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(全國通用版)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七單元 平面向量學(xué)案 理

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1、(全國通用版)2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七單元 平面向量學(xué)案 理 向量的有關(guān)概念 名稱 定義 備注 向量 既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的長度(或稱) 平面向量是自由向量 零向量 長度為0的向量;其方向是任意的 記作0 單位向量 長度等于1個(gè)單位的向量 非零向量a的單位向量為± 平行向量 方向相同或相反的非零向量(平行向量又叫做共線向量) 0與任一向量平行或共線 相等向量 長度相等且方向相同的向量 兩向量只有相等或不等,不能比較大小 相反向量 長度相等且方向相反的向量 0的相反向量為0 A.零向量是唯一沒有方向的向量 B.平面內(nèi)

2、的單位向量是唯一的 C.方向相反的向量是共線向量,共線向量不一定是方向相反的向量 D.共線向量就是相等向量 解析:選C 對(duì)于A,零向量是有方向的,其方向是任意的,故A不正確;對(duì)于B,單位向量的模為1,其方向可以是任意方向,故B不正確;對(duì)于C,方向相反的向量一定是共線向量,共線向量不一定是方向相反的向量,故C正確;對(duì)于D,由共線向量和相等向量的定義可知D不正確,故選C. 3.下列命題中,正確的個(gè)數(shù)是(  ) ①單位向量都相等; ②模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量; ③若a,b滿足|a|>|b|且a與b同向,則a>b; ④若兩個(gè)向量相等,則它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)分別重合. A.0 B.

3、1 C.2 D.3 解析:選A 對(duì)于①,單位向量的大小相等,但方向不一定相同,故①錯(cuò)誤; 對(duì)于②,模相等的兩個(gè)平行向量是相等向量或相反向量,故②錯(cuò)誤; 對(duì)于③,向量是有方向的量,不能比較大小,故③錯(cuò)誤; 對(duì)于④,向量是可以平移的矢量,當(dāng)兩個(gè)向量相等時(shí),它們的起點(diǎn)和終點(diǎn)不一定相同,故④錯(cuò)誤. 綜上,正確的命題個(gè)數(shù)是0. [清易錯(cuò)] 1.對(duì)于平行向量易忽視兩點(diǎn): (1)零向量與任一向量平行. (2)兩平行向量有向線段所在的直線平行或重合,易忽視重合這一條件. 2.單位向量的定義中只規(guī)定了長度沒有方向限制. 1.若m∥n,n∥k,則向量m與向量k(  ) A.共線 B.

4、不共線 C.共線且同向 D.不一定共線 解析:選D 可舉特例,當(dāng)n=0時(shí),滿足m∥n,n∥k,故A、B、C選項(xiàng)都不正確,故D正確. 2.設(shè)a,b都是非零向量,下列四個(gè)選項(xiàng)中,一定能使+=0成立的是(  ) A.a(chǎn)=2b B.a(chǎn)∥b C.a(chǎn)=-b D.a(chǎn)⊥b 解析:選C “+=0,且a,b都是非零向量”等價(jià)于“非零向量a,b共線且反向”,故答案為C. 向量共線定理及平面向量基本定理 [過雙基] 1.向量共線定理 向量b與a(a≠0)共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ,使得b=λa. 2.平面向量的基本定理 如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一

5、平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2. 其中,不共線的向量e1,e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.   1.已知a,b是不共線的向量,=λa+b,=a+μb,λ,μ∈R,則A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件為(  ) A.λ+μ=2        B.λ-μ=1 C.λμ=-1 D.λμ=1 解析:選D ∵A,B,C三點(diǎn)共線, ∴∥, 設(shè)=m(m≠0),即λa+b=ma+mμb, ∴∴λμ=1. 2.(2018·南寧模擬)已知e1,e2是不共線向量,a=me1+2e2,b=ne1-e2,且mn≠0,若a∥b,則的值為(  ) A.-

6、 B. C.-2 D.2 解析:選C ∵a∥b,∴a=λb,即me1+2e2=λ(ne1-e2),則故=-2. 3.已知點(diǎn)M是△ABC的邊BC的中點(diǎn),點(diǎn)E在邊AC上,且=2,則=(  ) A.+ B.+ C.+ D.+ 解析:選C 如圖, ∵=2,∴=+=+=+(-)=+. [清易錯(cuò)] 1.在向量共線的重要條件中易忽視“a≠0”,否則λ可能不存在,也可能有無數(shù)個(gè). 2.平面向量基本定理指出:平面內(nèi)任何一個(gè)非零向量都可以表示為沿兩個(gè)不共線的方向分離的兩個(gè)非零向量的和,并且一旦分解方向確定后,這種分解是唯一的.這一點(diǎn)是易忽視的. 1.(2018·大連雙基測試)

7、給出下列四個(gè)命題: ①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量一定是共線向量; ②兩個(gè)向量不能比較大小,但它們的模能比較大?。? ③λa=0(λ為實(shí)數(shù)),則λ必為零; ④λ,μ為實(shí)數(shù),若λa=μb,則a與b共線. 其中假命題的個(gè)數(shù)是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:選C?、馘e(cuò)誤,兩向量是否共線是要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn);②正確,因?yàn)橄蛄考扔写笮?,又有方向,故向量不能比較大小,但向量的模均為實(shí)數(shù),故可以比較大??;③錯(cuò)誤,當(dāng)a=0時(shí),不論λ為何值,都有λa=0;④錯(cuò)誤,當(dāng)λ=μ=0時(shí),λa=μb,此時(shí)a與b可以是任意向量. 2.如圖,在△OAB中,P為線段AB上的一點(diǎn),=x+y,

8、且=2,則(  ) A.x=,y= B.x=,y= C.x=,y= D.x=,y= 解析:選A 由題意知=+,又=2,所以=+=+(-)=+,所以x=,y=. 平面向量的運(yùn)算 [過雙基] 1.向量的線性運(yùn)算 向量運(yùn)算 定義 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 三角形法則 平行四邊形法則 (1)交換律:a+b=b+a; (2)結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c) 減法 求a與b的相反向量-b的和的運(yùn)算叫做a與b的差 三角形法則 a-b=a+(-b) 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 (1)|λa|=|λ||

9、a|; (2)當(dāng)λ>0時(shí),λa的方向與a的方向相同;當(dāng)λ<0時(shí),λa的方向與a的方向相反;當(dāng)λ=0時(shí),λa=0 λ(μ a)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μ a; λ(a+b)=λa+λb 2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)平面向量的正交分解 把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量,叫做把向量正交分解. (2)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 ①向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則 a+b=(x1+x2,y1+y2), a-b=(x1-x2,y1-y2), λa=(λx1,λy1), |a|=. ②向量坐標(biāo)的求法 設(shè)A(x1,y1),

10、B(x2,y2),則=(x2-x1,y2-y1),||=. (3)平面向量共線的坐標(biāo)表示 設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?x1y2-x2y1=0. 1.(2018·嘉興測試)在△ABC中,已知M是BC邊的中點(diǎn),設(shè)=a,=b,則=(  ) A.a-b         B.a+b C.a(chǎn)-b D.a(chǎn)+b 解析:選A =+=-+=-b+a. 2.設(shè)D是線段BC的中點(diǎn),且+=4,則(  ) A.=2 B.=4 C.=2 D.=4 解析:選A ∵D是線段BC的中點(diǎn), ∴+=2, ∵+=4, ∴=2. 3.已知AC為平行四邊形ABCD的一條對(duì)角

11、線,=(2,4),=(1,3),則=(  ) A.(-1,-1) B.(3,7) C.(1,1) D.(2,4) 解析:選A 由題意可得==-=(1,3)-(2,4)=(-1,-1). 4.已知A(2,3),B(4,-3),且=3,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________. 解析:設(shè)P(x,y), ∵A(2,3),B(4,-3),且=3, ∴(x-2,y-3)=3(2,-6)=(6,-18), ∴解得x=8,y=-15, ∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(8,-15). 答案:(8,-15) 5.已知向量a=(1,3),b=(-2,1),c=(3,2).若向量c與向量ka+b共線,則實(shí)數(shù)k=__

12、______. 解析:ka+b=k(1,3)+(-2,1)=(k-2,3k+1), 因?yàn)橄蛄縞與向量ka+b共線, 所以2(k-2)-3(3k+1)=0,解得k=-1. 答案:-1 6.設(shè)O在△ABC的內(nèi)部,D為AB的中點(diǎn),且++2=0,則△ABC的面積與△AOC的面積的比值為________. 解析:∵D為AB的中點(diǎn),∴+=2, ∵++2=0, ∴=-, ∴O是CD的中點(diǎn), ∴S△AOC=S△AOD=S△AOB=S△ABC. 答案:4 [清易錯(cuò)] 1.向量坐標(biāo)不是向量的終點(diǎn)坐標(biāo),與向量的始點(diǎn)、終點(diǎn)有關(guān)系. 2.?dāng)?shù)乘向量仍為向量,只是模與方向發(fā)生變化,易誤認(rèn)為數(shù)乘向

13、量為實(shí)數(shù). 3.若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件不能表示成=,因?yàn)閤2,y2有可能等于0,所以應(yīng)表示為x1y2-x2y1=0. 1.若向量=(1,2),=(3,4),則=(  ) A.(2,2) B.(-2,-2) C.(4,6) D.(-4,-6) 解析:選C =+=(4,6). 2.已知向量a,b不共線,若=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,則四邊形ABCD是(  ) A.梯形 B.平行四邊形 C.矩形 D.菱形 解析:選A 因?yàn)椋絘+2b,=-4a-b,=-5a-3b, 所以=++=-8a-2b, 所以=2,即直線AD與BC

14、平行, 而向量與不共線,即直線AB與CD不平行, 故四邊形ABCD是梯形. 3.(2018·河北聯(lián)考)已知向量a=(1,2),b=(-2,m),若a∥b,則2a+3b=(  ) A.(-5,-10) B.(-2,-4) C.(-3,-6) D.(-4,-8) 解析:選D 由a∥b,得m+4=0,即m=-4,所以2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8). 平面向量的數(shù)量積 [過雙基] 1.向量的夾角 定義 圖示 范圍 共線與垂直 已知兩個(gè)非零向量a和b,作=a,=b,則∠AOB就是a與b的夾角 設(shè)θ是a與b的夾角,則θ的取值范圍是0°≤

15、θ≤180° θ=0°或θ=180°?a∥b,θ=90°?a⊥b 2.平面向量的數(shù)量積 定義 設(shè)兩個(gè)非零向量a,b的夾角為θ,則數(shù)量|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積,記作a·b 投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影, |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影 幾何意義 數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積 3.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)a·b=b·a. (2)(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb). (3)(a+b)·c=a·c+b·c. 4.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論 已知非零向量a=(x1

16、,y1),b=(x2,y2),θ=〈a,b〉. 結(jié)論 幾何表示 坐標(biāo)表示 模 |a|= |a|= 夾角 cos θ= cos θ= a⊥b的充要條件 a·b=0 x1x2+y1y2=0 |a·b|與|a||b|的關(guān)系 |a·b|≤|a||b| |x1x2+y1y2|≤    1.設(shè)向量e1,e2是兩個(gè)互相垂直的單位向量,且a=2e1-e2,b=e2,則|a+2b|=(  ) A.2 B. C.2 D.4 解析:選B ∵向量e1,e2是兩個(gè)互相垂直的單位向量, ∴|e1|=1,|e2|=1,e1·e2=0, ∵a=2e1-e2,b=e2, ∴a+

17、2b=2e1+e2, ∴|a+2b|2=4e+4e1·e2+e=5, ∴|a+2b|=. 2.(2018·云南檢測)設(shè)向量a=(-1,2),b=(m,1),如果向量a+2b與2a-b平行,那么a與b的數(shù)量積等于(  ) A.- B.- C. D. 解析:選D 因?yàn)閍+2b=(-1+2m,4),2a-b=(-2-m,3),由題意得3(-1+2m)-4(-2-m)=0,則m=-, 所以a·b=-1×+2×1=. 3.已知|a|=1,|b|=2,a·(a-b)=3,則a與b的夾角為(  ) A. B. C. D.π 解析:選D 設(shè)a與b的夾角為θ,由題意知|a|=1,|

18、b|=2, ∵a·(a-b)=a2-a·b=12-1×2×cos θ=3, ∴cos θ=-1. 又θ∈[0,π], ∴a與b的夾角為π. 4.已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=1,a與b的夾角為,則|a+2b|=________. 解析:∵(a+2b)2=a2+4a·b+4b2=4+4×2×1×+4=4,∴|a+2b|=2. 答案:2 5.(2018·衡水中學(xué)檢測)在直角三角形ABC中,C=90°,AB=2,AC=1,若=,則·=________. 解析:∵=, ∴·=(+)·=· =·=2, 又∵C=90°,AB=2,AC=1, ∴CB=,∴·=. 答案:

19、 6.(2018·東北三校聯(lián)考)已知正方形ABCD的邊長為2,=2,=(+),則·=________. 解析:如圖,以B為原點(diǎn),BC所在直線為x軸,AB所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系. 則B(0,0),E,D(2,2). 由=(+),知F為BC的中點(diǎn),所以F(1,0),故=,=(-1,-2), ∴·=-2-=-. 答案:- [清易錯(cuò)] 1.0與實(shí)數(shù)0的區(qū)別:0a=0≠0,a+(-a)=0≠0,a·0=0≠0. 2.a(chǎn)·b=0不能推出a=0或b=0,因?yàn)閍·b=0時(shí),有可能a⊥b. 3.在運(yùn)用向量夾角時(shí),注意其取值范圍為[0,π]. 1.有下列說法: ①向量b在向量a方向

20、上的投影是向量; ②若a·b>0,則a和b的夾角為銳角,若a·b<0,則a和b的夾角為鈍角; ③(a·b)c=a(b·c); ④若a·b=0,則a=0或b=0. 其中正確的說法個(gè)數(shù)為(  ) A.0 B.3 C.4 D.2 答案:A 2.已知a=(1,3),b=(2+λ,1),且a與b的夾角為銳角,則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________. 解析:由題意可得a·b>0,且a,b不共線, 即解得λ>-5,且λ≠-. 答案:∪ 3.已知向量a,b滿足a=(2,0),|b|=1,若|a+b|=,則a與b的夾角是________. 解析:由|a+b|=,得(a+b)2=a2+

21、2a·b+b2=4+2a·b+1=7, ∴a·b=1, ∴|a|·|b|·cos〈a,b〉=1, ∴cos〈a,b〉=.又〈a,b〉∈[0,π], ∴a,b的夾角為. 答案: 一、選擇題 1.(2018·常州調(diào)研)已知A,B,C三點(diǎn)不共線,且點(diǎn)O滿足++=0,則下列結(jié)論正確的是(  ) A.=+   B.=+ C.=- D.=-- 解析:選D ∵++=0, ∴O為△ABC的重心, ∴=-×(+)=-(+) =-(++)=-(2+) =--. 2.(2018·合肥質(zhì)檢)已知O,A,B,C為同一平面內(nèi)的四個(gè)點(diǎn),若2+=0,則向量等于(  ) A.- B.

22、-+ C.2- D.-+2 解析:選C 因?yàn)椋剑剑? 所以2+=2(-)+(-) =-2+=0, 所以=2-. 3.已知向量a與b的夾角為30°,且|a|=,|b|=2,則|a-b|的值為(  ) A.1 B. C.13 D. 解析:選A 由向量a與b的夾角為30°,且|a|=,|b|=2, 可得a·b=|a|·|b|·cos 30°=×2×=3, 所以|a-b|== ==1. 4.(2018·成都一診)在邊長為1的等邊△ABC中,設(shè)=a,=b,=c,則a·b+b·c+c·a=(  ) A.- B.0 C. D.3 解析:選A 依題意有a·b+b

23、·c+c·a=++=-. 5.已知非零向量a,b滿足a·b=0,|a|=3,且a與a+b的夾角為,則|b|=(  ) A.6 B.3 C.2 D.3 解析:選D 由非零向量a,b滿足a·b=0,可知兩個(gè)向量垂直,由|a|=3,且a與a+b的夾角為,說明以向量a,b為鄰邊,a+b為對(duì)角線的平行四邊形是正方形,所以|b|=3. 6.(2017·青島二模)在平面直角坐標(biāo)系中,已知向量a=(1,2),a-b=(3,1),c=(x,3),若(2a+b)∥c,則x=(  ) A.-2 B.-4 C.-3 D.-1 解析:選D 依題意得b=2=(-4,2),所以2a+b=(-2,6)

24、,所以6x=-2×3=-6,x=-1. 7.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知A(1,0),B(0,1),C為坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限內(nèi)一點(diǎn),且∠AOC=,且||=2,若=λ+μ,則λ+μ=(  ) A.2 B. C.2 D.4 解析:選A 因?yàn)閨|=2,∠AOC=, 所以C(,), 又=λ+μ, 所以(,)=λ(1,0)+μ(0,1)=(λ,μ), 所以λ=μ=,λ+μ=2. 8.已知函數(shù)f(x)=Asin(πx+φ)的部分圖象如圖所示,點(diǎn)B,C是該圖象與x軸的交點(diǎn),過點(diǎn)C的直線與該圖象交于D,E兩點(diǎn),則(+)·(-)的值為(  ) A.-1 B.- C. D.2 解析

25、:選D 注意到函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱,因此C是線段DE的中點(diǎn),+=2. 又-=+=, 且||=T=×=1, 因此(+)·(-)=22=2. 二、填空題 9.(2018·洛陽一模)若三點(diǎn)A(1,-5),B(a,-2),C(-2,-1)共線,則實(shí)數(shù)a的值為________. 解析:∵=(a-1,3),=(-3,4), 據(jù)題意知∥, ∴4(a-1)=3×(-3), 即4a=-5, ∴a=-. 答案:- 10.已知?ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于O,且=a,=b,則=________,=________.(用a,b表示) 解析:如圖,==-=b-a,=-=--=-a

26、-b. 答案:b-a?。璦-b 11.已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),則m-n的值為________. 解析:∵ma+nb=(2m+n,m-2n)=(9,-8), ∴∴ ∴m-n=2-5=-3. 答案:-3 12.若向量a=(2,3),b=(-4,7),a+c=0,則c在b方向上的投影為________. 解析:∵a+c=0, ∴c=-a=(-2,-3), ∴c·b=8-21=-13,且|b|=, ∴c在b方向上的投影為 |c|cos〈c,b〉=|c|·==-=-. 答案:- 三、解答題 13.已知向量a=(3,

27、0),b=(-5,5),c=(2,k). (1)求向量a與b的夾角; (2)若b∥c,求k的值; (3)若b⊥(a+c),求k的值. 解:(1)設(shè)向量a與b的夾角為θ, ∵a=(3,0),b=(-5,5), ∴a·b=3×(-5)+0×5=-15,|a|=3,|b|==5, ∴cos θ===-. 又∵θ∈[0,π], ∴θ=. (2)∵b∥c,∴-5k=5×2,∴k=-2. (3)∵a+c=(5,k),又b⊥(a+c), ∴b·(a+c)=0, ∴-5×5+5×k=0, ∴k=5. 14.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x

28、∈. (1)若m⊥n,求tan x的值; (2)若m與n的夾角為,求x的值. 解:(1)若m⊥n,則m·n=0. 由向量數(shù)量積的坐標(biāo)公式得sin x-cos x=0, ∴tan x=1. (2)∵m與n的夾角為, ∴m·n=|m|·|n|cos , 即sin x-cos x=, ∴sin=. 又∵x∈, ∴x-∈, ∴x-=,即x=. 高考研究課(一) 平面向量的基本運(yùn)算 考點(diǎn) 考查頻度 考查角度 平面向量的線性運(yùn)算 5年1考 三角形中的線性運(yùn)算 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 5年3考 求坐標(biāo)及待定參數(shù) 共線向量定理 5年3考 已知共線求參數(shù)值

29、 平面向量的線性運(yùn)算 [典例] (1)(2018·濟(jì)南模擬)在△ABC中,AB邊的高為CD,若=a,=b,a·b=0,|a|=1,|b|=2,則=(  ) A.a-b       B.a-b C.a-b D.a-b (2)在梯形ABCD中,已知AB∥CD,AB=2CD,M,N分別為CD,BC的中點(diǎn).若=λ+μ,則λ+μ=________. [解析] (1)∵a·b=0,∴∠ACB=90°, ∴AB=,CD=, ∴BD=,AD=,∴AD∶BD=4∶1. ∴==(-)=a-b. (2)法一:由=λ+μ, 得=λ·(+)+μ·(+), 則++=0, 得++=0, 得+=0

30、. 因?yàn)椋还簿€, 所以由平面向量基本定理得 解得所以λ+μ=. 法二:連接MN并延長交AB的延長線于T, 由已知易得AB=AT, 則==λ+μ, 即=λ+μ, 因?yàn)門,M,N三點(diǎn)共線,所以λ+μ=1. 故λ+μ=. [答案] (1)D (2) [方法技巧] (1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算. (2)用向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底,并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式,再通過向量的運(yùn)算來解決.   [即時(shí)演練] 1.向量e1,e2,a,b在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示,則a

31、-b=(  ) A.-4e1-2e2 B.-2e1-4e2 C.e1-3e2 D.3e1-e2 解析:選C 結(jié)合圖形易得,a=-e1-4e2,b=-2e1-e2,故a-b=e1-3e2. 2.如圖,正方形ABCD中,E為DC的中點(diǎn),若=λ+μ,則λ+μ的值為(  ) A. B.- C.1 D.-1 解析:選A 法一:由題意得=+=+-=-,∴λ=-,μ=1,∴λ+μ=,故選A. 法二:利用坐標(biāo)法,以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD所在直線分別為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略),設(shè)正方形的邊長為1,則A(0,0),B(1,0),C(1,1),E,∴=,=(1,0),=(1

32、,1),則=λ(1,0)+μ(1,1),∴λ+μ=. 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 [典例] (1)在△ABC中,點(diǎn)P在BC上,且=2,點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn),若=(4,3),=(1,5),則等于(  ) A.(-2,7) B.(-6,21) C.(2,-7) D.(6,-21) (2)(2018·紹興模擬)已知點(diǎn)M(5,-6)和向量a=(1,-2),若=-3a,則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(  ) A.(2,0) B.(-3,6) C.(6,2) D.(-2,0) [解析] (1)由題意,=2=2(-)=2(-3,2)=(-6,4),=-=(-6,4)-(-4,-3)=(-2,7), ∵=2

33、, ∴=3=(-6,21). (2)=-3a=-3(1,-2)=(-3,6), 設(shè)N(x,y),則=(x-5,y+6)=(-3,6), 所以即 [答案] (1)B (2)A [方法技巧] 向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用加、減、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行,若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo),則應(yīng)先求向量的坐標(biāo).解題過程中要注意方程思想的運(yùn)用及正確使用運(yùn)算法則.   [即時(shí)演練] 1.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),則c=(  ) A.-a+b B.a-b C.a-b D.-a+b 解析:選B 設(shè)c=λ1a+λ2b,則(-1,2)=λ1(1,1)+λ2(1,-1)=(

34、λ1+λ2,λ1-λ2),所以λ1+λ2=-1,λ1-λ2=2,解得λ1=,λ2=-,所以c=a-b. 2.已知向量a=(1,1),點(diǎn)A(3,0),點(diǎn)B為直線y=2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).若∥a,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為________. 解析:設(shè)B(x,2x),=(x-3,2x). ∵∥a,∴x-3-2x=0,解得x=-3, ∴B(-3,-6). 答案:(-3,-6) 共線向量定理及應(yīng)用 平面向量共線的坐標(biāo)表示是高考的??純?nèi)容,多以選擇題或填空題的形式出現(xiàn),難度較小,屬低檔題.,常見的命題角度有: (1)利用向量共線求參數(shù)或點(diǎn)的坐標(biāo); (2)利用向量共線解決三點(diǎn)共線問題. 角度一:利用

35、向量共線求參數(shù)或點(diǎn)的坐標(biāo) 1.若向量a=(2,4)與向量b=(x,6)共線,則實(shí)數(shù)x=(  ) A.2            B.3 C.4 D.6 解析:選B ∵a∥b,∴2×6-4x=0,解得x=3. 2.已知梯形ABCD中,AB∥CD,且DC=2AB,三個(gè)頂點(diǎn)A(1,2),B(2,1),C(4,2),則點(diǎn)D的坐標(biāo)為________. 解析:∵在梯形ABCD中,DC=2AB,AB∥CD,∴=2.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y),則=(4-x,2-y),=(1,-1), ∴(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2), ∴解得故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4).

36、答案:(2,4) 3.已知平面向量a=(1,m),b=(2,5),c=(m,3),且(a+c)∥(a-b),則m=________. 解析:因?yàn)閍=(1,m),b=(2,5),c=(m,3), 所以a+c=(1+m,m+3),a-b=(-1,m-5). 又(a+c)∥(a-b), 所以(1+m)(m-5)+(m+3)=0,即m2-3m-2=0, 解得m=或m=. 答案: [方法技巧] 1.利用兩向量共線求參數(shù) 如果已知兩向量共線,求某些參數(shù)的取值時(shí),利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b的充要條件是x1y2=x2y1”解題比較方便. 2.利用兩向量共線的

37、條件求向量坐標(biāo) 一般地,在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí),可設(shè)所求向量為λa(λ∈R),然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.   角度二:利用向量共線解決三點(diǎn)共線問題 4.(2018·南陽五校聯(lián)考)已知向量=(1,-3),=(2,-1),=(k+1,k-2),若A,B,C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形,則k=________. 解析:若點(diǎn)A,B,C不能構(gòu)成三角形,則向量,共線, ∵=-=(2,-1)-(1,-3)=(1,2), =-=(k+1,k-2)-(1,-3)=(k,k+1), ∴1×(k+1)-2k=0,解得k=1. 答案:1 5.設(shè)兩個(gè)非零

38、向量a與b不共線,若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求證:A,B,D三點(diǎn)共線. 證明:因?yàn)椋絘+b,=2a+8b,=3(a-b), 所以=+=2a+8b+3(a-b) =5(a+b)=5. 所以,共線. 又它們有公共點(diǎn)B,所以A,B,D三點(diǎn)共線. [方法技巧] 三點(diǎn)共線問題的求解策略   解決點(diǎn)共線或向量共線問題時(shí),要結(jié)合向量共線定理進(jìn)行,但應(yīng)注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系,當(dāng)兩個(gè)向量共線且有公共點(diǎn)時(shí),才能得到三點(diǎn)共線.   1.(2017·全國卷Ⅲ)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動(dòng)點(diǎn)P在以點(diǎn)C為圓心且與BD相切的圓上.若=λ+μ,則λ+μ的最大值為

39、(  ) A.3 B.2 C. D.2 解析:選A 以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB,AD所在直線分別為x軸,y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系, 則A(0,0),B(1,0),C(1,2),D(0,2),可得直線BD的方程為2x+y-2=0,點(diǎn)C到直線BD的距離為=,所以圓C:(x-1)2+(y-2)2=. 因?yàn)镻在圓C上,所以P. 又=(1,0),=(0,2),=λ+μ=(λ,2μ), 所以 λ+μ=2+cos θ+sin θ=2+sin(θ+φ)≤3(其中tan φ=2),當(dāng)且僅當(dāng)θ=+2kπ-φ,k∈Z時(shí),λ+μ取得最大值3. 2.(2015·全國卷Ⅰ)設(shè)D為△ABC所在平面內(nèi)

40、一點(diǎn),=3,則(  ) A.=-+ B.=- C.=+ D.=- 解析:選A =+=+=+(-)=-=-+. 3.(2015·全國卷Ⅰ)已知點(diǎn)A(0,1),B(3,2),向量=(-4,-3),則向量=(  ) A.(-7,-4) B.(7,4) C.(-1,4) D.(1,4) 解析:選A 法一:設(shè)C(x,y), 則=(x,y-1)=(-4,-3), 所以 從而=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4). 法二:=(3,2)-(0,1)=(3,1), =-=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). 4.(2016·全國卷Ⅰ)設(shè)向量a=(m,1),b=

41、(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,則m=________. 解析:∵|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b=|a|2+|b|2, ∴a·b=0. 又a=(m,1),b=(1,2),∴m+2=0,∴m=-2. 答案:-2 5.(2016·全國卷Ⅱ)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,則m=________. 解析:∵a=(m,4),b=(3,-2),a∥b, ∴-2m-4×3=0,∴m=-6. 答案:-6 6.(2015·全國卷Ⅱ)設(shè)向量a,b不平行,向量λa+b與a+2b平行,則實(shí)數(shù)λ=________. 解析:∵λa+b與a+2b平行,∴

42、λa+b=t(a+2b), 即λa+b=ta+2tb,∴解得 答案: 7.(2014·全國卷Ⅰ)已知A,B,C為圓O上的三點(diǎn),若=(+),則與的夾角為________. 解析:由=(+),可得O為BC的中點(diǎn),故BC為圓O的直徑,所以與的夾角為90°. 答案:90° 一、選擇題 1.(2018·長春模擬)如圖所示,下列結(jié)論正確的是(  ) ①=a+b; ②=a-b; ③=a-b; ④=a+b. A.①②         B.③④ C.①③ D.②④ 解析:選C ①根據(jù)向量的加法法則,得=a+b,故①正確;②根據(jù)向量的減法法則,得=a-b,故②錯(cuò)誤;③=+=a+b

43、-2b=a-b,故③正確;④=+=a+b-b=a+b,故④錯(cuò)誤,故選C. 2.(2018·長沙一模)已知向量=(k,12),=(4,5),=(-k,10),且A,B,C三點(diǎn)共線,則k的值是(  ) A.- B. C. D. 解析:選A?。剑?4-k,-7), =-=(-2k,-2). ∵A,B,C三點(diǎn)共線, ∴,共線, ∴-2×(4-k)=-7×(-2k), 解得k=-. 3.(2018·嘉興調(diào)研)已知點(diǎn)O為△ABC外接圓的圓心,且++=0,則△ABC的內(nèi)角A等于(  ) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析:選A 由++=0得,+=,由O為

44、△ABC外接圓的圓心,結(jié)合向量加法的幾何意義知,四邊形OACB為菱形,且∠CAO=60°,故A=30°. 4.若=a,=b,a與b不共線,則∠AOB平分線上的向量為(  ) A.+ B. C. D.λ,λ由確定 解析:選D 以O(shè)M為對(duì)角線,以,方向?yàn)猷忂呑髌叫兴倪呅蜲CMD, ∵OM平分∠AOB, ∴平行四邊形OCMD是菱形. 設(shè)OC=OD=λ, 則=λ,=λ, ∴=+=λ,且λ由確定. 5.設(shè)D,E,F(xiàn)分別是△ABC的三邊BC,CA,AB上的點(diǎn),且=2,=2,=2,則++與 (  ) A.反向平行 B.同向平行 C.互相垂直 D.既不平行也不垂直 解析:選A

45、 由題意得=+=+, =+=+, =+=+, 因此++=+(+-) =+=-, 故++與反向平行. 6.如圖所示,已知點(diǎn)G是△ABC的重心,過點(diǎn)G作直線與AB,AC兩邊分別交于M,N兩點(diǎn),且=x,=y(tǒng),則的值為(  ) A.3 B. C.2 D. 解析:選B 利用三角形的性質(zhì),過重心作平行于底邊BC的直線,易得x=y(tǒng)=,則=. 7.(2018·蘭州模擬)已知向量a=(1-sin θ,1),b=,若a∥b,則銳角θ=(  ) A. B. C. D. 解析:選B 因?yàn)閍∥b,所以(1-sin θ)×(1+sin θ)-1×=0,得sin2θ=,所以sin θ=±,

46、故銳角θ=. 8.已知△ABC是邊長為4的正三角形,D,P是△ABC內(nèi)的兩點(diǎn),且滿足=(+),=+,則△APD的面積為(  ) A. B. C. D.2 解析:選A 法一:取BC的中點(diǎn)E,連接AE,由于△ABC是邊長為4的正三角形,則AE⊥BC,=(+),又=(+),所以點(diǎn)D是AE的中點(diǎn),AD=.?。?,以AD,AF為鄰邊作平行四邊形,可知=+=+.而△APD是直角三角形,AF=,所以△APD的面積為××=. 法二:以A為原點(diǎn),以BC的垂直平分線為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系. ∵等邊三角形ABC的邊長為4, ∴B(-2,-2),C(2,-2), 由題知=(+)=[(-

47、2,-2)+(2,-2)]=(0,-), =+=(0,-)+(4,0)=, ∴△ADP的面積為S=||·| |=××=. 二、填空題 9.在矩形ABCD中,O是對(duì)角線的交點(diǎn),若=5e1,=3e2,則=________.(用e1,e2表示) 解析:在矩形ABCD中,因?yàn)镺是對(duì)角線的交點(diǎn),所以==(+)=(+)=(5e1+3e2)=e1+e2. 答案:e1+e2 10.已知S是△ABC所在平面外一點(diǎn),D是SC的中點(diǎn),若=x+y+z,則x+y+z=________. 解析:依題意得=-=(+)-=-++,因此x+y+z=-1++=0. 答案:0 11.(2018·貴陽模擬)已知平

48、面向量a,b滿足|a|=1,b=(1,1),且a∥b,則向量a的坐標(biāo)是________. 解析:設(shè)a=(x,y), ∵平面向量a,b滿足|a|=1,b=(1,1),且a∥b, ∴=1,且x-y=0,解得x=y(tǒng)=±. ∴a=或. 答案:或 12.在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,DC∥AB,AD=DC=1,AB=2,E,F(xiàn)分別為AB,BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在以A為圓心,AD為半徑的圓弧DE上變動(dòng)(如圖所示),若=λ+μ,其中λ,μ∈R,則2λ-μ的取值范圍是________. 解析:以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AB為x軸,AD為y軸,建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),E(1,0),D(0

49、,1),F(xiàn), 設(shè)P(cos α,sin α)(0°≤α≤90°), ∵=λ+μ, ∴(cos α,sin α)=λ(-1,1)+μ =, ∴cos α=-λ+μ,sin α=λ+, ∴λ=(3sin α-cos α),μ=(cos α+sin α), ∴2λ-μ=sin α-cos α=sin(α-45°), ∵0°≤α≤90°, ∴-45°≤α-45°≤45°, ∴-≤sin(α-45°)≤, ∴-1≤sin(α-45°)≤1, ∴2λ-μ的取值范圍是[-1,1]. 答案:[-1,1] 三、解答題 13.如圖所示,在△ABC中,D,F(xiàn)分別是BC,AC的中點(diǎn),=,

50、=a,=b. (1)用a,b表示向量,,,,; (2)求證:B,E,F(xiàn)三點(diǎn)共線. 解:(1)延長AD到G,使=, 連接BG,CG,得到平行四邊形ABGC, 所以=a+b, ==(a+b), ==(a+b), ==b, =-=(a+b)-a=(b-2a), =-=b-a=(b-2a). (2)證明:由(1)可知=, 又因?yàn)?,有公共點(diǎn)B, 所以B,E,F(xiàn)三點(diǎn)共線. 14.(2018·鄭州模擬)平面內(nèi)給定三個(gè)向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1). (1)若(a+kc)∥(2b-a),求實(shí)數(shù)k的值; (2)若d滿足(d-c)∥(a+b),且|d-c|

51、=,求d的坐標(biāo). 解:(1)a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2), 由題意得2×(3+4k)-(-5)×(2+k)=0, 解得k=-. (2)設(shè)d=(x,y),則d-c=(x-4,y-1), 又a+b=(2,4),|d-c|=, ∴解得或 ∴d的坐標(biāo)為(3,-1)或(5,3). 15.如圖,在△OAB中,=,=,AD與BC交于點(diǎn)M,設(shè)=a,=b. (1)用a,b表示; (2)在線段AC上取一點(diǎn)E,在線段BD上取一點(diǎn)F,使EF過M點(diǎn),設(shè)=p,=q,求證:+=1. 解:(1)設(shè)=xa+yb, 由=,得=4x+yb, ∵C,M,B三點(diǎn)共線, ∴4x+y=

52、1.① 由=,得=xa+2y, ∵A,M,D三點(diǎn)共線, ∴x+2y=1,② 聯(lián)立①②得,x=,y=. ∴=a+b. (2)證明:∵=p,=q, ∴=,=, ∴=·+·. ∵E,M,F(xiàn)三點(diǎn)共線, ∴+=1. 1.已知點(diǎn)P是△ABC的中位線EF上任意一點(diǎn),且EF∥BC,實(shí)數(shù)x,y滿足+x+y=0,設(shè)△ABC,△PBC,△PCA,△PAB的面積分別為S,S1,S2,S3,記=λ1,=λ2,=λ3,則λ2·λ3取最大值時(shí),3x+y的值為(  ) A. B. C.1 D.2 解析:選D 由題意可知λ1+λ2+λ3=1. ∵P是△ABC的中位線EF上任意一點(diǎn),且EF∥

53、BC, ∴λ1=, ∴λ2+λ3=, ∴λ2λ3≤2=, 當(dāng)且僅當(dāng)λ2=λ3=時(shí)取等號(hào), ∴λ2·λ3取最大值時(shí),P為EF的中點(diǎn). 延長AP交BC于M,則M為BC的中點(diǎn), ∴PA=PM, ∴=-=-(+), 又∵+x+y=0, ∴x=y(tǒng)=, ∴3x+y=2. 2.如圖,在Rt△ABC中,P是斜邊BC上一點(diǎn),且滿足=,點(diǎn)M,N在過點(diǎn)P的直線上,若=λ,=μ(λ>0,μ>0),則λ+2μ的最小值為(  ) A.2 B. C.3 D. 解析:選B ∵=λ,=μ (λ>0,μ>0), ∴=+=(1-λ). ∵M(jìn),P,N三點(diǎn)共線, ∴存在實(shí)數(shù)k,使=k=k(-)=

54、-kλ+kμ. ∵=,∴==-. ∴+=+=(1-λ), ∴ 由②得,k=代入①得,-=1-λ, ∴μ=, ∴λ+2μ=λ+. 設(shè)f(λ)=λ+,λ>0, ∴f′(λ)=,令f′(λ)=0,得λ=0或λ=. 當(dāng)λ∈時(shí),f′(λ)<0,當(dāng)λ∈時(shí),f′(λ)>0. ∴λ=時(shí),f(λ)取極小值,也是最小值, 又f=,∴f(λ)的最小值為, 即λ+2μ的最小值為. 高考研究課(二) 平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用 [全國卷5年命題分析] 考點(diǎn) 考查頻度 考查角度 數(shù)量積的運(yùn)算 5年4考 求數(shù)量積及由數(shù)量積求參數(shù) 向量的模 5年2考 求模及由模的關(guān)系求參數(shù) 向量

55、夾角及垂直 5年3考 由向量垂直求參數(shù),由坐標(biāo)求向量夾角 平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算 [典例] (1)已知等邊△ABC的邊長為2,若=3,=,則·等于(  ) A.-2         B.- C.2 D. (2)已知正方形ABCD的邊長為1,點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn),則·的值為______;·的最大值為________. [解析] (1)如圖所示,· =(-)·(+) =· =· =2-2=×4-×4=-2. (2)法一: 如圖,·=(+)·=·+·=2=1, ·=(+)· =·+·=· =||·||≤||2=1,故·的最大值為1. 法二:以射線AB

56、,AD為x軸,y軸的正方向建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1),設(shè)E(t,0),t∈[0,1],則=(t,-1),=(0,-1),所以·=(t,-1)·(0,-1)=1. 因?yàn)椋?1,0),所以·=(t,-1)·(1,0)=t≤1, 故·的最大值為1. 法三: 由圖知,無論E點(diǎn)在哪個(gè)位置,在方向上的投影都是CB=1, ∴·=||·1=1. 當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí),在方向上的投影最大,即為DC=1, ∴(·)max=||·1=1. [答案] (1)A (2)1 1 [方法技巧] 平面向量數(shù)量積的2種運(yùn)算方法 方法 運(yùn)用提示 適用

57、題型 定義法 當(dāng)已知向量的模和夾角θ時(shí),可利用定義法求解,即a·b=|a|·|b|cos θ 適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問題 坐標(biāo)法 當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時(shí),可利用坐標(biāo)法求解,即若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a·b=x1x2+y1y2 適用于已知相應(yīng)向量的坐標(biāo)求解數(shù)量積的有關(guān)計(jì)算問題 [即時(shí)演練] 1.(2016·天津高考)已知△ABC是邊長為1的等邊三角形,點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn),連接DE并延長到點(diǎn)F,使得DE=2EF,則·的值為(  ) A.- B. C. D. 解析:選B 如圖所示,=+. 又D,E分別為AB,BC的中點(diǎn), 且

58、DE=2EF,所以=, =+=, 所以=+. 又=-, 則·=·(-) =·-2+2-· =2-2-·. 又||=||=1,∠BAC=60°, 故·=--×1×1×=. 2.(2018·豫東名校聯(lián)考)如圖,BC是單位圓A的一條直徑,F(xiàn)是線段AB上的點(diǎn),且=3,若DE是圓A中繞圓心A運(yùn)動(dòng)的一條直徑,則·的值是________. 解析:·=(+)·(+)=(+)·(-)=2-2=2-1=-. 答案:- 平面向量數(shù)量積的性質(zhì) 平面向量的夾角與模的問題是高考中的??純?nèi)容,題型多為選擇題、填空題,難度適中,屬中檔題. 常見的命題探究角度有: (1)平面向量的模; (2

59、)平面向量的夾角; (3)平面向量的垂直. 角度一:平面向量的模 1.(2017·浙江高考)已知向量a,b滿足|a|=1,|b|=2,則|a+b|+|a-b|的最小值是________,最大值是________. 解析:法一:由向量三角不等式得,|a+b|+|a-b|≥|(a+b)-(a-b)|=|2b|=4. 又≤ ==,∴|a+b|+|a-b|的最大值為2. 法二:設(shè)a,b的夾角為θ. ∵|a|=1,|b|=2, ∴|a+b|+|a-b|=+ =+. 令y=+, 則y2=10+2. ∵θ∈[0,π],∴cos2θ∈[0,1],∴y2∈[16,20], ∴y∈[4,

60、2 ],即|a+b|+|a-b|的最小值為4,最大值為2. 答案:4 2 2.已知向量a=(1,1),b=(-1,1),設(shè)向量c滿足(2a-c)·(3b-c)=0,則|c|的最大值為________. 解析:設(shè)c=(x,y),2a-c=(2-x,2-y),3b-c=(-3-x,3-y),則由題意得(2-x)·(-3-x)+(2-y)·(3-y)=0,即2+2=,表示以為圓心,為半徑的圓,所以|c|的最大值為. 答案: [方法技巧] 利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法 (1)a2=a·a=|a|2或|a|=. (2)|a±b|==. (3)若a=(x,y),則|a|=. [提醒

61、] 與模有關(guān)的最值或范圍問題要注意抓住模的幾何意義及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.   角度二:平面向量的夾角 3.已知單位向量e1與e2的夾角為60°,則|e1-2e2|=________. 解析:∵單位向量e1與e2的夾角為60°, ∴|e1|=|e2|=1,e1·e2=|e1|·|e2|·cos 60°=, ∴|e1-2e2|===. 答案: 4.(2018·洛陽期末)已知a=(1,2),b=(1,1),且a與a+λb的夾角為銳角,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍. 解:∵a與a+λb均為非零向量,且夾角為銳角, ∴a·(a+λb)>0,即(1,2)·(1+λ,2+λ)>0. ∴(1+λ)+

62、2(2+λ)>0. ∴λ>-. 當(dāng)a與a+λb共線時(shí), 存在實(shí)數(shù)m,使a+λb=ma, 即(1+λ,2+λ)=m(1,2), ∴解得λ=0. 即當(dāng)λ=0時(shí),a與a+λb共線, 綜上可知,實(shí)數(shù)λ的取值范圍為∪(0,+∞). [方法技巧] 向量夾角問題的2個(gè)注意點(diǎn) (1)切記向量夾角的范圍是[0,π]. (2)a與b夾角為銳角?a·b>0且a,b不共線,a與b夾角為鈍角?a·b<0且a,b不共線.   角度三:平面向量的垂直 5.(2017·山東高考)已知e1,e2是互相垂直的單位向量.若e1-e2與e1+λe2的夾角為60°,則實(shí)數(shù)λ的值是________. 解析:因

63、為=, 故=,解得λ=. 答案: 6.(2016·山東高考)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(ta+b),則實(shí)數(shù)t的值為________. 解析:∵a=(1,-1),b=(6,-4), ∴ta+b=(t+6,-t-4). 又a⊥(ta+b),則a·(ta+b)=0, 即t+6+t+4=0, 解得t=-5. 答案:-5 [方法技巧] 兩向量垂直的應(yīng)用:兩非零向量垂直的充要條件是a⊥b?a·b=0?|a-b|=|a+b|.   平面向量與三角函數(shù)的綜合 [典例] (2018·懷化模擬)已知在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,向量m=

64、(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),m·n=sin 2C. (1)求角C的大??; (2)若sin A,sin C,sin B成等差數(shù)列,且·(-)=18,求c. [解] (1)由已知得m·n=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B), ∵在△ABC中,A+B=π-C,0

65、a+b. ∵·(-)=18, ∴·=18, 即abcos C=18,ab=36. 由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cosC=(a+b)2-3ab, ∴c2=4c2-3×36,c2=36, ∴c=6. [方法技巧] 平面向量與三角函數(shù)的綜合問題的解題思路 (1)題目條件給出向量的坐標(biāo)中含有三角函數(shù)的形式,運(yùn)用向量共線或垂直或等式成立等,得到三角函數(shù)的關(guān)系式,然后求解. (2)給出用三角函數(shù)表示的向量坐標(biāo),要求的是向量的?;蛘咂渌蛄康谋磉_(dá)形式,解題思路是經(jīng)過向量的運(yùn)算,利用三角函數(shù)在定義域內(nèi)的有界性,求得值域等.   [即時(shí)演練] 1.(2018·云南檢測)已知向量

66、a=(sin x,1),b=(t,x),若函數(shù)f(x)=a·b在區(qū)間上是增函數(shù),則實(shí)數(shù)t的取值范圍是________. 解析:由f(x)=a·b=tsin x+x,得f′(x)=tcos x+1, 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù), 所以f′(x)≥0在區(qū)間上恒成立, 即tcos x+1≥0恒成立, 即t≥-在上恒成立, 所以t≥max,所以t≥-1. 答案:[-1,+∞) 2.已知向量a=(cos x,sin x),b=(-cos x,cos x),c=(-1,0). (1)若x=,求向量a,c的夾角; (2)當(dāng)x∈時(shí),求函數(shù)f(x)=2a·b+1的最小值. 解:(1)當(dāng)x=時(shí),cos〈a,c〉= = =-cos x=-cos =-. 又∵0≤〈a,c〉≤π, ∴〈a,c〉=,即向量a,c的夾角為. (2)f(x)=2a·b+1 =2(-cos2x+sin xcos x)+1 =2sin xcos x-(2cos2x-1) =sin 2x-cos 2x=sin. ∵x∈, ∴2x-∈, 故sin∈, ∴當(dāng)2x-=,即x=時(shí),f(x)取得最

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