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2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一章 集合與常用邏輯用語 第1講 集合及其運(yùn)算

上傳人:xt****7 文檔編號:106387380 上傳時間:2022-06-13 格式:DOC 頁數(shù):10 大小:438.52KB
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1、2022年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一章 集合與常用邏輯用語 第1講 集合及其運(yùn)算 最新考綱 1.了解集合的含義、元素與集合的屬于關(guān)系;2.理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集;3.理解兩個集合的并集與交集的含義,會求兩個簡單集合的并集與交集;4.理解在給定集合中一個子集的補(bǔ)集的含義,會求給定子集的補(bǔ)集;5.能使用韋恩(Venn)圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算. 知 識 梳 理 1.元素與集合 (1)集合中元素的三個特征:確定性、互異性、無序性. (2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于關(guān)系,用符號∈或?表示. (3)集合的表示法:列舉法、描述法、圖示法. 2.集合間的基本關(guān)系

2、 表示 關(guān)系    文字語言 符號語言 集合間的基本關(guān)系 相等 集合A與集合B中的所有元素都相同 A=B 子集 A中任意一個元素均為B中的元素 A?B 真子集 A中任意一個元素均為B中的元素,且B中至少有一個元素不是A中的元素 AB 空集 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集 3.集合的基本運(yùn)算 集合的并集 集合的交集 集合的補(bǔ)集 圖形語言 符號語言 A∪B={x|x∈A,或x∈B} A∩B={x|x∈A,且x∈B} ?UA={x|x∈U,且x?A} 4.集合的運(yùn)算性質(zhì) 并集的性質(zhì): A∪?=A;A∪A=A;A∪

3、B=B∪A;A∪B=A?B?A. 交集的性質(zhì): A∩?=?;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A?A?B. 補(bǔ)集的性質(zhì): A∪(?UA)=U;A∩(?UA)=?;?U(?UA)=A. 診 斷 自 測 1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“×”) 精彩PPT展示 (1)若A={x|y=x2},B={(x,y)|y=x2},C={y|y=x2},則A=B=C.(×) (2)若{x2,1}={0,1},則x=0,1.(×) (3)已知集合A={x|mx=1},B={1,2},且A?B,則實(shí)數(shù)m=1或m=.(×) (4)含有n個元素的集合的子集個數(shù)是2n,真子集個數(shù)是2n-1,非空真

4、子集的個數(shù)是2n-2.(√) 2.(xx·新課標(biāo)全國Ⅰ卷)已知集合M={x|-1<x<3},N={x|-2<x<1},則M∩N=(  ) A.(-2,1) B.(-1,1) C.(1,3) D.(-2,3) 解析 借助數(shù)軸求解. 由圖知:M∩N=(-1,1). 答案 B 3.(xx·遼寧卷)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},則集合?U(A∪B)=(  ) A.{x|x≥0} B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1} 解析 借助數(shù)軸求得:A∪B={x|x≤0或x≥1}, ∴?U(A∪B)={x|0<x<1}. 答案 D

5、 4.已知集合A={(x,y)|x,y∈R,且x2+y2=1},B={(x,y)|x,y∈R,且y=x},則A∩B的元素個數(shù)為(  ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 集合A表示的是圓心在原點(diǎn)的單位圓,集合B表示的是直線y=x,據(jù)此畫出圖象,可得圖象有兩個交點(diǎn),即A∩B的元素個數(shù)為2. 答案 C 5.(人教A必修1P12A10改編)已知集合A={x|3≤x<7},B={x|2<x<10},則(?RA)∩B=________. 解析 ∵?RA={x|x<3或x≥7}, ∴(?RA)∩B={x|2<x<3或7≤x<10}. 答案 {x|2<x<3或7≤x<10} 考

6、點(diǎn)一 集合的含義 【例1】 (1)已知集合A={0,1,2},則集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的個數(shù)是(  ) A.1 B.3 C.5 D.9 (2)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一個元素,則a=(  ) A.4 B.2 C.0 D.0或4 解析 (1)∵x-y={-2,-1,0,1,2},∴其元素個數(shù)為5. (2)由ax2+ax+1=0只有一個實(shí)數(shù)解,可得當(dāng)a=0時,方程無實(shí)數(shù)解; 當(dāng)a≠0時,則Δ=a2-4a=0,解得a=4(a=0不合題意舍去). 答案 (1)C (2)A 規(guī)律方法 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元

7、素的含義,再看元素的限制條件,明白集合的類型,是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型集合.(2)集合中元素的三個特性中的互異性對解題的影響較大,特別是含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性. 【訓(xùn)練1】 已知a∈R,b∈R,若={a2,a+b,0},則a2 016+b2 016=________. 解析 由已知得=0及a≠0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根據(jù)集合中元素的互異性可知a=1應(yīng)舍去,因此a=-1,故a2 016+b2 016=1. 答案 1 考點(diǎn)二 集合間的基本關(guān)系 【例2】 (1)已知集合A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1

8、<2m-1},若B?A,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為__________. (2)設(shè)U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(?UA)∩B=?,則m=__________. 解析 (1)當(dāng)B=?時,有m+1≥2m-1,則m≤2. 當(dāng)B≠?時,若B?A,如圖. 深度思考 (1)你會用這些結(jié)論嗎? A∪B=A?B?A, A∩B=A?A?B, (?UA)∩B=?? B?A; (2)你考慮到空集了嗎? 則 解得2

9、m+1)x+m=0的判別式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠?. ∴B={-1}或B={-2}或B={-1,-2}. ①若B={-1},則m=1; ②若B={-2},則應(yīng)有-(m+1)=(-2)+(-2)=-4,且m=(-2)·(-2)=4,這兩式不能同時成立, ∴B≠{-2}; ③若B={-1,-2},則應(yīng)有-(m+1)=(-1)+(-2)=-3,且m=(-1)·(-2)=2,由這兩式得m=2. 經(jīng)檢驗(yàn)知m=1和m=2符合條件.∴m=1或2. 答案 (1)(-∞,4] (2)1或2 規(guī)律方法 (1)空集是任何集合的子集,在涉及集合關(guān)系時,必須優(yōu)先考慮空集的情況,

10、否則會造成漏解.(2)已知兩個集合間的關(guān)系求參數(shù)時,關(guān)鍵是將條件轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)所滿足的關(guān)系.常用數(shù)軸、Venn圖來直觀解決這類問題. 【訓(xùn)練2】 (1)已知集合A={x|y=ln(x+3)},B={x|x≥2},則下列結(jié)論正確的是(  ) A.A=B B.A∩B=? C.A?B D.B?A (2)已知集合A={x|log2x≤2},B={x|x<a},若A?B,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是__________. 解析 (1)A={x|x>-3},B={x|x≥2},結(jié)合數(shù)軸可得: B?A. (2)由log2x≤2,得0<x≤4, 即A={x|0<x≤4

11、}, 而B={x|x<a}, 由于A?B,如圖所示,則a>4. 答案 (1)D (2)(4,+∞) 考點(diǎn)三 集合的基本運(yùn)算 【例3】 (1)(xx·新課標(biāo)全國Ⅱ卷)已知集合A={-2,0,2},B={x|x2-x-2=0},則A∩B=(  ) A.? B.{2} C.{0} D.{-2} (2)(xx·江西卷)設(shè)全集為R,集合A={x|x2-9<0},B={x|-1<x≤5},則A∩(?RB)=(  ) A.(-3,0) B.(-3,-1) C.(-3,-1] D.(-3,3) 解析 (1)B={x|x2-x-2=0}={-1,2},A={-2,0,2},

12、∴A∩B={2}. (2)∵A={x|x2-9<0}={x|-3<x<3}, B={x|-1<x≤5}, ∴?RB={x|x≤-1或x>5}, ∴A∩(?RB)={x|-3<x<3}∩{x|x≤-1或x>5}={x|-3<x≤-1}. 答案 (1)B (2)C 規(guī)律方法 (1)一般來講,集合中的元素若是離散的,則用Venn圖表示;集合中的元素若是連續(xù)的實(shí)數(shù),則用數(shù)軸表示,此時要注意端點(diǎn)的情況.(2)運(yùn)算過程中要注意集合間的特殊關(guān)系的使用,靈活使用這些關(guān)系,會使運(yùn)算簡化. 【訓(xùn)練3】 (1)已知全集U={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},則(?UA)∪B

13、為(  ) A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4} (2)(xx·四川卷)已知集合A={x|(x+1)(x-2)≤0},集合B為整數(shù)集,則A∩B=(  ) A.{-1,0} B.{0,1} C.{-2,-1,0,1} D.{-1,0,1,2} 解析 (1)?UA={0,4},∴(?UA)∪B={0,2,4}. (2)∵A={x|-1≤x≤2},B為整數(shù)集, ∴A∩B={-1,0,1,2}. 答案 (1)C (2)D 微型專題 集合背景下的新定義問題 以集合為背景的新定義問題,集合只是一種表述形式,實(shí)質(zhì)上考查的是考生接受新信息

14、、理解新情境、解決新問題的數(shù)學(xué)能力.解決此類問題,要從以下兩點(diǎn)入手: (1)正確理解創(chuàng)新定義.分析新定義的表述意義,把新定義所表達(dá)的數(shù)學(xué)本質(zhì)弄清楚,進(jìn)而轉(zhuǎn)化成熟知的數(shù)學(xué)情境,并能夠應(yīng)用到具體的解題之中,這是解決問題的基礎(chǔ). (2)合理利用集合性質(zhì).運(yùn)用集合的性質(zhì)(如元素的性質(zhì)、集合的運(yùn)算性質(zhì)等)是破解新定義型集合問題的關(guān)鍵.在解題時要善于從題設(shè)條件給出的數(shù)式中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素,但關(guān)鍵之處還是合理利用集合的運(yùn)算與性質(zhì). 【例4】 (xx·青島質(zhì)檢)設(shè)集合M=,N=,且M,N都是集合{0|0≤x≤1}的子集,如果把b-a叫作集合{x|a≤x≤b}的“長度”,那么集合M∩N的“長

15、度”的最小值是(  ) A. B. C. D. 點(diǎn)撥 先理解集合的“長度”,然后求M∩N的“長度”的最小值. 解析 由已知,可得即0≤m≤; 即≤n≤1,取m的最小值0,n的最大值1,可得M=,N=.所以M∩N=∩=.此時集合M∩N的“長度”的最小值為-=.故選C. 答案 C 點(diǎn)評 本題的難點(diǎn)是理解集合的“長度”,解題時緊扣新定義與基礎(chǔ)知識之間的相互聯(lián)系,把此類問題轉(zhuǎn)化成熟悉的問題進(jìn)行求解. [思想方法] 1.在解題時經(jīng)常用到集合元素的互異性,一方面利用集合元素的互異性能順利找到解題的切入點(diǎn);另一方面,在解答完畢時,注意檢驗(yàn)集合的元素是否滿足互異性以確保答案正確.

16、2.求集合的子集(真子集)個數(shù)問題,需要注意的是:首先,過好轉(zhuǎn)化關(guān),即把圖形語言轉(zhuǎn)化為符號語言;其次,當(dāng)集合的元素個數(shù)較少時,常利用枚舉法解決,枚舉法不失為求集合的子集(真子集)個數(shù)的好方法,使用時應(yīng)做到不重不漏. 3.對于集合的運(yùn)算,常借助數(shù)軸、Venn圖,這是數(shù)形結(jié)合思想的又一體現(xiàn). [易錯防范] 1.集合問題解題中要認(rèn)清集合中元素的屬性(是數(shù)集、點(diǎn)集還是其他類型集合),要對集合進(jìn)行化簡. 2.空集不含任何元素,但它是存在的,在利用A?B解題時,若不明確集合A是否為空集時應(yīng)對集合A的情況進(jìn)行分類討論.如例2(1)“錯解1:由解得-3≤m≤4;錯解2:由解得2<m≤4,錯因都是對集合

17、B={x|m+1<x<2m-1}”認(rèn)識不清. 3.Venn圖圖示法和數(shù)軸圖示法是進(jìn)行集合交、并、補(bǔ)運(yùn)算的常用方法,其中運(yùn)用數(shù)軸圖示法要特別注意端點(diǎn)是實(shí)心還是空心. 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時:30分鐘) 一、選擇題 1.(xx·湖北卷)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},則?UA=(  ) A.{1,3,5,6} B.{2,3,7} C.{2,4,7} D.{2,5,7} 解析 ?UA={x|x∈U且x?A}={2,4,7}. 答案 C 2.(xx·廣州綜合測試)已知集合A={0,1,2,3},B={x|x2-x=0},則集合A∩B的子

18、集個數(shù)為(  ) A.2 B.4 C.6 D.8 解析 ∵B={x|x2-x=0}={0,1}, ∴A∩B={0,1}, ∴A∩B的子集個數(shù)為4. 答案 B 3.(xx·貴陽監(jiān)測)若集合A={x|x2=1},B={x|x2-3x+2=0},則集合A∪B=(  ) A.{1} B.{1,2} C.{-1,1,2} D.{-1,1,-2} 解析 ∵A={-1,1},B={1,2}, ∴A∪B={-1,1,2}. 答案 C 4.(xx·山東卷)設(shè)集合A={x|x2-2x<0},B={x|1≤x≤4},則A∩B=(  ) A.(0,2] B.(1,2) C.[1,2)

19、 D.(1,4) 解析 ∵A={x|x2-2x<0}={x|0<x<2},B={x|1≤x≤4},∴A∩B={x|0<x<2}∩{x|1≤x≤4}={x|1≤x<2}. 答案 C 5.(xx·武漢檢測)設(shè)集合P={x|x>1},Q={x|x2-x>0},則下列結(jié)論正確的是(  ) A.P?Q B.Q?P C.P=Q D.P∪Q=R 解析 由集合Q={x|x2-x>0},知Q={x|x<0或x>1},所以P?Q,故選A. 答案 A 6.設(shè)集合A={x|0<x≤3},B={x|x<-1或x>2},則A∩B=(  ) A.(2,3] B.(-∞,-1)∪(0,+∞) C.(-1,

20、3] D.(-∞,0)∪(2,+∞) 解析 借助數(shù)軸得: ∴A∩B=(2,3]. 答案 A 7.已知集合A={x|x2=1},B={x|ax=1},若B?A,則實(shí)數(shù)a的取值集合為(  ) A.{-1,0,1} B.{-1,1} C.{-1,0} D.{0,1} 解析 因?yàn)锳={1,-1},當(dāng)a=0時,B=?,適合題意;當(dāng)a≠0時,B={}?A,則=1或-1,解得a=1或-1,所以實(shí)數(shù)a的取值集合為{-1,0,1}. 答案 A 8.(xx·長沙模擬)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},則滿足條件A?C?B的集合C的個數(shù)為(  )

21、 A.1 B.2 C.3 D.4 解析 A={1,2},B={1,2,3,4},A?C?B,則集合C可以為:{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4}.故選D. 答案 D 二、填空題 9.設(shè)全集U=R,集合A={x|x>0},B={x|x>1},則集合(?UB)∩A=__________. 解析 ∵?UB={x|x≤1},∴(?UB)∩A={x|0<x≤1}. 答案 {x|0<x≤1} 10.設(shè)集合A={-1,1,3},B={a+2,a2+4},A∩B={3},則實(shí)數(shù)a的值為__________. 解析 由題意得a+2=3,則a=1.此時A={-1,1

22、,3},B={3,5},A∩B={3},滿足題意. 答案 1 11.(xx·山東卷改編)已知集合A,B均為全集U={1,2,3,4}的子集,且?U(A∪B)={4},B={1,2},則A∩(?UB)=__________. 解析 由題意知A∪B={1,2,3}, 又B={1,2},∴?UB={3,4}, ∴A∩(?UB)={3}. 答案 {3} 12.集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},則a的值為__________. 解析 根據(jù)并集的概念,可知{a,a2}={4,16},故只能是a=4. 答案 4 能力提升題組 (建議用時:15

23、分鐘) 13.(xx·皖南八校聯(lián)考)設(shè)集合M={(x,y)|y=lg x},N={x|y=lg x},則下列結(jié)論中正確的是(  ) A.M∩N≠? B.M∩N=? C.M∪N=N D.M∪N=M 解析 因?yàn)镸為點(diǎn)集,N為數(shù)集,所以M∩N=?. 答案 B 14.已知集合A={(x ,y)|y=log2x},B={(x,y)|y=x2-2x},則A∩B的元素有(  ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 解析 在同一直角坐標(biāo)系下畫出函數(shù)y=log2x與y=x2-2x的圖象,如圖所示: 由圖可知y=log2x與y=x2-2x圖象有兩個交點(diǎn),則A∩B的元素有2個. 答

24、案 B 15.已知集合A={x|y=lg(x-x2)},B={x|x2-cx<0,c>0},若A?B,則實(shí)數(shù)c的取值范圍是(  ) A.(0,1] B.[1,+∞) C.(0,1) D.(1,+∞) 解析 A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),B={x|x2-cx<0,c>0}=(0,c),因?yàn)锳?B,畫出數(shù)軸,如圖所示,得c≥1.應(yīng)選B. 答案 B 16.已知U={y|y=log2x,x>1},P={y|y=,x>2},則?UP=__________. 解析 ∵U={y|y=log2x,x>1}={y|y>0}, P={y|y=,x>2}={y|0<y<}, ∴?UP={y|y≥}. 答案 {y|y≥} 17.已知集合A={x|1≤x<5},C={x|-a<x≤a+3},若C∩A=C,則a的取值范圍是__________. 解析 因?yàn)镃∩A=C,所以C?A. ①當(dāng)C=?時,滿足C?A,此時-a≥a+3,得a≤-; ②當(dāng)C≠?時,要使C?A,則 解得-<a≤-1. 答案 (-∞,-1]

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