《2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義：第8章 第02節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理 Word版含答案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義：第8章 第02節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理 Word版含答案（8頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義：第8章 第02節(jié) 空間圖形的基本關(guān)系與公理 Word版含答案 考點(diǎn) 高考試題 考查內(nèi)容 核心素養(yǎng) 空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系 xx·全國(guó)卷Ⅱ·T18·12分 線線垂直的證明及體積的計(jì)算 直觀想象 邏輯推理 xx·全國(guó)卷Ⅰ·T19·12分 線面平行的證明及點(diǎn)面間的距離 命題分析 高考對(duì)本節(jié)內(nèi)容的考查以棱柱、棱錐為依托，考查點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系以及幾何體體積的計(jì)算，考查空間想象能力和邏輯推理能力，難度中等. ③直線和平面平行：直線和平面沒(méi)有公共點(diǎn)． (5)空間平面與平面的位置關(guān)系有兩種： ①平行平面：兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)． ②

2、相交平面：兩個(gè)平面不重合，并且有公共點(diǎn)． 2．空間圖形的公理及等角定理 文字語(yǔ)言 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 公理1 過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面(即可以確定一個(gè)平面) 若A、B、C三點(diǎn)不共線，則存在一個(gè)平面α使A∈α，B∈α，C∈α 公理2 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)(即直線在平面內(nèi)) 若A∈l，B∈l，A∈α，B∈α，則lα 公理3 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條通過(guò)這個(gè)點(diǎn)的公共直線 若A∈α，A∈β，則α∩β＝l，且A∈l 公理4 平行于同一條直線的兩條直線平行 若a∥b，b∥

3、c，則a∥c 等角定理 空間中，如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ) 若AO∥A′O′，BC∥B′O′，則∠AOB＝∠A′O′B′，∠AOC和∠A′O′B′互補(bǔ) 3．異面直線所成的角 (1)定義：過(guò)空間任意一點(diǎn)P分別引兩條異面直線a，b的平行線l1，l2，這兩條相交直線所成的銳角(或直角)就是異面直線a，b所成的角． 如果兩條異面直線所成的角是直角，則稱這兩條直線互相垂直． (2)范圍：. 提醒： 辨明三個(gè)易誤點(diǎn) (1)異面直線易誤解為“分別在兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線為異面直線”，實(shí)質(zhì)上兩異面直線不能確定任何一個(gè)平面，因此異面直線既不平行，也不相交．

4、 (2)直線與平面的位置關(guān)系在判斷時(shí)最易忽視“線在面內(nèi)”． (3)兩異面直線所成的角歸結(jié)到一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽視這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角． 1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)如果兩個(gè)不重合的平面α，β有一條公共直線a，就說(shuō)平面α，β相交，并記作α∩β＝a.(　　) (2)兩個(gè)平面α，β有一個(gè)公共點(diǎn)A，就說(shuō)α，β相交于過(guò)A點(diǎn)的任意一條直線．(　　) (3)兩個(gè)平面ABC與DBC相交于線段BC.(　　) (4)經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．(　　) (5)沒(méi)有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線．(　　) 答案

5、：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)× 2．(教材習(xí)題改編)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，則異面直線B1C與EF所成的角的大小為(　　) A．30°　　　 B．45°　　 C．60°　　　 D．90° 解析：選C　連接B1D1，D1C，則B1D1∥EF，故∠D1B1C為所求的角，又B1D1＝B1C＝D1C，∴∠D1B1C＝60°. 3．四條線段順次首尾相連，它們最多可確定的平面?zhèn)€數(shù)有(　　) A．4個(gè)　　　 B．3個(gè)　　 C．2個(gè)　　　 D．1個(gè) 解析：選A　首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個(gè)平面，所以最多可以確

6、定四個(gè)平面． 4．(xx·浙江卷)已知互相垂直的平面α，β交于直線l.若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則(　　) A．m∥l　　　 B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n 解析：選C　由已知，α∩β＝l，∴l(xiāng)β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C正確． 5．(教材習(xí)題改編)兩兩相交的三條直線最多可確定________個(gè)平面． 解析：當(dāng)三條直線共點(diǎn)且不共面時(shí)，最多可確定3個(gè)平面． 答案：3 平面的基本性質(zhì) [明技法] 共面、共線、共點(diǎn)問(wèn)題的證明 (1)證明點(diǎn)或線共面問(wèn)題的兩種方法： ①首先由所給條件中的部分線(或點(diǎn))確定一個(gè)平面，然后再證其余的線(或點(diǎn))在這個(gè)平面內(nèi)；②將所

7、有條件分為兩部分，然后分別確定平面，再證兩平面重合． (2)證明點(diǎn)共線問(wèn)題的兩種方法： ①先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上；②直接證明這些點(diǎn)都在同一條特定直線上． (3)證明線共點(diǎn)問(wèn)題的常用方法是： 先證其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證其他直線經(jīng)過(guò)該點(diǎn)． [提能力] 【典例】 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)．求證：E、C、D1、F四點(diǎn)共面． 證明：如圖所示，連接CD1、EF、A1B， 因?yàn)镋、F分別是AB和AA1的中點(diǎn)， 所以EF∥A1B且EF＝A1B. 又因?yàn)锳1D1＝BC且A1D1∥BC， 所以四邊形A

8、1BCD1是平行四邊形， 所以A1B∥CD1，所以EF∥CD1， 所EF與CD1確定一個(gè)平面α， 所以E、F、C、D1∈α，即E、C、D1、F四點(diǎn)共面． [母題變式] 本例條件不變，如何證明“CE，D1F，DA交于一點(diǎn)”？ 證明： 如圖，由本例知EF∥CD1，且EF＝CD1， 所以四邊形CD1FE是梯形， 所以CE與D1F必相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則P∈CE，且P∈D1F， 又CE平面ABCD，且D1F平面A1ADD1， 所以P∈平面ABCD，且P∈平面A1ADD1. 又平面ABCD∩平面A1ADD1＝AD，所以P∈AD， 所以CE、D1F、DA三線共點(diǎn)． [刷好題]

9、 已知空間四邊形ABCD(如圖所示)，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，G、H分別是BC、CD上的點(diǎn)，且CG＝BC，CH＝DC.求證： (1)E、F、G、H四點(diǎn)共面； (2)三直線FH、EG、AC共點(diǎn)． 證明：(1)連接EF、GH， 因?yàn)镋、F分別是AB、AD的中點(diǎn)， 所以EF∥BD. 又因?yàn)镃G＝BC，CH＝DC， 所以GH∥BD，所以EF∥GH， 所以E、F、G、H四點(diǎn)共面． (2)易知FH與直線AC不平行，但共面， 所以設(shè)FH∩AC＝M， 所以M∈平面EFHG，M∈平面ABC. 又因?yàn)槠矫鍱FHG∩平面ABC＝EG， 所以M∈EG，所以FH、EG、AC共點(diǎn)

10、． 空間兩條直線的位置關(guān)系 [明技法] 空間兩直線位置關(guān)系的判斷方法 空間中兩直線位置關(guān)系的判定，主要是異面、平行和垂直的判定．對(duì)于異面直線，可采用直接法或反證法；對(duì)于平行直線，可利用三角形(梯形)中位線的性質(zhì)、公理4及線面平行與面面平行的性質(zhì)定理；對(duì)于垂直關(guān)系，往往利用線面垂直的性質(zhì)來(lái)解決． [提能力] 【典例】 (1)下列結(jié)論正確的是(　　) ①在空間中，若兩條直線不相交，則它們一定平行； ②平行于同一條直線的兩條直線平行； ③一條直線和兩條平行直線中的一條相交，那么它也和另一條相交； ④空間四條直線a，b，c，d，如果a∥b，c∥d，且a∥d，那么b∥c. A．

11、①②③　　　 B．②④ C．③④　　　 D．②③ (2)已知a、b、c是相異直線，α、β、γ是相異平面，則下列命題中正確的是(　　) A．a(chǎn)與b異面，b與c異面?a與c異面 B．a(chǎn)與b相交，b與c相交?a與c相交 C．α∥β，β∥γ?α∥γ D．a(chǎn)α，bβ，α與β相交?a與b相交 解析：(1)選B　①錯(cuò)，兩條直線不相交，則它們可能平行，也可能異面；②由公理4可知正確；③錯(cuò)，若一條直線和兩條平行直線中的一條相交，則它和另一條直線可能相交，也可能異面；④由平行直線的傳遞性可知正確．故選B． (2)選C　如圖(1)，在正方體中，a、b、c是三條棱所在直線，滿足a與b異面，b與c異

12、面，但a∩c＝A，故A錯(cuò)誤；在圖(2)的正方體中，滿足a與b相交，b與c相交，但a與c不相交，故B錯(cuò)誤；如圖(3)，α∩β＝c，a∥c，則a與b不相交，故D錯(cuò)誤． [刷好題] 1．若空間中四條兩兩不同的直線l1，l2，l3，l4，滿足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，則下列結(jié)論一定正確的是(　　) A．l1⊥l4 B．l1∥l4 C．l1與l4既不垂直也不平行 D．l1與l4的位置關(guān)系不確定 解析：選D　構(gòu)造如圖所示的正方體ABCD－A1B1C1D1，取l1為AD，l2為AA1，l3為A1B1，當(dāng)取l4為B1C1時(shí)，l1∥l4，當(dāng)取l4為BB1時(shí)，l1⊥l4，故排除A、B、

13、C，選D． 2．已知a，b，c為三條不重合的直線，有下列結(jié)論：①若a⊥b，a⊥c，則b∥c；②若a⊥b，a⊥c，則b⊥c；③若a∥b，b⊥c，則a⊥c.其中正確的個(gè)數(shù)為(　　) A．0　　　 B．1 C．2　　　 D．3 解析：選B　在空間中，若a⊥b，a⊥c，則b，c可能平行，也可能相交，還可能異面，所以①②錯(cuò)，③顯然成立． 異面直線所成的角 [明技法] 用平移法求異面直線所成的角的三步法 (1)一作：根據(jù)定義作平行線，作出異面直線所成的角； (2)二證：證明作出的角是異面直線所成的角； (3)三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是銳角或直角，則它就是要求的

14、角；如果求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角才是要求的角． [提能力] 【典例】 如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面互相垂直，則異面直線AP與BD所成的角為_(kāi)_______． 解析：如圖，將原圖補(bǔ)成正方體ABCD－QGHP， 連接GP，則GP∥BD，所以∠APG為異面直線AP與BD所成的角，在△AGP中AG＝GP＝AP，所以∠APE＝. 答案： [母題變式] 在本例條件下，若E，F(xiàn)，M分別是AB，BC，PQ的中點(diǎn)，異面直線EM與AF所成的角為θ，求cos θ的值． 解：設(shè)N為BF的中點(diǎn)，連接EN，MN.則∠MEN是異面直線EM與AF所成的角或其補(bǔ)角．不妨設(shè)正方

15、形ABCD的邊長(zhǎng)為4，則EN＝，EM＝2，MN＝. 在△MEN中，由余弦定理得 cos∠MEN＝＝ ＝－＝－.即cos θ＝. [刷好題] 　(xx·全國(guó)卷Ⅱ)已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A BC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(　　) A．　　　 B． C．　　　 D． 解析：選C　將直三棱柱ABC－A1B1C1補(bǔ)形為直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，如圖所示，連接AD1，B1D1，BD. 由題意知∠ABC＝120°，AB＝2， BC＝CC1＝1， 所以AD1＝BC1＝，AB1＝， ∠DAB＝60°. 在△ABD中，由余弦定理知BD2＝22＋12－2×2×1×cos 60°＝3，所以BD＝，所以B1D1＝. 又AB1與AD1所成的角即為AB1與BC1所成的角θ， 所以cos θ＝＝＝.故選C．