},則S∩T=(  ) A.[2,3]        B.(-∞,2]∪[3,+∞) C.[3,+∞) D.(0,2]∪[3,+∞) 解析:選D 由題意知S={x|x≤2或x≥3}, 則S∩T={x|0

3、全國(guó)卷Ⅱ)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,如果輸入的a=-1,則輸出的S=(  ) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:選B 運(yùn)行程序框圖, a=-1,S=0,K=1,K≤6成立; S=0+(-1)×1=-1,a=1,K=2,K≤6成立; S=-1+1×2=1,a=-1,K=3,K≤6成立; S=1+(-1)×3=-2,a=1,K=4,K≤6成立; S=-2+1×4=2,a=-1,K=5,K≤6成立; S=2+(-1)×5=-3,a=1,K=6,K≤6成立; S=-3+1×6=3,a=-1,K=7,K≤6不成立,輸出S=3. 二、數(shù)形結(jié)合法 根據(jù)題目條件作出所研究

4、問(wèn)題的有關(guān)圖形,借助幾何圖形的直觀性作出正確的判斷. [典例] (xx·全國(guó)卷Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=若|f(x)|≥ax,則a的取值范圍是(  ) A.(-∞,0] B.(-∞,1] C.[-2,1] D.[-2,0] [技法演示]  作出函數(shù)圖象,數(shù)形結(jié)合求解. 當(dāng)x≤0時(shí),f(x)=-x2+2x=-(x-1)2+1≤0,所以|f(x)|≥ax化簡(jiǎn)為x2-2x≥ax,即x2≥(a+2)x,因?yàn)閤≤0,所以a+2≥x恒成立,所以a≥-2;當(dāng)x>0時(shí),f(x)=ln(x+1)>0,所以|f(x)|≥ax化簡(jiǎn)為ln(x+1)>ax恒成立,由函數(shù)圖象可知a≤0,綜上,當(dāng)-2≤a≤

5、0時(shí),不等式|f(x)|≥ax恒成立,選擇D. [答案] D [應(yīng)用體驗(yàn)] 3.(xx·全國(guó)卷Ⅱ)已知F1,F(xiàn)2是雙曲線E:-=1的左,右焦點(diǎn),點(diǎn)M在E上,MF1與x軸垂直,sin∠MF2F1=,則E的離心率為(  ) A. B. C. D.2 解析:選A 作出示意圖,如圖,離心率e===,由正弦定理得e====.故選A. 4.(xx·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)x,y滿足約束條件,則z=2x-y的最大值為(  ) A.10 B.8 C.3 D.2 解析:選B 作出可行域如圖中陰影部分所示,由z=2x-y得y=2x-z,作出直線y=2x,平移使之經(jīng)過(guò)可行域,觀察可知,當(dāng)直線

6、經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(5,2)時(shí),對(duì)應(yīng)的z值最大.故zmax=2×5-2=8. 三、驗(yàn)證法 將選項(xiàng)或特殊值,代入題干逐一去驗(yàn)證是否滿足題目條件,然后選擇符合題目條件的選項(xiàng)的一種方法.在運(yùn)用驗(yàn)證法解題時(shí),若能根據(jù)題意確定代入順序,則能提高解題速度. [典例] (xx·全國(guó)卷Ⅰ)若a>b>1,0b>1,0, ∴選項(xiàng)

7、A不正確. 對(duì)于B,4×2=4,2×4=4,4>4, ∴選項(xiàng)B不正確. 對(duì)于C,4×log2=-4,2×log4=-1,-4<-1, ∴選項(xiàng)C正確. 對(duì)于D,log4=-,log2=-1,->-1, ∴選項(xiàng)D不正確. 故選C. 法二:(直接法)根據(jù)待比較式的特征構(gòu)造函數(shù),直接利用函數(shù)單調(diào)性及不等式的性質(zhì)進(jìn)行比較. ∵y=xα,α∈(0,1)在(0,+∞)上是增函數(shù), ∴當(dāng)a>b>1,0bc,選項(xiàng)A不正確. ∵y=xα,α∈(-1,0)在(0,+∞)上是減函數(shù), ∴當(dāng)a>b>1,0bac,

8、選項(xiàng)B不正確. ∵a>b>1,∴l(xiāng)g a>lg b>0,∴alg a>blg b>0, ∴>.又∵0logbc,選項(xiàng)D不正確. [答案] C [應(yīng)用體驗(yàn)] 5.(xx·全國(guó)卷Ⅰ)若函數(shù)f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)單調(diào)遞增,則a的取值范圍是(  ) A.[-1,1] B. C. D. 解析:選C 法一:(特殊值驗(yàn)證法)取a=-1,則f(x)=x-sin 2x-sin x,f′(x)=1-cos 2x-cos x,但f′(0)=1--1=-<0,不具

9、備在(-∞,+∞)單調(diào)遞增的條件,故排除A、B、D.故選C. 法二:(直接法)函數(shù)f(x)=x-sin 2x+asin x在(-∞,+∞)單調(diào)遞增,等價(jià)于f′(x)=1-cos 2x+acos x=-cos2x+acos x+≥0在(-∞,+∞)恒成立.設(shè)cos x=t,則g(t)=-t2+at+≥0在[-1,1]恒成立,所以解得-≤a≤.故選C. 四、排除法 排除法也叫篩選法或淘汰法,使用排除法的前提是答案唯一,具體的做法是從條件出發(fā),運(yùn)用定理、性質(zhì)、公式推演,根據(jù)“四選一”的指令,對(duì)各個(gè)備選答案進(jìn)行“篩選”,將其中與題干相矛盾的干擾項(xiàng)逐一排除,從而獲得正確結(jié)論. [典例] (xx·

10、全國(guó)卷Ⅰ)函數(shù)y=的部分圖象大致為(  ) [技法演示] 根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)研究函數(shù)圖象,利用排除法求解.令函數(shù)f(x)=,其定義域?yàn)閧x|x≠2kπ,k∈Z},又f(-x)===-f(x),所以f(x)=為奇函數(shù),其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故排除B;因?yàn)閒(1)=>0,f(π)==0,故排除A、D,選C. [答案] C [應(yīng)用體驗(yàn)] 6.(xx·全國(guó)卷Ⅰ)函數(shù)y=2x2-e|x|在[-2,2]的圖象大致為(  ) 解析:選D ∵f(x)=2x2-e|x|,x∈[-2,2]是偶函數(shù), 又f(2)=8-e2∈(0,1),故排除A,B. 設(shè)g(x)=2x2-ex,則g′(x)=4x-e

11、x. 又g′(0)<0,g′(2)>0, ∴g(x)在(0,2)內(nèi)至少存在一個(gè)極值點(diǎn), ∴f(x)=2x2-e|x|在(0,2)內(nèi)至少存在一個(gè)極值點(diǎn),排除C.故選D. 7.(xx·全國(guó)卷Ⅱ)如圖,長(zhǎng)方形ABCD的邊AB=2,BC=1,O是AB的中點(diǎn),點(diǎn)P沿著邊BC,CD與DA運(yùn)動(dòng),記∠BOP=x.將動(dòng)點(diǎn)P到A,B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f(x),則y=f(x)的圖象大致為(  ) 解析:選B 當(dāng)x∈時(shí),f(x)=tan x+,圖象不會(huì)是直線段,從而排除A、C. 當(dāng)x∈時(shí),f=f=1+,f=2.∵2<1+,∴f

12、何問(wèn)題常用的方法,巧妙地利用割補(bǔ)法,可以將不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的圖形,這樣可以使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化,從而縮短解題時(shí)間. [典例] (xx·全國(guó)卷Ⅰ)如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是(  ) A.17π B.18π C.20π D.28π [技法演示] 由三視圖還原為直觀圖后計(jì)算求解. 由幾何體的三視圖可知,該幾何體是一個(gè)球體去掉上半球的,得到的幾何體如圖.設(shè)球的半徑為R,則πR3-×πR3=π,解得R=2.因此它的表面積為×4πR2+πR2=17π.故選A. [答案] A [應(yīng)用體驗(yàn)] 8.(xx·

13、全國(guó)卷Ⅱ)一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如下圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為(  ) A. B. C. D. 解析:選D 由已知三視圖知該幾何體是由一個(gè)正方體截去了一個(gè)“大角”后剩余的部分,如圖所示,截去部分是一個(gè)三棱錐.設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,則三棱錐的體積為 V1=××1×1×1=, 剩余部分的體積V2=13-=. 所以==,故選D. 六、極端值法 選擇運(yùn)動(dòng)變化中的極端值,往往是動(dòng)靜轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵點(diǎn),可以起到降低解題難度的作用,因此是一種較高層次的思維方法. 從有限到無(wú)限,從近似到精確,從量變到質(zhì)變,運(yùn)用極端值法解決某些問(wèn)題,可以避開(kāi)抽象

14、、復(fù)雜的運(yùn)算,降低難度,優(yōu)化解題過(guò)程. [典例] (xx·全國(guó)卷Ⅲ)在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是(  ) A.4π B. C.6π D. [技法演示] 根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)找出最大球的半徑,再求球的體積. 由題意得,要使球的體積最大,則球與直三棱柱的若干面相切.設(shè)球的半徑為R,∵△ABC的內(nèi)切圓半徑為=2,∴R≤2.又2R≤3,∴R≤,∴Vmax=×π×3=.故選B. [答案] B [應(yīng)用體驗(yàn)] 9.如圖,在棱柱的側(cè)棱A1A和B1B上各有一動(dòng)點(diǎn)P,Q滿足A1P=BQ,過(guò)P,Q,C三

15、點(diǎn)的截面把棱柱分成兩部分,則其體積之比為(  ) A.3∶1 B.2∶1 C.4∶1 D.∶1 解析:選B 將P,Q置于特殊位置:P→A1,Q→B,此時(shí)仍滿足條件A1P=BQ(=0),則有VC-AA1B=VA1-ABC=.故過(guò)P,Q,C三點(diǎn)的截面把棱柱分成的兩部分體積之比為2∶1(或1∶2). 七、估值法 由于選擇題提供了唯一正確的選擇項(xiàng),解答又無(wú)需過(guò)程,因此可通過(guò)猜測(cè)、合情推理、估算而獲得答案,這樣往往可以減少運(yùn)算量,避免“小題大做”. [典例] (xx·全國(guó)卷Ⅱ)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所

16、得,則該幾何體的體積為(  ) A.90π B.63π C.42π D.36π [技法演示] 由題意,知V圓柱<V幾何體<V圓柱. 又V圓柱=π×32×10=90π, ∴45π<V幾何體<90π. 觀察選項(xiàng)可知只有63π符合.故選B. [答案] B [應(yīng)用體驗(yàn)] 10.若雙曲線-=1的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,-4),則此雙曲線的離心率為(  ) A. B. C. D. 解析:選D 因?yàn)殡p曲線的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,-4),所以=. 因?yàn)閑=>,所以e>. 故選D. (二)快穩(wěn)細(xì)活 填空穩(wěn)奪 絕大多數(shù)的填空題都是依據(jù)公式推理計(jì)算型和依據(jù)定義、定理

17、等進(jìn)行分析判斷型,解答時(shí)必須按規(guī)則進(jìn)行切實(shí)的計(jì)算或者合乎邏輯的推理和判斷.求解填空題的基本策略是要在“準(zhǔn)”“巧”“快”上下功夫.常用的方法有直接法、特殊值法、數(shù)形結(jié)合法、等價(jià)轉(zhuǎn)化法、構(gòu)造法、分析法等. 解答填空題時(shí),由于不反映過(guò)程,只要求結(jié)果,故對(duì)正確性的要求更高、更嚴(yán)格.解答時(shí)應(yīng)遵循“快”“細(xì)”“穩(wěn)”“活”“全”5個(gè)原則. 填空題解答“五字訣” 快——運(yùn)算要快,力戒小題大做 細(xì)——審題要細(xì),不能粗心大意 穩(wěn)——變形要穩(wěn),不可操之過(guò)急 活——解題要活,不要生搬硬套 全——答案要全,避免殘缺不齊 一、直接法 直接法就是從題設(shè)條件出發(fā),運(yùn)用定義、定理、公式、性質(zhì)、法則等知識(shí),通過(guò)

18、變形、推理、計(jì)算等得出正確的結(jié)論. [典例] (xx·全國(guó)卷Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,則b=________. [技法演示] 先求出sin A,sin C的值,進(jìn)而求出sin B的值,再利用正弦定理求b的值. 因?yàn)锳,C為△ABC的內(nèi)角,且cos A=,cos C=, 所以sin A=,sin C=, 所以sin B=sin(π-A-C)=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×+×=. 又a=1,所以由正弦定理得b==×=. [答案]  [應(yīng)用體驗(yàn)] 1.(xx·全國(guó)卷Ⅰ)若函數(shù)f(x)

19、=xln(x+)為偶函數(shù),則a=________. 解析:∵f(x)為偶函數(shù),∴f(-x)-f(x)=0恒成立, ∴-xln(-x+)-xln(x+)=0恒成立,∴xln a=0恒成立,∴l(xiāng)n a=0,即a=1. 答案:1 2.(xx·全國(guó)卷Ⅲ)雙曲線-=1(a>0)的一條漸近線方程為y=x,則a=________. 解析:∵雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為-=1(a>0), ∴雙曲線的漸近線方程為y=±x. 又雙曲線的一條漸近線方程為y=x,∴a=5. 答案:5 二、特殊值法 當(dāng)填空結(jié)論唯一或題設(shè)條件中提供的信息暗示答案是一個(gè)定值時(shí),我們只需把題材中的參變量用特殊值代替即可得到結(jié)論.

20、 [典例] (xx·山東高考)已知雙曲線E:-=1(a>0,b>0),若矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在E上,AB,CD的中點(diǎn)為E的兩個(gè)焦點(diǎn),且2|AB|=3|BC|,則E的離心率是________. [技法演示] 法一:(特殊值法)利用雙曲線的性質(zhì),設(shè)特殊值求解. 如圖,由題意知|AB|=,|BC|=2c, 又2|AB|=3|BC|,∴設(shè)|AB|=6,|BC|=4,則|AF1|=3,|F1F2|=4, ∴|AF2|=5.由雙曲線的定義可知,a=1,c=2,∴e==2.故填2. 法二:(直接法)利用雙曲線的性質(zhì),建立關(guān)于a,b,c的等式求解. 如圖,由題意知|AB|=,|BC|=2C.

21、 又2|AB|=3|BC|, ∴2×=3×2c,即2b2=3ac, ∴2(c2-a2)=3ac,兩邊同除以a2并整理得2e2-3e-2=0,解得e=2(負(fù)值舍去). [答案] 2 [應(yīng)用體驗(yàn)] 3.(xx·安徽高考)數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a1+1,a3+3,a5+5構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,則q=________. 解析:法一:(特殊值法)由題意知a1,a3,a5成等差數(shù)列,a1+1,a3+3,a5+5成等比數(shù)列,所以觀察可設(shè)a1=5,a3=3,a5=1,所以q=1.故填1. 法二:(直接法)因?yàn)閿?shù)列{an}是等差數(shù)列,所以可設(shè)a1=t-d,a3=t,a5=t+d,故由已知得

22、(t+3)2=(t-d+1)(t+d+5),得d2+4d+4=0,即d=-2,所以a3+3=a1+1,即q=1. 答案:1 三、數(shù)形結(jié)合法 根據(jù)題目條件,畫出符合題意的圖形,以形助數(shù),通過(guò)對(duì)圖形的直觀分析、判斷,往往可以快速簡(jiǎn)捷地得出正確的結(jié)果,它既是方法,也是技巧,更是基本的數(shù)學(xué)思想. [典例] (xx· 全國(guó)卷Ⅲ)已知直線l:mx+y+3m-=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn).若|AB|=2,則|CD|=________. [技法演示] 根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系先求出m的值,再結(jié)合圖象求|CD|. 由直線l:mx+y+3m-=0知其

23、過(guò)定點(diǎn)(-3,),圓心O到直線l的距離為d=. 由|AB|=2得2+()2=12, 解得m=-. 又直線l 的斜率為-m=, 所以直線l的傾斜角α=. 畫出符合題意的圖形如圖所示,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BD,則∠DCE=.在Rt△CDE中,可得|CD|==2×=4. [答案] 4 [應(yīng)用體驗(yàn)] 4.(xx·全國(guó)卷Ⅰ)若x,y滿足約束條件則z=3x+y的最大值為_(kāi)_______. 解析:畫出可行域(如圖所示). ∵z=3x+y, ∴y=-3x+z. ∴直線y=-3x+z在y軸上截距最大時(shí),即直線過(guò)點(diǎn)B時(shí),z取得最大值. 由解得即B(1,1), ∴zmax=3×1+1=4.

24、 答案:4 5.(xx·全國(guó)卷Ⅱ)已知偶函數(shù)f(x)在[0,+∞)單調(diào)遞減,f(2)=0.若f(x-1)>0,則x的取值范圍是________. 解析:∵f(x)是偶函數(shù),∴圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.又f(2)=0,且f(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞減,則f(x)的大致圖象如圖所示,由f(x-1)>0,得-2

25、 [技法演示] 利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出首項(xiàng)a1與公比q,再將a1a2…an的最值問(wèn)題利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)最值問(wèn)題. 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,則由a1+a3=10,a2+a4=q(a1+a3)=5,知q=.又a1+a1q2=10,∴a1=8. 故a1a2…an=aq1+2+…+(n-1)=23n· =23n-+=2-+n. 記t=-+=-(n2-7n)=-2+, 結(jié)合n∈N*可知n=3或4時(shí),t有最大值6. 又y=2t為增函數(shù),從而a1a2…an的最大值為26=64. [答案] 64 [應(yīng)用體驗(yàn)] 6.(xx·天津高考)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且

26、在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞增.若實(shí)數(shù)a滿足f(2|a-1|)>f(-),則a的取值范圍是________. 解析:∵f(x)是偶函數(shù),且在(-∞,0)上單調(diào)遞增, ∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,f(-)=f(), ∴f(2|a-1|)>f(),∴2|a-1|<=2, ∴|a-1|<,即-<a-1<,即<a<. 答案: 7.(xx·全國(guó)卷Ⅰ)若x,y滿足約束條件則的最大值為_(kāi)_______. 解析:畫出可行域如圖陰影部分所示,∵表示過(guò)點(diǎn)(x,y)與原點(diǎn)(0,0)的直線的斜率, ∴點(diǎn)(x,y)在點(diǎn)A處時(shí)最大. 由得 ∴A(1,3). ∴的最大值為3. 答案:3

27、五、構(gòu)造法 根據(jù)題設(shè)條件與結(jié)論的特殊性,構(gòu)造出一些新的數(shù)學(xué)形式,并借助它來(lái)認(rèn)識(shí)和解決問(wèn)題. [典例] (xx·浙江高考)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn.若S2=4,an+1=2Sn+1,n∈N*,則a1=________,S5=________. [技法演示] 先構(gòu)造等比數(shù)列,再進(jìn)一步利用通項(xiàng)公式求解. ∵an+1=2Sn+1,∴Sn+1-Sn=2Sn+1, ∴Sn+1=3Sn+1,∴Sn+1+=3, ∴數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列, ∴=3. 又S2=4,∴S1=1,∴a1=1, ∴S5+=×34=×34=, ∴S5=121. [答案] 1 121 [應(yīng)用體驗(yàn)] 8.(

28、xx·浙江高考)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若對(duì)任意單位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤,則a·b的最大值是________. 解析:由于e是任意單位向量,可設(shè)e=, 則|a·e|+|b·e|=+ ≥ ==|a+b|. ∵|a·e|+|b·e|≤,∴|a+b|≤, ∴(a+b)2≤6,∴|a|2+|b|2+2a·b≤6. ∵|a|=1,|b|=2,∴1+4+2a·b≤6, ∴a·b≤,∴a·b的最大值為. 答案: 六、分析法 根據(jù)題設(shè)條件的特征進(jìn)行觀察、分析,從而得出正確的結(jié)論. [典例] (xx·全國(guó)卷Ⅱ)有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3

29、.甲,乙,丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說(shuō):“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說(shuō):“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說(shuō):“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是________. [技法演示] 先確定丙的卡片上的數(shù)字,再確定乙的卡片上的數(shù)字,進(jìn)而確定甲的卡片上的數(shù)字. 因?yàn)榧着c乙的卡片上相同的數(shù)字不是2,所以丙的卡片上必有數(shù)字2.又丙的卡片上的數(shù)字之和不是5,所以丙的卡片上的數(shù)字是1和2.因?yàn)橐遗c丙的卡片上相同的數(shù)字不是1,所以乙的卡片上的數(shù)字是2和3,所以甲的卡片上的數(shù)字是1和3. [答案] 1和3 [應(yīng)用體驗(yàn)] 9.(xx·全國(guó)卷Ⅰ)甲、

30、乙、丙三位同學(xué)被問(wèn)到是否去過(guò)A,B,C三個(gè)城市時(shí), 甲說(shuō):我去過(guò)的城市比乙多,但沒(méi)去過(guò)B城市; 乙說(shuō):我沒(méi)去過(guò)C城市; 丙說(shuō):我們?nèi)巳ミ^(guò)同一個(gè)城市. 由此可判斷乙去過(guò)的城市為_(kāi)_______. 解析:由甲、丙的回答易知甲去過(guò)A城市和C城市,乙去過(guò)A城市或C城市,結(jié)合乙的回答可得乙去過(guò)A城市. 答案:A “12+4”小題提速練(一) (限時(shí):40分鐘 滿分:80分) 一、選擇題 1.集合A={1,3,5,7},B={x|x2-4x≤0},則A∩B=(  ) A.(1,3) B.{1,3} C.(5,7) D.{5,7} 解析:選B 因?yàn)榧螦={1,3

31、,5,7},B={x|x2-4x≤0}={x|0≤x≤4},所以A∩B={1,3}. 2.已知z=(i為虛數(shù)單位),則z的共軛復(fù)數(shù)的虛部為(  ) A.-i B.i C.-1 D.1 解析:選D ∵z====-i,∴z的共軛復(fù)數(shù)=i,其虛部為1. 3.已知函數(shù)f(x)=若f(0)=2,則a+f(-2)=(  ) A.-2 B.0 C.2 D.4 解析:選C ∵函數(shù)f(x)= 由f(0)=2,可得log2(0+a)=2,∴a=4. ∴a+f(-2)=4-=2. 4.如圖,圓C內(nèi)切于扇形AOB,∠AOB=,若向扇形AOB內(nèi)隨機(jī)投擲600個(gè)點(diǎn),則落入圓內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)

32、數(shù)估計(jì)值為(  ) A.100 B.200 C.400 D.450 解析:選C 如圖所示,作CD⊥OA于點(diǎn)D,連接OC并延長(zhǎng)交扇形于點(diǎn)E,設(shè)扇形半徑為R,圓C半徑為r,∴R=r+2r=3r,∴落入圓內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)估計(jì)值為600·=400. 5.雙曲線-=1(a>0,b>0)的一條漸近線與圓(x-)2+(y-1)2=1相切,則此雙曲線的離心率為(  ) A.2 B. C. D. 解析:選A 由題可知雙曲線的漸近線方程為bx±ay=0,與圓相切,∴圓心(,1)到漸近線的距離為=1或=1,又a>0,b>0,解得a=b,∴c2=a2+b2=4a2,即c=2a,∴e==2.

33、 6.某程序框圖如圖所示,該程序運(yùn)行后輸出S的值是(  ) A.-3 B.- C. D.2 解析:選A 模擬程序框圖的運(yùn)算結(jié)果如下: 開(kāi)始S=2,i=1. 第一次循環(huán),S=-3,i=2;第二次循環(huán),S=-,i=3;第三次循環(huán),S=,i=4;第四次循環(huán),S=2,i=5; 第五次循環(huán),S=-3,i=6;……,可知S的取值呈周期性出現(xiàn),且周期為4,∵跳出循環(huán)的i值2 018=504×4+2,∴輸出的S=-3. 7.在△ABC中,|+|=|-|,||=||=3,則·的值為(  ) A.3 B.-3 C.- D. 解析:選D 由|+|=|-|,兩邊平方可得||2+|

34、|2+2·=3||2+3||2-6·,又||=||=3,∴·=, ∴·=(+)·=2+·=2-·=9-=. 8.設(shè){an}是公差不為0的等差數(shù)列,滿足a+a=a+a,則{an}的前10項(xiàng)和S10=(  ) A.-10 B.-5 C.0 D.5 解析:選C 由a+a=a+a,可得(a-a)+(a-a)=0,即2d(a6+a4)+2d(a7+a5)=0,∵d≠0, ∴a6+a4+a7+a5=0,∵a5+a6=a4+a7,∴a5+a6=0, ∴S10==5(a5+a6)=0. 9.函數(shù)f(x)=cos x的圖象的大致形狀是(  ) 解析:選B ∵f(x)=cos x,

35、 ∴f(-x)=cos(-x)=cos x=-cos x=-f(x),故函數(shù)f(x)為奇函數(shù),函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,可排除A,C; 又由當(dāng)x∈時(shí),f(x)<0,函數(shù)圖象位于第四象限,可排除D,故選B. 10.已知過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在第一象限),若=3,則直線AB的斜率為(  ) A. B. C. D. 解析:選D 作出拋物線的準(zhǔn)線l:x=-1, 設(shè)A,B在l上的投影分別是C,D, 連接AC,BD,過(guò)B作BE⊥AC于E,如圖所示. ∵=3,∴設(shè)|AF|=3m, |BF|=m,則|AB|=4m, 由點(diǎn)A,B分別在拋物線上,結(jié)

36、合拋物線的定義,得|AC|=|AF|=3m,|BD|=|BF|=m,則|AE|=2m. 因此在Rt△ABE中,cos∠BAE===, 得∠BAE=60°. 所以直線AB的傾斜角∠AFx=60°,故直線AB的斜率為k=tan 60°=. 11.某幾何體的三視圖如圖,若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球面的表面積為(  ) A.4π B. C. D.20π 解析:選B 由三視圖知,該幾何體是一個(gè)三棱柱,三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,側(cè)棱長(zhǎng)是2,則三棱柱的兩個(gè)底面的中心連線的中點(diǎn)到三棱柱的頂點(diǎn)的距離就是其外接球的半徑r,所以r= =,則球面的表面積為4πr2=4π

37、×=. 12.設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0.則當(dāng) 取得最大值時(shí),+- 的最大值為(  ) A.0 B.1 C. D.3 解析:選B ∵x2-3xy+4y2-z=0,∴z=x2-3xy+4y2,又x,y,z均為正實(shí)數(shù),∴==≤=1(當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)等號(hào)成立),∴max=1,此時(shí)x=2y, 則z=x2-3xy+4y2=(2y)2-3×2y×y+4y2=2y2, ∴+-=+-=-2+1≤1, 當(dāng)且僅當(dāng)y=1時(shí)等號(hào)成立,滿足題意. ∴+-的最大值為1. 二、填空題 13.已知等比數(shù)列{an}中,a1+a3=,a2+a4=,則a6=________.

38、 解析:∵a1+a3=,a2+a4=, ∴解得 ∴a6=2×5=. 答案: 14.已知sin=,則cos=________. 解析:cos=cos=cos =1-2sin2=1-2×2=. 答案: 15.設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)的最大值為10,則a2+b2的最小值為_(kāi)_______. 解析:由z=ax+by(a>0,b>0)得y=-x+,∵a>0,b>0,∴直線y=-x+的斜率為負(fù).作出不等式組表示的可行域如圖, 平移直線y=-x+,由圖象可知當(dāng)y=-x+經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí),直線在y軸上的截距最大,此時(shí)z也最大. 由解得即A(4,6)

39、. 此時(shí)z=4a+6b=10,即2a+3b-5=0, 即點(diǎn)(a,b)在直線2x+3y-5=0上,因?yàn)閍2+b2的幾何意義為直線上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方,又原點(diǎn)到直線的距離d==,故a2+b2的最小值為d2=. 答案: 16.已知函數(shù)f(x)=|xex|-m(m∈R)有三個(gè)零點(diǎn),則m的取值范圍為_(kāi)_______. 解析:函數(shù)f(x)=|xex|-m(m∈R)有三個(gè)零點(diǎn),即y=|xex|與y=m的圖象有三個(gè)交點(diǎn).令g(x)=xex,則g′(x)=(1+x)ex, 當(dāng)x<-1時(shí),g′(x)<0,當(dāng)x>-1時(shí),g′(x)>0, 故g(x)=xex在(-∞,-1)上為減函數(shù),在(-1,+∞)

40、上是增函數(shù),g(-1)=-,又由x<0時(shí),g(x)<0,當(dāng)x>0時(shí),g(x)>0,故函數(shù)y=|xex|的圖象如圖所示: 由圖象可知y=m與函數(shù)y=|xex|的圖象有三個(gè)交點(diǎn)時(shí),m∈,故m的取值范圍是. 答案: “12+4”小題提速練(二) (限時(shí):40分鐘 滿分:80分) 一、選擇題 1.(xx·西安模擬)已知集合A={x|log2x≥1},B={x|x2-x-6<0},則A∩B=(  ) A.?           B.{x|2<x<3} C.{x|2≤x<3} D.{x|-1<x≤2} 解析:選C 化簡(jiǎn)集合得A={x|x≥2},B={x|-2<x<3},則A∩B

41、={x|2≤x<3}. 2.(xx·福州模擬)已知復(fù)數(shù)z=2+i,則=(  ) A.-i B.-+i C.-i D.-+i 解析:選A 因?yàn)閦=2+i,所以===-i. 3.設(shè)a=log32,b=ln 2,c=5-,則a,b,c的大小關(guān)系為(  ) A.a(chǎn)<b<c B.b<c<a C.c<a<b D.c<b<a 解析:選C 因?yàn)閍=log32=,b=ln 2=,而log23>log2e>1,所以a<b,又c=5-=,>2=log24>log23,所以c<a,故c<a<b. 4.(xx屆高三·長(zhǎng)沙一中月考)如圖,在所給的四個(gè)選項(xiàng)中,選擇最合適的一個(gè)填入問(wèn)號(hào)處,使

42、之呈現(xiàn)一定的規(guī)律性,應(yīng)為(  ) A. B. C. D. 解析:選A 每一行三個(gè)圖形的變化規(guī)律:第一個(gè)圖形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到第二個(gè)圖形,第二個(gè)圖形上下翻折得到第三個(gè)圖形,所以選A. 5.(xx·合肥模擬)設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z=x+2y的最大值為(  ) A.5 B.6 C. D.7 解析:選C 作出不等式組表示的可區(qū)域如圖中陰影部分所示,由圖易知,當(dāng)直線z=x+2y經(jīng)過(guò)直線x-y=-1與x+y=4的交點(diǎn),即A時(shí),z取得最大值,zmax=x+2y=. 6.(xx屆高三·寶雞調(diào)研)閱讀如圖所示的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,若輸入x的值為1,則輸出S的

43、值為(  ) A.64 B.73 C.512 D.585 解析:選B 依題意,執(zhí)行題中的程序框圖,當(dāng)輸入x的值為1時(shí),進(jìn)行第一次循環(huán),S=1<50,x=2;進(jìn)行第二次循環(huán),S=1+23=9<50,x=4;進(jìn)行第三次循環(huán),S=9+43=73>50,此時(shí)結(jié)束循環(huán),輸出S的值為73. 7.(xx·衡陽(yáng)三模)在等比數(shù)列{an}中,a1=2,前n項(xiàng)和為Sn,若數(shù)列{an+1}也是等比數(shù)列,則Sn=(  ) A.2n+1-2 B.3n C.2n D.3n-1 解析:選C 因?yàn)閿?shù)列{an}為等比數(shù)列,a1=2,設(shè)其公比為q,則an=2qn-1,因?yàn)閿?shù)列{an+1}也是等比數(shù)

44、列,所以(an+1+1)2=(an+1)(an+2+1)?a+2an+1=anan+2+an+an+2?an+an+2=2an+1?an(1+q2-2q)=0?q=1,即an=2,所以Sn=2n. 8.點(diǎn)A,B,C,D在同一個(gè)球的球面上,AB=BC=AC=,若四面體ABCD體積的最大值為,則這個(gè)球的表面積為(  ) A.π B.8π C.π D.π 解析:選C 如圖所示,當(dāng)點(diǎn)D位于球的正頂部時(shí)四面體的體積最大,設(shè)球的半徑為R,則四面體的高為h=R+,四面體的體積為V=××()2×sin 60°×(R+)=×(R+)=,解得R=, 所以球的表面積S=4πR2=4π2=,故選C

45、. 9.(xx屆高三·湖北七校聯(lián)考)已知圓C:(x-1)2+y2=r2(r>0).設(shè)條件p:0<r<3,條件q:圓C上至多有2個(gè)點(diǎn)到直線x-y+3=0的距離為1,則p是q的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選C 圓C:(x-1)2+y2=r2的圓心(1,0)到直線x-y+3=0的距離d==2. 當(dāng)0<r<1時(shí),直線在圓外,圓上沒(méi)有點(diǎn)到直線的距離為1; 當(dāng)r=1時(shí),直線在圓外,圓上只有1個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1; 當(dāng)1<r<2時(shí),直線在圓外,此時(shí)圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1; 當(dāng)r=2時(shí),直線與圓相切,此時(shí)圓上有2

46、個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1; 當(dāng)2<r<3時(shí),直線與圓相交,此時(shí)圓上有2個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1. 綜上,當(dāng)0<r<3時(shí),圓C上至多有2個(gè)點(diǎn)到直線x-y+3=0的距離為1,由圓C上至多有2個(gè)點(diǎn)到直線x-y+3=0的距離為1可得0<r<3,故p是q的充要條件,故選C. 10.(xx·合肥模擬)已知橢圓+=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F(xiàn)2,離心率為e.P是橢圓上一點(diǎn),滿足PF2⊥F1F2,點(diǎn)Q在線段PF1上,且=2 .若·=0,則e2=(  ) A.-1 B.2- C.2- D.-2 解析:選C 由題意可知,在Rt△PF1F2中,F(xiàn)2Q⊥PF1,所以|F1Q|·|F1P|=

47、|F1F2|2,又|F1Q|=|F1P|,所以有|F1P|2=|F1F2|2=4c2,即|F1P|=c,進(jìn)而得出|PF2|=C.又由橢圓定義可知,|PF1|+|PF2|=c+c=2a,解得e===,所以e2=2-. 11.(xx·廣州模擬)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)是奇函數(shù),直線y=與函數(shù)f(x)的圖象的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為,則(  ) A.f(x)在上單調(diào)遞減 B.f(x)在上單調(diào)遞減 C.f(x)在上單調(diào)遞增 D.f(x)在上單調(diào)遞增 解析:選D f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=sinωx+φ+

48、,因?yàn)?<φ<π且f(x)為奇函數(shù),所以φ=,即f(x)=-sin ωx,又直線y=與函數(shù)f(x)的圖象的兩個(gè)相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值為,所以函數(shù)f(x)的最小正周期為,由=,可得ω=4,故f(x)=-sin 4x,由2kπ+≤4x≤2kπ+,k∈Z,即+≤x≤+,k∈Z,令k=0,得≤x≤,此時(shí)f(x)在上單調(diào)遞增,故選D. 12.(xx·貴陽(yáng)模擬)已知函數(shù)f(x)=ln(x2-4x-a),若對(duì)任意的m∈R,均存在x0使得f(x0)=m,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(  ) A.(-∞,-4) B.(-4,+∞) C.(-∞,-4] D.[-4,+∞) 解析:選D 依題意得,函數(shù)

49、f(x)的值域?yàn)镽,令函數(shù)g(x)=x2-4x-a,其值域A包含(0,+∞),因此對(duì)方程x2-4x-a=0,有Δ=16+4a≥0,解得a≥-4,即實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-4,+∞). 二、填空題 13.(xx·蘭州模擬)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為a,∠ABC=,則·=________. 解析:由菱形的性質(zhì)知||=a,||=a,且〈,〉=,∴·=a×a×cos=a2. 答案:a2 14.已知函數(shù)f(x)=cos,集合M={1,2,3,4,5,6,7,8,9},現(xiàn)從M中任取兩個(gè)不同的元素m,n,則f(m)·f(n)=0的概率為_(kāi)_______. 解析:已知函數(shù)f(x)=cos,集合M={1

50、,2,3,4,5,6,7,8,9},現(xiàn)從M中任取兩個(gè)不同的元素m,n,則m=3,9時(shí),f(m)=cos=0,滿足f(m)·f(n)=0的個(gè)數(shù)為m=3時(shí)有8個(gè),n=9時(shí)有8個(gè),n=3時(shí)有8個(gè),n=9時(shí)有8個(gè),重復(fù)2個(gè),共有30個(gè).從A中任取兩個(gè)不同的元素m,n,則f(m)·f(n)的值有72個(gè),所以從M中任取兩個(gè)不同的元素m,n,使f(m)·f(n)=0的概率為P==. 答案: 15.(xx·洛陽(yáng)模擬)為了檢驗(yàn)?zāi)程籽郾=〔兕A(yù)防學(xué)生近視的作用,把500名做該套眼保健操的學(xué)生與另外500名未做該套眼保健操的學(xué)生的視力情況作記錄并比較,提出假設(shè)H0:“這套眼保健操不能起到預(yù)防近視的作用”,利用2×

51、2列聯(lián)表計(jì)算所得的K2≈3.918.經(jīng)查對(duì)臨界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.對(duì)此,四名同學(xué)得出了以下結(jié)論: ①有95%的把握認(rèn)為“這套眼保健操能起到預(yù)防近視的作用”; ②若某人未做該套眼保健操,那么他有95%的可能得近視; ③這套眼保健操預(yù)防近視的有效率為95%; ④這套眼保健操預(yù)防近視的有效率為5%. 其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________. 解析:根據(jù)查對(duì)臨界值表知P(K2≥3.841)≈0.05,故有95%的把握認(rèn)為“這套眼保健操能起到預(yù)防近視的作用”,即①正確;95%僅指“這套眼保健操能起到預(yù)防近視的作用”的可信程度,所以②③④錯(cuò)誤. 答案:① 16.(xx

52、屆高三·云南調(diào)研)已知三棱錐P-ABC的所有頂點(diǎn)都在表面積為的球面上,底面ABC是邊長(zhǎng)為的等邊三角形,則三棱錐P-ABC體積的最大值為_(kāi)_______. 解析:依題意,設(shè)球的半徑為R,則有4πR2=,R=,△ABC的外接圓半徑為r==1,球心到截 面ABC的距離h===,因此點(diǎn)P到截面ABC的距離的最大值等于h+R=+=4,因此三棱錐P-ABC體積的最大值為××4=. 答案: “12+4”小題提速練(三) (限時(shí):40分鐘 滿分:80分) 一、選擇題 1.已知集合M={x|16-x2≥0},集合N={y|y=|x|+1},則M∩N=(  ) A.{x|-2≤x≤4} B.{

53、x|x≥1} C.{x|1≤x≤4} D.{x|x≥-2} 解析:選C 由M中16-x2≥0,即(x-4)(x+4)≤0,解得-4≤x≤4,所以M={x|-4≤x≤4},集合N={y|y=|x|+1}=[1,+∞),則M∩N={x|1≤x≤4}. 2.若復(fù)數(shù)z滿足z(4-i)=5+3i(i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為(  ) A.1-i B.-1+i C.1+i D.-1-i 解析:選A 由z(4-i)=5+3i, 得z====1+i, 則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為 1-i. 3.由變量x與y的一組數(shù)據(jù): x 1 5 7 13 19 y y1 y2

54、 y3 y4 y5 得到的線性回歸方程為=2x+45,則=(  ) A.135 B.90 C.67 D.63 解析:選D 根據(jù)表中數(shù)據(jù)得=×(1+5+7+13+19)=9,線性回歸方程=2x+45過(guò)點(diǎn)(,),則=2×9+45=63. 4.如圖給出一個(gè)算法的程序框圖,該程序框圖的功能是(  ) A.輸出a,b,c三個(gè)數(shù)中的最大數(shù) B.輸出a,b,c三個(gè)數(shù)中的最小數(shù) C.將a,b,c按從小到大排列 D.將a,b,c按從大到小排列 解析:選B 由程序框圖知:第一個(gè)判斷框是比較a,b大小,a的值是a,b之間的較小數(shù);第二個(gè)判斷框是比較a,c大小,輸出的a是a,

55、c之間的較小數(shù).∴該程序框圖的功能是輸出a,b,c三個(gè)數(shù)中的最小數(shù).故選B. 5.函數(shù)y=sin的圖象經(jīng)過(guò)下列平移,可以得到函數(shù)y=cos圖象的是(  ) A.向右平移個(gè)單位 B.向左平移個(gè)單位 C.向右平移個(gè)單位 D.向左平移個(gè)單位 解析:選B 把函數(shù)y=sin=cos-=cos的圖象向左平移個(gè)單位,可得y=cos=cos的圖象. 6.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)且以2為周期,則“f(x)為[0,1]上的增函數(shù)”是“f(x)為[3,4]上的減函數(shù)”的(  ) A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析:選C ∵f(x)是定

56、義在R上的偶函數(shù), ∴若f(x)為[0,1]上的增函數(shù),則f(x)在[-1,0]上是減函數(shù), 又∵f(x)是定義在R上的以2為周期的函數(shù),且[3,4]與[-1,0]相差兩個(gè)周期, ∴兩區(qū)間上的單調(diào)性一致,所以可以得出f(x)為[3,4]上的減函數(shù),故充分性成立. 若f(x)為[3,4]上的減函數(shù),同樣由函數(shù)周期性可得出f(x)在[-1,0]上是減函數(shù), 再由函數(shù)是偶函數(shù)可得出f(x)為[0,1]上的增函數(shù),故必要性成立. 綜上,“f(x)為[0,1]上的增函數(shù)”是“f(x)為[3,4]上的減函數(shù)”的充要條件. 7.某三棱錐的三視圖如圖所示,其三個(gè)視圖都是直角三角形,則該三棱錐的體

57、積為(  ) A. B. C.1 D.6 解析:選A 由已知中的三視圖可得,該三棱錐的底面面積S=×2×1=1,高h(yuǎn)=1,故體積V=Sh=. 8.已知向量a與b的夾角為60°,|a|=4,|b|=1,且b⊥(a-xb),則實(shí)數(shù)x為(  ) A.4 B.2 C.1 D. 解析:選B ∵b⊥(a-xb),∴b·(a-xb)=0,即a·b-xb2=4×1×cos 60°-x=0,解得x=2. 9.已知點(diǎn)P在直線x=-1上移動(dòng),過(guò)點(diǎn)P作圓(x-2)2+(y-2)2=1的切線,相切于點(diǎn)Q,則切線長(zhǎng)|PQ|的最小值為(  ) A.2 B.2 C.3 D. 解析

58、:選B 圓心(2,2)到直線x=-1的距離為d=3>r=1,故直線和圓相離.故切線長(zhǎng)|PQ|的最小值為=2. 10.(xx·太原三模)已知等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為不等于1的正數(shù),數(shù)列{bn}滿足bn=lg an,b3=18,b6=12,則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和的最大值為(  ) A.126 B.130 C.132 D.134 解析:選C 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0),由題意可知,lg a3=b3,lg a6=b6.又b3=18,b6=12,則a1q2=1018,a1q5=1012,∴q3=10-6,即q=10-2,∴a1=1022.又{an}為正項(xiàng)等比數(shù)列,∴{b

59、n}為等差數(shù)列,且公差d=-2,b1=22,故bn=22+(n-1)×(-2)=-2n+24.∴數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn=22n+×(-2)=-n2+23n=-2+.又n∈N*,故n=11或12時(shí),(Sn)max=132. 11.已知橢圓+=1(a>b>0)的半焦距為c(c>0),左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,拋物線y2=(a+c)x與橢圓交于B,C兩點(diǎn).若四邊形ABFC是菱形,則橢圓的離心率是(  ) A. B. C. D. 解析:選D 由題意得,橢圓+=1(a>b>0,c為半焦距)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,則A(a,0),F(xiàn)(-c,0).∵拋物線y2=(a+c)x與橢圓交于B,

60、C兩點(diǎn),∴B,C兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,可設(shè)B(m,n),C(m,-n).∵四邊形ABFC是菱形,∴BC⊥AF,2m=a-c,則m=(a-c).將B(m,n)代入拋物線方程得,n2=(a+c)m=(a+c)(a-c)=(a2-c2),∴n2=b2.將代入橢圓方程,得·+=1,化簡(jiǎn)得=.∵e=,∴4e2-8e+3=0,解得e=或.又∵0

61、=f(x)的圖象和直線y=kx-有4個(gè)交點(diǎn).作出函數(shù)y=f(x)的圖象及直線y=kx-,如圖, 故點(diǎn)(1,0)在直線y=kx-的下方,∴k×1->0,解得k>. 又當(dāng)直線y=kx-和y=ln x相切時(shí),設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為m,則 k==,∴m=, 此時(shí),k==,f(x)的圖象和直線y=kx-有3個(gè)交點(diǎn),不滿足條件,故k的取值范圍是. 二、填空題 13.在上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x,則事件“滿足不等式|sin x|≤”發(fā)生的概率為_(kāi)_______. 解析:在上,由不等式|sin x|≤,解得-≤x≤或≤x≤π,故滿足不等式|sin x|≤發(fā)生的概率P==. 答案: 14.實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件則

62、z=的取值范圍為_(kāi)_______. 解析:由約束條件作出可行域如圖, 聯(lián)立解得A(3,1), 聯(lián)立解得B(1,2). z=的幾何意義為可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)P(-1,0)連線的斜率.∵kPA=,kPB=1,∴z=的取值范圍為. 答案: 15.德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲發(fā)現(xiàn)了如圖所示的單位分?jǐn)?shù)三角形,單位分?jǐn)?shù)是分子為1,分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù).根據(jù)前6行的規(guī)律,寫出第7行的第3個(gè)數(shù)是________. 解析:第7行第一個(gè)數(shù)和最后一個(gè)數(shù)都是,第二個(gè)數(shù)加要等于,所以第二個(gè)數(shù)是,同理第三個(gè)數(shù)加等于,則第三個(gè)數(shù)是. 答案: 16.以拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為圓心,以雙曲線-=1(a>0,b>0

63、)的虛半軸長(zhǎng)b為半徑的圓與該雙曲線的漸近線相切,則當(dāng)+取得最小值時(shí),雙曲線的離心率為_(kāi)_______. 解析:拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為(2,0),雙曲線的一條漸近線方程為bx+ay=0, ∵以拋物線y2=8x的焦點(diǎn)為圓心,以雙曲線-=1(a>0,b>0)虛半軸長(zhǎng)b為半徑的圓與該雙曲線的漸近線相切, ∴=b,∴a2+b2=4, ∴+=(a2+b2)=≥(5+4)=,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立,即此時(shí)+取得最小值,∴c=b,∴e===. 答案: “12+4”小題提速練(四) (限時(shí):40分鐘 滿分:80分) 一、選擇題 1.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在(  ) A.第一象限   

64、      B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:選D 因?yàn)椋剑剑剑璱,所以其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,該點(diǎn)在第四象限. 2.“干支紀(jì)年法”是中國(guó)歷法上自古以來(lái)就一直使用的紀(jì)年方法.甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸十個(gè)符號(hào)叫天干,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥十二個(gè)符號(hào)叫地支.把干支順序相配正好六十為一周,周而復(fù)始,循環(huán)記錄,這就是俗稱的“干支表”.xx年是“干支紀(jì)年法”中的丙申年,那么xx年是“干支紀(jì)年法”中的(  ) A.丁酉年 B.戊未年 C.乙未年 D.丁未年 解析:選A 由題意可知xx年是“干支紀(jì)年法”中的丁酉年. 3.點(diǎn)(,4)

65、在直線l:ax-y+1=0上,則直線l的傾斜角為(  ) A.30° B.45° C.60° D.120° 解析:選C 把點(diǎn)(,4)代入直線l的方程ax-y+1=0,得a=,所以直線l的斜率為,所以傾斜角為60°. 4.若某程序框圖如圖所示,則該程序運(yùn)行后輸出的a等于(  ) A.255 B.127 C.63 D.31 解析:選A 設(shè)an為i=n時(shí)a的值,n∈N*.由題意得an+1=2an+1?an+1+1=2(an+1),又a1=1,∴an=2n-1,可得a8=255.易知輸出的a的值等于a8. 5.已知雙曲線C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為

66、F1,F(xiàn)2,離心率為2,過(guò)F2的直線l交雙曲線C的右支于A,B兩點(diǎn),若△AF1B的周長(zhǎng)為16,|AB|=6,則C的方程為(  ) A.x2-=1 B.-y2=1 C.-=1 D.-=1 解析:選A ∵e==2,∴c=2a. 設(shè)|F2A|=m,|F2B|=n, 由雙曲線的定義及題意得|F1A|=2a+m,|F1B|=2a+n,|AB|=m+n=6. ∵△AF1B的周長(zhǎng)為16, ∴m+2a+n+2a+m+n=16, 解得a=1,∴c=2,∴b==, ∴雙曲線C的方程為x2-=1. 6.在△ABC中,AB⊥AC,AC=,點(diǎn)D滿足條件=2 ,則·等于(  ) A.1 B. C.2 D.3 解析:選C 由題意知=+=+=+(-)=+. 又AB⊥AC,AC=,∴·=2=2. 7.某幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為(  ) A.24+6π B.12π C.24+12π D.16π 解析:選A 由三視圖可知,該幾何體是由一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體與6個(gè)半徑為1的半球構(gòu)成的組合體,該組合體的表面由6個(gè)半球的表面(除去半球底面圓)、正方

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