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1、2022年高三數(shù)學(xué)第一次模擬考試試題 理(V) 試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，時間120分鐘 第Ⅰ卷 一、選擇題：本大題12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合 題目要求的。 （第1題圖） 3 1. 已知全集R，集合，，則圖中陰影部分所表示的集合為( ) A． B． C． D． 2. 設(shè)復(fù)數(shù)（是正實數(shù)），且，則等于( ) A． B． C． D． 3. 以下四

2、個命題，正確的是 ( ) ①從勻速傳遞的產(chǎn)品生產(chǎn)流水線上，質(zhì)檢員每分鐘從中抽取一件產(chǎn)品進(jìn)行某項指標(biāo)檢測，這樣的抽樣是分層抽樣. ②兩個隨機(jī)變量相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于. ③在回歸直線方程中，當(dāng)變量x每增加一個單位時，變量平均增加單位. ④對分類變量與,它們的隨機(jī)變量,的觀測值來說,越小，“與有關(guān)系”的把握程度越大. A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 4. 已知，由如右程序框圖輸出的( ) A． B． C． D． 5．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖， 則在該幾何體中

3、，最長的棱與最短的棱所成角的余弦值是( ) A． B． 　 C． D． 6． 函數(shù)，則滿足的實數(shù)的取值范圍是( ) A． B． C． D． 7．某公司將名員工分配至個不同的部門，每個部門至少分配一名員工，其中甲、乙兩名員工必須 分配在同一個部門的不同分配方法數(shù)為( ) A． B． Ｃ． D． 8． 函數(shù)的兩條相鄰的對稱軸之間的距離為，若其圖象向右平移 個單位后得到的函數(shù)為奇函數(shù)，則函數(shù)（ ） A．關(guān)于點(diǎn)對稱

4、 B．關(guān)于點(diǎn)對稱 C．關(guān)于直線對稱 D．關(guān)于直線對稱 9．設(shè)等差數(shù)列滿足，且，為其前項和，則數(shù)列的最大項為( )　 A． B． C． D． 10．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別，，若雙曲線上存在點(diǎn)，使得，則該曲線的離心率的取值范圍是( ) A． B． C． D． 11．如圖，已知正方體棱長為,點(diǎn)在棱上，且， 在側(cè)面內(nèi)作邊長為的正方形,是側(cè)面內(nèi)一動點(diǎn)且 點(diǎn)到平面距離等于線段的長，則當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動時，的最小 值是( ) A． B．

5、 C． D． 12．已知為常數(shù)，函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，（）( ) A．， B．， C． ， D． ， 第Ⅱ卷 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分 13. 展開式中只有第六項二項式系數(shù)最大，則展開式中的常數(shù)項是___________． 14. 過平面區(qū)域內(nèi)一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，記 ，則當(dāng)角最小時的值為 . 15．在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是橢圓上動點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，且， 則線段在軸上的投影的最大值為____________． 16．已知數(shù)列的通項公式為，數(shù)列的通項公式為

6、，設(shè) ，若在數(shù)列中，，則實數(shù)的取值范圍是_____. 三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟． 17．（本小題滿分12分） 已知函數(shù) （Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間； （Ⅱ）在中，內(nèi)角的對邊為， 已知,,，求的面積. 18．（本小題滿分12分） 　 每逢節(jié)假日，在微信好友群發(fā)紅包逐漸成為一種時尚。xx年春節(jié)期間，小張在自己的微信校友 群，向在線的甲、乙、丙、丁四位校友隨機(jī)發(fā)放紅包，發(fā)放的規(guī)則為：每次發(fā)放1個，每個人搶到的概率相同。 （Ⅰ）若小張隨機(jī)發(fā)放了3個紅包，求甲至少得到1個紅包的概率； （Ⅱ）小張在丁離線后隨機(jī)發(fā)放了3個

7、紅包，其中2個紅包中各有5元，1個紅包中有10元，記 乙所得紅包的總錢數(shù)為 元，求 的分布列和數(shù)學(xué)期望。 19．（本題滿分12分） 如圖，在四棱錐中，，，且，，. 和分別是棱和的中點(diǎn). （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求直線與平面所成的角的正弦值. 20．（本題滿分12分） 設(shè)橢圓：，其中長軸是短軸長的倍，過焦點(diǎn)且垂直于軸的直線被橢圓截得的弦長為。 （I）求橢圓的方程； （II）點(diǎn)是橢圓上動點(diǎn)，且橫坐標(biāo)大于，點(diǎn)，在軸上， 內(nèi)切于，試判斷點(diǎn)的橫坐標(biāo)為何值時的面積最小。 21．（本題滿分12分） 已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)). （I）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （II

8、）若，且方程在內(nèi)有解，求實數(shù)的取值范圍. P A B C D E 22題圖 O 請考生在第22、23、24題中任選一題作答。若多做，則按所做的第一題計分。 22．（本小題滿分10分）選修4—1：幾何證明選講 如圖，內(nèi)接于直徑為的圓，過點(diǎn)作圓的切線交的延長線于點(diǎn)，的平分線分別交和圓于點(diǎn)，若 . （1）求證：； （2）求的值. 23．（本小題10分）選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 已知曲線的極坐標(biāo)方程是．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸， 建立平面直角坐標(biāo)系，直線的參數(shù)方程是是參數(shù) （1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；

9、 （2）若直線與曲線相交于、兩點(diǎn)，且，求直線的傾斜角的值． 24．（本小題滿分10分）選修4—5：不等式選講 已知函數(shù)． （I）當(dāng)時，解不等式； （II）若存在實數(shù)，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍． 絕密★啟用前 鷹潭市xx屆高三第一次模擬考試 數(shù)學(xué)(理科)答案 一、選擇題：1—5 DCBAD 6 —10 CCCCD 11—12 BA 二、填空題： 13． 14． 15． 16． 三、解答題： 17．解：解：= == =

10、 ……………………3分 令， 的單調(diào)遞增區(qū)間為：……………5分 （2）由，又 因此，解得： ………………7分 由正弦定理，得， 又由可得：……………10分 故 …………12分 18．解（1）設(shè)“甲至少得1紅包”為時間A，由題意得： ………………4分 （2）由題意知可能取值為?！?分 , , , …………………10分 所以分布列為 …………………12分 19. 解：（1）∵為中點(diǎn)，，∴.

11、 又∵，∴四邊形為平行四邊形. 又∵，∴，∴四邊形為矩形，∴. 又∵，，∴平面. 又∵，∴平面.∵平面，∴. 又∵，∴.又∵平面. 又∵平面，∴.………………………………5分 （2）設(shè)直線與平面所成的角為. 由（1），知平面，∴以為原點(diǎn)，為軸， 為軸，平面內(nèi)的垂線為軸建立空間直角坐標(biāo)系， 如圖所示.∵，∴，又∵， ，，∴. ∴點(diǎn)到軸的距離為.∴，同時知，.又∵，，∴. ∴，.………………………………8分… 設(shè)平面的一個法向量為， 則即 令，則..………………………………10分 又，∴ ..………………………………12分 20. 解: （I）由已知，解得

12、：，故所求橢圓方程為： …………………………3分 （II）設(shè)，.不妨設(shè)，則直線的 方程為，即，又圓心到 直線的距離為，即，，化簡得 ，…………………………5分 同理，所以是方程 的兩個根，所以，， 則………………………7分 因為是橢圓上的點(diǎn)，所以，， 則， …………………………9分 令，則，令化簡 ，則， 令，得，而，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減， 當(dāng)即即點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時，的面積最小。 …………………………12分 21. 解: （I）當(dāng)，，……1分 令，得，. 當(dāng)時，.………………2分 當(dāng)，時，，或時，…………………3分 當(dāng)，時，，或時，. 時

13、，的單調(diào)遞減區(qū)間為； 時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為，； 時，的單調(diào)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為， ……………………………4分. （II）由得，， 由得，設(shè)， 則在內(nèi)有零點(diǎn).設(shè)為在內(nèi)的一個零點(diǎn)， 則由知在區(qū)間和上不可能單調(diào). 設(shè)，則在區(qū)間和上均存在零點(diǎn)，即在上至少有兩個零點(diǎn)……………………………5分. ，. 當(dāng)時，，在區(qū)間上遞增，不可能有兩個及以上零點(diǎn)； ……………………………6分. 當(dāng)時，，在區(qū)間上遞減，不可能有兩個及以上零點(diǎn)； ……………………………7分. 當(dāng)時，令得，所以在區(qū)間上遞減，在上遞增，在區(qū)間上存在最小值.…………………………… 8分 若有兩個零點(diǎn)，則有

14、：，，.……………………… 9分 設(shè)，則，令，得. 當(dāng)時，，遞增， 當(dāng)時，，遞減， ，所以恒成立. …………………10分 由，，得. 當(dāng)時，設(shè)的兩個零點(diǎn)為，則在遞增，在 遞減，在遞增，所以，，則在內(nèi)有零點(diǎn). 綜上，實數(shù)的取值范圍是.…………………12分 22. 選修4—1：幾何證明選講 解:（1）∵PA是圓O的切線 ∴ 又是公共角 ∴∽ ………2分 ∴ ∴ ………4分 （2）由切割線定理得：

15、 ∴ 又PB=5 ∴ ………6分 又∵AD是的平分線 ∴ ∴ ∴ ………8分 又由相交弦定理得： ………10分 23.選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 解:（1）由得 …………4分 （2）將代入圓的方程得， 化簡得. …………6分 設(shè)、兩點(diǎn)對應(yīng)的參數(shù)分別為、,則, ,…………9分 ,,或.…………10分 24. 選修4—5：不等式選講 解:（I）當(dāng)時，…………………2分 等價于或或，…………………4分 解得或， 不等式的解集為.…………………5分 （II）由不等式性質(zhì)可知 ……………………7分 若存在實數(shù)，使得不等式成立，則………………9分 解得，實數(shù)的取值范圍是.……………………10分