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山東省齊河縣高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題 橢圓練習(xí)(含解析)

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1、山東省齊河縣高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題 橢圓練習(xí)(含解析) 一、選擇題(本大題共12小題,共60分) 1. 已知O為坐標(biāo)原點,F(xiàn)是橢圓C:的左焦點,A,B分別為C的左,右頂點為C上一點,且軸,過點A的直線l與線段PF交于點M,與y軸交于點若直線BM經(jīng)過OE的中點,則C的離心率為 A. B. C. D. (正確答案)A 解:由題意可設(shè),,, 令,代入橢圓方程可得, 可得, 設(shè)直線AE的方程為, 令,可得,令,可得, 設(shè)OE的中點為H,可得, 由B,H,M三點共線,可得, 即為, 化簡可得,即為, 可得. 故選:A. 由題意可得F,A,B的坐標(biāo),設(shè)出直線AE

2、的方程為,分別令,,可得M,E的坐標(biāo),再由中點坐標(biāo)公式可得H的坐標(biāo),運用三點共線的條件:斜率相等,結(jié)合離心率公式,即可得到所求值. 本題考查橢圓的離心率的求法,注意運用橢圓的方程和性質(zhì),以及直線方程的運用和三點共線的條件:斜率相等,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題. 2. 已知橢圓C:的左、右焦點為、,離心率為,過的直線l交C于A、B兩點,若的周長為,則C的方程為 A. B. C. D. (正確答案)A 解:的周長為, 的周長, , , 離心率為, ,, , 橢圓C的方程為. 故選:A. 利用的周長為,求出,根據(jù)離心率為,可得,求出b,即可得出橢圓

3、的方程. 本題考查橢圓的定義與方程,考查橢圓的幾何性質(zhì),考查學(xué)生的計算能力,屬于基礎(chǔ)題. 3. 曲線的方程為 ,若直線l與曲線有公共點,則k的取值范圍是 A. B. C. D. (正確答案)A 試題分析:方程 表示的是動點到點,的距離之和為2,即有P的軌跡為線段, 直線l為恒過定點的直線, , , 直線l與曲線有公共點,等價為,即為 . 4. 若橢圓C:的短軸長等于焦距,則橢圓的離心率為 A. B. C. D. (正確答案)C 解:依題意可知,而 橢圓的離心率. 故選:C. 先根據(jù)題意可知,進(jìn)而求得a和c的關(guān)系,

4、離心率可得. 本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)屬基礎(chǔ)題. 5. 已知中,A、B的坐標(biāo)分別為和,若三角形的周長為10,則頂點C的軌跡方程是 A. B. C. D. (正確答案)B 解:,三角形的周長為10,, 根據(jù)橢圓的定義知,頂點C的軌跡是以A、B為焦點的橢圓,且,, ,故橢圓的方程為, 故選:B. 根據(jù)三角形的周長及,可得,根據(jù)橢圓的定義知頂點C的軌跡是以A、B為焦點的橢圓,待定系數(shù)法求橢圓的方程. 本題考查根據(jù)橢圓的定義,用待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法,屬于基礎(chǔ)題. 6. 已知橢圓的左頂點和上頂點分別為A,B,左、右焦點分別是,,在線段AB上有且

5、只有一個點P滿足,則橢圓的離心率為 A. B. C. D. (正確答案)A 解:依題意,作圖如下 ,,,, 直線AB的方程為:,整理得:, 設(shè)直線AB上的點 則, , , , 令, 則, 由得:,于是, , 整理得:,又,, , ,又橢圓的離心率, , 橢圓的離心率為. 故選A. 由題意可求得AB的方程,設(shè)出P點坐標(biāo),代入AB的方程,由,得,結(jié)合橢圓的離心率的性質(zhì)即可求得答案. 本題考查橢圓的性質(zhì),考查向量的數(shù)量積,考查直線的方程,著重考查橢圓性質(zhì)的應(yīng)用,是重點更是難點,屬于難題. 7. 過點且與橢圓有相同焦點的橢圓方程為

6、 A. B. C. D. (正確答案)C 解:橢圓的焦點,可得,設(shè)橢圓的方程為:, 可得:,,解得,, 所求的橢圓方程為:. 故選:C. 求出橢圓的焦點坐標(biāo),設(shè)出方程利用橢圓經(jīng)過的點,求解即可. 本題考查橢圓的簡單性質(zhì)以及橢圓方程的求法,考查計算能力. 8. 已知橢圓的左、右焦點分別為,,過作一條直線不與x軸垂直與橢圓交于A,B兩點,如果恰好為等腰直角三角形,該直線的斜率為 A. B. C. D. (正確答案)C 解:可設(shè),, 若構(gòu)成以A為直角頂點的等腰直角三角形, 則,, 由橢圓的定義可得的周長為4a, 即有,即, , 則, 在

7、中, , 直線AB的斜率為, 故選:C. 假設(shè)構(gòu)成以A為直角頂點的等腰直角三角形,根據(jù)橢圓的定義及性質(zhì)求得,,則直線AB的斜率為. 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì),考查直線斜率與傾斜角的關(guān)系,考查計算能力,屬于中檔題. 9. 橢圓與雙曲線有相同的焦點,且兩曲線的離心率互為倒數(shù),則雙曲線漸近線的傾斜角的正弦值為 A. B. C. D. (正確答案)D 解:橢圓的焦點坐標(biāo),離心率為:, 雙曲線的焦點,,雙曲線的離心率為2. 可知,則, 雙曲線漸近線的傾斜角的正弦值為:. 故選:D. 求出橢圓的離心率,得到雙曲線的離心率,求出橢圓的焦點坐標(biāo),得到雙曲

8、線的焦點坐標(biāo),然后求解即可. 本題考查橢圓的簡單性質(zhì),雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用,考查計算能力 10. 橢圓上的點到直線的距離的最小值為 A. B. C. 3 D. 6 (正確答案)A 解:橢圓,P為橢圓上一點, 設(shè),,, 到直線的距離: , 當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值. 點P到直線的距離的最小值為. 故選:A. 設(shè),,,求出P到直線的距離d,由此能求出點P到直線的距離的最小值. 本題考查點到直線的距離公式的最小值的求法,解題時要認(rèn)真審題,注意橢圓的參數(shù)方程的合理運用. 11. 已知橢圓的左、右焦點分別為,,過的直線與橢圓交于A、B兩點,若是以A為直角頂點的等

9、腰直角三角形,則離心率為 A. B. C. D. (正確答案)D 解:如圖,設(shè),, 若構(gòu)成以A為直角頂點的等腰直角三角形, 則,, 由橢圓的定義可得的周長為4a, 即有,即, 則, 在直角三角形中, , 即, , 則, . 故選:D. 設(shè),,若構(gòu)成以A為直角頂點的等腰直角三角形,則,,再由橢圓的定義和周長的求法,可得m,再由勾股定理,可得a,c的方程,求得,開方得答案. 本題考查橢圓的定義、方程和性質(zhì),主要考查離心率的求法,同時考查勾股定理的運用,靈活運用橢圓的定義是解題的關(guān)鍵,是中檔題. 12. 已知橢圓的左頂點和上頂點分別為A、B,左、右

10、焦點分別是,,在線段AB上有且只有一個點P滿足,則橢圓的離心率為 A. B. C. D. (正確答案)D 解:依題意,作圖如下: 由,,,, 可得直線AB的方程為:,整理得:, 設(shè)直線AB上的點,則, , 由, , 令, 則, 由得:,于是, , 整理得:,又,, , ,又橢圓的離心率, , 可得, 故選:D. 由題意可求得AB的方程,設(shè)出P點坐標(biāo),代入AB的方程,由,得,運用導(dǎo)數(shù)求得極值點,結(jié)合橢圓的離心率公式,解方程即可求得答案. 本題考查橢圓的性質(zhì),向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,考查直線的方程的運用,著重考查橢圓離心率,以及化簡整理

11、的運算能力,屬于中檔題. 二、填空題(本大題共4小題,共20分) 13. 如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,F(xiàn)是橢圓的右焦點,直線與橢圓交于B,C兩點,且,則該橢圓的離心率是______. (正確答案) 【分析】 本題考查橢圓的離心率的求法,注意運用兩直線垂直的條件:斜率之積為,考查化簡整理的運算能力,設(shè)右焦點,將代入橢圓方程求得B,C的坐標(biāo),運用兩直線垂直的條件:斜率之積為,結(jié)合離心率公式,計算即可得到所求值方法二、運用向量的數(shù)量積的性質(zhì),向量垂直的條件:數(shù)量積為0,結(jié)合離心率公式計算即可得到所求屬于中檔題. 【解答】 解:設(shè)右焦點, 將代入橢圓方程可得, 可得,,

12、 由,可得, 即有, 化簡為, 由,即有, 由,可得, 可得, 另解:設(shè)右焦點, 將代入橢圓方程可得, 可得,, ,, ,則十, 因為,代入得, 由,可得, 可得. 故答案為. 14. 已知,為橢圓C的兩個焦點,P為C上一點,若,,成等差數(shù)列,則C的離心率為______ . (正確答案) 解:,,成等差數(shù)列, , 即, . 故答案為:. 根據(jù)等差中項的定義及橢圓的定義列方程即可得出離心率. 本題考查了橢圓的定義,等差中項的性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題. 15. 橢圓的左、右焦點分別為,上、下頂點分別為,,右頂點為A,直線與交于點若,則C的離心率等于_

13、_____ . (正確答案) 解:如圖所示,設(shè),由,得:, 根據(jù)三角形相似得:,求得:, 又直線的方程為 將點代入,得:, . 故答案為:. 由,得:,根據(jù)三角形相似得:,則,代入即可求得e的值. 本題考查橢圓的離心率,考查三角形的相似的性質(zhì),考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于中檔題. 16. 已知橢圓經(jīng)過點,且點A到橢圓兩焦點的距離之和為4,則該橢圓的離心率 ______ . (正確答案) 解:根據(jù)題意,橢圓上A到橢圓兩焦點的距離之和為4,則,即, 又由橢圓經(jīng)過點,則有, 又由,解可得, 則, 則該橢圓的離心率; 故答案為:. 根據(jù)題意,由橢圓的定義分析

14、可得,將點A的坐標(biāo)代入橢圓方程可得,由a的值解可得b的值,計算可得c的值,由橢圓離心率公式計算可得答案. 本題考查橢圓的幾何性質(zhì),要掌握橢圓的定義以及離心率的計算公式. 三、解答題(本大題共3小題,共30分) 17. 已知橢圓E:的焦點在x軸上,A是E的左頂點,斜率為的直線交E于A,M兩點,點N在E上,. Ⅰ當(dāng),時,求的面積; Ⅱ當(dāng)時,求k的取值范圍. (正確答案)解:Ⅰ方法一、時,橢圓E的方程為,, 直線AM的方程為,代入橢圓方程,整理可得, 解得或,則, 由,可得, 由,,可得, 整理可得,由無實根,可得, 即有的面積為; 方法二、由,可得M,N關(guān)于x軸對稱,

15、 由可得直線AM的斜率為1,直線AM的方程為, 代入橢圓方程,可得, 解得或,,, 則的面積為; Ⅱ直線AM的方程為,代入橢圓方程, 可得, 解得或, 即有, , 由,可得, 整理得, 由橢圓的焦點在x軸上,則,即有,即有, 可得,即k的取值范圍是. Ⅰ方法一、求出時,橢圓方程和頂點A,設(shè)出直線AM的方程,代入橢圓方程,求交點M,運用弦長公式求得,由垂直的條件可得,再由,解得,運用三角形的面積公式可得的面積; 方法二、運用橢圓的對稱性,可得直線AM的斜率為1,求得AM的方程代入橢圓方程,解方程可得M,N的坐標(biāo),運用三角形的面積公式計算即可得到; Ⅱ直線AM的方程

16、為,代入橢圓方程,求得交點M,可得,,再由,求得t,再由橢圓的性質(zhì)可得,解不等式即可得到所求范圍. 本題考查橢圓的方程的運用,考查直線方程和橢圓方程聯(lián)立,求交點,以及弦長公式的運用,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題. 18. 設(shè)橢圓的左焦點為F,右頂點為A,離心率為已知A是拋物線的焦點,F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為. 求橢圓的方程和拋物線的方程; 設(shè)l上兩點P,Q關(guān)于x軸對稱,直線AP與橢圓相交于點異于,直線BQ與x軸相交于點若的面積為,求直線AP的方程. (正確答案)Ⅰ解:設(shè)F的坐標(biāo)為. 依題意可得, 解得,,,于是. 所以,橢圓的方程為,拋物線的方程為. Ⅱ解:直線l

17、的方程為,設(shè)直線AP的方程為, 聯(lián)立方程組,解得點,故 聯(lián)立方程組,消去x,整理得,解得,或. 直線BQ的方程為, 令,解得,故D. . 又的面積為,, 整理得,解得,. 直線AP的方程為,或. 根據(jù)橢圓和拋物線的定義、性質(zhì)列方程組求出a,b,p即可得出方程; 設(shè)AP方程為,聯(lián)立方程組得出B,P,Q三點坐標(biāo),從而得出直線BQ的方程,解出D點坐標(biāo),根據(jù)三角形的面積列方程解出m即可得出答案. 本題考查了橢圓與拋物線的定義與性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,屬于中檔題. 19. 已知橢圓E:的離心率為,右焦點為. 求橢圓的方程; 設(shè)點O為坐標(biāo)原點,過點F作直線l與橢圓E

18、交于M,N兩點,若,求直線l的方程. (正確答案)解:依題意得,,;分 解得,; 橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為;分 設(shè),, 當(dāng)MN垂直于x軸時,MN的方程為,不符題意;分 當(dāng)MN不垂直于x軸時,設(shè)MN的方程為;分 由得:,分 ,;分 ; 又,; , 解得,分 直線l的方程為:分 根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì),求出a、b的值即可; 討論直線MN的斜率是否存在,設(shè)出MN的方程,與橢圓方程聯(lián)立,利用根與系數(shù)的關(guān)系,結(jié)合,求出直線的斜率k,即可求出直線l的方程. 本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)的應(yīng)用問題,也考查了直線與橢圓的應(yīng)用問題,考查了根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用問題,平面向量的應(yīng)用問題,是綜合題.

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