《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第十章 計數(shù)原理與古典概率 3 第3講 二項式定理教學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（浙江專用）2021版新高考數(shù)學一輪復習 第十章 計數(shù)原理與古典概率 3 第3講 二項式定理教學案（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第3講　二項式定理 1．二項式定理 (1)定理： (a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)． (2)通項： 第k＋1項為Tk＋1＝Can－kbk． (3)二項式系數(shù)： 二項展開式中各項的二項式系數(shù)為：C(k＝0，1，2，…，n)． 2．二項式系數(shù)的性質 [疑誤辨析] 判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)(a＋b)n的展開式中的第r項是Can－rbr.(　　) (2)在二項展開式中，系數(shù)最大的項為中間一項或中間兩項．(　　) (3)在(a＋b)n的展開式中，每一項的二項式系數(shù)與a，b無關．(　　) (4)

2、通項Tr＋1＝Can－rbr中的a和b不能互換．(　　) (5)(a＋b)n展開式中某項的系數(shù)與該項的二項式系數(shù)相同．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)× [教材衍化] 1．(選修2-3P31例2(1)改編)(1＋2x)5的展開式中，x2的系數(shù)為________． 解析：Tk＋1＝C(2x)k＝C2kxk，當k＝2時，x2的系數(shù)為C·22＝40. 答案：40 2．(選修2-3P31例2(2)改編)若展開式的二項式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項為________． 解析：二項式系數(shù)之和2n＝64，所以n＝6，Tk＋1＝C·x6－k·＝Cx6－2k，當

3、6－2k＝0，即當k＝3時為常數(shù)項，T4＝C＝20. 答案：20 3．(選修2-3P41B組T5改編)若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a2＋a4的值為________． 解析：令x＝1，則a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，則a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，兩式相加得a0＋a2＋a4＝8. 答案：8 [易錯糾偏] (1)混淆“二項式系數(shù)”與“系數(shù)”致誤； (2)配湊不當致誤． 1．在二項式的展開式中，所有二項式系數(shù)的和是32，則展開式中各項系數(shù)的和為________． 解析：由題意得2n＝32，所以n＝5.令x＝1，得各項系數(shù)

4、的和為(1－2)5＝－1. 答案：－1 2．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，則a8＝________． 解析：因為(1＋x)10＝[2－(1－x)]10，所以其展開式的通項公式為Tr＋1＝(－1)r210－r·C(1－x)r，令r＝8，得a8＝4C＝180. 答案：180 　　　　　　二項展開式中的特定項或特定項的系數(shù)(高頻考點) 二項式定理是高中數(shù)學中的一個重要知識點，也是高考命題的熱點，多以選擇題、填空題的形式呈現(xiàn)，試題多為容易題或中檔題．主要命題角度有： (1)求展開式中的某一項； (2)求展開式中的項的系數(shù)或

5、二項式系數(shù)； (3)由已知條件求n的值或參數(shù)的值． 角度一　求展開式中的某一項 (2019·高考浙江卷)在二項式(＋x)9的展開式中，常數(shù)項是________，系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)是________． 【解析】　該二項展開式的第k＋1項為Tk＋1＝C()9－kxk，當k＝0時，第1項為常數(shù)項，所以常數(shù)項為＝16；當k＝1，3，5，7，9時，展開式的項的系數(shù)為有理數(shù)，所以系數(shù)為有理數(shù)的項的個數(shù)為5. 【答案】　16　5 角度二　求展開式中的項的系數(shù)或二項式系數(shù) (1＋x)6展開式中x2的系數(shù)為(　　) A．15　　　　　　　　　　 B．20 C．30 D．35 【解

6、析】　(1＋x)6展開式的通項Tr＋1＝Cxr，所以(1＋x)6的展開式中x2的系數(shù)為1×C＋1×C＝30，故選C. 【答案】　C 角度三　由已知條件求n的值或參數(shù)的值 (2020·浙江新高考聯(lián)盟聯(lián)考)若二項式(ax－)6(a>0)的展開式中x3的系數(shù)為A，常數(shù)項為B，若A＝4B，則a＝________． 【解析】　Tr＋1＝(－1)rC(ax)6－r()r ＝(－1)ra6－rCx6－r. 令6－r＝3得r＝2，則 A＝a4C＝15a4； 令6－r＝0得r＝4，則B＝(－1)4a2C＝15a2， 又由A＝4B得15a4＝4×15a2，則a＝2. 【答案】　2 與二項

7、展開式有關問題的解題策略 (1)求展開式中的第n項，可依據(jù)二項式的通項直接求出第n項． (2)求展開式中的特定項，可依據(jù)條件寫出第r＋1項，再由特定項的特點求出r值即可． (3)已知展開式的某項，求特定項的系數(shù)，可由某項得出參數(shù)項，再由通項寫出第r＋1項，由特定項得出r值，最后求出其參數(shù)．　 1．若的展開式中含有常數(shù)項，則正整數(shù)n的最小值等于(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：選C.Tr＋1＝C(x6)n－r＝Cx6n－r，當Tr＋1是常數(shù)項時，6n－r＝0，即n＝r，又n∈N*，故n的最小值為5，故選C. 2．(2020·金華十校期末調研)在(－)n

8、的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則n＝________；展開式中常數(shù)項是________． 解析：在的展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，所以n＝8. 所以Tr＋1＝C＝(－1)rCx8－2r. 由8－2r＝0，得r＝4. 所以展開式中常數(shù)項是(－1)4C＝. 答案：8　 　　　　　　二項式系數(shù)的性質或各項系數(shù)和 (1)在二項式的展開式中，系數(shù)最大的項為第________項． (2)(2020·寧波十校聯(lián)考)若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，則實數(shù)m的

9、值為________． 【解析】　(1)依題意可知Tr＋1＝C(－1)rx22－3r，0≤r≤11，r∈Z，二項式系數(shù)最大的是C與C.當r＝6時，T7＝Cx4，故系數(shù)最大的項是第七項． (2)令x＝0，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2＋m)9，令x＝－2，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝m9，所以有(2＋m)9m9＝39，即m2＋2m＝3，解得m＝1或－3. 【答案】　(1)七　(2)1或－3 (變條件)本例(2)變?yōu)椋喝?x＋2＋m)9＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a9(x－1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，則實數(shù)m

10、的值為________． 解析：令x＝2，得到a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(4＋m)9，令x＝0，得到a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝(m＋2)9，所以有(4＋m)9(m＋2)9＝39，即m2＋6m＋5＝0，解得m＝－1或－5. 答案：－1或－5 賦值法的應用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展開式的各項系數(shù)之和，常用賦值法，只需令x＝1即可． (2)對形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展開式各項系數(shù)之和，只需令x＝y(tǒng)＝1即可． (3)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，則f(x)展開式中各項系數(shù)之和為f(1

11、)，奇數(shù)項系數(shù)之和為a0＋a2＋a4＋…＝，偶數(shù)項系數(shù)之和為a1＋a3＋a5＋…＝.　 1．在的展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則展開式中常數(shù)項是(　　) A．15 B．20 C．30 D．120 解析：選A.因為二項展開式中中間項的二項式系數(shù)最大，又二項式系數(shù)最大的項只有第4項， 所以展開式中共有7項， 所以n＝6， 展開式的通項為Tr＋1＝C(x2)6－r＝Cx12－3r， 令12－3r＝0，則r＝4， 故展開式中的常數(shù)項為T5＝C＝15. 2．已知多項式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，則a4＝______

12、__，a5＝________． 解析：由題意知a4為含x的項的系數(shù)，根據(jù)二項式定理得a4＝C×12×C×22＋C×13×C×2＝16，a5是常數(shù)項，所以a5＝C×13×C×22＝4. 答案：16　4 　　　　　　二項式定理的應用 設a∈Z，且0≤a＜13，若512 018＋a能被13整除，則a＝(　　) A．0 B．1 C．11 D．12 【解析】　512 018＋a＝(52－1)2 018＋a＝C522 018－C522 017＋…＋C×52×(－1)2 017＋C×(－1)2 018＋a.因為52能被13整除，所以只需C×(－1)2 018＋a能被13整除，即a

13、＋1能被13整除，所以a＝12. 【答案】　D (1)利用二項式定理解決整除問題時，關鍵是進行合理地變形構造二項式，應注意：要證明一個式子能被另一個式子整除，只要證明這個式子按二項式定理展開后的各項均能被另一個式子整除即可． (2)求余數(shù)問題時，應明確被除式f(x)與除式g(x)(g(x)≠0)，商式q(x)與余式的關系及余式的范圍．　 1．(2020·金華十校聯(lián)考)設二項式(n∈N*)展開式的二項式系數(shù)和與各項系數(shù)和分別為an，bn，則＝(　　) A．2n－1＋3　　 　　　　 B．2(2n－1＋1) C．2n＋1 D．1 解析：選C.二項式(n∈N*)展開式的二

14、項式系數(shù)和為2n，各項系數(shù)和為＝，所以an＝2n，bn＝，所以＝＝＝2n＋1，故選C. 2．求證：3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)． 證明：因為n∈N*，且n>2， 所以3n＝(2＋1)n展開后至少有4項． (2＋1)n＝2n＋C·2n－1＋…＋C·2＋1≥2n＋n·2n－1＋2n＋1>2n＋n·2n－1＝(n＋2)·2n－1， 故3n>(n＋2)·2n－1(n∈N*，n>2)． [基礎題組練] 1．(2020·金華十校期末調研)在(x2－4)5的展開式中，含x6的項的系數(shù)為(　　) A．20　　　　　 　　　　　 B．40 C．80 D．160 解析：選

15、D.Tr＋1＝C(x2)5－r(－4)r＝(－4)rCx10－2r， 令10－2r＝6，解得r＝2， 所以含x6的項的系數(shù)為(－4)2C＝160. 2．(2020·臺州高三期末考試)已知在(－)n的展開式中，第6項為常數(shù)項，則n＝(　　) A．9 B．8 C．7 D．6 解析：選D.因為第6項為常數(shù)項，由C()n－5(－)5＝－()n－5C·xn－6，可得n－6＝0，解得n＝6.故選D. 3．(2020·溫州市普通高中模考)在的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和之比為64，則x3的系數(shù)為(　　) A．15 B．45 C．135 D．405 解析：選C.由題意

16、＝64，n＝6，Tr＋1＝Cx6－r＝3rCx6－，令6－＝3，r＝2，32C＝135. 4．(2020·湖州市高三期末考試)若(x＋)(2x－)5的展開式中各項系數(shù)的和為2，則該展開式中常數(shù)項是(　　) A．－40 B．－20 C．40 D．20 解析：選C.令x＝1，(1＋a)×(2－1)5＝2，解得a＝1. 所以(2x－)5的通項公式 Tr＋1＝C(2x)5－r(－)r＝(－1)r25－rCx5－2r， 令5－2r＝－1，5－2r＝1. 解得r＝3或2. 所以該展開式中常數(shù)項＝(－1)322C＋(－1)2×23C＝40. 5．(x2－x＋1)10的展開式中x3

17、項的系數(shù)為(　　) A．－210 B．210 C．30 D．－30 解析：選A.(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C(x2)10－C(x2)9(x－1)＋…－Cx2(x－1)9＋C(x－1)10， 所以含x3項的系數(shù)為：－CC＋C(－C)＝－210. 6．(x2＋x＋y)5的展開式中x5y2的系數(shù)為(　　) A．10 B．20 C．30 D．60 解析：選C.(x2＋x＋y)5的展開式的通項為Tr＋1＝C(x2＋x)5－r·yr，令r＝2，則T3＝C(x2＋x)3y2，又(x2＋x)3的展開式的通項為C(x2)3－k·xk＝Cx6－k，令6－k＝5

18、，則k＝1，所以(x2＋x＋y)5的展開式中，x5y2的系數(shù)為CC＝30，故選C. 7．已知(ax＋b)6的展開式中x4項的系數(shù)與x5項的系數(shù)分別為135與－18，則(ax＋b)6的展開式中所有項系數(shù)之和為(　　) A．－1 B．1 C．32 D．64 解析：選D.由二項展開式的通項公式可知x4項的系數(shù)為Ca4b2，x5項的系數(shù)為Ca5b，則由題意可得，解得a＋b＝±2，故(ax＋b)6的展開式中所有項的系數(shù)之和為(a＋b)6＝64，選D. 8．在(1＋x)6(1＋y)4的展開式中，記xmyn項的系數(shù)為f(m，n)，則f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝(

19、　　) A．45 B．60 C．120 D．210 解析：選C.因為f(m，n)＝CC，所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝CC＋CC＋CC＋CC＝120. 9．(2020·義烏調研測試)若(x2－a)的展開式中x6的系數(shù)為30，則a等于(　　) A. B. C．1 D．2 解析：選D.因為展開式的通項公式為Tr＋1＝Cx10－r·＝Cx10－2r，所以(x2－a)的展開式中含x6的項為x2·Cx4－aCx6＝(C－aC)x6，則C－aC＝30，解得a＝2，故選D. 10．(2020·臺州模擬)(x＋2y)7的展開式中，系數(shù)最大的項是(　

20、　) A．68y7 B．112x3y4 C．672x2y5 D．1 344x2y5 解析：選C.設第r＋1項系數(shù)最大， 則有 即 即解得 又因為r∈Z，所以r＝5.所以系數(shù)最大的項為T6＝Cx2·25y5＝672x2y5.故選C. 11．(2020·金華市東陽二中高三調研)在二項式的展開式中恰好第5項的二項式系數(shù)最大，則展開式中含x2項的系數(shù)是________． 解析：因為在二項式的展開式中恰好第5項的二項式系數(shù)最大，所以n＝8， 展開式的通項公式為Tr＋1＝C·(－1)r·x8－2r， 令8－2r＝2，則r＝3，所以展開式中含x2項的系數(shù)是－C＝－56. 答案

21、：－56 12．(2020·溫州中學高三?？?已知(1＋x＋x2)(n∈N*)的展開式中沒有常數(shù)項，且2≤n≤8，則n＝________． 解析：因為的通項公式為Tr＋1＝Cxn－r·x－3r＝Cxn－4r，故當n－4r＝0，－1，－2時存在常數(shù)項，即n＝4r，4r－1，4r－2，故n＝2，3，4，6，7，8時為常數(shù)項，所以當n＝5時沒有常數(shù)項符合題設． 答案：5 13．若直線x＋ay－1＝0與2x－y＋5＝0垂直，則二項式的展開式中x4的系數(shù)為________． 解析：由兩條直線垂直，得1×2＋a×(－1)＝0，得a＝2，所以二項式為，其通項公式Tr＋1＝C(2x2)5－r·＝(－

22、1)r25－rCx10－3r，令10－3r＝4，解得r＝2，所以二項式的展開式中x4的系數(shù)為23C＝80. 答案：80 14．已知(1＋x)5的展開式中xr(r∈Z且－1≤r≤5)的系數(shù)為0，則r＝________. 解析：依題意，(1＋x)5的展開式的通項公式為Tr＋1＝Cxr，故展開式為(x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1)，故可知展開式中x2的系數(shù)為0，故r＝2. 答案：2 15．(2020·杭州市高考模擬)若(2x－)n的展開式中所有二項式系數(shù)和為64，則n＝________；展開式中的常數(shù)項是________． 解析：因為(2x－)n的展開式中所有二項式系數(shù)和為2

23、n＝64，則n＝6；根據(jù)(2x－)n＝(2x－)6的展開式的通項公式為Tr＋1＝C·(－1)r·(2x)6－r·x－2r＝C·(－1)r·26－r·x6－3r， 令6－3r＝0，求得r＝2，可得展開式中的常數(shù)項是C·24＝240. 答案：6　240 16．(2020·浙江東陽中學高三檢測)已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，則a0＝________；(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5＋a7)2＝________． 解析：由(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7， 觀察：可令x＝0得：(1－2×0)7＝a0＋a1×0＋…＋a7×0＝1，

24、a0＝1. (a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5＋a7)2＝(a0＋a1＋…＋a7)[a0＋a2＋a4＋a6－(a1＋a3＋a5＋a7)]， 則可令x＝1得： (1－2×1)7＝a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1， 再可令x＝－1得： (1＋2×1)7＝a0－a1＋a2－a3＋…－a7＝37＝2 187， 可得：(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5＋a7)2 ＝－1×2 187＝－2 187. 答案：1　－2 187 17．設f(x)是(x2＋)6展開式中的中間項，若f(x)≤mx在區(qū)間[，]上恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析：(x

25、2＋)6的展開式中的中間項為第四項，即f(x)＝C(x2)3()3＝x3，因為f(x)≤mx在區(qū)間[，]上恒成立，所以m≥x2在[，]上恒成立，所以m≥(x2)max＝5，所以實數(shù)m的取值范圍是 [5，＋∞)． 答案：[5，＋∞) [綜合題組練] 1．C＋C＋…＋C＋…＋C(n∈N*)的值為(　　) A．2n B．22n－1 C．2n－1 D．22n－1－1 解析：選D.(1＋x)2n＝C＋Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2n. 令x＝1，得C＋C＋C＋…＋C＋C＝22n； 再令x＝－1，得C－C＋C－…＋(－1)rC＋…－C＋C＝0. 兩式相加，可得C＋C＋…＋C＝

26、－1＝22n－1－1. 2．(2020·杭州七校聯(lián)考)若(x＋y)9按x的降冪排列的展開式中，第二項不大于第三項，且x＋y＝1，xy<0，則x的取值范圍是(　　) A. B. C. D．(1，＋∞) 解析：選D.二項式(x＋y)9的展開式的通項是 Tr＋1＝C·x9－r·yr. 依題意，有 由此得 解得x>1，即x的取值范圍為(1，＋∞)． 3．若的展開式中前三項的系數(shù)分別為A，B，C，且滿足4A＝9(C－B)，則展開式為x2的系數(shù)為________． 解析：易得A＝1，B＝，C＝＝，所以有4＝9，即n2－7n－8＝0，解得n＝8或n＝－1(舍)．在中，因為通項Tr

27、＋1＝Cx8－r＝·x8－2r，令8－2r＝2，得r＝3，所以展開式中x2的系數(shù)為. 答案： 4．已知(xtan θ＋1)5的展開式中x2的系數(shù)與的展開式中x3的系數(shù)相等，則tan θ＝________． 解析：的通項為Tr＋1＝C·x4－r·，令4－r＝3，則r＝1，所以的展開式中x3的系數(shù)是C·＝5，(xtan θ＋1)5的通項為TR＋1＝C·(xtan θ)5－R，令5－R＝2，得R＝3，所以(xtan θ＋1)5的展開式中x2的系數(shù)是C·tan2θ＝5，所以tan2θ＝，所以tan θ＝±. 答案：± 5．(2020·臺州市書生中學高三期中)設m，n∈N，f(x)＝(1＋x)

28、m＋(1＋x)n. (1)當m＝n＝5時，若f(x)＝a5(1－x)5＋a4(1－x)4＋…＋a1(1－x)＋a0，求a0＋a2＋a4的值； (2)f(x)展開式中x的系數(shù)是9，當m，n變化時，求x2系數(shù)的最小值． 解：(1)當m＝n＝5時，f(x)＝2(1＋x)5， 令x＝0，則f(0)＝a5＋a4＋…＋a1＋a0＝2， 令x＝2，則f(2)＝－a5＋a4－…－a1＋a0＝2×35， 所以a0＋a2＋a4＝＝35＋1＝244. (2)由題意得f(x)展開式中x的系數(shù)是 C＋C＝m＋n＝9， x2系數(shù)為C＋C＝＋＝＝， 又＝＝， 因為m，n∈N，所以當m＝4或m＝5時最小

29、，最小值為16. 6．(2020·金麗衢十二校聯(lián)考)已知. (1)若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中二項式系數(shù)最大項的系數(shù)； (2)若展開式前三項的二項式系數(shù)和等于79，求展開式中系數(shù)最大的項． 解：(1)通項Tr＋1＝C·(2x)r＝22r－nCxr， 由題意知C，C，C成等差數(shù)列， 所以2C＝C＋C，所以n＝14或7. 當n＝14時，第8項的二項式系數(shù)最大，該項的系數(shù)為22×7－14C＝3 432； 當n＝7時，第4、5項的二項式系數(shù)相等且最大， 其系數(shù)分別為22×3－7C＝，22×4－7C＝70. (2)由題意知C＋C＋C＝79， 所以n＝12或n＝－13(舍)． 所以Tr＋1＝22r－12Cxr. 由得所以r＝10. 所以展開式中系數(shù)最大的項為T11＝22×10－12·Cx10＝(2x)10. 13