(通用版)2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列學(xué)案 理
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1、 第六章 數(shù) 列 第一節(jié) 數(shù)列的概念與簡單表示 本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn): 1.數(shù)列的通項(xiàng)公式; 2.數(shù)列的性質(zhì). 突破點(diǎn)(一) 數(shù)列的通項(xiàng)公式 1.?dāng)?shù)列的定義 按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列.?dāng)?shù)列中的每一個(gè)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng),數(shù)列中的每一項(xiàng)都和它的序號(hào)有關(guān),排在第一位的數(shù)稱為這個(gè)數(shù)列的第一項(xiàng)(通常也叫做首項(xiàng)). 2.?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式 如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)與序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示,那么這個(gè)公式叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式. 3.?dāng)?shù)列的遞推公式 如果已知數(shù)列{an}的第一項(xiàng)(或前幾項(xiàng)),且任何一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)an-1(或前幾項(xiàng))間的關(guān)系可以用
2、一個(gè)式子來表示,即an=f(an-1)(或an=f(an-1,an-2)等),那么這個(gè)式子叫做數(shù)列{an}的遞推公式. 4.Sn與an的關(guān)系 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則an=這個(gè)關(guān)系式對(duì)任意數(shù)列均成立. 1.判斷題 (1)所有數(shù)列的第n項(xiàng)都能使用公式表達(dá).( ) (2)根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè).( ) (3)若已知數(shù)列{an}的遞推公式為an+1=,且a2=1,則可以寫出數(shù)列{an}的任何一項(xiàng).( ) (4)如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,則對(duì)?n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√ (
3、4)× 2.填空題 (1)已知數(shù)列{an}的前4項(xiàng)為1,3,7,15,則數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為________. 答案:an=2n-1(n∈N*) (2)已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=,則a2=________. 答案: (3)已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,且Sn=n2+1,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是________________. 答案:an= 利用數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng) 給出數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)時(shí),需要注意觀察數(shù)列中各項(xiàng)與其序號(hào)之間的關(guān)系,在所給數(shù)列的前幾項(xiàng)中,先看看哪些部分是變化的,哪些是不變的,再探索各項(xiàng)中變化部分與序號(hào)間的關(guān)系. [例
4、1] (1)(2018·江西鷹潭一中期中)數(shù)列1,-4,9,-16,25,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是( ) A.a(chǎn)n=n2 B.a(chǎn)n=(-1)nn2 C.a(chǎn)n=(-1)n+1n2 D.a(chǎn)n=(-1)n(n+1)2 (2)(2018·山西太原五中調(diào)考)把1,3,6,10,15,…,這些數(shù)叫做三角形數(shù),這是因?yàn)檫@些數(shù)目的圓點(diǎn)可以排成一個(gè)正三角形(如圖所示). 則第7個(gè)三角形數(shù)是( ) A.27 B.28 C.29 D.30 [解析] (1)法一:該數(shù)列中第n項(xiàng)的絕對(duì)值是n2,正負(fù)交替的符號(hào)是(-1)n+1,故選C. 法二:將n=2代入各選項(xiàng),排除A,B,D,故選C. (2)觀察三
5、角形數(shù)的增長規(guī)律,可以發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)比它的前一項(xiàng)多的點(diǎn)數(shù)正好是該項(xiàng)的序號(hào),即an=an-1+n(n≥2).所以根據(jù)這個(gè)規(guī)律計(jì)算可知,第7個(gè)三角形數(shù)是a7=a6+7=a5+6+7=15+6+7=28.故選B. [答案] (1)C (2)B [方法技巧] 由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式的思路方法 (1)分式形式的數(shù)列,分別求分子、分母的通項(xiàng),較復(fù)雜的還要考慮分子、分母的關(guān)系. (2)若第n項(xiàng)和第n+1項(xiàng)正負(fù)交錯(cuò),那么符號(hào)用(-1)n或(-1)n+1或(-1)n-1來調(diào)控. (3)對(duì)于較復(fù)雜數(shù)列的通項(xiàng)公式,其項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系不容易發(fā)現(xiàn),這就需要將數(shù)列各項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式加以變形,可使用添項(xiàng)、通分、
6、分割等方法,將數(shù)列的各項(xiàng)分解成若干個(gè)常見數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的“和”“差”“積”“商”后再進(jìn)行歸納. [提醒] 根據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式利用了不完全歸納法,其蘊(yùn)含著“從特殊到一般”的思想,由不完全歸納得出的結(jié)果是不可靠的,要注意代值檢驗(yàn). 利用an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng) 數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系為an=通過紐帶:an=Sn-Sn-1(n≥2),根據(jù)題目已知條件,消掉an或Sn,再利用特殊形式(累乘或累加)或通過構(gòu)造成等差數(shù)列或者等比數(shù)列求解. [例2] 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn. (1)若Sn=(-1)n+1·n,求a5+a6及an; (2)若
7、Sn=3n+2n+1,求an. [解] (1)a5+a6=S6-S4=(-6)-(-4)=-2, 當(dāng)n=1時(shí),a1=S1=1; 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(-1)n+1·n-(-1)n·(n-1) =(-1)n+1·[n+(n-1)] =(-1)n+1·(2n-1), 又a1也適合此式,所以an=(-1)n+1·(2n-1). (2)因?yàn)楫?dāng)n=1時(shí),a1=S1=6; 當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn-Sn-1=(3n+2n+1)-[3n-1+2(n-1)+1]=2·3n-1+2, 由于a1不適合此式,所以an= [方法技巧] 已知Sn求an的三個(gè)步驟 (1)先利用a1=S
8、1求出a1. (2)用n-1替換Sn中的n得到一個(gè)新的關(guān)系,利用an=Sn-Sn-1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式. (3)對(duì)n=1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn),看是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式,如果符合,則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫;如果不符合,則應(yīng)該分n=1與n≥2兩段來寫. 利用遞推關(guān)系求通項(xiàng) [例3] (1)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+3n+2,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (2)在數(shù)列{an}中,a1=1,an=an-1(n≥2),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (3)在數(shù)列{an}中a1=1,an+1=3an+2,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. (4)
9、已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式. [解] (1)因?yàn)閍n+1-an=3n+2, 所以an-an-1=3n-1(n≥2), 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(n≥2). 當(dāng)n=1時(shí),a1=2=×(3×1+1),符合上式, 所以an=n2+. (2)因?yàn)閍n=an-1(n≥2), 所以an-1=an-2,…,a2=a1. 由累乘法可得an=a1···…·==(n≥2).又a1=1符合上式,∴an=. (3)因?yàn)閍n+1=3an+2,所以an+1+1=3(an+1),所以=3,所以數(shù)列{an+1}為
10、等比數(shù)列,公比q=3.又a1+1=2,所以an+1=2·3n-1,所以an=2·3n-1-1. (4)∵an+1=,a1=1,∴an≠0, ∴=+,即-=, 又a1=1,則=1, ∴是以1為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列. ∴=+(n-1)×=+, ∴an=(n∈N*). [方法技巧] 典型的遞推數(shù)列及處理方法 遞推式 方法 示例 an+1=an+f(n) 疊加法 a1=1,an+1=an+2n an+1=anf(n) 疊乘法 a1=1,=2n an+1=Aan+B (A≠0,1,B≠0) 化為等比數(shù)列 a1=1,an+1=2an+1 an+1= (
11、A,B,C為常數(shù)) 化為等差數(shù)列 a1=1,an+1= 1.(2018·湖南衡陽二十六中期中)在數(shù)列1,1,2,3,5,8,x,21,34,55,…中,x的值為( ) A.11 B.12 C.13 D.14 解析:選C 觀察所給數(shù)列的項(xiàng),發(fā)現(xiàn)從第3項(xiàng)起,每一項(xiàng)都是與它相鄰的前兩項(xiàng)的和,所以x=5+8=13,故選C. 2.數(shù)列1,-,,-,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是( ) A.a(chǎn)n=(-1)n+1(n∈N*) B.a(chǎn)n=(-1)n-1(n∈N*) C.a(chǎn)n=(-1)n+1(n∈N*) D.a(chǎn)n=(-1)n-1(n∈N*) 解析:選D 所給數(shù)列各項(xiàng)可寫成:,-,,-
12、,…,通過對(duì)比各選項(xiàng),可知選D. 3.(2018·黑龍江雙鴨山一中期末)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若Sn=2an-4,n∈N*,則an=( ) A.2n+1 B.2n C.2n-1 D.2n-2 解析:選A 因?yàn)镾n=2an-4,所以n≥2時(shí),有Sn-1=2an-1-4, 兩式相減可得Sn-Sn-1=2an-2an-1,即an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,即 =2(n≥2).因?yàn)镾1=a1=2a1-4,所以a1=4,所以an=2n+1. 4.(2018·山東濰坊期中)在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=an+ln,則an=( ) A.2+ln n B.
13、2+(n-1)ln n C.2+nln n D.1+n+ln n 解析:選A 法一:由已知得an+1-an=ln=ln,而an=(an-an-1)+(an-1+an-2)+…+(a2-a1)+a1,n≥2,所以an=ln+ln+…+ln+2= ln+2=ln n+2,n≥2.當(dāng)n=1時(shí),a1=2=ln 1+2.故選A. 法二:由an=an-1+ln=an-1+ln=an-1+ln n-ln(n-1)(n≥2),可知an-ln n=an-1-ln(n-1)(n≥2).令bn=an-ln n,則數(shù)列{bn}是以b1=a1-ln 1=2為首項(xiàng)的常數(shù)列,故bn=2,所以2=an-ln n,所以
14、an=2+ln n.故選A. 突破點(diǎn)(二) 數(shù)列的性質(zhì) 數(shù)列的分類 分類標(biāo)準(zhǔn) 類型 滿足條件 按項(xiàng)數(shù)分類 有窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)有限 無窮數(shù)列 項(xiàng)數(shù)無限 按項(xiàng)與項(xiàng)間的大小關(guān)系分類 遞增數(shù)列 an+1>an 其中n∈N* 遞減數(shù)列 an+1<an 常數(shù)列 an+1=an 按其他標(biāo)準(zhǔn)分類 有界數(shù)列 存在正數(shù)M,使|an|≤M 擺動(dòng)數(shù)列 從第二項(xiàng)起,有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng),有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng) (1)已知函數(shù)f(x)=,設(shè)an=f(n)(n∈N*),則{an}是________數(shù)列(填“遞增”或“遞減”). 答案:遞增 (2)數(shù)列
15、{an}的通項(xiàng)公式為an=-n2+9n,則該數(shù)列第________項(xiàng)最大. 答案:4或5 (3)現(xiàn)定義an=5n+n,其中n∈N*,則{an}是_______數(shù)列(填“遞增”或“遞減”). 答案:遞增 (4)對(duì)于數(shù)列{an},“an+1>|an|(n=1,2,…)”是“{an}為遞增數(shù)列”的____________條件. 答案:充分不必要 數(shù)列的單調(diào)性 (1)數(shù)列的單調(diào)性與函數(shù)的單調(diào)性有所不同,其自變量的取值是不連續(xù)的,只能取正整數(shù),所以在求數(shù)列中的最大(小)項(xiàng)時(shí),應(yīng)注意數(shù)列中的項(xiàng)可以是相同的,故不應(yīng)漏掉等號(hào). (2)數(shù)列是自變量不連續(xù)的函數(shù),不能對(duì)數(shù)列直接
16、求導(dǎo)判斷單調(diào)性.要先寫出數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù),對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),再將函數(shù)的單調(diào)性對(duì)應(yīng)到數(shù)列中去. [例1] (1)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=nn,則數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為( ) A. B. C. D. (2)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n2+tn+1,若{an}是單調(diào)遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是( ) A.(-6,+∞) B.(-∞,-6) C.(-∞,-3) D. [解析] (1)法一(作差比較法): an+1-an=(n+1)n+1-nn=·n, 當(dāng)n<2時(shí),an+1-an>0,即an+1>an; 當(dāng)n=2
17、時(shí),an+1-an=0,即an+1=an;
當(dāng)n>2時(shí),an+1-an<0,即an+1
18、1>2n2+tn+1, 化簡得t>-4n-2, 所以t>-4n-2對(duì)于任意的n∈N*都成立, 因?yàn)椋?n-2≤-6,所以t>-6.故選A. 法二:設(shè)f(n)=2n2+tn+1,其圖象的對(duì)稱軸為n=-,要使{an}是遞增數(shù)列,則-<,即t>-6.故選A. [答案] (1)A (2)A [方法技巧] 1.判斷數(shù)列單調(diào)性的兩種方法 (1)作差比較法 an+1-an>0?數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列;an+1-an<0?數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列;an+1-an=0?數(shù)列{an}是常數(shù)列. (2)作商比較法 an>0時(shí) ①>1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列; ②<1?數(shù)列{an}
19、是單調(diào)遞減數(shù)列; ③=1?數(shù)列{an}是常數(shù)列 an<0時(shí) ①>1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞減數(shù)列; ②<1?數(shù)列{an}是單調(diào)遞增數(shù)列; ③=1?數(shù)列{an}是常數(shù)列 2.求數(shù)列最大項(xiàng)或最小項(xiàng)的方法 (1)利用不等式組(n≥2)找到數(shù)列的最大項(xiàng); (2)利用不等式組(n≥2)找到數(shù)列的最小項(xiàng). 數(shù)列的周期性 數(shù)列的周期性與函數(shù)的周期性相類似.求解數(shù)列的周期問題時(shí),通常是求出數(shù)列的前n項(xiàng)觀察規(guī)律.確定出數(shù)列的一個(gè)周期,然后再解決相應(yīng)的問題. [例2] (1)(2018·黃岡質(zhì)檢)已知數(shù)列{xn}滿足xn+2=|xn+1-xn|(n∈N*),若x1=1,x2=a(a≤1,a
20、≠0),且xn+3=xn對(duì)于任意的正整數(shù)n均成立,則數(shù)列{xn}的前2 017項(xiàng)和S2 017=( ) A.672 B.673 C.1 342 D.1 345 (2)(2018·廣東四校聯(lián)考)數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=(n∈N*),則a2 018=( ) A.-2 B.-1 C.2 D. [解析] (1)∵x1=1,x2=a(a≤1,a≠0),∴x3=|x2-x1|=|a-1|=1-a,∴x1+x2+x3=1+a+(1-a)=2,又xn+3=xn對(duì)于任意的正整數(shù)n均成立,∴數(shù)列{xn}的周期為3,所以數(shù)列{xn}的前2 017項(xiàng)和S2 017=S672×3+1
21、=672×2+1=1 345.故選D. (2)數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1=(n∈N*),∴a2==-1,a3==,a4==2,…,可知此數(shù)列有周期性,周期T=3,即an+3=an,則a2 018=a672×3+2=a2=-1.故選B. [答案] (1)D (2)B [方法技巧] 周期數(shù)列的常見形式與解題方法 (1)周期數(shù)列的常見形式 ①利用三角函數(shù)的周期性,即所給遞推關(guān)系中含有三角函數(shù); ②相鄰多項(xiàng)之間的遞推關(guān)系,如后一項(xiàng)是前兩項(xiàng)的差; ③相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系,等式中一側(cè)含有分式,又較難變形構(gòu)造出特殊數(shù)列. (2)解決此類題目的一般方法 根據(jù)給出的關(guān)系式求出數(shù)列的若
22、干項(xiàng),通過觀察歸納出數(shù)列的周期,進(jìn)而求有關(guān)項(xiàng)的值或者前n項(xiàng)的和. 1.(2018·安徽名校聯(lián)盟考前模擬)在數(shù)列{an}中,若對(duì)任意的n∈N*均有an+an+1+an+2為定值,且a1=2,a9=3,a98=4,則數(shù)列{an}的前100項(xiàng)的和S100=( ) A.132 B.299 C.68 D.99 解析:選B 因?yàn)閷?duì)任意的n∈N*均有an+an+1+an+2為定值,所以an+an+1+an+2=an+1+an+2+an+3,所以an+3=an,所以數(shù)列{an}是周期數(shù)列,且周期為3.故a2=a98=4,a3=a9=3,a100=a1=2,所以S100=33(a1+a2+
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