(通用版)2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量學(xué)案 理
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1、 第五章 平面向量 第一節(jié) 平面向量的概念及線性運(yùn)算 本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn): 1.平面向量的有關(guān)概念;2.平面向量的線性運(yùn)算. 突破點(diǎn)(一) 平面向量的有關(guān)概念 名稱 定義 備注 向量 既有大小又有方向的量叫做向量;向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模) 平面向量是自由向量,平面向量可自由平移 零向量 長(zhǎng)度為0的向量;其方向是任意的 記作0 單位向量 長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量 非零向量a的單位向量為± 平行向量 方向相同或相反的非零向量,又叫做共線向量 0與任一向量平行或共線 相等向量 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量 兩向量只有相等或不
2、等,不能比較大小 相反向量 長(zhǎng)度相等且方向相反的向量 0的相反向量為0 1.判斷題 (1)向量與有向線段是一樣的,因此可以用有向線段來(lái)表示向量.( ) (2) 若a∥b,b∥c,則a∥c.( ) (3)若向量a與b不相等,則a與b一定不可能都是零向量.( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ 2.填空題 (1)給出下列命題: ①若a=b,b=c,則a=c; ②若A,B,C,D是不共線的四點(diǎn),則=是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件; ③a=b的充要條件是|a|=|b|且a∥b; 其中正確命題的序號(hào)是________. 解析:①正確.∵a=b,∴a
3、,b的長(zhǎng)度相等且方向相同, 又b=c,∴b,c的長(zhǎng)度相等且方向相同, ∴a,c的長(zhǎng)度相等且方向相同,故a=c. ②正確.∵=,∴||=||且∥, 又A,B,C,D是不共線的四點(diǎn), ∴四邊形ABCD為平行四邊形; 反之,若四邊形ABCD為平行四邊形, 則∥且||=||,因此,=. ③不正確.當(dāng)a∥b且方向相反時(shí),即使|a|=|b|,也不能得到a=b,故|a|=|b|且a∥b不是a=b的充要條件,而是必要不充分條件. 綜上所述,正確命題的序號(hào)是①②. 答案:①② (2)若a、b都為非零向量,則使+=0成立的條件是________. 答案:a與b反向共線 平面向
4、量的有關(guān)概念 [典例] (1)(2018·海淀期末)下列說(shuō)法正確的是( ) A.長(zhǎng)度相等的向量叫做相等向量 B.共線向量是在同一條直線上的向量 C.零向量的長(zhǎng)度等于0 D.∥就是所在的直線平行于所在的直線 (2)(2018·棗莊期末)下列命題正確的是( ) A.若|a|=|b|,則a=b B.若|a|>|b|,則a>b C.若a=b,則a∥b D.若|a|=0,則a=0 [解析] (1)長(zhǎng)度相等且方向相同的向量叫做相等向量,故A不正確;方向相同或相反的非零向量叫做共線向量,但共線向量不一定在同一條直線上,故B不正確;顯然C正確;當(dāng)
5、∥時(shí),所在的直線與所在的直線可能重合,故D不正確. (2)對(duì)于A,當(dāng)|a|=|b|,即向量a,b的模相等時(shí),方向不一定相同,故a=b不一定成立;對(duì)于B,向量的??梢员容^大小,但向量不可以比較大小,故B不正確;C顯然正確;對(duì)于D,若|a|=0,則a=0,故D不正確,故選C. [答案] (1)C (2)C [易錯(cuò)提醒] (1)兩個(gè)向量不能比較大小,只可以判斷它們是否相等,但它們的??梢员容^大??; (2)大小與方向是向量的兩個(gè)要素,分別是向量的代數(shù)特征與幾何特征; (3)向量可以自由平移,任意一組平行向量都可以移到同一直線上. 1.給出下列命題: ①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量
6、,一定是共線向量; ②λa=0(λ為實(shí)數(shù)),則λ必為零; ③λ,μ為實(shí)數(shù),若λa=μb,則a與b共線. 其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:選D?、馘e(cuò)誤,兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn).②錯(cuò)誤,當(dāng)a=0時(shí),不論λ為何值,λa=0.③錯(cuò)誤,當(dāng)λ=μ=0時(shí),λa=μb=0,此時(shí),a與b可以是任意向量.錯(cuò)誤的命題有3個(gè),故選D. 2.關(guān)于平面向量,下列說(shuō)法正確的是( ) A.零向量是唯一沒(méi)有方向的向量 B.平面內(nèi)的單位向量是唯一的 C.方向相反的向量是共線向量,共線向量不一定是方向相反的向量 D.共線向量就是相等向量 解析:選C
7、對(duì)于A,零向量是有方向的,其方向是任意的,故A不正確;對(duì)于B,單位向量的模為1,其方向可以是任意方向,故B不正確;對(duì)于C,方向相反的向量一定是共線向 量,共線向量不一定是方向相反的向量,故C正確;對(duì)于D,由共線向量和相等向量的定義可知D不正確,故選C. 3.如圖,△ABC和△A′B′C′是在各邊的處相交的兩個(gè)全等的等邊三角形,設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為a,圖中列出了長(zhǎng)度均為的若干個(gè)向量,則 (1)與向量相等的向量有________; (2)與向量共線,且模相等的向量有________; (3)與向量EA―→共線,且模相等的向量有________. 解析:向量相等?向量方向相同且模相等.
8、向量共線?表示有向線段所在的直線平行或重合. 答案:(1) , (2) , ,, , (3) , , ,, 突破點(diǎn)(二) 平面向量的線性運(yùn)算 1.向量的線性運(yùn)算 向量運(yùn)算 定義 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 交換律:a+b=b+a;結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c) 減法 求a與b的相反向量-b的和的運(yùn)算 a-b=a+(-b) 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 |λa|=|λ||a|,當(dāng)λ>0時(shí),λa與a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa與a的方向相反;當(dāng)λ=0時(shí),λa=0 λ(μ a)=(λ μ)a;
9、(λ+μ)a =λa+μa; λ(a+b) =λa+λb 2.平面向量共線定理 向量b與a(a≠0)共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得b=λa. 1.判斷題 (1)a∥b是a=λb(λ∈R)的充要條件.( ) (2)△ABC中,D是BC的中點(diǎn),則=(+).( ) 答案:(1)× (2)√ 2.填空題 (1)化簡(jiǎn): ①+++=________. ②++-=________. 答案:①?、? (2)若菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2,則|-+|=________. 解析:|-+|=|++|=||=2. 答案:2 (3)在?ABCD中,=a,=b, =3,則=
10、________(用a,b表示). 答案:a+b 平面向量的線性運(yùn)算 應(yīng)用平面向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算的法則即可.注意加法的三角形法則要求“首尾相接”,加法的平行四邊形法則要求“起點(diǎn)相同”;減法的三角形法則要求“起點(diǎn)相同”且差向量指向“被減向量”;數(shù)乘運(yùn)算的結(jié)果仍是一個(gè)向量,運(yùn)算過(guò)程可類比實(shí)數(shù)運(yùn)算. [例1] (1)(2018·河南中原名校聯(lián)考)如圖,在直角梯形ABCD中,AB=2AD=2DC,E為BC邊上一點(diǎn),=3,F(xiàn)為AE的中點(diǎn),則=( ) A.- B.- C.-+ D.-+ (2)(2018·深圳模擬)如圖所示,正方形ABCD中,M是BC的中點(diǎn),若
11、=λ+μ,則λ+μ=( ) A. B. C. D.2 [解析] (1)=+=+ =-+(++) =-+ =-+++(++) =-+. (2)因?yàn)椋溅耍蹋溅?+)+μ(+)=λ+μ(-+)=(λ-μ)+,且=+,所以得 所以λ+μ=,故選B. [答案] (1)C (2)B [方法技巧] 1.平面向量的線性運(yùn)算技巧 (1)不含圖形的情況:可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解. (2)含圖形的情況:將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中,充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì),把未知向量用已知向量表示出來(lái)求解. 2.利用平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)的一般思路 (1)沒(méi)有圖
12、形的準(zhǔn)確作出圖形,確定每一個(gè)點(diǎn)的位置. (2)利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化,轉(zhuǎn)化為要求的向量形式. (3)比較、觀察可知所求. 平面向量共線定理的應(yīng)用 求解向量共線問(wèn)題的注意事項(xiàng) (1)向量共線的充要條件中,當(dāng)兩向量共線時(shí),通常只有非零向量才能表示與之共線的其他向量,注意待定系數(shù)法和方程思想的運(yùn)用. (2)證明三點(diǎn)共線問(wèn)題,可用向量共線來(lái)解決,但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得到三點(diǎn)共線. (3)直線的向量式參數(shù)方程:A,P,B三點(diǎn)共線?=(1-t)·+t (O為平面內(nèi)任一點(diǎn),t∈R). [例2] (1)(2017·蕪
13、湖二模)已知向量a,b是兩個(gè)不共線的向量,若向量m=4a+b與n=a-λb共線,則實(shí)數(shù)λ的值為( ) A.-4 B.- C. D.4 (2)(2018·懷化一模)已知向量a,b不共線,向量=a+3b,=5a+3b,=-3a+3b,則( ) A.A,B,C三點(diǎn)共線 B.A,B,D三點(diǎn)共線 C.A,C,D三點(diǎn)共線 D.B,C,D三點(diǎn)共線 [解析] (1)因?yàn)橄蛄縜,b是兩個(gè)不共線的向量,所以若向量m=4a+b與n=a-λb共線,則4×(-λ)=1×1,解得λ=-,故選B. (2)因?yàn)椋剑?a+6b=2(a+3b)=2,所以,共線,又有公共點(diǎn)B,所以A,B,D三點(diǎn)共線.故選B
14、. [答案] (1)B (2)B [方法技巧] 平面向量共線定理的三個(gè)應(yīng)用 證明向量共線 對(duì)于非零向量a,b,若存在實(shí)數(shù)λ,使a=λb,則a與b共線 證明三點(diǎn)共線 若存在實(shí)數(shù)λ,使=λ,與有公共點(diǎn)A,則A,B,C三點(diǎn)共線 求參數(shù)的值 利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值 [提醒] 證明三點(diǎn)共線時(shí),需說(shuō)明共線的兩向量有公共點(diǎn). 1. (2018·長(zhǎng)春一模)在梯形ABCD中,=3,則=( ) A.-+ B.-+ C.-+ D.-- 解析:選A 因?yàn)樵谔菪蜛BCD中,=3,所以=++=-++=-+,故選A. 2.已知a,b是不共線的向
15、量,=λa+b,=a+μb,λ,μ∈R,則A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件為( ) A.λ+μ=2 B.λ-μ=1 C.λμ=-1 D.λμ=1 解析:選D ∵A,B,C三點(diǎn)共線,∴∥,設(shè)=m(m≠0),則λa+b=m(a+μb),∴ ∴λμ=1,故選D. 3.(2018·南寧模擬)已知e1,e2是不共線向量,a=me1+2e2,b=ne1-e2,且mn≠0,若a∥b,則=( ) A.- B. C.-2 D.2 解析:選C ∵a∥b,∴a=λb,即me1+2e2=λ(ne1-e2),則故=-2. 4.已知點(diǎn)M是△ABC的邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊AC上,且=2,則=( )
16、 A.+ B.+ C.+ D.+ 解析:選C 如圖,∵=2,∴=+=+=+(-)=+. 5.如圖,在△OAB中,P為線段AB上的一點(diǎn), =x+y,且=2,則( ) A.x=,y= B.x=,y= C.x=,y= D.x=,y= 解析:選A 由題意知=+,又=2,所以=+=+(-)=+,所以x=,y=. [全國(guó)卷5年真題集中演練——明規(guī)律] 1.(2015·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),=3,則( ) A.=-+ B.=- C.=+ D.=- 解析:選A?。剑剑剑?-)=-
17、=-+,故選A. 2.(2014·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)D,E,F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC,CA,AB的中點(diǎn),則+=( ) A. B. C. D. 解析:選A?。?+)+(+)= (+)=,故選A. 3.(2015·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)向量a,b不平行,向量λa+b與a+2b平行,則實(shí)數(shù)λ=________. 解析:∵λa+b與a+2b平行,∴λa+b=t(a+2b), 即λa+b=ta+2tb,∴解得 答案: [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] [小題對(duì)點(diǎn)練——點(diǎn)點(diǎn)
18、落實(shí)] 對(duì)點(diǎn)練(一) 平面向量的有關(guān)概念 1.若向量a與b不相等,則a與b一定( ) A.有不相等的模 B.不共線 C.不可能都是零向量 D.不可能都是單位向量 解析:選C 若a與b都是零向量,則a=b,故選項(xiàng)C正確. 2.設(shè)a0為單位向量,下列命題中:①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量,則a=|a|·a0;②若a與a0平行,則a=|a|a0;③若a與a0平行且|a|=1,則a=a0.假命題的個(gè)數(shù)是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析:選D 向量是既有大小又有方向的量,a與|a|a0的模相同,但方向不一定相同,故①是假命題;若a與a0平行,則a與a0的方向有兩種情況:一
19、是同向,二是反向,反向時(shí)a=-|a|a0,故②③也是假命題.綜上所述,假命題的個(gè)數(shù)是3. 3.已知a,b是非零向量,命題p:a=b,命題q:|a+b|=|a|+|b|,則p是q的____________條件. 解析:若a=b,則|a+b|=|2a|=2|a|,|a|+|b|=|a|+|a|=2|a|,即p?q.若|a+b|=|a|+|b|,由加法的運(yùn)算知a與b同向共線,即a=λb,且λ>0,故q?/ p.∴p是q的充分不必要條件. 答案:充分不必要 對(duì)點(diǎn)練(二) 平面向量的線性運(yùn)算 1.如圖,在平行四邊形ABCD中,E為DC邊的中點(diǎn),且=a,=b, 則=( ) A.b-a B.
20、a-b C.-a+b D.b+a 解析:選C?。剑剑璦+b+a=b-a,故選C. 2.已知向量a,b不共線,且c=λa+b,d=a+(2λ-1)b,若c與d反向共線,則實(shí)數(shù)λ的值為( ) A.1 B.- C.1或- D.-1或- 解析:選B 由于c與d反向共線,則存在實(shí)數(shù)k使c=kd(k<0),于是λa+b=k.整理得λa+b=ka+(2λk-k)b.由于a,b不共線,所以有整理得2λ2-λ-1=0,解得λ=1或λ=-.又因?yàn)閗<0,所以λ<0,故λ=-. 3.(2018·江西八校聯(lián)考)在△ABC中,P,Q分別是邊AB,BC上的點(diǎn),且AP=AB,BQ=BC.若=a,=b,則
21、=( ) A.a+b B.-a+b C.a-b D.-a-b 解析:選A?。剑剑剑?-)=+=a+b,故選A. 4.(2017·鄭州二模)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在線段BC上,且滿足BD=DC,過(guò)點(diǎn)D的直線分別交直線AB,AC于不同的兩點(diǎn)M,N,若=m,=n,則( ) A.m+n是定值,定值為2 B.2m+n是定值,定值為3 C.+是定值,定值為2 D.+是定值,定值為3 解析:選D 法一:如圖,過(guò)點(diǎn)C作CE平行于MN交AB于點(diǎn)E.由=n可得=,所以==,由BD=DC可得=,所以==,因?yàn)椋絤,所以m=,整理可得+=3. 法二:因?yàn)镸,D,N三點(diǎn)共線,所以=λ+(1
22、-λ)·.又=m,=n,所以=λm+(1-λ)·n.又=,所以-=-,所以=+.比較系數(shù)知λm=,(1-λ)n=,所以+=3,故選D. 5.(2018·銀川一模)設(shè)點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn),且+=2,則+=________. 解析:因?yàn)椋?,由平行四邊形法則知,點(diǎn)P為AC的中點(diǎn),故+=0. 答案:0 6.(2018·衡陽(yáng)模擬)在如圖所示的方格紙中,向量a,b,c的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn)(小正方形頂點(diǎn))上,若c與xa+yb(x,y為非零實(shí)數(shù))共線,則的值為_(kāi)_______. 解析:設(shè)e1,e2分別為水平方向(向右)與豎直方向(向上)的單位向量,則向量c=e1-2e2,a=2e1+
23、e2,b=-2e1-2e2,由c與xa+yb共線,得c=λ(xa+yb),所以e1-2e2=2λ(x-y)e1+λ(x-2y)e2,所以所以則的值為. 答案: 7.(2018·鹽城一模)在△ABC中,∠A=60°,∠A的平分線交BC于點(diǎn)D,若AB=4,且=+λ (λ∈R),則AD的長(zhǎng)為_(kāi)_______. 解析:因?yàn)锽,D,C三點(diǎn)共線,所以+λ=1,解得λ=,如圖,過(guò)點(diǎn)D分別作AC,AB的平行線交AB,AC于點(diǎn)M,N,則=,=,經(jīng)計(jì)算得AN=AM=3,AD=3. 答案:3 8.在直角梯形ABCD中,∠A=90°,∠B=30°,AB=2,BC=2,點(diǎn)E在線段CD上,若=+μ,則μ的取值范
24、圍是________. 解析:由題意可求得AD=1,CD=,所以=2. ∵點(diǎn)E 在線段CD上,∴=λ (0≤λ≤1). ∵=+, 又=+μ=+2μ=+, ∴=1,即μ=.∵0≤λ≤1,∴0≤μ≤, 即μ的取值范圍是. 答案: [大題綜合練——遷移貫通] 1.在△ABC中,D,E分別為BC,AC邊上的中點(diǎn),G為BE上一點(diǎn),且GB=2GE,設(shè)=a,=b,試用a,b表示, . 解:=(+)=a+b. =+=+=+(+) =+(-)=+=a+b. 2.已知a,b不共線,=a,=b, =c, =d, =e,設(shè)t∈R,如果3a=c,2b=d,e=t(a+b),是否存在實(shí)數(shù)
25、t使C,D,E三點(diǎn)在一條直線上?若存在,求出實(shí)數(shù)t的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 解:由題設(shè)知,=d-c=2b-3a,=e-c=(t-3)a+tb,C,D,E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k,使得=k,即(t-3)a+tb=-3ka+2kb, 整理得(t-3+3k)a=(2k-t)b. 因?yàn)閍,b不共線,所以有解得t=. 故存在實(shí)數(shù)t=使C,D,E三點(diǎn)在一條直線上. 3.如圖所示,在△ABC中,D,F(xiàn)分別是BC,AC的中點(diǎn),=,=a,=b. (1)用a,b表示向量,,,,; (2)求證:B,E,F(xiàn)三點(diǎn)共線. 解:(1)延長(zhǎng)AD到G,使=, 連接BG,CG,得到?ABGC,
26、如圖, 所以=+=a+b, ==(a+b),==(a+b),==b, =-=(a+b)-a=(b-2a), =-=b-a=(b-2a). (2)證明:由(1)可知=, 又因?yàn)?,有公共點(diǎn)B, 所以B,E,F(xiàn)三點(diǎn)共線. 第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn): 1.平面向量基本定理; 2.平面向量的坐標(biāo)表示. 突破點(diǎn)(一) 平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 其中,不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所
27、有向量的一組基底. 1.判斷題 (1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一組基底.( ) (2)在△ABC中,設(shè)=a,=b,則向量a與b的夾角為∠ABC.( ) (3)若a,b不共線,且λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,則λ1=λ2,μ1=μ2.( ) 答案:(1)× (2)× (3)√ 2.填空題 (1)設(shè)e1,e2是平面內(nèi)一組基底,若λ1e1+λ2e2=0,則λ1+λ2=________. 答案:0 (2)設(shè)e1,e2是平面內(nèi)一組基向量,且a=e1+2e2,b=-e1+e2,則2a-b=________. 答案:3e1+3e2 (3)(2018·嘉興測(cè)試)在△AB
28、C中,已知M是BC中點(diǎn),設(shè)=a,=b,則=________. 答案:-b+a 平面向量基本定理 [典例] (1)(2018·長(zhǎng)春模擬)如圖所示,下列結(jié)論正確的是( ) ①=a+b; ②=a-b; ③=a-b; ④=a+b. A.①② B.③④ C.①③ D.②④ (2)(2018·岳陽(yáng)質(zhì)檢)在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M,N分別為CD,BC的中點(diǎn).若=λ+μ,則λ+μ的值為( ) A. B. C. D. [解析] (1)①根據(jù)向量的加法法則,得=a+b,故①正確;②根據(jù)向量的減
29、法法則,得=a-b,故②錯(cuò)誤;③=+=a+b-2b=a-b,故③正確;④=+=a+b-b=a+b,故④錯(cuò)誤,故選C. (2)法一:連接AC(圖略),由=λ+μ,得=λ·(+)+μ·(+),則++=0,得++=0,得+=0.又,不共線,所以由平面向量基本定理得解得所以λ+μ=. 法二:根據(jù)題意作出圖形如圖所示,連接MN并延長(zhǎng),交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T,由已知易得AB=AT,所以==λ+μ,因?yàn)門,M,N三點(diǎn)共線,所以λ+μ=. [答案] (1)C (2)C [方法技巧] 平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路 (1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加
30、、減或數(shù)乘運(yùn)算. (2)用向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底,并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決. 1.(2018·泉州調(diào)研)若向量a,b不共線,則下列各組向量中,可以作為一組基底的是( ) A.a(chǎn)-2b與-a+2b B.3a-5b與6a-10b C.a(chǎn)-2b與5a+7b D.2a-3b與a-b 解析:選C 不共線的兩個(gè)向量可以作為一組基底.因?yàn)閍-2b與5a+7b不共線,故a-2b與5a+7b可以作為一組基底. 2.向量e1,e2,a,b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,則a-b=( ) A.-4e1-2e2 B.-2e
31、1-4e2 C.e1-3e2 D.3e1-e2 解析:選C 結(jié)合圖形易得,a=-e1-4e2,b=-2e1-e2,故a-b=e1-3e2. 3.如圖,正方形ABCD中,E為DC的中點(diǎn),若=λ+μ,則λ+μ的值為( ) A. B.- C.1 D.-1 解析:選A 由題意得=+=+-=-,∴λ=-,μ=1,∴λ+μ=,故選A. 4.(2018·湖南邵陽(yáng)一模)如圖, 在△ABC中,設(shè)=a,=b,AP的中點(diǎn)為Q,BQ的中點(diǎn)為R,CR的中點(diǎn)為P,若=ma+nb,則m+n=________. 解析:根據(jù)已知條件得,=- =-=(ma+nb)-a=a+b, =-=-+=-b+a=
32、a+b,∴=a+b, =a+b,=-a+b.∵+=,∴a+b=a+b,∴解得故m+n=. 答案: 突破點(diǎn)(二) 平面向量的坐標(biāo)表示 1.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)向量加法、減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的模 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則: a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=. (2)向量坐標(biāo)的求法 若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).一般地,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1). 2.平面向量共線的坐標(biāo)表示 設(shè)a=(x1,y1
33、),b=(x2,y2),其中b≠0,則a∥b?x1y2-x2y1=0. (1)已知a=(2,1),b=(-3,4),則3a+4b=________. 答案:(-6,19) (2)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),則m-n的值為_(kāi)_______. 解析:∵ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8), ∴∴∴m-n=2-5=-3. 答案:-3 (3)若AC為平行四邊形ABCD的一條對(duì)角線,=(2,4),=(1,3),則=________. 答案:(-1,-1) (4)若三點(diǎn)A(1,-5),B(a,-2),C(-2,-
34、1)共線,則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_______. 解析:=(a-1,3),=(-3,4),據(jù)題意知∥,∴4(a-1)=3×(-3),即4a=-5,∴a=-. 答案:- 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 [例1] (1)(2018·紹興模擬)已知點(diǎn)M(5,-6)和向量a=(1,-2),若=-3a,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為( ) A.(2,0) B.(-3,6) C.(6,2) D.(-2,0) (2)在△ABC中,點(diǎn)P在BC上,且=2,點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn),若 =(4,3),=(1,5),則=________. [解析] (1)=-3a=-3(1,-2)=(
35、-3,6), 設(shè)N(x,y),則=(x-5,y+6)=(-3,6), 所以即 (2)=-=(-3,2), ∴=2=(-6,4).=+=(-2,7), ∴=3=(-6,21). [答案] (1)A (2)(-6,21) [方法技巧] 平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧 (1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行,若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求向量的坐標(biāo). (2)解題過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則. 平面向量共線的坐標(biāo)表示 [例2] 已知a=(1,0),b=(2,1). (1)當(dāng)k為何值時(shí),ka-b與a+2b共線; (2)若=2a+3b,
36、=a+mb,且A,B,C三點(diǎn)共線,求m的值. [解] (1)∵a=(1,0),b=(2,1), ∴ka-b=k(1,0)-(2,1)=(k-2,-1),a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2), ∵ka-b與a+2b共線, ∴2(k-2)-(-1)×5=0,∴k=-. (2)=2(1,0)+3(2,1)=(8,3),=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m). ∵A,B,C三點(diǎn)共線,∴∥, ∴8m-3(2m+1)=0,∴m=. [方法技巧] 向量共線的坐標(biāo)表示中的乘積式和比例式 (1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?x1y2-x2y1=0,這
37、是代數(shù)運(yùn)算,用它解決平面向量共線問(wèn)題的優(yōu)點(diǎn)在于不需要引入?yún)?shù)“λ”,從而減少了未知數(shù)的個(gè)數(shù),而且它使問(wèn)題的解決具有代數(shù)化的特點(diǎn)和程序化的特征. (2)當(dāng)x2y2≠0時(shí),a∥b?=,即兩個(gè)向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例,這種形式不易出現(xiàn)搭配錯(cuò)誤. (3)公式x1y2-x2y1=0無(wú)條件x2y2≠0的限制,便于記憶;公式=有條件x2y2≠0的限制,但不易出錯(cuò).所以我們可以記比例式,但在解題時(shí)改寫(xiě)成乘積的形式. 1.若向量a=(2,1),b=(-1,2),c=,則c可用向量a,b表示為( ) A.a+b B.-a-b C.a+b D.a-b 解析:選A 設(shè)c=xa+yb,則=(2x-
38、y,x+2y),所以解得則c=a+b. 2.已知平行四邊形ABCD中,=(3,7),=(-2,3),對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O,則的坐標(biāo)為( ) A. B. C. D. 解析:選D?。剑?-2,3)+(3,7)=(1,10).∴==.∴=. 3.(2018·豐臺(tái)期末)已知向量a=(3,-4),b=(x,y),若a∥b,則( ) A.3x-4y=0 B.3x+4y=0 C.4x+3y=0 D.4x-3y=0 解析:選C 由平面向量共線基本定理可得3y+4x=0,故選C. 4.(2018·江西四校聯(lián)考)已知向量a=(,1),b=(0,-1),c=(k,).若a-2b與c共線
39、,則k=________. 解析:由題意得,a-2b=(,3),由a-2b與c共線,得×-3k=0,解得k=1. 答案:1 [全國(guó)卷5年真題集中演練——明規(guī)律] 1.(2015·全國(guó)卷Ⅰ)已知點(diǎn)A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),則向量=( ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) 解析:選A 設(shè)C(x,y),則=(x,y-1)=(-4,-3), 所以解得 從而=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4).故選A. 2.(2016·全國(guó)卷Ⅱ)已
40、知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,則m=________. 解析:∵a=(m,4),b=(3,-2),a∥b,∴-2m-4×3=0.∴m=-6. 答案:-6 [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] [小題對(duì)點(diǎn)練——點(diǎn)點(diǎn)落實(shí)] 對(duì)點(diǎn)練(一) 平面向量基本定理 1.(2018·珠海一模)如圖,設(shè)O是平行四邊形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn),給出下列向量組: ①與;②與; ③與;④與. 其中可作為該平面內(nèi)其他向量的基底的是( ) A.①② B.①③ C.①④ D.③
41、④ 解析:選B?、僦?,不共線;③中,不共線.②④中的兩向量共線,因?yàn)槠矫鎯?nèi)兩個(gè)不共線的非零向量構(gòu)成一組基底,所以選B. 2.(2018·山西太原質(zhì)檢)在△ABC中,M為邊BC上任意一點(diǎn),N為AM的中點(diǎn),=λ+μ,則λ+μ的值為( ) A. B. C. D.1 解析:選A 設(shè)=t,則==(+)=+=+=+(-)=+,∴λ=-,μ=,∴λ+μ=,故選A. 3.(2018·湖南四大名校聯(lián)考)在平行四邊形ABCD中,AC與BD相交于點(diǎn)O,E是線段OD的中點(diǎn),AE的延長(zhǎng)線與CD交于點(diǎn)F.若=a,=b,則=( ) A.a+b B.a+b C.a+b D.a+b 解析:選C 如
42、圖,根據(jù)題意,得=+=(a-b),=+=(a+b). 令=t,則=t(+)=t=a+b.由=+,令=s,又=(a+b),=a-b,所以=a+b,所以解方程組得把s代入即可得到=a+b,故選C. 4.(2018·山東濰坊一模)若M是△ABC內(nèi)一點(diǎn),且滿足+=4,則△ABM與△ACM的面積之比為( ) A. B. C. D.2 解析:選A 設(shè)AC的中點(diǎn)為D,則+=2,于是2=4,從而=2,即M為BD的中點(diǎn),于是===. 5.(2018·湖北黃石質(zhì)檢)已知點(diǎn)G是△ABC的重心,過(guò)G作一條直線與AB,AC兩邊分別交于M,N兩點(diǎn),且=x,=y(tǒng),則的值為( ) A. B. C.
43、2 D.3 解析:選B 由已知得M,G,N三點(diǎn)共線,∴=λ+(1-λ)=λx+(1-λ)y.∵點(diǎn)G是△ABC的重心,∴=×(+)=·(+),∴即得+=1,即+=3,通分變形得,=3,∴=. 對(duì)點(diǎn)練(二) 平面向量的坐標(biāo)表示 1.(2018·福州一模)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),則2a+b=( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9) 解析:選D 2a+b=2(2,4)+(-1,1)=(3,9),故選D. 2.(2018·河北聯(lián)考)已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),若a∥b,則2a+3b=( ) A.(-5,-10) B
44、.(-2,-4) C.(-3,-6) D.(-4,-8) 解析:選D 由a∥b,得m+4=0,即m=-4,所以2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8). 3.(2018·吉林白城模擬)已知向量a=(2,3),b=(-1,2),若ma+nb與a-2b共線,則=( ) A. B.2 C.- D.-2 解析:選C 由向量a=(2,3),b=(-1,2),得ma+nb=(2m-n,3m+2n),a-2b=(4,-1).由ma+nb與a-2b共線,得=,所以=-,故選C. 4.(2018·河南六市聯(lián)考)已知點(diǎn)A(1,3),B(4,-1),則與同方向的單位向量是(
45、) A. B. C. D. 解析:選A 因?yàn)椋?3,-4),所以與同方向的單位向量為=. 5.設(shè)向量a=(1,-3),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形,則向量d=( ) A.(2,6) B.(-2,6) C.(2,-6) D.(-2,-6) 解析:選D 設(shè)d=(x,y),由題意知4a=(4,-12),4b-2c=(-6,20),2(a-c)=(4,-2),又4a+4b-2c+2(a-c)+d=0,所以(4,-12)+(-6,20)+(4,-2)+(x,y)=(0,0),解得x=-2,y=-6,所以
46、d=(-2,-6). 6.(2017·南昌二模)已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中,P1(3,1),P2(-1,3),P1,P2,P3三點(diǎn)共線且向量與向量a=(1,-1)共線,若=λ+(1-λ) ,則λ=( ) A.-3 B.3 C.1 D.-1 解析:選D 設(shè)=(x,y),則由∥a知x+y=0,于是=(x,-x).若=λ+(1-λ),則有(x,-x)=λ(3,1)+(1-λ)(-1,3)=(4λ-1,3-2λ),即所以4λ-1+3-2λ=0,解得λ=-1,故選D. 7.(2018·河南中原名校聯(lián)考)已知a=(1,3),b=(m,2m-3),平面上任意向量c都可以唯一地表示為c=λa+μ
47、b(λ,μ∈R),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是( ) A.(-∞,0)∪(0,+∞) B.(-∞,3) C.(-∞,-3)∪(-3,+∞) D.[-3,3) 解析:選C 根據(jù)平面向量基本定理,得向量a,b不共線,∵a=(1,3),b=(m,2m-3),∴2m-3-3m≠0,∴m≠-3.故選C. [大題綜合練——遷移貫通] 1.(2018·皖南八校模擬)如圖,∠AOB=,動(dòng)點(diǎn)A1,A2與B1,B2分別在射線OA,OB上,且線段A1A2的長(zhǎng)為1,線段B1B2的長(zhǎng)為2,點(diǎn)M,N分別是線段A1B1,A2B2的中點(diǎn). (1)用向量與表示向量; (2)求向量的模. 解:(1)=++,
48、=++,兩式相加,并注意到點(diǎn)M,N分別是線段A1B1,A2B2的中點(diǎn),得=(+). (2)由已知可得向量與的模分別為1與2,夾角為, 所以·=1,由=(+)得 ||= = =. 2.已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),設(shè)=a,=b,=c,有=3c, =-2b,求: (1)3a+b-3c; (2)滿足a=mb+nc的實(shí)數(shù)m,n; (3)M,N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo). 解:由已知得a=(5,-5),b=(-6,-3),c=(1,8), (1)3a+b-3c=3(5,-5)+(-6,-3)-3(1,8) =(15-6-3,-15-3-24)=(6,-42).
49、(2)∵mb+nc=(-6m+n,-3m+8n), ∴解得 (3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),∵=-=3c,∴=3c+=(3,24)+(-3,-4)=(0,20),∴M的坐標(biāo)為(0,20).又=-=-2b,∴=-2b+=(12,6)+(-3,-4)=(9,2),∴N的坐標(biāo)為(9,2).故=(9-0,2-20)=(9,-18). 3.已知三點(diǎn)A(a,0),B(0,b),C(2,2),其中a>0,b>0. (1)若O是坐標(biāo)原點(diǎn),且四邊形OACB是平行四邊形,試求a,b的值; (2)若A,B,C三點(diǎn)共線,試求a+b的最小值. 解:(1)因?yàn)樗倪呅蜲ACB是平行四邊形,所以=,即(a,0)=(2,2-
50、b),解得 (2)因?yàn)椋?-a,b),=(2,2-b), 由A,B,C三點(diǎn)共線,得∥, 所以-a(2-b)-2b=0,即2(a+b)=ab, 因?yàn)閍>0,b>0,所以2(a+b)=ab≤2, 即(a+b)2-8(a+b)≥0,解得a+b≥8或a+b≤0. 因?yàn)閍>0,b>0, 所以a+b≥8,即當(dāng)且僅當(dāng)a=b=4時(shí),a+b取最小值為8. 第三節(jié) 平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用 本節(jié)主要包括3個(gè)知識(shí)點(diǎn): 1.平面向量的數(shù)量積;2.平面向量數(shù)量積的應(yīng)用; 3.平面向量與其他知識(shí)的綜合問(wèn)題. 突破點(diǎn)(一) 平面向量的數(shù)量積 1.向量的夾角 (1)定義
51、:已知兩個(gè)非零向量a和b,作=a,=b,則∠AOB就是向量a與b的夾角. (2)范圍:設(shè)θ是向量a與b的夾角,則0°≤θ≤180°. (3)共線與垂直:若θ=0°,則a與b同向;若θ=180°,則a與b反向;若θ=90°,則a與b垂直. 2.平面向量的數(shù)量積 (1)定義:已知兩個(gè)非零向量a與b,它們的夾角為θ,則數(shù)量|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積),記作a·b,即a·b=|a||b|cos θ,規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0,即0·a=0. (2)幾何意義:數(shù)量積a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積. (3)坐標(biāo)表示:若a=(x1
52、,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2. 3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)a·b=b·a(交換律). (2)λa·b=λ(a·b)=a·(λb)(結(jié)合律). (3)(a+b)·c=a·c+b·c(分配律). 1.判斷題 (1)在△ABC中,向量與的夾角為∠B.( ) (2)0·=0.( ) (3)若a與b共線,則a·b=|a||b|.( ) (4)(a-b)·c=a·(b·c).( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)× 2.填空題 (1)已知|a|=5,|b|=4,a與b的夾角為120°,則a·b=________.
53、答案:-10 (2)已知向量a與b的夾角為60°,|a|=1,|b|=3,則a·b=________. 答案: (3)已知向量a,b滿足|a|=|b|=2且a·b=-2,則向量a與b的夾角為_(kāi)_______. 答案: 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 1.利用坐標(biāo)計(jì)算數(shù)量積的步驟 第一步,根據(jù)共線、垂直等條件計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo),求解過(guò)程要注意方程思想的應(yīng)用; 第二步,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行運(yùn)算即可. 2.根據(jù)定義計(jì)算數(shù)量積的兩種思路 思路一 若兩個(gè)向量共起點(diǎn),則兩向量的夾角直接可得,根據(jù)定義即可求得數(shù)量積;若兩向量的起點(diǎn)不同,需要通過(guò)平移使它們的起點(diǎn)重合,然后再
54、計(jì)算 思路二 根據(jù)圖形之間的關(guān)系,用長(zhǎng)度和相互之間的夾角都已知的向量分別表示出要求數(shù)量積的兩個(gè)向量,然后再根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解 [典例] (1)(2018·商丘模擬)在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中,設(shè)=a,=b,=c,則a·b+b·c+c·a=( ) A.- B.0 C. D.3 (2)如圖,平行四邊形ABCD中,AB=2,AD=1,A=60°,點(diǎn)M在AB邊上,且AM=AB,則·=________. [解析] (1)依題意有a·b+b·c+c·a=1×1×+1×1×+1×1×=-. (2)因?yàn)椋剑剑?,=+,所以·?/p>
55、·(+)=||2+||2+·=1+-·=-||·||·cos 60°=-×1×2×=1. [答案] (1)A (2)1 [易錯(cuò)提醒] (1)解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題時(shí),一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ). (2)兩向量a,b的數(shù)量積a·b與代數(shù)中a,b的乘積寫(xiě)法不同,不能省略掉其中的“·”. 1.已知|a|=6,|b|=3,向量a在b方向上的投影是4,則a·b為( ) A.12 B.8 C.-8 D.2 解析:選A ∵|a|cos〈a,b〉=4,|b|=3,∴a·b=|a||b|·cos〈a,b〉=3×4=12. 2.設(shè)x∈R,
56、向量a=(1,x),b=(2,-4),且a∥b,則a·b=( ) A.-6 B. C. D.10 解析:選D ∵a=(1,x),b=(2,-4)且a∥b, ∴-4-2x=0,x=-2,∴a=(1,-2),a·b=10,故選D. 3.(2018·重慶適應(yīng)性測(cè)試)設(shè)單位向量e1,e2的夾角為,a=e1+2e2,b=2e1-3e2,則b在a方向上的投影為( ) A.- B.- C. D. 解析:選A 依題意得e1·e2=1×1×cos =-,|a|===, a·b=(e1+2e2)·(2e1-3e2)=2e-6e+e1·e2=-,因此b在a方向上的投影為==-,故選A.
57、 4.(2018·成都模擬)已知菱形ABCD邊長(zhǎng)為2,∠B=,點(diǎn)P滿足=λ,λ∈R,若·=-3,則λ的值為( ) A. B.- C. D.- 解析:選A 法一:由題意可得·=2×2cos =2, ·=(+) ·(-) =(+)·[(-)-] =(+)·[(λ-1)·-] =(1-λ)2-·+(1-λ)·-2 =(1-λ)·4-2+2(1-λ)-4 =-6λ=-3, ∴λ=,故選A. 法二:建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則B(2,0),C(1,),D(-1,). 令P(x,0),由·=(-3,)·(x-1,-)=-3x+3-3=-3x=-3得x=1. ∵=λ,∴λ=.
58、故選A. 突破點(diǎn)(二) 平面向量數(shù)量積的應(yīng)用 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 設(shè)非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ=〈a,b〉. 幾何表示 坐標(biāo)表示 模 |a|= |a|= 夾角 cos θ= cos θ= a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2=0 |a·b|與 |a||b|的 關(guān)系 |a·b|≤|a||b| |x1x2+y1y2|≤ · (1)已知平面向量a=(2,4),b=(1,-2),若c=a+b,則|c|=________. 答案: (2)已知向量a=(1,),b=(,1),則a與b夾角的大
59、小為_(kāi)_______. 解析:由題意得|a|==2,|b|==2,a·b=1×+×1=2.設(shè)a與b的夾角為θ,則cos θ==.∵θ∈[0,π],∴θ=. 答案: (3)已知向量a=(1,t),b=(6,-4).若a⊥b,則實(shí)數(shù)t的值為_(kāi)_______. 答案:- 平面向量的垂直問(wèn)題 [例1] (1)(2018·安徽蚌埠一模)已知非零向量m,n滿足3|m|=2|n|,它們的夾角θ=60°.若n⊥(tm+n),則實(shí)數(shù)t的值為( ) A.3 B.-3 C.2 D.-2 (2)平面四邊形ABCD中,+=0,(-)·=0
60、,則四邊形ABCD是( ) A.矩形 B.正方形 C.菱形 D.梯形 [解析] (1)由題意得cos θ=. ∵n⊥(tm+n),∴n·(tm+n)=tm·n+n2=t|m||n|×+|n|2=|n|2+|n|2=0,解得t=-3.故選B. (2)因?yàn)椋?,所以=-=,所以四邊形ABCD是平行四邊形.又(-)·=·=0,所以四邊形對(duì)角線互相垂直,所以四邊形ABCD是菱形. [答案] (1)B (2)C [方法技巧] 平面向量垂直問(wèn)題的類型及求解方法 (1)判斷兩向量垂直 第一,計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo); 第二,根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式,計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可
61、. (2)已知兩向量垂直求參數(shù) 根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件,列出相應(yīng)的關(guān)系式,進(jìn)而求解參數(shù). [提醒] 注意x1y2-x2y1=0與x1x2+y1y2=0不同,前者是兩向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共線的充要條件,后者是它們垂直的充要條件. 平面向量模的相關(guān)問(wèn)題 [例2] (1)(2018·合肥模擬)已知不共線的兩個(gè)向量a,b滿足|a-b|=2且a⊥(a-2b),則|b|=( ) A. B.2 C.2 D.4 (2)在△ABC中,若A=120°,·=-1,則||的最小值是( ) A. B.2 C. D.6 [解析] (1)由a⊥(a-2b)得a
62、·(a-2b)=|a|2-2a·b=0.又|a-b|=2,所以|a-b|2=|a|2-2a·b+|b|2=4,則|b|2=4,|b|=2,故選B. (2)因?yàn)椤ぃ剑?,所以||·||·cos 120°=-1,即||·||=2,所以||2=|-|2=2-2·+2≥2||·||-2·=6,當(dāng)且僅當(dāng)||=||時(shí)等號(hào)成立,所以||min=. [答案] (1)B (2)C [方法技巧] 求向量模的常用方法 (1)若向量a是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的,求向量a的??芍苯永霉絴a|=. (2)若向量a,b是以非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的,求向量a的??蓱?yīng)用公式|a|2=a2=a·a,或|a±b|2=(a±b)2=
63、a2±2a·b+b2,先求向量模的平方,再通過(guò)向量數(shù)量積的運(yùn)算求解. 平面向量的夾角問(wèn)題 [例3] (1)(2018·泰安質(zhì)檢)已知非零向量a,b滿足|a|=|b|=|a+b|,則a與2a-b夾角的余弦值為( ) A. B. C. D. (2)已知單位向量e1與e2的夾角為α,且cos α=,向量a=3e1-2e2與b=3e1-e2的夾角為β,則cos β=________. [解析] (1)不妨設(shè)|a|=|b|=|a+b|=1,則|a+b|2=a2+b2+2a·b=2+2a·b=1,所以a·b=-,所以a·(2a-b)=2a2-a·b=,又|a|=1,|2a-
64、b|===,所以a與2a-b夾角的余弦值為==. (2)∵a2=(3e1-2e2)2=9+4-2×3×2×=9, b2=(3e1-e2)2=9+1-2×3×1×=8, a·b=(3e1-2e2)·(3e1-e2)=9+2-9×1×1×=8,∴cos β===. [答案] (1)D (2) [方法技巧] 求解兩個(gè)非零向量之間的夾角的步驟 第一步 由坐標(biāo)運(yùn)算或定義計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積 第二步 分別求出這兩個(gè)向量的模 第三步 根據(jù)公式cos θ==求解出這兩個(gè)向量夾角的余弦值 第四步 根據(jù)兩個(gè)向量夾角的范圍是[0,π]及其夾角的余弦值,求出這兩個(gè)向量的夾角 1
65、.(2017·懷柔二模)已知a=(1,2),b=(-1,),則a·b+|b|=( ) A.1 B.1+ C.1+2 D.2 解析:選C 因?yàn)閍·b=(1,2)·(-1,)=-1+2,|b|=2,所以a·b+|b|=-1+2+2=1+2. 2.(2018·遼寧沈陽(yáng)一模)已知平面向量a=(k,3),b=(1,4).若a⊥b,則實(shí)數(shù)k=( ) A.-12 B.12 C. D. 解析:選A ∵平面向量a=(k,3),b=(1,4),a⊥b,∴a·b=k+12=0,解得k=-12.故選A. 3.(2018·河北廊坊期末)已知|a|=2,向量a在向量b上的投影為,則a與b的夾角為(
66、 ) A. B. C. D. 解析:選B 設(shè)向量a與向量b的夾角為θ,則a在b上的投影為|a|cos θ=2cos θ.∵a在b上的投影為,∴cos θ=.∵θ∈[0,π],∴θ=.故選B. 4.(2018·上海普陀區(qū)一模)設(shè)θ是兩個(gè)非零向量a,b的夾角,若對(duì)任意實(shí)數(shù)t,|a+tb|的最小值為1,則下列判斷正確的是( ) A.若|a|確定,則θ唯一確定 B.若|b|確定,則θ唯一確定 C.若θ確定,則|b|唯一確定 D.若θ確定,則|a|唯一確定 解析:選D 設(shè)g(t)=(a+tb)2=b2t2+2ta·b+a2,則Δ=4(a·b)2-4b2·a2<0恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)t=-=-時(shí),g(t)取得最小值1,∴b2×-2a·b×+a2=1,化簡(jiǎn)得a2sin2θ=1,所以當(dāng)θ確定時(shí),|a|唯一確定. 5.(2018·惠州一模)若O為△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn),且滿足(-)·(+-2)=0,則△ABC的形狀為( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等邊三角形 D.等腰直角三角形 解析:選A 因?yàn)?-)·(+-2)=0,即·(+)=0,(-)·(+)=0,即
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