2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題51 曲線與方程——求軌跡方程
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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展 專題51 曲線與方程——求軌跡方程 縱觀近幾年的高考試題,高考對曲線與方程的考查,主要有以下兩個(gè)方面:一是確定的軌跡的形式或特點(diǎn);二是求動點(diǎn)的軌跡方程,同時(shí)考查到求軌跡方程的基本步驟和常用方法.一般地,命題作為解答題一問,小題則常常利用待定系數(shù)法求方程或利用方程判斷曲線類別. 本專題在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上,重點(diǎn)說明求點(diǎn)的軌跡方程問題的常見解法. 1、求點(diǎn)軌跡方程的步驟: (1)建立直角坐標(biāo)系 (2)設(shè)點(diǎn):將所求點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)為,同時(shí)將其他相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)化(未知的暫用參數(shù)表示) (3)列式:從已知條件中發(fā)掘的關(guān)系,列出方程 (
2、4)化簡:將方程進(jìn)行變形化簡,并求出的范圍 2、求點(diǎn)軌跡方程的方法 (1)直接法:從條件中直接尋找到的關(guān)系,列出方程后化簡即可 (2)代入法:所求點(diǎn)與某已知曲線上一點(diǎn)存在某種關(guān)系,則可根據(jù)條件用表示出,然后代入到所在曲線方程中,即可得到關(guān)于的方程 (3)定義法:從條件中能夠判斷出點(diǎn)的軌跡為學(xué)過的圖形,則可先判定軌跡形狀,再通過確定相關(guān)曲線的要素,求出曲線方程.常見的曲線特征及要素有: ① 圓:平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡 直角→圓:若,則點(diǎn)在以為直徑的圓上 確定方程的要素:圓心坐標(biāo),半徑 ② 橢圓:平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為常數(shù)(常數(shù)大于定點(diǎn)距離)的點(diǎn)
3、的軌跡 確定方程的要素:距離和,定點(diǎn)距離 ③ 雙曲線:平面上到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之差的絕對值為常數(shù)(小于定點(diǎn)距離)的點(diǎn)的軌跡 注:若只是到兩定點(diǎn)的距離差為常數(shù)(小于定點(diǎn)距離),則為雙曲線的一支 確定方程的要素:距離差的絕對值,定點(diǎn)距離 ④ 拋物線:平面上到一定點(diǎn)的距離與到一定直線的距離(定點(diǎn)在定直線外)相等的點(diǎn)的軌跡 確定方程的要素:焦準(zhǔn)距:.若曲線位置位于標(biāo)準(zhǔn)位置(即標(biāo)準(zhǔn)方程的曲線),則通過準(zhǔn)線方程或焦點(diǎn)坐標(biāo)也可確定方程 (4)參數(shù)法:從條件中無法直接找到的聯(lián)系,但可通過一輔助變量,分別找到與的聯(lián)系,從而得到和的方程:,即曲線的參數(shù)方程,消去參數(shù)后即可得到軌跡方程. 【經(jīng)典例題】
4、 例1.【2018屆北京石景山區(qū)一?!咳鐖D,已知線段上有一動點(diǎn)(異于),線段,且滿足(是大于且不等于的常數(shù)),則點(diǎn)的運(yùn)動軌跡為( ) A. 圓的一部分 B. 橢圓的一部分 C. 雙曲線的一部分 D. 拋物線的一部分 【答案】B 例2.設(shè)點(diǎn)A到圖形C上每一個(gè)點(diǎn)的距離的最小值稱為點(diǎn)A到圖形C的距離.已知點(diǎn)A(1,0),圓C:x2+2x+y2=0,那么平面內(nèi)到圓C的距離與到點(diǎn)A的距離之差為1的點(diǎn)的軌跡是( ?。? A. 雙曲線的一支 B. 橢圓 C. 拋物線 D. 射線 【答案】D 【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為, 如圖所示,設(shè)圓心坐標(biāo)為,滿足
5、題意的點(diǎn)為點(diǎn),由題意有: ,則, 設(shè),結(jié)合幾何關(guān)系可知滿足題意的軌跡為射線. 本題選擇D選項(xiàng). 例3.動點(diǎn)在曲線上移動,點(diǎn)和定點(diǎn)連線的中點(diǎn)為,則點(diǎn)的軌跡方程為( ). A. B. C. D. 【答案】B 例4.已知直線與拋物線交于兩點(diǎn),且,其中為坐標(biāo)原點(diǎn),若于,則點(diǎn)的軌跡方程為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】思路:先處理?xiàng)l件可得由為鄰邊的平行四邊形對角線相等,所以該四邊形為矩形.即,設(shè),即,聯(lián)立直線與拋物線方程并利 聯(lián)立方程:,消去可得:
6、 ,由可得 ,即直線過定點(diǎn) 即 的軌跡為以為直徑的圓 則該圓的圓心為,半徑 軌跡方程為 答案:B 例5.點(diǎn)是圓上的動點(diǎn),定點(diǎn),線段的垂直平分線與直線的交點(diǎn)為,則點(diǎn)的軌跡方程是___. 【答案】 【解析】由垂直平分線的性質(zhì)有,所以, 又,根據(jù)雙曲線的定義,點(diǎn)Q的軌跡是C,F(xiàn)為焦點(diǎn),以4為實(shí)軸長的雙曲線, ,, 所以點(diǎn)Q的軌跡方程是. 例6.【2018屆福建省漳州市高三上學(xué)期期末】已知直線過拋物線: 的焦點(diǎn), 與交于, 兩點(diǎn),過點(diǎn), 分別作的切線,且交于點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡方程為________. 【答案】 ,故原拋物線C相應(yīng)的點(diǎn)P的軌跡方程為,故答案為.
7、 例7.【2017課標(biāo)II,理】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),動點(diǎn)M在橢圓C:上,過M作x軸的垂線,垂足為N,點(diǎn)P滿足. (1) 求點(diǎn)P的軌跡方程; (2)設(shè)點(diǎn)Q在直線上,且.證明:過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線l過C的左焦點(diǎn)F. 【答案】(1) .(2)證明略. 【解析】 (2)由題意知.設(shè),則 , . 由得,又由(1)知,故 . 所以,即.又過點(diǎn)P存在唯一直線垂直于OQ,所以過點(diǎn)P且垂直于OQ的直線過C的左焦點(diǎn)F. 例8.已知拋物線:的焦點(diǎn)為F,平行于x軸的兩條直線分別交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于P,Q兩點(diǎn). (I)若F在線段AB上,R是PQ的中點(diǎn),證明AR∥FQ; (II)若△
8、PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求AB中點(diǎn)的軌跡方程. 【答案】(I)詳見解析;(II). 【解析】由題設(shè).設(shè),則,且 . 記過兩點(diǎn)的直線為,則的方程為. (I)由于在線段上,故. 記的斜率為,的斜率為,則 當(dāng)與軸不垂直時(shí),由可得.而,所以. 當(dāng)與軸垂直時(shí),與重合.所以,所求軌跡方程為. 例9.【2018屆河北衡水金卷】已知焦點(diǎn)為的的拋物線:()與圓心在坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為的交于,兩點(diǎn),且,,其中,,均為正實(shí)數(shù). (1)求拋物線及的方程; (2)設(shè)點(diǎn)為劣弧上任意一點(diǎn),過作的切線交拋物線于,兩點(diǎn),過,的直線,均于拋物線相切,且兩直線交于點(diǎn),求點(diǎn)的軌跡方程. 【答
9、案】(1)答案見解析;(2). 【解析】試題分析:(1)由題意可得到將點(diǎn)A坐標(biāo)代入方程可得到m=2,進(jìn)而得到點(diǎn)A的坐標(biāo),由點(diǎn)點(diǎn)距得到半徑;(2)設(shè),,,,由直線和曲線相切得到,:,同理: ,聯(lián)立兩直線得,根據(jù)點(diǎn)在圓上可消參得到軌跡. 解析: (1)由題意,,故。 所以拋物線的方程為. 將代入拋物線方程,解得, 因此, 令,解得, 故:, 同理: . 則由 解得 因直線 ,. 則由 得, 則 因此根據(jù)點(diǎn)在圓上滿足方程,消參得到. 例10:如圖所示,點(diǎn)在圓上運(yùn)動,軸,點(diǎn)在的延長線上,且 (1)求點(diǎn)的軌跡方恒,并求當(dāng)為何值時(shí),的軌跡表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓
10、(2)當(dāng)時(shí),在(1)中所得曲線記為,已知直線,是上的動點(diǎn),射線(為坐標(biāo)原點(diǎn))交曲線于點(diǎn),又點(diǎn)在上且滿足,求點(diǎn)的軌跡方程 設(shè) 軸 ① 由在上可知:,代入①可得: 設(shè),進(jìn)而得到與的聯(lián)系:,再尋找的聯(lián)系,結(jié)合條件可知,從而用即可表示出與的聯(lián)系(而不用再設(shè)字母):.所以可以用代入法分別將兩組關(guān)系代入至直線與橢圓方程,再消去即可得到的軌跡方程 解:由(1)可得曲線方程為: 設(shè) 設(shè) 由線段比例可得: 由同理可得: 分別在直線與橢圓上 ,代入可得: ,化簡可得:的軌跡方程為: . 【精選精練】 1.到兩坐標(biāo)
11、軸的距離相等的動點(diǎn)的軌跡方程是( ) A. B. C. D. 【答案】D 2.【2018屆江西省新余市二?!啃甭蕿榈闹本€過拋物線焦點(diǎn),交拋物線于,兩點(diǎn),點(diǎn)為中點(diǎn),作,垂足為,則下列結(jié)論中不正確的是( ) A. 為定值 B. 為定值 C. 點(diǎn)的軌跡為圓的一部分 D. 點(diǎn)的軌跡是圓的一部分 【答案】C 【解析】由題意知拋物線的焦點(diǎn)為,故直線的方程為, 由消去y整理得, 設(shè), 則, ∴. 選項(xiàng)A中,,為定值.故A正確. 選項(xiàng)B中,,為定值,故B正確. 選項(xiàng)C中,由消去k得,故點(diǎn)的軌跡不是圓的一部分,所以C不正確.
12、選項(xiàng)D中,由于,直線過定點(diǎn),所以點(diǎn)Q在以為直徑的圓上,故D正確. 綜上選C. 3.【2018屆江西省監(jiān)測】已知向量, 滿足, , ,若為的中點(diǎn),并且,則點(diǎn)的軌跡方程是( ) A. B. C. D. 4.如圖,在圓上任取一點(diǎn),過點(diǎn)作軸的垂線段, 為垂足. 當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時(shí),滿足 的動點(diǎn)的軌跡是橢圓,求這個(gè)橢圓離心率的取值范圍( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】設(shè),則,代入圓的方程,即,∵,∴動點(diǎn)的軌跡是焦點(diǎn)在軸上的橢圓,其中, ,則,故而可得,故,即,故選D. 5.點(diǎn)P(4,-2)與圓x2+y2
13、=4上任一點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程是 ( ) A. (x+2)2+(y-1)2=1 B. (x-2)2+(y+1)2=4 C. (x+4)2+(y-2)2=4 D. (x-2)2+(y+1)2=1 【答案】D 6.【2018屆廣西二?!吭O(shè)為橢圓上任意一點(diǎn),,,延長至點(diǎn),使得,則點(diǎn)的軌跡方程為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 為橢圓上任意一點(diǎn),且A,B為焦點(diǎn), ,又,,所以點(diǎn)的軌跡方程為. 7.△ABC的頂點(diǎn)A(-5,0),B(5,0),△ABC的周長為22,則頂點(diǎn)
14、C的軌跡方程是 ( ) A. B. C. D. 【答案】D 8.【2018屆浙江省鎮(zhèn)海中學(xué)高三上學(xué)期期末】橢圓M:長軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)為、,點(diǎn)P為橢圓M上除、外的一個(gè)動點(diǎn),若且,則動點(diǎn)Q在下列哪種曲線上運(yùn)動( ) A. 圓 B. 橢圓 C. 雙曲線 D. 拋物線 【答案】B 【解析】設(shè)P(m,n),Q(x,y) ∵橢圓M的方程為, ∴作出橢圓如圖所示,可得長軸的端點(diǎn)為A(﹣a,0),B(a,0) ∴=(x+a,y),=(m+a,n) ∵=0,∴(x+a)(m+a)+ny=0,可得m+a=﹣ ① 此方程對應(yīng)的圖形是焦
15、點(diǎn)在y軸上的橢圓,可得動點(diǎn)Q的軌跡是一個(gè)橢圓,B項(xiàng)是正確答案故選B. 9.已知橢圓為橢圓上一動點(diǎn), 為橢圓的左焦點(diǎn)則線段的中點(diǎn)的軌跡是( ) A. 橢圓 B. 圓 C. 雙曲線的一支 D. 線段 【答案】A 【解析】設(shè)線段的中點(diǎn) ∴點(diǎn)的軌跡方程為 ∴線段 的中點(diǎn) 的軌跡是橢圓. 故選A. 10.過圓 : 上的點(diǎn) 作 軸的垂線,垂足為 ,點(diǎn) 滿足 .當(dāng) 在 上運(yùn)動時(shí),記點(diǎn) 的軌跡為 . (1)求 的方程; 【答案】(1) 【解析】試題分析: (1)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo),點(diǎn)坐標(biāo),由題意可得點(diǎn)坐標(biāo)為滿足則點(diǎn)的軌跡的方程為. 11.已知坐標(biāo)平面上
16、兩個(gè)定點(diǎn),,動點(diǎn)滿足:. (1)求點(diǎn)的軌跡方程,并說明軌跡是什么圖形; (2)記(1)中的軌跡為,過點(diǎn)的直線被所截得的線段的長為,求直線的方程. 【答案】(1)見解析;(2). 【解析】分析:(1)直接利用,列出方程即可求出點(diǎn)M的軌跡方程,然后說明軌跡的形狀; (2)設(shè)出直線方程,利用圓心到直線的距離,半徑與半弦長滿足的勾股定理,求出直線l的方程. 詳解:(1) 由得 化簡得:,軌跡為圓 (2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),直線 符合題意; 當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)的方程為: 由圓心到直線的距離等于得 此時(shí)直線的方程為:. 12.已知圓,直線, . (1)求證:對,直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn); (2)求弦的中點(diǎn)的軌跡方程,并說明其軌跡是什么曲線. 【答案】(1)見解析(2) 的軌跡方程是,它是一個(gè)以為圓心,以為半徑的圓 試題解析: 證明:(1)圓的圓心為,半徑為, 所以圓心到直線的距離. 所以直線與圓相交,即直線與圓總有兩個(gè)不同的交點(diǎn); (2)設(shè)中點(diǎn)為, 所以的軌跡方程是, 它是一個(gè)以為圓心,以為半徑的圓.
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