《（全國通用版）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 規(guī)范答題示例9 導(dǎo)數(shù)與不等式的恒成立問題學(xué)案 文》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國通用版）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 規(guī)范答題示例9 導(dǎo)數(shù)與不等式的恒成立問題學(xué)案 文（3頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、（全國通用版）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題六 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 規(guī)范答題示例9 導(dǎo)數(shù)與不等式的恒成立問題學(xué)案 文 典例9　(12分)(2017·全國Ⅲ)已知函數(shù)f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x. (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)當(dāng)a<0時，證明f(x)≤－－2. 審題路線圖　(1)―→―→―→. (2)―→―→ . 規(guī) 范 解 答·分 步 得 分 構(gòu) 建 答 題 模 板 (1)解　f(x)的定義域為(0，＋∞)， f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝(x>0).2分 若a≥0，則當(dāng)x∈(0，＋∞)時，f′(x)>0， 故f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.4分 若

2、a<0，則當(dāng)x∈時，f′(x)>0； 當(dāng)x∈時，f′(x)<0. 故f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.6分 (2)證明　由(1)知，當(dāng)a<0時，f(x)在x＝－處取得最大值， 最大值為f＝ln－1－，8分 所以f(x)≤－－2等價于ln－1－≤－－2， 即ln＋＋1≤0.9分 設(shè)g(x)＝ln x－x＋1， 則g′(x)＝－1(x>0). 當(dāng)x∈(0,1)時，g′(x)>0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，g′(x)<0. 所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，＋∞)上單調(diào)遞減. 故當(dāng)x＝1時，g(x)取得最大值，最大值為g(1)＝0.11分 所以當(dāng)x>0時，g(x)≤0

3、. 從而當(dāng)a<0時，ln＋＋1≤0， 即f(x)≤－－2.12分 第一步 求導(dǎo)數(shù)：一般先確定函數(shù)的定義域，再求f′(x). 第二步 定區(qū)間：根據(jù)f′(x)的符號確定函數(shù)的單調(diào)性. 第三步 尋條件：一般將恒成立問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題. 第四步 寫步驟：通過函數(shù)單調(diào)性探求函數(shù)最值，對于最值可能在兩點取到的恒成立問題，可轉(zhuǎn)化為不等式組恒成立問題. 第五步 再反思：查看是否注意定義域、區(qū)間的寫法、最值點的探求是否合理等. 評分細則　第(1)問得分點說明： ①正確求出f′(x)得2分； ②求出a≥0時，函數(shù)的單調(diào)性得2分； ③求出a<0時，函數(shù)的單調(diào)性得2分． 第

4、(2)問得分點說明： ①正確求出f(x)的最大值得2分； ②轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式得1分； ③構(gòu)造函數(shù)并正確求出函數(shù)的最大值得2分； ④正確寫出結(jié)論得1分． 跟蹤演練9　(2018·全國Ⅰ)已知函數(shù)f(x)＝－x＋aln x. (1)討論f(x)的單調(diào)性； (2)若f(x)存在兩個極值點x1，x2， 證明：2，令f′(x)＝0，得 x＝或x＝. 當(dāng)x∈∪時，f′(x)<0； 當(dāng)x∈時，f′(x)>0. 所以f(x)在，上單調(diào)遞減， 在上單調(diào)遞增． (2)證明　由(1)知，f(x)存在兩個極值點當(dāng)且僅當(dāng)a>2. 由于f(x)的兩個極值點x1，x2滿足x2－ax＋1＝0， 所以x1x2＝1，不妨設(shè)01. 由于＝－－1＋a ＝－2＋a＝－2＋a， 所以