《（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量學(xué)案（50頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第五章 平面向量 第一節(jié)平面向量的概念及其線性運(yùn)算 1．向量的有關(guān)概念 名稱 定義 備注 向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的長度(或稱模) 平面向量是自由向量 零向量 長度為0的向量；其方向是任意的 記作0 單位向量 長度等于1個(gè)單位的向量 非零向量a的 單位向量為± 平行向量 方向相同或相反的非零向量(又叫做共線向量) 0與任一向量平行或共線 相等向量 長度相等且方向相同的向量 兩向量只有相等或不等，不能比較大小 相反向量 長度相等且方向相反的向量 0的相反向量為0 2.向量的線性運(yùn)算 向量運(yùn)算 定義 法則(或幾何意

2、義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律：a＋b＝b＋a； (2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差 三角形法則 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa的方向與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa的方向與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0 λ(μa)＝(λμ) a；(λ＋μ) a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 3.共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)

3、數(shù)λ，使得b＝λa. [小題體驗(yàn)] 1．下列四個(gè)命題中，正確的命題是(　　) A．若a∥b，則a＝b　　　　 B．若|a|＝|b|，則a＝b C．若|a|＝|b|，則a∥b D．若a＝b，則|a|＝|b| 答案：D 2．若m∥n，n∥k，則向量m與向量k(　　) A．共線 B．不共線 C．共線且同向 D．不一定共線 答案：D　 3．若D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量等于(　　) A．－＋ B．－－ C． － D．＋ 答案：A 4．已知a與b是兩個(gè)不共線的向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________. 答案：－ 1．在利用

4、向量減法時(shí)，易弄錯(cuò)兩向量的順序，從而求得所求向量的相反向量，導(dǎo)致錯(cuò)誤． 2．在向量共線的重要條件中易忽視“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個(gè)． 3．要注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系． [小題糾偏] 1．若菱形ABCD的邊長為2，則|－＋|＝________. 解析：|－＋|＝|＋＋|＝||＝2. 答案：2 2．已知a，b是非零向量，命題p：a＝b，命題q：|a＋b|＝|a|＋|b|，則p是q的________條件． 解析：若a＝b，則|a＋b|＝|2a|＝2|a|，|a|＋|b|＝|a|＋|a|＝2|a|，即p?q. 若|a＋b|＝|a|＋|b|，由加法的運(yùn)算知a

5、與b同向共線， 即a＝λb，且λ>0，故q?/ p. ∴p是q的充分不必要條件． 答案：充分不必要 [題組練透] 1．設(shè)a0為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a＝|a|·a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.假命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．0　　　　　　　　　 B．1 C．2 D．3 解析：選D　向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是

6、3. 2．下列說法中錯(cuò)誤的是(　　) A．有向線段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向線段 B．若向量a和b不共線，則a和b都是非零向量 C．長度相等但方向相反的兩個(gè)向量不一定共線 D．方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等 解析：選C　選項(xiàng)A中向量與有向線段是兩個(gè)完全不同的概念，故正確；選項(xiàng)B中零向量與任意向量共線，故a，b都是非零向量，故正確；選項(xiàng)C中是共線向量，故錯(cuò)誤；選項(xiàng)D中既然方向相反就一定不相等，故正確． 3．(易錯(cuò)題)給出下列命題： ①若a＝b，b＝c，則a＝c； ②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件； ③a＝b的充要條件是

7、|a|＝|b|且a∥b； ④若a∥b，b∥c，則a∥c. 其中正確命題的序號(hào)是________． 解析：①正確．∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同， 又b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同， ∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c. ②正確．∵＝，∴||＝||且∥， 又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)， ∴四邊形ABCD為平行四邊形； 反之，若四邊形ABCD為平行四邊形， 則∥且||＝||，因此，＝. ③不正確．當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件． ④不正確．考慮b＝0這種特殊情況

8、． 綜上所述，正確命題的序號(hào)是①②. 答案：①② [謹(jǐn)記通法] 向量有關(guān)概念的5個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) (1)向量：方向、長度． (2)非零共線向量：方向相同或相反． (3)單位向量：長度是一個(gè)單位長度． (4)零向量：方向沒有限制，長度是0. (5)相等相量：方向相同且長度相等．如“題組練透”第3題易混淆有關(guān)概念． [題組練透] 1．(2018·武漢調(diào)研)設(shè)M為平行四邊形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平行四邊形ABCD所在平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，則＋＋＋等于(　　) A． 　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：選D　因?yàn)镸是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，所

9、以＋＝2，＋＝2，所以＋＋＋＝4. 2．(2018·溫州模擬)在等腰梯形ABCD中，＝－2，M為BC的中點(diǎn)，則＝(　　) A.＋ B．＋ C.＋ D.＋ 解析：選B　因?yàn)椋剑?，所以＝2.又M是BC的中點(diǎn)，所以＝(＋)＝(＋＋)＝＝＋. 3．設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2 (λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為________． 解析：＝＋＝＋＝＋(＋)＝－＋，所以λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝. 答案： [謹(jǐn)記通法] 1．平面向量的線性運(yùn)算技巧 (1)不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解． (2)含圖

10、形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來求解． 2．利用平面向量的線性運(yùn)算求參數(shù)的一般思路 (1)沒有圖形的準(zhǔn)確作出圖形，確定每一個(gè)點(diǎn)的位置． (2)利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式． (3)比較、觀察可知所求． [典例引領(lǐng)] 1．在△ABC中，點(diǎn)D在線段BC的延長線上，且＝3，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，若＝x＋(1－x)·，則x的取值范圍是(　　 ) A.　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選D　設(shè)＝y(tǒng)，∵＝＋＝＋y＝＋y(－)＝－y＋(1＋

11、y) ，∵＝3，點(diǎn)O在線段CD上(與點(diǎn)C，D不重合)，∴y∈，∵＝x＋(1－x)，∴x∈. 2．設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線， (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， 求證：A，B，D三點(diǎn)共線； (2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb同向． 解：(1)證明：∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3a－3b， ∴＝＋＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5. ∴，共線，又∵它們有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線． (2)∵ka＋b與a＋kb同向， ∴存在實(shí)數(shù)λ(λ>0)，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb.∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a，b是不共

12、線的兩個(gè)非零向量， 解得或 又∵λ>0，∴k＝1. [由題悟法] 共線向量定理的3個(gè)應(yīng)用 (1)證明向量共線：對(duì)于向量a，b，若存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線． (2)證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ，則A，B，C三點(diǎn)共線． (3)求參數(shù)的值：利用共線向量定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值． [提醒]　證明三點(diǎn)共線時(shí)，需說明共線的兩向量有公共點(diǎn)． [即時(shí)應(yīng)用] 1．已知向量e1與e2不共線，且向量＝e1＋me2，＝ne1＋e2，若A，B，C三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m，n滿足的條件是(　　) A．mn＝1 B．mn＝－1 C．m＋n＝1 D．m＋n＝－1 解

13、析：選A　因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以一定存在一個(gè)確定的實(shí)數(shù)λ，使得＝λ，所以有e1＋me2＝nλe1＋λe2，由此可得所以mn＝1. 2．如圖，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，＝，＝a，＝b. (1)用a，b表示向量，，，，； (2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線． 解： (1)延長AD到G， 使＝， 連接BG，CG，得到?ABGC， 所以＝a＋b， ＝＝(a＋b)， ＝＝(a＋b)， ＝＝b， ＝－＝(a＋b)－a＝(b－2a)， ＝－＝b－a＝(b－2a)． (2)證明：由(1)可知＝， 又因?yàn)?，有公共點(diǎn)B， 所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線． 一

14、抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快 1．在平行四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，若＋＝λ，則λ＝(　　) A．1　　　　　　　　　 B．2 C．4 D．6 解析：選B　根據(jù)向量加法的運(yùn)算法則可知，＋＝＝2，故λ＝2. 2．在△ABC中，＝2，＝a，＝b，＝c，則下列等式成立的是(　　) A．c＝2b－a B．c＝2a－b C．c＝a－b D．c＝b－a 解析：選D　依題意得－＝2(－)， 即＝－＝b－a. 3．在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是(　　) A．矩形 B．平行四邊形 C．梯形 D．以上都不對(duì)

15、 解析：選C　由已知，得＝＋＋＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥. 又因?yàn)榕c不平行，所以四邊形ABCD是梯形． 4．(2018·揚(yáng)州模擬)在△ABC中，N是AC邊上一點(diǎn)且＝，P是BN上一點(diǎn)，若＝m＋，則實(shí)數(shù)m的值是________． 解析：如圖，因?yàn)椋剑琍是上一點(diǎn)．所以＝，＝m＋＝m＋，因?yàn)锽，P，N三點(diǎn)共線，所以m＋＝1，則m＝. 答案： 5．已知?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于O，且＝a，＝b，則＝________，＝________.(用a，b表示) 解析：如圖，＝＝－＝b－a，＝－＝－－＝－a－b. 答案：b－a?。璦－b 二保高考，全練題型做到高考

16、達(dá)標(biāo) 1．已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，則一定共線的三點(diǎn)是(　　 ) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 解析：選A?。剑?a＋6b＝3.因?yàn)榕c有公共點(diǎn)A，所以A，B，D三點(diǎn)共線． 2．已知向量a，b不共線，且c＝λa＋b，d＝a＋(2λ－1)b，若c與d共線反向，則實(shí)數(shù)λ的值為(　　) A．1 B．－ C．1或－ D．－1或－ 解析：選B　由于c與d共線反向，則存在實(shí)數(shù)k使c＝kd(k＜0)，于是λa＋b＝k. 整理得λa＋b＝ka＋(2λk－k)b. 由于a，b不共線，所以有 整理得2λ2－λ－1＝

17、0，解得λ＝1或λ＝－. 又因?yàn)閗＜0，所以λ＜0，故λ＝－. 3.如圖，已知||＝||＝1，與的夾角為120°，與的夾角為30°，若＝λ＋μ (λ，μ∈R)，則等于(　　) A. B． C. D．2 解析：選D　過C作OB的平行線交OA的延長線于點(diǎn)D.由題意可知，∠COD＝30°，∠OCD＝90°， ∴OD＝2CD，又∵＝λ，＝μ，∴λ||＝2μ||，即λ＝2μ，故＝2. 4．(2018·遂昌期初)已知a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，且起點(diǎn)在同一點(diǎn)上，若a，tb，(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同一直線上，則實(shí)數(shù)t的值為(　　) A．2　　　　　　　　　　　 B．1 C. D.

18、 解析：選D　由題可設(shè)(a＋b)＝λa＋μtb，因?yàn)閍，tb，(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同一直線上，所以有λ＋μ＝1.所以＝λ，μ＝，所以＝t，解得t＝. 5．設(shè)O在△ABC的內(nèi)部，D為AB的中點(diǎn)，且＋＋2＝0，則△ABC的面積與△AOC的面積的比值為(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 解析：選B　∵D為AB的中點(diǎn)， 則＝(＋)， 又＋＋2＝0， ∴＝－，∴O為CD的中點(diǎn)， 又∵D為AB中點(diǎn)， ∴S△AOC＝S△ADC＝S△ABC， 則＝4. 6．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點(diǎn)，則＝________(用a，b表示)． 解析：由＝3，得＝＝(a

19、＋b)，＝a＋b，所以＝－＝(a＋b)－＝－a＋b. 答案：－a＋b 7．設(shè)點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A在直線BC外，2＝16，|＋|＝|－|，則||＝________. 解析：由|＋|＝|－|可知，⊥， 則AM為Rt△ABC斜邊BC上的中線， 因此，||＝||＝2. 答案：2 8．已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且＝a，＝b，給出下列命題：①＝a－b；②＝a＋b；③＝－a＋b；④＋＋＝0. 其中正確命題的個(gè)數(shù)為________． 解析：＝a，＝b，＝＋＝－a－b，故①錯(cuò)； ＝＋＝a＋b，故②正確； ＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，故③正確； ＋

20、＋＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0，故④正確． ∴正確命題為②③④. 答案：3 9．設(shè)e 1，e 2是兩個(gè)不共線的向量，已知＝2 e1－8 e 2，＝e 1＋3 e 2，＝2e1－e2. (1)求證：A，B，D三點(diǎn)共線； (2)若＝3 e 1－k e 2，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線，求k的值． 解：(1)證明：由已知得＝－＝(2 e 1－e 2)－(e 1＋3 e 2)＝e 1－4 e 2， ∵＝2 e 1－8 e 2， ∴＝2. 又∵與有公共點(diǎn)B， ∴A，B，D三點(diǎn)共線． (2)由(1)可知＝e 1－4 e 2， ∵＝3 e 1－k e 2，且B，D，F(xiàn)三點(diǎn)共線， ∴＝λ

21、(λ∈R)， 即3 e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2， 得 解得k＝12. 10．已知P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，且3＋4 ＋5＝0，延長AP交BC于點(diǎn)D，若＝a，＝b，用a，b表示向量，. 解：∵＝－＝－a，＝－＝－b， 又3＋4＋5＝0，∴3＋4(－a)＋5(－b)＝0，∴＝a＋b. 設(shè)＝t (t∈R)，則＝ta＋tb.① 又設(shè)＝k (k∈R)，由＝－＝b－a， 得＝k(b－a)． 而＝＋＝a＋. ∴＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb.② 由①②得解得t＝. 代入①得＝a＋b. ∴＝a＋b，＝a＋b. 三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校 1.如圖，在△A

22、BC中，AD＝DB，AE＝EC，CD與BE交于點(diǎn)F，設(shè)＝a，＝b，＝xa＋yb，則(x，y)為(　　 ) A. B． C. D. 解析：選C　令＝λ ， 則＝＋＝＋λ＝＋λ＝(1－λ)＋λ； 令＝μ，則＝＋＝＋μ＝＋μ＝μ＋(1－μ). 由對(duì)應(yīng)系數(shù)相等可得解得 所以＝＋.故選C. 2．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，點(diǎn)E在線段CD上，若＝＋μ，則μ的取值范圍是________． 解析：由題意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2. ∵點(diǎn)E在線段CD上， ∴＝λ (0≤λ≤1)． ∵＝＋， 又＝＋μ＝＋2μ＝＋， ∴＝1，即μ＝.

23、 ∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤. 即μ的取值范圍是. 答案： 3．已知O，A，B是不共線的三點(diǎn)，且＝m＋n (m，n∈R)． (1)若m＋n＝1，求證：A，P，B三點(diǎn)共線； (2)若A，P，B三點(diǎn)共線，求證：m＋n＝1. 證明：(1)若m＋n＝1， 則＝m＋(1－m)＝＋m(－)， ∴－＝m(－)， 即＝m，∴與共線． 又∵與有公共點(diǎn)B， ∴A，P，B三點(diǎn)共線． (2)若A，P，B三點(diǎn)共線， 則存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ， ∴－＝λ(－)． 又＝m＋n. 故有m＋(n－1)＝λ－λ， 即(m－λ)＋(n＋λ－1)＝0. ∵O，A，B不共線，∴，不共線， ∴∴m＋n＝1

24、. 第二節(jié)平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示 1．平面向量基本定理 如果e 1，e 2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1 e 1＋λ2 e 2. 其中，不共線的向量e 1，e 2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． 2．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模： 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)， λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐標(biāo)的求法： ①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即

25、為向量的坐標(biāo)． ②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)， ||＝. 3．平面向量共線的坐標(biāo)表示 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0. [小題體驗(yàn)] 1．已知a＝(4,2)，b＝(－6，m)，若a∥b，則m的值為______． 答案：－3 2．(教材習(xí)題改編)已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，則3a＋4b＝________. 答案：(－6,19) 3．設(shè)e 1，e 2是平面內(nèi)一組基向量，且a＝e 1＋2 e 2，b＝－e 1＋e 2，則向量e 1＋e 2可以表示為另一組基向量a，b的線性組

26、合，即e 1＋e 2＝________a＋________b. 解析：由題意，設(shè)e 1＋e 2＝m a＋n B． 因?yàn)閍＝e 1＋2 e 2，b＝－e 1＋e 2， 所以e 1＋e 2＝m(e 1＋2 e 2)＋n(－e 1＋e)＝(m－n) e 1＋(2m＋n) e 2. 由平面向量基本定理，得所以 答案：?。? 4．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝________. 答案：－1 1．向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系．兩個(gè)相等的向量，無論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的． 2．若a＝(x1

27、，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0. [小題糾偏] 1．設(shè)e 1，e 2是平面內(nèi)一組基底，若λ1 e 1＋λ2 e 2＝0，則λ1＋λ2＝________. 答案：0 2．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________． 解析：∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴∴∴m－n＝2－5＝－3. 答案：－3 [題組練透] 1.如圖，在三角形ABC中，BE是邊AC的中線，O

28、是BE邊的中點(diǎn)，若＝a，＝b，則＝(　　) A.a＋b　　　　　 B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析：選D　∵在三角形ABC中， BE是AC邊上的中線， ∴＝. ∵O是BE邊的中點(diǎn)， ∴＝(＋)＝＋＝a＋b. 2．在△ABC中，點(diǎn)M，N滿足＝2，＝.若＝x＋y，則x＝________；y＝________. 解析：∵＝2，∴＝. ∵＝，∴＝(＋)， ∴＝－＝(＋)－ ＝－. 又＝x＋y， ∴x＝，y＝－. 答案：?。? 3．(易錯(cuò)題)如圖，以向量＝a，＝b為鄰邊作?OADB，＝，＝，用a，b表示，，. 解：∵＝－＝a－b， ＝＝a－b， ∴＝＋＝

29、a＋b. ∵＝a＋b， ∴＝＋ ＝＋ ＝＝a＋b， ∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b. 綜上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b. [謹(jǐn)記通法] 用平面向量基本定理解決問題的一般思路 (1)先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示為向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決． (2)在基底未給出的情況下，合理地選取基底會(huì)給解題帶來方便．另外，要熟練運(yùn)用平面幾何的一些性質(zhì)定理，如“題組練透”第3題． [題組練透] 1．向量a，b滿足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，則b為(　　) A．(－3,4)　　　　　　　 B．(3,4) C．(3，－4) D．(－3，－4)

30、 解析：選A　由a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，得2b＝(－1,5)－(5，－3)＝(－6,8)，∴b＝(－6,8)＝(－3,4)，故選A. 2．已知點(diǎn)M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(　　) A．(2,0) B．(－3,6) C．(6,2) D．(－2,0) 解析：選A　＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 設(shè)N(x，y)，則＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)， 所以即 3．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b， (1)求3a＋b－3c； (2)求滿足a＝mb＋n

31、c的實(shí)數(shù)m，n； (3)求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)． 解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴ 解得 (3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)． 又∵＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)，∴＝(9，－18)． [謹(jǐn)記通法] 平面向量坐標(biāo)運(yùn)算

32、的技巧 (1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)． (2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進(jìn)行求解． [典例引領(lǐng)] 1．已知梯形ABCD，其中AB∥CD，且DC＝2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為________． 解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥CD，∴＝2.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(4－x，2－y)，＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)， ∴解得故點(diǎn)D的

33、坐標(biāo)為(2,4)． 答案：(2,4) 2．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)． (1)當(dāng)k為何值時(shí)，ka－b與a＋2b共線； (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值． 解：(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)， ∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵ka－b與a＋2b共線， ∴2(k－2)－(－1)×5＝0， ∴k＝－. (2)＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， ＝(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)． ∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴∥， ∴8m－3(2m＋1

34、)＝0，∴m＝. [由題悟法] 向量共線的充要條件 (1)a∥b?a＝λb(b≠0)； (2)a∥b?x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．當(dāng)涉及向量或點(diǎn)的坐標(biāo)問題時(shí)一般利用(2)比較方便． [即時(shí)應(yīng)用] 1．(2018·麗水質(zhì)檢)已知a＝(1，－2)，b＝(x,1)，若(a＋b)∥b，則實(shí)數(shù)x的值為(　　) A．－　　　　　　　　　　 B. C．2 D．－2 解析：選A　因?yàn)閍＝(1，－2)，b＝(x,1)，所以a＋b＝(x＋1，－1)．因?yàn)?a＋b)∥b，所以x＋1－(－x)＝2x＋1＝0，解得x＝－. 2．(2018·貴陽監(jiān)測)已知向

35、量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若(m＋n)∥(m－n)，則λ＝________. 解析：因?yàn)閙＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)， 又(m＋n)∥(m－n)， 所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得λ＝0. 答案：0 3．設(shè)向量a，b滿足|a|＝2，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為________． 解析：∵a與b方向相反，∴可設(shè)a＝λb(λ<0)， ∴a＝λ(2,1)＝(2λ，λ)． 由|a|＝＝2，解得λ＝－2或λ＝2(舍去)， 故a＝(－4，－2)． 答案：(－4，－2) 4．若三點(diǎn)A(2,2)，B(a,0)，C(0，

36、b)(ab≠0)共線，則＋的值等于________． 解析：＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依題意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝. 答案： 一抓基礎(chǔ)，多練小題做到眼疾手快 1．在平行四邊形ABCD中，AC為對(duì)角線，若＝(2,4)，＝(1,3)，則＝(　　) A．(－2，－4)　　　　　　 B．(－3，－5) C．(3,5) D．(2,4) 解析：選B　由題意得＝－＝－＝(－)－＝－2＝(1,3)－2(2,4)＝(－3，－5)． 2．已知A(－1，－1)，B(m，m＋2)，C(2,5)三點(diǎn)共線，則m的值為(　　) A．1

37、 B．2 C．3 D．4 解析：選A　＝(m，m＋2)－(－1，－1)＝(m＋1，m＋3)， ＝(2,5)－(－1，－1)＝(3,6)， ∵A，B，C三點(diǎn)共線， ∴∥，∴3(m＋3)－6(m＋1)＝0， ∴m＝1.故選A. 3.如圖，在△OAB中，P為線段AB上的一點(diǎn)，＝x＋y，且＝2，則(　　) A．x＝，y＝ B．x＝，y＝ C．x＝，y＝ D．x＝，y＝ 解析：選A　由題意知＝＋，又＝2，所以＝＋＝＋(－)＝＋，所以x＝，y＝. 4．(2015·全國卷Ⅱ)設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝________. 解析：∵λa＋b與

38、a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)， 即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得 答案： 5．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，則實(shí)數(shù)x的值為________． 解析：因?yàn)閍＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b， 所以u(píng)＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)， v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)． 又因?yàn)閡∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0， 即10x＝5，解得x＝. 答案： 二保高考，全練題型做到高考達(dá)標(biāo) 1．(2018·溫州十校聯(lián)考)已知a＝(－3,1)，b＝(－1,2)，則3a－2

39、b＝(　　) A．(7,1) B．(－7，－1) C．(－7,1) D．(7，－1) 解析：選B　由題可得，3a－2b＝3(－3,1)－2(－1,2)＝(－9＋2，3－4)＝(－7，－1)． 2．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，m＝(b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，m∥n，則cos A的值等于(　　) A. B． C. D. 解析：選C　由m∥n，得(b－c)cos A－acos C＝0，再由正弦定理得 sin Bcos A＝sin Ccos A＋cos Csin A?sin B·cos A＝sin(C＋A)＝sin B，即cos A＝.

40、 3．已知A(7,1)，B(1,4)，直線y＝ax與線段AB交于點(diǎn)C，且＝2，則實(shí)數(shù)a等于(　　 ) A．2 B．1 C. D. 解析：選A　設(shè)C(x，y)，則＝(x－7，y－1)，＝(1－x,4－y)， ∵＝2，∴解得∴C(3,3)． 又∵點(diǎn)C在直線y＝ax上，∴3＝a×3，∴a＝2. 4．已知點(diǎn)A(2,3)，B(4,5)，C(7,10)，若＝＋λ (λ∈R)，且點(diǎn)P在直線x－2y＝0上，則λ的值為(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：選B　設(shè)P(x，y)，則由＝＋λ， 得(x－2，y－3)＝(2,2)＋λ(5,7)＝(2＋5λ，2＋7λ)， ∴x＝5λ

41、＋4，y＝7λ＋5. 又點(diǎn)P在直線x－2y＝0上， 故5λ＋4－2(7λ＋5)＝0， 解得λ＝－.故選B. 5．在平行四邊形ABCD中，AC與BD交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線與CD交于點(diǎn)F.若＝a，＝b，則＝(　　) A.a＋b B．a(chǎn)＋b C.a＋b D.a＋b 解析：選C　如圖，∵＝a，＝b， ∴＝＋＝＋＝a＋b. ∵E是OD的中點(diǎn)， ∴＝， ∴|DF|＝|AB|.∴＝＝(－)＝×＝－＝a－b， ∴＝＋＝a＋b＋a－b＝a＋b，故選C. 6．已知向量a＝(1,3)，b＝(－2,1)，c＝(3,2)．若向量c與向量ka＋b共線，則實(shí)數(shù)k＝_____

42、___，若c＝xa＋yb，則x＋y的值為________． 解析：ka＋b＝k(1,3)＋(－2,1)＝(k－2,3k＋1)，因?yàn)橄蛄縞與向量ka＋b共線，所以2(k－2)－3(3k＋1)＝0，解得k＝－1.因?yàn)閏＝xa＋yb，所以(3,2)＝(x－2y,3x＋y)，即x－2y＝3,3x＋y＝2，解得x＝1，y＝－1，所以x＋y＝0. 答案：－1　0 7．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)k應(yīng)滿足的條件是________． 解析：若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則向量，不共線． ∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)

43、， ＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)， ∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1. 答案：k≠1 8.給定兩個(gè)長度為1的平面向量和，它們的夾角為120°.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動(dòng)．若＝x＋y，其中x，y∈R，則x＋y的最大值是________． 解析：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在的直線為x軸，的方向?yàn)閤軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則可知A(1，0)，B，設(shè)C(cos α，sin α)，則有x＝cos α＋sin α，y＝sin α，所以x＋y＝cos α＋sin α＝2sin，所以當(dāng)α＝時(shí)，x＋y取得最大值2. 答案：2 9．平面內(nèi)給定三

44、個(gè)向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)． (1)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k. 解：(1)由題意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)， 所以解得 (2)a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， 由題意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0， 解得k＝－. 10．如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F(xiàn)分別為線段AD與BC的中點(diǎn)．設(shè)＝a，＝b，試用a，b為基底表示向量，，. 解：＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a， ＝＋＝－b＋＝b－a， ＝＋＝－b－＝a－b.

45、三上臺(tái)階，自主選做志在沖刺名校 1.如圖，G是△OAB的重心，P，Q分別是邊OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，且P，G，Q三點(diǎn)共線．設(shè)＝x，＝y(tǒng)，則＋＝________. 解析：∵點(diǎn)P，G，Q在一條直線上， ∴＝λ . ∴＝＋＝＋λ＝＋λ(－) ＝(1－λ)＋λ ＝(1－λ)x＋λy，① 又∵G是△OAB的重心， ∴＝＝×(＋) ＝＋.② 而，不共線，∴由①②，得 解得∴＋＝3. 答案：3 2．設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若＝λ (λ∈R)，＝μ (μ∈R)，且＋＝2，則稱A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2.已知點(diǎn)C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R)調(diào)

46、和分割點(diǎn)A(0,0)，B(1,0)，則下面說法正確的是(　　) A．C可能是線段AB的中點(diǎn) B．D可能是線段AB的中點(diǎn) C．C，D可能同時(shí)在線段AB上 D．C，D不可能同時(shí)在線段AB的延長線上 解析：選D　根據(jù)已知得(c,0)－(0,0)＝λ[(1,0)－(0,0)]，即(c,0)＝λ(1,0)，從而得c＝λ.(d,0)－(0,0)＝μ[(1,0)－(0,0)]，即(d,0)＝μ(1,0)，得d＝μ.根據(jù)＋＝2，得＋＝2.線段AB的方程是y＝0，x∈[0,1]．若C是線段AB的中點(diǎn)，則c＝，代入＋＝2得，＝0，此等式不可能成立，故選項(xiàng)A的說法不正確；同理選項(xiàng)B的說法也不正確；若C，D

47、同時(shí)在線段AB上，則0< c≤1,01，d>1，則＋<2，與＋＝2矛盾，若c <0，d<0，則＋是負(fù)值，與＋＝2矛盾，若c >1，d<0，則<1，<0，此時(shí)＋<1，與＋＝2矛盾，故選項(xiàng)D的說法是正確的． 3．已知三點(diǎn)A(a,0)，B(0，b)，C(2,2)，其中a>0，b>0. (1)若O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且四邊形OACB是平行四邊形，試求a，b的值； (2)若A，B，C三點(diǎn)共線，試求a＋b的最小值． 解：(1)因?yàn)樗倪呅蜲A

48、CB是平行四邊形， 所以＝，即(a,0)＝(2,2－b)， 解得 故a＝2，b＝2. (2)因?yàn)椋?－a，b)，＝(2,2－b)， 由A，B，C三點(diǎn)共線，得∥， 所以－a (2－b)－2 b＝0，即2(a＋b)＝a b， 因?yàn)閍>0，b >0，所以2(a＋b)＝a b≤2， 即(a＋b)2－8(a＋b)≥0，解得a＋b≥8或a＋b≤0. 因?yàn)閍>0，b >0，所以a＋b≥8，即a＋b的最小值是8. 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝4時(shí)，“＝”成立． 第三節(jié)平面向量的數(shù)量積與平面向量應(yīng)用舉例 1．向量的夾角 定義 圖示 范圍 共線與垂直 已知兩個(gè)非零向量a和b，作＝a，

49、＝b，則∠AOB就是a與b的夾角 設(shè)θ是a與b的夾角，則θ的取值范圍是0°≤θ≤180° θ＝0°或θ＝180°?a∥b，θ＝90°?a⊥b 2.平面向量的數(shù)量積 定義 設(shè)兩個(gè)非零向量a，b的夾角為θ，則數(shù)量|a|| b | cos θ叫做a與b的數(shù)量積，記作a·b 投影 |a| cos θ叫做向量a在b方向上的投影， | b | cos θ叫做向量b在a方向上的投影 幾何 意義 數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影| b | cos θ的乘積 3．向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)a·b＝b· a. (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．

50、 (3)(a＋b)·c＝a· c＋b· c. 4．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ. 結(jié)論 幾何表示 坐標(biāo)表示 模 |a|＝ |a|＝ 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要條件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b |與|a|| b |的關(guān)系 |a·b |≤|a|| b | |x1x2＋y1y2|≤ [小題體驗(yàn)] 1．已知|a|＝2，|b|＝6，a·b＝－6，則a與b的夾角θ為(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 答案：D 2．已知|a|＝5，|b|＝

51、4，a與b的夾角為120°，則a·b＝_____. 答案：－10 3．(2016·山東高考)已知向量a＝(1，－1)，b＝(6，－4)．若a⊥(ta＋b)，則實(shí)數(shù)t的值為________． 解析：∵a＝(1，－1)，b＝(6，－4)，∴ta＋b＝(t＋6，－t－4)． 又a⊥(ta＋b)，則a·(ta＋b)＝0，即t＋6＋t＋4＝0，解得t＝－5. 答案：－5 4．已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，則t＝________. 解析：因?yàn)橄蛄縜，b為單位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夾角為60°，所以a·b＝，由b·c＝0，得b·[ta＋

52、(1－t)b]＝0，即t a·b＋(1－t)b2＝0，所以t＋(1－t)＝0，所以t＝2. 答案：2 5．已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點(diǎn)，則·＝________. 解析：選向量的基底為，，則＝－，＝＋，所以·＝·(－)＝2. 答案：2 1．?dāng)?shù)量積運(yùn)算律要準(zhǔn)確理解、應(yīng)用，例如，a·b＝a·c(a≠0)不能得出b＝c，兩邊不能約去一個(gè)向量． 2．兩個(gè)向量的夾角為銳角，則有a·b>0，反之不成立；兩個(gè)向量夾角為鈍角，則有a·b<0，反之不成立． 3．a(chǎn)·b＝0不能推出a＝0或b＝0，因?yàn)閍·b＝0時(shí)，有可能a⊥b. 4．在用|a|＝求向量的模時(shí)，一定要把求出的a2再

53、進(jìn)行開方． [小題糾偏] 1．若a，b是兩個(gè)互相垂直的非零向量，給出以下式子：①a·b＝0；②a＋b＝a－b；③|a＋b|＝|a－b|；④a2＋b2＝(a＋b)2.其中正確的個(gè)數(shù)是(　　) A．1　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 解析：選C　因?yàn)閍，b是兩個(gè)互相垂直的非零向量，所以a·b＝0；所以(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝a2＋b2；(a－b)2＝a2＋b2－2a·b＝a2＋b2；所以(a＋b)2＝(a－b)2，即|a＋b|＝|a－b|.故①③④是正確的，②是錯(cuò)誤的． 2．(2016·北京高考)已知向量a＝(1，)，b＝(，1)，則a與b夾角的大小為____

54、____． 解析：由題意得|a|＝＝2，|b|＝＝2， a·b＝1×＋×1＝2. 設(shè)a與b的夾角為θ，則cos θ＝＝. ∵θ∈[0，π]，∴θ＝. 答案： [題組練透] 1．設(shè)a＝(1，－2)，b＝(－3,4)，c＝(3,2)，則(a＋2b)·c＝(　　) A．(－15,12)　　　　　　　 B．0 C．－3 D．－11 解析：選C　∵a＋2b＝(1，－2)＋2(－3,4)＝(－5,6)， ∴(a＋2b)·c＝(－5,6)·(3,2)＝－3. 2．(2015·山東高考)已知菱形ABCD的邊長為a，∠ABC＝60°，則·＝(　　) A．－a2 B．－a2

55、 C.a2 D.a2 解析：選D　由已知條件得·＝·＝a·acos 30°＝a2，故選D. 3．已知向量a與b的夾角為60°，且a＝(－2，－6)，|b|＝，則a·b＝________；(2a－b)·(a＋b)＝__________. 解析：因?yàn)閍＝(－2，－6)， 所以|a|＝＝2， 又|b|＝，向量a與b的夾角為60°， 所以a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2××＝10. (2a－b)·(a＋b)＝2a2＋a·b－b2＝80＋10－10＝80. 答案：10　80 4.如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝2，D為BC的中點(diǎn)，則·＝________

56、. 解析：法一：由題意知，AC＝BC＝2，AB＝2， ∴·＝·(＋) ＝·＋· ＝||·||cos 45°＋||·||cos 45° ＝2×2×＋2×1×＝6. 法二：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 由題意得A(0,2)，B(－2,0)， D(－1,0)， ∴＝(－2,0)－(0,2)＝(－2，－2)， ＝(－1,0)－(0,2)＝(－1，－2)， ∴·＝－2×(－1)＋(－2)×(－2)＝6. 答案：6 [謹(jǐn)記通法] 向量數(shù)量積的2種運(yùn)算方法 方法 運(yùn)用提示 適用題型 定義法 當(dāng)已知向量的模和夾角θ時(shí)，可利用定義法求解，即a·b＝|a|·| b | co

57、s θ 適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問題 坐標(biāo)法 當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí)，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2 適用于已知相應(yīng)向量的坐標(biāo)求解數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問題 [鎖定考向] 平面向量的夾角與模的問題是高考中的常考內(nèi)容，題型多為選擇題、填空題，難度適中，屬中檔題． 常見的命題角度有： (1)平面向量的模； (2)平面向量的夾角； (3)平面向量的垂直； (4)與最值、范圍有關(guān)問題．　　　 　 [題點(diǎn)全練] 角度一：平面向量的模 1．已知e 1，e2是單位向量，且e1·e2＝.若向量b滿足b·e1＝b·e

58、2＝1，則|b|＝________. 解析：法一：∵e1·e2＝， ∴|e1||e2|cose1，e2＝，∴e1，e2＝60°. 又∵b·e1＝b·e2＝1＞0，∴b，e1＝b，e2＝30°. 由b·e1＝1，得|b||e1|cos 30°＝1，∴|b|＝＝. 法二：由題可得，不妨設(shè)e1＝(1,0)，e2＝，b＝(x，y)． 因?yàn)閎·e1＝b·e2＝1， 所以x＝1，x＋y＝1，解得y＝. 所以b＝，所以|b|＝ ＝. 答案： 角度二：平面向量的夾角 2．(2018·山西四校聯(lián)考)已知|a|＝1，|b|＝，且a⊥(a－b)，則向量a與向量b的夾角為(　　)

59、 A.　　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：選B　∵a⊥(a－b)，∴a·(a－b)＝a2－a·b＝1－cosa，b＝0，∴cosa，b＝，∴a，b＝. 3．已知e1，e2是夾角為的兩個(gè)單位向量，a＝e1－2e2，b＝k e 1＋e 2，若a·b＝0，則實(shí)數(shù)k的值為________． 解析：∵e1，e2的模為1，且其夾角θ＝. ∴a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝ke＋e1·e2－2ke1·e2－2e ＝k＋(1－2k)cos－2＝2k－. 又∵a·b＝0，∴2k－＝0，即k＝. 答案： 角度三：平面向量的垂直 4．(2016·山東高考)

60、已知非零向量m，n滿足4|m|＝3|n|，cos〈m，n〉＝，若n⊥(t m＋n)，則實(shí)數(shù)t的值為(　　) A．4 B．－4 C. D．－ 解析：選B　∵n⊥(t m＋n)， ∴n·(t m＋n)＝0， 即t m·n＋| n |2＝0， ∴t|m|| n |cos〈m，n〉＋| n |2＝0. 又4|m|＝3| n |，∴t×|n|2×＋| n |2＝0， 解得t＝－4.故選B. 5．已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π. (1)若|a－b|＝，求證：a⊥b； (2)設(shè)c＝(0,1)，若a＋b＝c，求α，β的值． 解

61、：(1)證明：由題意得|a－b|2＝2， 即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2. 又因?yàn)閍2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1， 所以2－2a·b＝2， 即a·b＝0，故a⊥b. (2)因?yàn)閍＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以 由此得，cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝，而α>β，所以α＝，β＝. 角度四：與最值、范圍有關(guān)問題 6．(2017·全國卷Ⅱ)已知△ABC是邊長為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則·(＋)的最小

62、值是(　　) A．－2 B．－ C．－ D．－1 解析：選B　如圖，以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸，以BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，)，B(－1，0)，C(1,0)，設(shè)P(x，y)，則＝(－x, －y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋22－，當(dāng)x＝0，y＝時(shí)，·(＋)取得最小值，為－. 7．已知四邊形ABCD的對(duì)角線相交于一點(diǎn)，＝(1，)，＝(－，1)，則·的取值范圍是(　　) A．(0,2) B．(0,4] C．[－2,0) D．[－4,0) 解析：選C　由已知得，|

63、|＝||＝2，AC⊥BD. 法一(基底法)：設(shè)四邊形ABCD的對(duì)角線相交于一點(diǎn)O，設(shè)OA＝x，OB＝y(tǒng)， 則OC＝2－x，OD＝2－y，且0

64、，B(0，－b)，C(2－a,0)， D(0,2－b)， 所以＝(a，－b)，＝(a－2,2－b)． 所以·＝a (a－2)＋(－b)(2－b) ＝(a－1)2＋(b－1)2－2. 又0≤(a－1)2<1,0≤(b－1)2<1， 所以－2≤·<0. [通法在握] 1．平面向量數(shù)量積求解問題的策略 (1)求兩向量的夾角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]． (2)求向量的模：利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法有： ①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝. ②|a±b|＝＝. ③若a＝(x，y)，則|a|＝. (3)兩向量垂直的應(yīng)用：兩非零向量垂直的充要條件是：a⊥b?a·b

65、＝0?|a－b|＝|a＋b|. 2．?dāng)?shù)量積的最值或范圍問題的2種求解方法 (1)臨界分析法：結(jié)合圖形，確定臨界位置的動(dòng)態(tài)分析求出范圍． (2)目標(biāo)函數(shù)法：將數(shù)量積表示為某一個(gè)變量或兩個(gè)變量的函數(shù)，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用三角函數(shù)有界性、二次函數(shù)或基本不等式求最值或范圍． [演練沖關(guān)] 1.如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝60°，M為DC的中點(diǎn)，若N為菱形內(nèi)任意一點(diǎn)(含邊界)，則·的最大值為(　　) A．3 B．2 C．6 D．9 解析：選D　由平面向量數(shù)量積的幾何意義知，·等于與在方向上的投影之積，所以(·)max＝·＝＋ ·(＋)＝2＋2＋·＝9. 2．已知單位向

66、量e1與e2的夾角為α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2與b＝3e1－e2的夾角為β，則cos β＝________. 解析：a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×＝8. ∵|a|2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－12×1×1×＝9， ∴|a|＝3. ∵|b|2＝(3e1－e2)2＝9＋1－6×1×1×＝8， ∴|b|＝2， ∴cos β＝＝＝. 答案： 3．已知向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2.若＝λ ＋，且⊥，則實(shí)數(shù)λ的值為________． 解析：＝－，由于⊥， 所以·＝0， 即(λ＋)·(－) ＝－λ2＋2＋(λ－1)· ＝－9λ＋4＋(λ－1)×3×2× ＝0，解得λ＝. 答案： 4．在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，M，N(不與A，C重合)為AC邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且滿足||＝，則·的取值范圍為________． 解析：以等腰直角三角形的直角邊BC為x軸，BA為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則B(0,0)，直線AC的方程為x＋y＝2. 設(shè)M(a,2－a)，則0