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1、2022年高考數(shù)學大二輪復習 板塊二 練透基礎送分小考點 第2講 不等式與推理證明優(yōu)選習題 文 [考情考向分析]　1.利用不等式性質比較大小，利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃問題是高考的熱點.2.一元二次不等式常與函數(shù)、數(shù)列結合考查一元二次不等式的解法和參數(shù)的取值范圍.3.利用不等式解決實際問題.4.以數(shù)表、數(shù)陣、圖形為背景與數(shù)列、周期性等知識相結合考查歸納推理和類比推理，多以小題形式出現(xiàn).5.直接證明和間接證明的考查主要作為證明和推理數(shù)學命題的方法，常與函數(shù)、數(shù)列及不等式等綜合命題． 1．(2018·天津)設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)z＝3x＋5y的最大值為(　　) A．6B．19

2、C．21D．45 答案　C 解析　畫出可行域如圖陰影部分所示(含邊界)， 由z＝3x＋5y，得y＝－x＋. 設直線l0為y＝－x，平移直線l0，當直線y＝－x＋過點P(2,3)時，z取得最大值，zmax＝3×2＋5×3＝21. 故選C. 2．對于使f(x)≤M恒成立的所有常數(shù)M中，我們把M的最小值叫做f(x)的上確界，若a>0，b>0且a＋b＝1，則－－的上確界為(　　) A.B．－C.D．－4 答案　B 解析?。剑?a＋b) ＝－≤－＝－， 當且僅當＝，即b＝2a＝時取等， 所以原式的上確界為－，故選B. 3．(2018·綿陽三診)甲、乙、丙三人各買了一輛不

3、同品牌的新汽車，汽車的品牌為奇瑞、傳祺、吉利．甲、乙、丙讓丁猜他們三人各買的什么品牌的車，丁說：“甲買的是奇瑞，乙買的不是奇瑞，丙買的不是吉利．”若丁的猜測只對了一個，則甲、乙所買汽車的品牌分別是(　　) A．吉利，奇瑞 B．吉利，傳祺 C．奇瑞，吉利 D．奇瑞，傳祺 答案　A 解析　因為丁的猜測只對了一個，所以“甲買的是奇瑞，乙買的不是奇瑞”這兩個都是錯誤的．否則“甲買的不是奇瑞，乙買的不是奇瑞”或“甲買的是奇瑞，乙買的是奇瑞”是正確的，這與三人各買了一輛不同品牌的新汽車矛盾，“丙買的不是吉利”是正確的，所以乙買的是奇瑞，甲買的是吉利． 4．(2018·佛山質檢)已知a>0，設x，

4、y滿足約束條件且z＝2x－y的最小值為－4，則a等于(　　) A．1B．2C．3D．4 答案　C 解析　作出可行域，如圖△ABC內部(包括邊界)， 并作直線l：2x－y＝0，當直線l向上平移時，z減小， 可見，當l過點A時，z取得最小值， ∴2×－＝－4，解得a＝3. 5．(2018·四平模擬)設x>0，y>0，若xlg2，lg，ylg2成等差數(shù)列，則＋的最小值為(　　) A．8B．9C．12D．16 答案　D 解析　∵xlg2，lg，ylg2成等差數(shù)列， ∴2lg＝(x＋y)lg2，∴x＋y＝1. ∴＋＝(x＋y)≥10＋2 ＝10＋6＝16， 當且僅當x＝，

5、y＝時取等號， 故＋的最小值為16. 6．(2018·河北省衡水金卷調研卷)下面推理過程中使用了類比推理方法，其中推理正確的個數(shù)是(　　) ①“數(shù)軸內兩點間距離公式為|AB|＝，平面內兩點間距離公式為|AB|＝”，類比推出“空間內兩點間的距離公式為|AB|＝”； ②“代數(shù)運算中的完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2”類比推出“向量中的運算(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2仍成立”； ③“平面內兩不重合的直線不平行就相交”類比推出“空間內兩不重合的直線不平行就相交”也成立； ④“圓x2＋y2＝1上點P(x0，y0)處的切線方程為x0x＋y0y＝1”類比推出“橢圓＋＝1(a>b

6、>0)上點P(x0，y0)處的切線方程為＋＝1”． A．1B．2C．3D．4 答案　C 解析　對于①，根據(jù)空間內兩點間距離公式可知，類比正確；對于②，(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝a2＋a·b＋b·a＋b2＝a2＋2a·b＋b2，類比正確；對于③，在空間內不平行的兩直線，有相交和異面兩種情況，類比錯誤；對于④，橢圓＋＝1(a>b>0)上點P(x0，y0)處的切線方程為＋＝1為真命題，綜上所述，可知正確個數(shù)為3. 7．(2018·安徽省“皖南八校”聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝ln，若x，y滿足f(x)＋f≥0，則的取值范圍是(　　) A. B. C．(－1,1) D．[－1,

7、1] 答案　C 解析　根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，可知函數(shù)f(x)是定義在(－1,1)上的奇函數(shù)，從而f(x)＋f≥0可以轉化為f(x)≥f，并且f(x)＝ln，可以判斷出函數(shù)f(x)在定義域上是減函數(shù)，從而有根據(jù)約束條件，畫出對應的可行域如圖所示， 根據(jù)目標函數(shù)的幾何意義可知，表示可行域中的點(x，y)與C(－3,0)連線的斜率，可知在點A(－1，－2)處取得最小值，在點B(－1,2)處取得最大值，而邊界值取不到，故答案是(－1,1)． 8．(2018·河北省衡水金卷模擬)已知點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上運動，且＝(，)，設|CE|＝x，|CF|＝y(tǒng)，若|－|＝||

8、，則x＋y的最大值為(　　) A．2B．4C．2D．4 答案　C 解析　∵||＝＝2，|－|＝||， 又∵|－|＝||＝＝2， ∴x2＋y2＝4. ∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2(x2＋y2)＝8， 當且僅當x＝y(tǒng)時取等號，∴x＋y≤2， 即x＋y的最大值為2. 9．(2018·嘉興模擬)已知x＋y＝＋＋8(x>0，y>0)，則x＋y的最小值為(　　) A．5B．9C．4＋D．10 答案　B 解析　由x＋y＝＋＋8，得x＋y－8＝＋， 兩邊同時乘以“x＋y”，得 (x＋y－8)(x＋y)＝(x＋y)， 所以(x＋y－8)(x＋y)＝≥9， 當且僅當y＝2

9、x時等號成立，令t＝x＋y， 所以(t－8)·t≥9，解得t≤－1或t≥9， 因為x>0，y>0，所以x＋y≥9，即(x＋y)min＝9. 10．(2018·湖南省長沙市雅禮中學、河南省實驗中學聯(lián)考)如圖，將平面直角坐標系的格點(橫、縱坐標均為整數(shù)的點)按如下規(guī)則標上數(shù)字標簽：原點處標0，點(1,0)處標1，點(1，－1)處標2，點(0，－1)處標3，點(－1，－1)處標4，點(－1,0)處標5，點(－1,1)處標6，點(0,1)處標7，以此類推，則標簽20172的格點的坐標為(　　) A．(2017,2016) B．(2016,2015) C．(1009,1008) D

10、．(1008,1007) 答案　C 解析　由圖形規(guī)律可知，由0(記為第0圈)開始， 第n圈的正方形右上角標簽為(2n＋1)2－1，坐標為(n，n)， 所以標簽為20172的數(shù)字是標簽為20172－1的右邊一格， 標簽為20172－1的坐標為(1008,1008)， 所以標簽為20172的坐標為(1009,1008)． 11．(2018·衡水金卷信息卷)已知不等式組表示的平面區(qū)域為M，若m是整數(shù)，且平面區(qū)域M內的整點(x，y)恰有3個(其中整點是指橫、縱坐標都是整數(shù)的點)，則m的值是(　　) A．1B．2C．3D．4 答案　B 解析　根據(jù)題意可知m>0，又m是整數(shù)， 所以當

11、m＝1時，平面區(qū)域M為 此時平面區(qū)域M內只有整點(0,0)，(1,0)，共2個， 不符合題意； 當m＝2時，平面區(qū)域M為 此時平面區(qū)域M內只有整點(0,0)，(1,0)，(2,0)， 共3個，符合題意； 當m＝3時，平面區(qū)域M為 此時平面區(qū)域M內只有整點(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，共5個，不符合題意； 依次類推，當m>3時，平面區(qū)域M內的整點一定大于3個，不符合題意． 綜上，整數(shù)m的值為2. 12．(2018·上海普陀區(qū)模擬)已知k∈N*，x，y，z都是正實數(shù)，若k(xy＋yz＋zx)>5(x2＋y2＋z2)，則對此不等式描述正確的是(　　)

12、 A．若k＝5，則至少存在一個以x，y，z為邊長的等邊三角形 B．若k＝6，則對任意滿足不等式的x，y，z都存在以x，y，z為邊長的三角形 C．若k＝7，則對任意滿足不等式的x，y，z都存在以x，y，z為邊長的三角形 D．若k＝8，則對滿足不等式的x，y，z不存在以x，y，z為邊長的直角三角形 答案　B 解析　本題可用排除法，由x2＋y2＋z2＝＋＋≥xy＋yz＋zx， 對于A，若k＝5，可得xy＋yz＋zx>x2＋y2＋z2， 故不存在這樣的x，y，z，A錯誤，排除A； 對于C，當x＝1，y＝1，z＝2時，7(xy＋yz＋zx)>5(x2＋y2＋z2)成立，而以x，y，z為

13、邊的三角形不存在，C錯誤，排除C； 對于D，當x＝1，y＝1，z＝時，8(xy＋yz＋zx)>5(x2＋y2＋z2)成立，存在以x，y，z為邊的三角形為直角三角形，故D錯誤，排除D，故選B. 13．(2018·荊州質檢)已知x，y滿足不等式組若不等式ax＋y≤7恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是________． 答案　[－4,3] 解析　畫出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，由題意可得點A，B的坐標為A(－2，－1)，B(2,1)． 又直線ax＋y－7＝0過定點M(0,7)， 故得kMA＝4，kMB＝－3. 由圖形得，若不等式ax＋y≤7恒成立， 則解得－4≤a≤3.

14、故實數(shù)a的取值范圍是[－4,3]． 14．(2018·衡水金卷調研卷)觀察三角形數(shù)組，可以推測：該數(shù)組第八行的和為________． 答案　1296 解析　第一行的和為12，第二行的和為32＝(1＋2)2， 第三行的和為62＝(1＋2＋3)2， 第四行的和為(1＋2＋3＋4)2＝102，…， 第八行的和為(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8)2＝1296. 15．(2018·河北省衡水金卷模擬)已知實數(shù)x，y滿足不等式組則目標函數(shù)z＝4x2＋y2的最大值與最小值之和為________． 答案　 解析　令t＝2x，則x＝， 原可行域等價于作出可行域如圖(陰影部分含邊界)所示， 經計算得C.z＝4x2＋y2＝t2＋y2的幾何意義是點P(t，y)到原點O的距離d的平方，由圖可知，當點P與點C重合時，d取最大值；d的最小值為點O到直線AB：t－y－1＝0的距離，故zmax＝＋1＝，zmin＝2＝，所以z＝4x2＋y2的最大值與最小值之和為. 16．(2018·濱海新區(qū)七所重點學校聯(lián)考)若正實數(shù)x，y滿足x＋2y＝5，則＋的最大值是________． 答案　 解析?。剑?y－ ＝x＋1－2＋2y－ ＝x＋2y－1－(x＋1＋2y) ＝4－ ≤4－ ＝4－(4＋2)＝. 當且僅當＝，x＋2y＝5， 即x＝2，y＝時，等號成立．