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2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點聚焦與擴(kuò)展 專題62 幾何概型

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1、2022年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點聚焦與擴(kuò)展 專題62 幾何概型 縱觀近幾年的高考試題,概率是高考熱點之一,以實際問題為背景,考查幾何概型的計算以及分析、推理能力.難度控制在中等以下. 本專題在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上,舉例說明. 1.幾何概型的定義 如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱幾何概型. 2.幾何概型的兩個基本特點 (1)無限性:在一次試驗中可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個; (2)等可能性:每個試驗結(jié)果的發(fā)生具有等可能性. 3.幾何概型的概率公式 P(A)=. 4.幾何概型常見的類型,

2、可分為三個層次: (1)以幾何圖形為基礎(chǔ)的題目:可直接尋找事件所表示的幾何區(qū)域和總體的區(qū)域,從而求出比例即可得到概率. (2)以數(shù)軸,坐標(biāo)系為基礎(chǔ)的題目:可將所求事件轉(zhuǎn)化為數(shù)軸上的線段(或坐標(biāo)平面的可行域),從而可通過計算長度(或面積)的比例求的概率(將問題轉(zhuǎn)化為第(1)類問題) (3)在題目敘述中,判斷是否運(yùn)用幾何概型處理,并確定題目中所用變量個數(shù).從而可依據(jù)變量個數(shù)確定幾何模型:通常變量的個數(shù)與幾何模型的維度相等:一個變量→數(shù)軸,兩個變量→平面直角坐標(biāo)系,三個變量→空間直角坐標(biāo)系.從而將問題轉(zhuǎn)化成為第(2)類問題求解 5.與長度有關(guān)的幾何概型 如果試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可

3、用長度表示,可直接用概率的計算公式求解. 6.與角度有關(guān)的幾何概型 當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動,扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時,應(yīng)以角的大小作為區(qū)域度量來計算概率,且不可用線段的長度代替,這是兩種不同的度量手段. 7. 求解與面積有關(guān)的幾何概型的關(guān)鍵點 求解與面積有關(guān)的幾何概型時,關(guān)鍵是弄清某事件對應(yīng)的面積,必要時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量,把變量看成點的坐標(biāo),找到試驗全部結(jié)果構(gòu)成的平面圖形,以便求解. 8. 求解與體積有關(guān)的幾何概型的關(guān)鍵點 對于與體積有關(guān)的幾何概型問題,關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間),對于某些較復(fù)雜的也可利用其對立事件去求. 【經(jīng)典例題】 例1.【

4、2018年全國卷I理】下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形.此圖由三個半圓構(gòu)成,三個半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC,直角邊AB,AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為I,黑色部分記為II,其余部分記為III.在整個圖形中隨機(jī)取一點,此點取自I,II,III的概率分別記為p1,p2,p3,則 A. p1=p2 B. p1=p3 C. p2=p3 D. p1=p2+p3 【答案】A 黑色部分的面積為 , 其余部分的面積為,所以有, 根據(jù)面積型幾何概型的概率公式,可以得到,故選A. 點睛:該題考查的是面積型幾何概型的有關(guān)問題,題中需要解決的是概

5、率的大小,根據(jù)面積型幾何概型的概率公式,將比較概率的大小問題轉(zhuǎn)化為比較區(qū)域的面積的大小,利用相關(guān)圖形的面積公式求得結(jié)果. 例2.【2017課標(biāo)1,理】如圖,正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點,則此點取自黑色部分的概率是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【考點】幾何概型 【名師點睛】對于幾何概型的計算,首先確定事件類型為幾何概型并確定其幾何區(qū)域(長度、面積、體積或時間),其次計算基本事件區(qū)域的幾何度量和事件A區(qū)域的幾何度量,最后計算. 例3.【20

6、18屆江西省臨川一中模擬】已知三地在同一水平面內(nèi),地在正東方向處,地在地正北方向處,某測繪隊員在之間的直線公路上任選一點作為測繪點,用測繪儀進(jìn)行測繪,地為一磁場,距離其不超過的范圍內(nèi)會對測繪儀等電子儀等電子儀器形成干擾,使測量結(jié)果不準(zhǔn)確,則該測繪隊員能夠得到準(zhǔn)確數(shù)據(jù)的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】A 例4.【2018屆山東省實驗中學(xué)二?!俊毒耪滤阈g(shù)》勾股章有一“引葭 [jiā] 赴岸”問題:“今有池方一丈, 葭生其中央,出水兩尺,引葭赴岸,適與岸齊.問水深、葭長各幾何.”其意思是:有一水池一丈見方,池中心生有一顆類似

7、蘆葦?shù)闹参铮冻鏊鎯沙?,若把它引向岸邊,正好與岸邊齊(如圖所示),問水有多深,該植物有多長?其中一丈為十尺.若從該葭上隨機(jī)取一點,則該點取自水下的概率為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】試題分析:設(shè)水深為x尺,利用勾股定理求出水深,結(jié)合葭長13尺,代入幾何概型概率計算公式,可得答案. 詳解: 設(shè)水深為x尺, 則(x+2)2=x2+52, 解得x=, 即水深尺. 又葭長尺, 則所求概率為. 故選:A. 例5.【2018屆河南省最后一次模擬】如圖,在正六邊形內(nèi)隨機(jī)取一點,則此點取自陰影部分的概率是( ) A.

8、 B. C. D. 【答案】D 所以,所求的概率為. 本題選擇D選項. 例6.【2018屆河北省武邑中學(xué)四?!吭谄矫鎱^(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點,則點在圓內(nèi)部的概率( ) A. B. C. D. 【答案】B 其中滿足的點為陰影部分對應(yīng)的點,其面積為,不等組對應(yīng)的平面區(qū)域的面積為,故所求概率為,故選B. 例7.【2018屆安徽省淮南市二?!恳阎沁呴L為2的正三角形,在內(nèi)任取一點,則該點落在內(nèi)切圓內(nèi)的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析:根據(jù)題意求出△ABC內(nèi)切圓

9、的面積與三角形的面積比即可. 詳解:如圖所示,△ABC是邊長為2的正三角形, 則AD=,OD=, ∴△ABC內(nèi)切圓的半徑為r=, 所求的概率是P=. 故答案為:D 例8.【2018屆安徽省安慶市第一中學(xué)熱身】在上任取一個個實數(shù),則事件“直線與圓”相交的概率為( ) A. B. C. D. 【答案】C 故選C. 例9.【2018屆四川省梓潼中學(xué)校高考模擬(二)】已知圓柱的底面半徑為,高為,若區(qū)域表示圓柱及其內(nèi)部,區(qū)域表示圓柱內(nèi)到下底面的距離大于的點組成的集合,若向區(qū)域中隨機(jī)投一點,則所投的點落入?yún)^(qū)域中的概率為( ) A.

10、B. C. D. 【答案】C 根據(jù)幾何概型,得所投入的點落在區(qū)域N中的概率為,故選C. 例10.【2018屆江西師范大學(xué)附屬中學(xué)三模】在區(qū)間上任取一個數(shù),則函數(shù)在上的最大值是的概率為( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】分析:設(shè)函數(shù)y=x2﹣4x+3,求出x∈[0,4]時y的取值范圍,再根據(jù)a∈[﹣2,2]討論a的取值范圍,判斷f(x)是否能取得最大值3,從而求出對應(yīng)的概率值. 詳解:在區(qū)間[﹣2,2]上任取一個數(shù)a,基本事件空間對應(yīng)區(qū)間的長度是4, 由y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,x∈[0,4],得y∈

11、[﹣1,3], ∴﹣1﹣a≤x2﹣4x+3﹣a≤3﹣a, ∴|x2﹣4x+3﹣a|的最大值是|3﹣a|或|﹣1﹣a|, 即最大值是|3﹣a|或|1+a|; 令|3﹣a|≥|1+a|,得(3﹣a)2≥(1+a)2,解得a≤1; 又a∈[﹣2,2],∴﹣2≤a≤1; 故答案為:A 點睛:(1)本題主要考查幾何概型和函數(shù)的最值的計算,意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力和分析推理能力. (2)解答本題的關(guān)鍵是通過函數(shù)在上的最大值是分析得到a∈[﹣2,1]. 【精選精練】 1.【2018屆廣東省東莞市考前演練】如圖1,風(fēng)車起源于周,是一種用紙折成的玩具.它用高粱稈,膠泥瓣兒和彩紙

12、扎成,是老北京的象征,百姓稱它吉祥輪.風(fēng)車現(xiàn)已成為北京春節(jié)廟會和節(jié)俗活動的文化標(biāo)志物之一.圖2是用8個等腰直角三角形組成的風(fēng)車平面示意圖,若在示意圖內(nèi)隨機(jī)取一點,則此點取自黑色部分的概率為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:由幾何概型及概率的計算可知,用黑色部分的面積比總面積,即可求解概率. 詳解:設(shè)白色部分的等腰直角三角形的斜邊長為,則直角邊的長為, 所以所有白色部分的面積為, 則黑色部分的等腰直角三角形的腰長為1,所有黑色部分的面積為, 由幾何概型可得其概率為,故選B. 2.【2018屆安徽省江南十校沖刺聯(lián)考(二模)

13、】已知實數(shù),則函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減的概率為( ) A. B. C. D. 【答案】C ∴所求概率為. 故選. 點睛:本題考查幾何概型,考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性,解題關(guān)鍵是由不等式在恒成立求得參數(shù)的取值范圍,求取值范圍的方法是分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值,這可由導(dǎo)數(shù)求得也可由基本不等式求得. 3.【2018屆河南省鄭州外國語學(xué)校第十五次調(diào)研】已知在矩形中,,現(xiàn)在矩形內(nèi)任意取一點,則的概率為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:以為圓心,為半徑作弧交于,以為圓心,為半徑作弧交于, 則在兩弧區(qū)間,

14、求出兩弧之間曲邊形面積,利用幾何概型概率公式可得結(jié)果. 扇形面積為, 兩弧之間曲邊形面積為 , 的概率為,故選B. 4.【2018屆山東省濰坊市三?!咳龂鴷r期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽曾創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”,用數(shù)形結(jié)合的方法給出了勾股定理的詳細(xì)證明.如圖所示的“勾股圓方圖”中,四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形,其中一個直角三角形中較小的銳角滿足,現(xiàn)向大正方形內(nèi)隨機(jī)投擲一枚飛鏢,則飛鏢落在小正方形內(nèi)的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】D 所以打正方形的面積為,小正方形的面積為, 所以滿足條件的概率為,故選D

15、. 5.【2018屆四川省成都市模擬(一)】把一根長為6米的細(xì)繩任意做成兩段,則稍短的一根細(xì)繩的長度大于2米的概率是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】分析:根據(jù)題意確定為幾何概型中的長度類型,將長度為6米的繩子分成相等的三段,在中間一段任意位置剪斷符合要求,從而找出中間2米處的兩個界點,再求出其比值. 詳解:記“稍短的一根細(xì)繩的長度大于2米”為事件, 則只能在距離兩段超過2米的繩子上剪斷, 即在中間的2米的繩子上剪斷,才使得稍短的一根細(xì)繩的長度大于2米, 所以由幾何概型的公式得到事件 發(fā)生的概率 故選D. 6.【2018屆安

16、徽省江南十校沖刺聯(lián)考(二模)】不等式所表示的區(qū)域為,函數(shù)的圖象與軸所圍成的區(qū)域為.向內(nèi)隨機(jī)投一個點,則該點落到內(nèi)概率為( ) A. B. C. D. 【答案】A 概率為. 7.【2018屆山東省名校聯(lián)盟一?!科咔砂迨俏覀冏嫦鹊囊豁梽?chuàng)造,被譽(yù)為“東方魔板”,它是由五塊等腰直角三角形(兩塊全等的小三角形,一塊中三角形和兩塊全等的大三角形),一塊正方形和一塊平行四邊形組成的.如圖是一個用七巧板拼成的正方形,若向正方形內(nèi)隨機(jī)拋擲2000顆米粒(大小忽略不計),則落在圖中陰影部分內(nèi)米粒數(shù)大約為( ) A. 750 B. 500 C. 3

17、75 D. 250 【答案】C 6.【2018屆山西省運(yùn)城市康杰中學(xué)高考模擬(一)】在圓的一條直徑上,任取一點作與該直徑垂直的弦,則其弦長超過該圓的內(nèi)接等邊三角形的邊長的概率為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析:先利用直線和圓的位置關(guān)系得到弦長等于該圓內(nèi)接三角形的邊長的直線的位置,再利用幾何概型的概率公式進(jìn)行求解. 詳解:設(shè)圓的半徑為,則, 則其弦長超過該圓的內(nèi)接等邊三角形的邊長的概率為.故選C. 點睛:本題考查幾何概型的概率問題,幾何概型的幾何模型主要是長度、面積與體積,其關(guān)鍵是選擇合適的模型,如本題中雖然涉及直線和圓的

18、位置關(guān)系,但要注意點在圓的直徑上運(yùn)動,即該概率為線段的長度之比. 7.【2018屆河南省鞏義市市直高中下學(xué)期模擬】已知點,在:上隨機(jī)取一點,則的概率為__________. 【答案】 8.【2018屆寧夏回族自治區(qū)銀川一中高考前訓(xùn)練】如圖,一銅錢的直徑為32毫米,穿徑(即銅錢內(nèi)的正方形小孔邊長)為8毫米,現(xiàn)向該銅錢內(nèi)隨機(jī)地投入一粒米(米的大小忽略不計),則該粒米落在銅錢的正方形小孔內(nèi)的概率為________. 【答案】. 【解析】分析:先分別計算圓與正方形面積,再根據(jù)幾何概型概率公式求結(jié)果. 詳解:因為圓與正方形面積分別為,所以該粒米落在銅錢的正方形小孔內(nèi)的概率為.

19、9.【2018屆山東省濰坊市青州市三?!恳阎矫嫦蛄?,則事件“”的概率為__________. 【答案】 10.【2018屆湖北省華中師范大學(xué)第一附屬中學(xué)5月押題】已知平面區(qū)域,現(xiàn)向該區(qū)域內(nèi)任意擲點,則點落在曲線下方的概率為__________. 【答案】 點睛:(1)本題考查定積分和幾何概型的計算,意在考查學(xué)生對這些基礎(chǔ)知識的掌握能力和數(shù)形結(jié)合的思想方法. (2)解答本題的關(guān)鍵是求點落在曲線下方的面積. 11.【2018屆江西省南昌市三模】中國數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提出“割圓”之說:“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體,而無所失矣”.意思是“圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增多的時候,它的周長的極限是圓的周長,它的面積的極限是圓的面積”.如圖,若在圓內(nèi)任取一點,則此點取自其內(nèi)接正六邊形的概率____. 【答案】 【解析】分析:根據(jù)幾何概型的概率公式分別求出正六邊形的面積和圓的面積即可 詳解:設(shè)圓心為O,圓的半徑為1,則正六邊形的面積S=則對應(yīng)的概率P=,故答案為. 12.【2018屆山東省威海市二?!吭谥?,在邊上任取一點,滿足的概率為_______. 【答案】.  

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