《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)思想 第3講 分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想學(xué)案 文 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題八 數(shù)學(xué)文化及數(shù)學(xué)思想 第3講 分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想學(xué)案 文 新人教A版（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第3講　分類討論思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想 一　分類討論思想 分類討論的原則 分類討論的常見類型 1.不重不漏 2．標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，層次要分明 3．能不分類的要盡量避免，決不無原則的討論 1.由數(shù)學(xué)概念而引起的分類討論 2．由數(shù)學(xué)運(yùn)算要求而引起的分類討論 3．由性質(zhì)、定理、公式的限制而引起的分類討論 4．由圖形的不確定性而引起的分類討論 5．由參數(shù)的變化而引起的分類討論 分類討論的思想是將一個較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題分解成若干個基礎(chǔ)性問題，通過對基礎(chǔ)性問題的解答來實現(xiàn)解決原問題的策略 　　　由概念、法則、公式、性質(zhì)引起的分類討論 [典型例題] (1)若函數(shù)f(x

2、)＝ax(a>0，a≠1)在[－1，2]上的最大值為4，最小值為m，且函數(shù)g(x)＝(1－4m)在[0，＋∞)上是增函數(shù)，則a＝________． (2)在等比數(shù)列{an}中，已知a3＝，S3＝，則a1＝　________． 【解析】　(1)若a>1，有a2＝4，a－1＝m. 解得a＝2，m＝. 此時g(x)＝－為減函數(shù)，不合題意． 若0

3、．當(dāng)q＝－時，a1＝＝6， 綜上可知，a1＝或a1＝6. 【答案】　(1)　(2)或6 (1)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性取決于底數(shù)a，因此，當(dāng)?shù)讛?shù)a的大小不確定時，應(yīng)分01兩種情況討論． (2)利用等比數(shù)列的前n項和公式時，若公比q的大小不確定，應(yīng)分q＝1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論，這是由等比數(shù)列的前n項和公式?jīng)Q定的．　 [對點訓(xùn)練] 1．已知函數(shù)f(x)＝若f(1)＋f(a)＝2，則a的所有可能取值為________． 解析：f(1)＝e0＝1，即f(1)＝1. 由f(1)＋f(a)＝2，得f(a)＝1. 當(dāng)a≥0時，f(a)＝1＝ea－1，所以a＝1.

4、 當(dāng)－10時，g(x)的對稱軸x＝－<0， g(x)在(0，1)內(nèi)單調(diào)遞增，符合題意，

5、 當(dāng)a<0時，需滿足g(x)的對稱軸x＝－≥1， 解得－≤a<0， 綜上，a≥－. 答案： 　　　由圖形位置或形狀引起的分類討論 [典型例題] 設(shè)A、B是橢圓C：＋＝1長軸的兩個端點．若C上存在點M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是(　　) A．(0，1]∪[9，＋∞)　　　　 B．(0，]∪[9，＋∞) C．(0，1]∪[4，＋∞) D．(0，]∪[4，＋∞) 【解析】　依題意得，或 ，所以 或，解得0

6、 (2)分類，根據(jù)初步特征對可能出現(xiàn)的位置關(guān)系進(jìn)行分類． (3)得結(jié)論，將“所有關(guān)系”下的目標(biāo)問題進(jìn)行匯總處理． [對點訓(xùn)練] 已知變量x，y滿足的不等式組表示的是一個直角三角形圍成的平面區(qū)域，則實數(shù)k＝(　　) A．－ B. C．0 D．－或0 解析：選D.不等式組，表示的可行域如圖(陰影部分)所示． 由圖可知，若要使不等式組表示的平面區(qū)域是直角三角形，只有當(dāng)直線kx－y＋1＝0與直線x＝0或y＝2x垂直時才滿足． 結(jié)合圖形可知斜率k的值為0或－. 　　　因參數(shù)變化而引起的分類討論 [典型例題] (2019·廣東深圳第二次調(diào)研)已知函數(shù)f(x)＝

7、aex＋2x－1，其中常數(shù)e＝2.718 28…是自然對數(shù)的底數(shù)． 討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性． 【解】　由題意知，f′(x)＝aex＋2. ①當(dāng)a≥0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增； ②當(dāng)a<0時，由f′(x)>0，解得xln. 故f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． 綜上所述，當(dāng)a≥0時，f(x)在R上單調(diào)遞增； 當(dāng)a<0時，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減． 若遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結(jié)合參數(shù)的意義及對結(jié)果的影響進(jìn)行分類討論，此種題目為含參型，應(yīng)全面分析參數(shù)變化引起結(jié)論的變化情況，參數(shù)有幾何意義時還要考慮適當(dāng)?shù)剡\(yùn)

8、用數(shù)形結(jié)合思想，分類要做到分類標(biāo)準(zhǔn)明確、不重不漏．本例研究函數(shù)性質(zhì)對參數(shù)a進(jìn)行分類討論，分為a≥0或a<0. [對點訓(xùn)練] 已知函數(shù)f(x)＝mx2－x＋ln x，若在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)存在區(qū)間D，使得該函數(shù)在區(qū)間D上為減函數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為________． 解析：f′(x)＝2mx－1＋＝， 即2mx2－x＋1<0在(0，＋∞)上有解， 當(dāng)m≤0時顯然成立； 當(dāng)m>0時，由于函數(shù)y＝2mx2－x＋1的圖象的對稱軸x＝>0，故需且只需Δ>0，即1－8m>0，故0

9、化歸的策略 1.熟悉化原則　　　　　2.簡單化原則 3．直觀化原則　　　　　4.正難則反原則 熟悉化、簡單化、直觀化、特殊化、一般化、整體化、間接化 轉(zhuǎn)化與化歸思想就是在研究和解決有關(guān)數(shù)學(xué)問題時，采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化，進(jìn)而使問題得到解決的一種數(shù)學(xué)思想方法 　　　特殊與一般的轉(zhuǎn)化 [典型例題] (一題多解)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，||＝6，||＝4.若點M，N滿足＝3，＝2，則·＝(　　) A．20　　　　　　　　　 B．15 C．9 D．6 【解析】　法一： (特例法)若四邊形ABCD為矩形，建系如圖． 由＝3，＝2， 知M(6

10、，3)，N(4，4)， 所以＝(6，3)，＝(2，－1) ·＝6×2＋3×(－1)＝9. 法二： 如圖所示，由題設(shè)可知， ＝＋＝＋， ＝－＝－， 所以·＝· ＝||2－||2＋·－· ＝×36－×16＝9. 【答案】　C 破解此類題的關(guān)鍵點： (1)確立轉(zhuǎn)化對象，一般將要解決的問題作為轉(zhuǎn)化對象． (2)尋找轉(zhuǎn)化元素，由一般問題轉(zhuǎn)化為特殊問題時，尋找“特殊元素”；由特殊問題轉(zhuǎn)化為一般問題時，尋找“一般元素”． (3)轉(zhuǎn)化為新問題，根據(jù)轉(zhuǎn)化對象與“特殊元素”或“一般元素”的關(guān)系，將其轉(zhuǎn)化為新的需要解決的問題． (4)得出結(jié)論，求解新問題，根據(jù)所得結(jié)果求解原問題

11、，得出結(jié)論．　 [對點訓(xùn)練] 在△ABC中，三邊長a，b，c滿足a＋c＝3b，則tan tan 的值為(　　) A. B. C. D. 解析：選C.令a＝4，c＝5，b＝3，則符合題意(取滿足條件的三邊)． 則由C＝90°，得tan ＝1. 由tan A＝，得＝， 解得tan ＝. 所以tan ·tan ＝×1＝. 　　　函數(shù)、方程、不等式之間的轉(zhuǎn)化 [典型例題] 已知函數(shù)f(x)＝3e|x|.若存在實數(shù)t∈[－1，＋∞)，使得對任意的x∈[1，m]，m∈Z，且m>1，都有f(x＋t)≤3ex，試求m的最大值． 【解】　因為當(dāng)t∈[－1，＋∞)，且x

12、∈[1，m]時，x＋t≥0， 所以f(x＋t)≤3ex?ex＋t≤ex?t≤1＋ln x－x. 所以原命題等價轉(zhuǎn)化為：存在實數(shù)t∈[－1，＋∞)，使得不等式t≤1＋ln x－x，對任意x∈[1，m]恒成立． 令h(x)＝1＋ln x－x(1≤x≤m)． 因為h′(x)＝－1≤0， 所以函數(shù)h(x)在[1，＋∞)內(nèi)為減函數(shù)． 又x∈[1，m]，所以h(x)min＝h(m)＝1＋ln m－m，所以要使得對任意x∈[1，m]t值恒存在，只需1＋ln m－m≥－1. 因為h(3)＝ln 3－2＝ln>ln ＝－1，h(4)＝ln 4－3＝ln

13、為減函數(shù)，所以滿足條件的最大整數(shù)m的值為3. 函數(shù)、方程與不等式相互轉(zhuǎn)化的應(yīng)用 (1)函數(shù)與方程、不等式聯(lián)系密切，解決方程、不等式的問題需要函數(shù)幫助． (2)解決函數(shù)的問題需要方程、不等式的幫助，因為借助函數(shù)與方程、不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化與化歸可以將問題化繁為簡，一般可將不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為最值(值域)問題，從而求出參變量的范圍．　 [對點訓(xùn)練] 若方程2x＋3x＝k的解在[1，2)內(nèi)，則k的取值范圍為________． 解析：令函數(shù)f(x)＝2x＋3x－k， 則f(x)在R上是增函數(shù)． 當(dāng)方程2x＋3x＝k的解在(1，2)內(nèi)時，f(1)·f(2)<0， 即(5－k)(10－k)<0

14、解得50恒成立，則即

15、 解得log2x<－1或log2x>3， 即08， 故實數(shù)x的取值范圍是∪(8，＋∞)． (2)由題意得g′(x)＝3x2＋(m＋4)x－2，若g(x)在區(qū)間(t，3)上總為單調(diào)函數(shù)，則①g′(x)≥0在(t，3)上恒成立，或②g′(x)≤0在(t，3)上恒成立． 由①得3x2＋(m＋4)x－2≥0，即m＋4≥－3x.當(dāng)x∈(t，3)時恒成立，所以m＋4≥－3t恒成立，則m＋4≥－1，即m≥－5； 由②得m＋4≤－3x，當(dāng)x∈(t，3)時恒成立， 則m＋4≤－9，即m≤－. 所以使函數(shù)g(x)在區(qū)間(t，3)上總不為單調(diào)函數(shù)的m的取值范圍為. 【答案】　(1)∪(8

16、，＋∞)　(2) (1)正與反的轉(zhuǎn)化要點 正與反的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)“正難則反”的原則，先從反面求解，再取反面答案的補(bǔ)集即可，一般地，題目若出現(xiàn)多種成立的情形，則不成立的情形相對很少，從反面考慮較簡單．因此，間接法多用于含有“至多”“至少”及否定性命題情形的問題中． (2)主與次的轉(zhuǎn)化要點 在處理多變元的數(shù)學(xué)問題時，我們可以選取其中的常數(shù) (或參數(shù))，將其看作是“主元”，而把其他變元看作是常量， 從而達(dá)到減少變元簡化運(yùn)算的目的．通常給出哪個“元”的取值范圍就將哪個“元”視為“主元”．　 [對點訓(xùn)練] 由命題“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命題，得m的取值范圍是(－∞，a

17、)，則實數(shù)a的取值是(　　) A．(－∞，1)　　　　　　　 B．(－∞，2) C．1 D．2 解析：選C.由命題“存在x0∈R，使e|x0－1|－m≤0”是假命題，可知它的否定形式“任意x∈R，使e|x－1|－m>0”是真命題，可得m的取值范圍是(－∞，1)，而(－∞，a)與(－∞，1)為同一區(qū)間，故a＝1. 一、選擇題 1．已知函數(shù)f(x)＝x2＋(a＋1)x＋ab，若不等式f(x)≤0的解集為{x|－1≤x≤4}，則a＋2b的值為(　　) A．－2　　　　　　　　　　 B．3 C．－3 D．2 解析：選A.依題意，－1，4為方程x2＋(a＋1)x＋ab＝0的兩

18、根，所以解得所以a＋2b的值為－2，故選A. 2．在等差數(shù)列{an}中，a2，a2 018是函數(shù)f(x)＝x3－6x2＋4x－1的兩個不同的極值點，則loga1 010的值為(　　) A．－3 B．－ C．3 D. 解析：選B.f′(x)＝3x2－12x＋4， 因為a2，a2 018是函數(shù)f(x)＝x3－6x2＋4x－1的兩個不同的極值點，所以a2，a2 018是方程3x2－12x＋4＝0的兩個不等實數(shù)根， 所以a2＋a2 018＝4.又因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列，所以a2＋a2 018＝2a1 010，即a1 010＝2， 從而loga1 010＝log2＝－. 3．過

19、拋物線y＝ax2(a>0)的焦點F，作一直線交拋物線于P，Q兩點．若線段PF與FQ的長度分別為p，q，則＋等于(　　) A．2a B. C．4a D. 解析：選C.拋物線y＝ax2(a>0)的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y(tǒng)(a>0)，焦點F.過焦點F作直線垂直于y軸，則|PF|＝|QF|＝，所以＋＝4a. 4．已知函數(shù)f(x)＝x2－4x＋2的定義域為[1，t]，f(x)的最大值與最小值之和為－3，則實數(shù)t的取值范圍是(　　) A．(1，3] B．[2，3] C．(1，2] D．(2，3) 解析：選B.f(x)＝x2－4x＋2的圖象開口向上，對稱軸為x＝2，f(1)＝－1，f

20、(2)＝－2，當(dāng)1f(2)＝－2，則f(x)max＋f(x)min>－3，不符合題意；當(dāng)t≥2時，f(x)min＝f(2)＝－2，則f(x)max＝－3－f(2)＝－1，令f(x)＝－1，則x2－4x＋2＝－1，解得x＝1或x＝3，所以2≤t≤3，故選B. 5．在鈍角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝4，b＝3，則c的取值范圍是(　　) A．(1，)∪(5，7) B．(1，) C．(5，7) D．(5，＋∞) 解析：選A.三角形中兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，據(jù)此可得1

21、若∠C為鈍角，則cos C＝＝<0，解得c>5，?、? 若∠A為鈍角，則cos A＝＝<0，解得0

22、＝x＋， 由函數(shù)的單調(diào)性可知，f(x)max＝f(－1)＝－2， 所以a∈[－2，＋∞)． 綜上可知，a的取值范圍是[－2，2]． 二、填空題 7．已知正數(shù)x，y滿足x2＋2xy－3＝0，則2x＋y的最小值是________． 解析：由題意得，y＝，所以2x＋y＝2x＋＝＝≥3，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝1時，等號成立．故所求最小值為3. 答案：3 8．設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓＋＝1的兩個焦點，P為橢圓上一點．已知P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是一個直角三角形的三個頂點，且|PF1|>|PF2|，則的值為________． 解析：①若∠PF2F1＝90°. 則|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，

23、 又因為|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝2， 解得|PF1|＝，|PF2|＝， 所以＝. ②若∠F1PF2＝90°，則|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，所以|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以＝2. 綜上可知，＝或2. 答案：或2 9．已知函數(shù)f(x)＝x3＋3ax－1，g(x)＝f′(x)－ax－5，其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)．對任意a∈[－1，1]，都有g(shù)(x)<0，則實數(shù)x的取值范圍為________． 解析：由題意，知g(x)＝3x2－ax＋3a－5， 令φ(a)＝(3－x)a＋3x2－5，－1≤a

24、≤1. 由題意得即解得－

25、遞減，所以f(1)＝－2，a＝1； 當(dāng)a≥3時，f′(x)≥0，f(x)在[1，3]上單調(diào)遞增， 所以f(3)＝－2，a＝<3，舍去； 當(dāng)10，f(x)單調(diào)遞增． 所以當(dāng)x＝時，f(x)取得最小

26、值f＝1－. (2)證明：x2－x＋＋2ln x－f(x) ＝x(x－1)－＋2(1－x)ln x ＝(x－1)， 令g(x)＝x－－2ln x， 則g′(x)＝1＋－＝≥0， 所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，又g(1)＝0， 所以當(dāng)01時，g(x)>0， 所以(x－1)≥0， 即f(x)≤x2－x＋＋2ln x. 12．(2019·重慶市學(xué)業(yè)質(zhì)量調(diào)研)已知離心率為的橢圓＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，上頂點為B，且·＝－1. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)過橢圓左焦點F的直線l與橢圓交于M，N兩點，且直線l

27、與x軸不垂直，若D為x軸上一點，||＝||，求的值． 解：(1)A1，A2，B的坐標(biāo)分別為(－a，0)，(a，0)，(0，b)， ·＝(－a，－b)·(a，－b)＝b2－a2＝－1，所以c2＝1. 又e＝＝，所以a2＝4，b2＝3. 所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)由(1)知F(－1，0)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)， 因為直線l與x軸不垂直，所以可設(shè)其方程為y＝k(x＋1)． 當(dāng)k＝0時，易得|MN|＝4，|DF|＝1，＝4. 當(dāng)k≠0時，聯(lián)立得得(3＋4k2)x2＋8k2x＋4k2－12＝0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|MN|＝＝|x1－x2|＝＝. 又y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝， 所以MN的中點坐標(biāo)為. 所以MN的垂直平分線方程為y－＝－(k≠0)， 令y＝0得，x＋＝0，解得x＝－. |DF|＝＝，所以＝4. 綜上所述，＝4. - 15 -