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1、(山東濱州專用)2022中考數(shù)學(xué) 大題加練(一)
1.(xx·無棣一模)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D,E分別在AB,AC上,且BE平分∠ABC,∠ABE=∠ACD,BE,CD交于點(diǎn)F.
(1)求證:=;
(2)請?zhí)骄烤€段DE,CE的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
(3)若CD⊥AB,AD=2,BD=3,求線段EF的長.
2.(xx·濱州一模)如圖,已知正方形紙片ABCD的邊長為2,將正方形紙片折疊,使頂點(diǎn)A落在邊CD上的點(diǎn)P處(點(diǎn)P與點(diǎn)C,D不重合),折痕為EF,折疊后AB邊落在PQ的位置,PQ與BC交于點(diǎn)G.
(1)觀察操作結(jié)果,找到一個(gè)與△EDP
2、相似的三角形,并證明你的結(jié)論;
(2)當(dāng)點(diǎn)P位于CD中點(diǎn)時(shí),(1)問中你找到的三角形與△EDP周長的比是多少.
3.(xx·濱州一模)直線y=-x+分別與x軸、y軸交于A,B兩點(diǎn),⊙E經(jīng)過原點(diǎn)O及A,B兩點(diǎn),C是⊙E上一點(diǎn),連接BC交OA于點(diǎn)D,∠COD=∠CBO.
(1)求A,B,C三點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求經(jīng)過O,C,A三點(diǎn)的拋物線的解析式;
(3)直線AB上是否存在點(diǎn)P,使得△COP的周長最?。舸嬖?,請求出P點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
參考答案
1.解:(1)證明:∵∠ABE=∠ACD,∠A
3、=∠A,
∴△ABE∽△ACD,
∴=.
(2)DE=CE.理由如下:
∵=,∴=.
又∵∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,
∴∠AED=∠ABC.
∵∠AED=∠ACD+∠CDE,∠ABC=∠ABE+∠CBE,
∴∠ACD+∠CDE=∠ABE+∠CBE.
∵∠ABE=∠ACD,∴∠CDE=∠CBE.
∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠CBE,
∴∠CDE=∠ABE=∠ACD,
∴DE=CE.
(3)∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠BDC=90°,
∴∠A+∠ACD=∠CDE+∠ADE=90°.
∵∠ABE=∠ACD,∠CDE=∠ACD,
∴∠A=∠ADE,∠BEC
4、=∠ABE+∠A=∠A+∠ACD=90°,
∴AE=DE,BE⊥AC.
∵DE=CE,∴AE=DE=CE,∴AB=BC.
∵AD=2,BD=3,∴BC=AB=AD+BD=5.
在Rt△BDC中,CD===4,
在Rt△ADC中,AC===2,
∴DE=AE=CE=.
∵∠ADC=∠FEC=90°,
∴tan∠ACD==,
∴EF===.
2.解:(1)與△EDP相似的三角形是△PCG.
證明如下:∵四邊形ABCD是正方形,
∴∠A=∠C=∠D=90°.
由折疊知∠EPQ=∠A=90°,
∴∠DPE+∠DEP=90°,∠DPE+∠CPG=90°,
∴∠DEP=∠CP
5、G.
∴△EDP∽△PCG.
(2)設(shè)ED=x,則AE=2-x,
由折疊可知EP=AE=2-x.
∵點(diǎn)P是CD中點(diǎn),∴DP=1.
∵∠D=90°,∴ED2+DP2=EP2,即x2+12=(2-x)2,
解得x=,∴ED=.
∵△EDP∽△PCG,
∴==,
∴△PCG與△EDP周長的比為.
3.解:(1)∵直線y=-x+分別與x軸、y軸交于A,B兩點(diǎn),
∴當(dāng)x=0時(shí),y=,當(dāng)y=0時(shí),x=3,
∴點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)B(0,),
∴AB==2,
∴AE=BE=AB=.
如圖,連接EC,交x軸于點(diǎn)H.
∵∠COD=∠CBO,
∴=,
∴EC⊥OA,OC=AC
6、,
∴OH=AH=OA=.
在Rt△AEH中,EH==,
∴CH=EC-EH=,
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(,-).
(2)設(shè)經(jīng)過O,C,A三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax(x-3).
∵點(diǎn)C的坐標(biāo)為(,-),
∴-=a××(-3),
解得a=,
∴經(jīng)過O,C,A三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=x2-x.
(3)存在.
∵OC=,
∴當(dāng)OP+CP最小時(shí),△COP的周長最小,
如圖,過點(diǎn)O作OF⊥AB于點(diǎn)F,并延長交⊙O于點(diǎn)K,連接CK交直線AB于點(diǎn)P,則點(diǎn)P即為所求.
∵∠OAB=30°,∴∠AOF=60°.
∵∠COD=30°,∴∠COK=90°,
∴CK是直徑.
∵點(diǎn)P在直線AB上,
∴點(diǎn)P與點(diǎn)E重合.
由A,B點(diǎn)坐標(biāo)可得直線AB的解析式為y=x+,
∵點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為,
∴y=-×+=,
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(,).