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1、2022年高考總復(fù)習(xí)文數(shù)（北師大版）講義：第6章 第02節(jié) 等差數(shù)列及其前n項和 Word版含答案 考點 高考試題 考查內(nèi)容 核心素養(yǎng) 等差數(shù)列的定義 xx·全國卷Ⅰ·T17·12分 等差數(shù)列的判定 數(shù)學(xué)運算 等差數(shù)列的前n項和 xx·全國卷Ⅰ·T7·12分　 已知等差數(shù)列的前n項和求基本量 數(shù)學(xué)運算 命題分析 本節(jié)內(nèi)容主要考查的是等差數(shù)列的通項公式，前n項和及性質(zhì)，難度中低檔，分值約5分. (3)求等差數(shù)列的前n項和Sn的最值時，需要注意“自變量n為正整數(shù)”這一隱含條件． 1．判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)若一個數(shù)列從第2

2、項起每一項與它的前一項的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列．(　　) (2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N＋，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　) (3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．(　　) (4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù)．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 2．(教材習(xí)題改編)在等差數(shù)列{an}中，若a2＝4，a4＝2，則a6＝(　　) A．－1　　　 B．0 C．1　　　 D．6 解析：選B　∵{an}為等差數(shù)列，∴2a4＝a2＋a6，∴a6＝2a4－a2，即a6＝2×2－4＝0. 3．

3、已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝13，a13＝33，則數(shù)列{an}的公差為(　　) A．1　　　 B．2 C．3　　　 D．4 解析：選B　設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則d＝＝＝2，故選B． 4．(xx·臨沂模擬)已知數(shù)列{an}是首項為1，公差為d(d∈N＋)的等差數(shù)列，若81是該數(shù)列中的一項，則公差不可能是(　　) A．2 B．3 C．4　　　 D．5 解析：選B　∵數(shù)列{an}是首項為1，公差為d(d∈N＋)的等差數(shù)列，∴an＝1＋(n－1)d， ∵81是該數(shù)列中的一項，∴81＝1＋(n－1)d， ∴n＝＋1， ∵d，n∈N＋，∴d是80的因數(shù)，故d不可能是3.故選

4、B． 等差數(shù)列的基本運算 [明技法] 等差數(shù)列的基本運算的解題策略 (1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程組解決問題的思想． (2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法． [提能力] 【典例】 (1)(xx·全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和．若a4＋a5＝24，S6＝48，則{an}的公差為(　　) A．1　　　 B．2 C．4　　　 D．8 解析：選C　設(shè){an}的公差為d，則由 得解得d

5、＝4.故選C． (2)已知{an}是公差為1的等差數(shù)列，Sn為{an}的前n項和，若S8＝4S4，則a10＝(　　) A．　　　 B． C．10　　　 D．12 解析：選B　∵公差為1，∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6. ∵S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝， ∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.故選B． [刷好題] 1．(金榜原創(chuàng))已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足－＝1，則數(shù)列{an}的公差是(　　) A．　　　 B．1 C．2　　　 D．3 解析：選C　∵Sn＝，∴＝，又－＝1， 得－＝1，即a3－a2＝2，∴數(shù)列{

6、an}的公差為2. 2．設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，a12＝－8，S9＝－9，則S16＝________. 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由已知， 得解得 所以S16＝16×3＋×(－1)＝－72. 答案：－72 等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 [明技法] 等差數(shù)列和的性質(zhì) 在等差數(shù)列{an}中，Sn為其前n項和，則 ①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)． ②S2n－1＝(2n－1)an. ③當(dāng)項數(shù)為偶數(shù)2n時，S偶－S奇＝nd；項數(shù)為奇數(shù)2n－1時，S奇－S偶＝a中，S奇∶S偶＝n∶(n－1)． [提能力] 【典例】 (1)等差數(shù)列{an

7、}中，a1＋a7＝26，a3＋a9＝18，則數(shù)列{an}的前9項和為(　　) A．66　　　 B．99 C．144　　　 D．297 解析：選B　由a1＋a7＝2a4＝26，得a4＝13. 由a3＋a9＝2a6＝18，得a6＝9. 所以S9＝＝＝99.故選B． (2)已知{an}為等差數(shù)列，若a1＋a2＋a3＝5，a7＋a8＋a9＝10，則a19＋a20＋a21＝________. 解析：方法一　設(shè)數(shù)列的公差為d，則a7＋a8＋a9＝a1＋6d＋a2＋6d＋a3＋6d＝5＋18d＝10，所以18d＝5，故a19＋a20＋a21＝a7＋12d＋a8＋12d＋a9＋12d＝10＋36

8、d＝20. 方法二　由等差數(shù)列的性質(zhì)，可知S3，S6－S3，S9－S6，…，S21－S18成等差數(shù)列，設(shè)此數(shù)列公差為d. 所以5＋2d＝10，所以d＝. 所以a19＋a20＋a21＝S21－S18＝5＋6d＝5＋15＝20. 答案：20 [刷好題] 1．(xx·全國卷Ⅱ)設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若a1＋a3＋a5＝3，則S5＝(　　) A．5　　　 B．7 C．9　　　 D．11 解析：選A　方法一　∵a1＋a5＝2a3，∴a1＋a3＋a5＝3a3＝3，∴a3＝1，∴S5＝＝5a3＝5，故選A． 方法二　∵a1＋a3＋a5＝a1＋(a1＋2d)＋(a1＋4d)＝

9、3a1＋6d＝3.∴a1＋2d＝1.∴S5＝5a1＋d＝5(a1＋2d)＝5，故選A． 2．一個等差數(shù)列的前12項的和為354，前12項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和的比為32∶27，則該數(shù)列的公差d＝________. 解析：設(shè)等差數(shù)列的前12項中奇數(shù)項的和為S奇，偶數(shù)項的和為S偶，等差數(shù)列的公差為d.由已知條件， 得解得 又S偶－S奇＝6d，所以d＝＝5. 答案：5 等差數(shù)列的判斷與證明 [明技法] 等差數(shù)列的判定與證明方法 方法 解讀 適合題型 定義法 對于數(shù)列{an}，an－an－1(n≥2，n∈N＋)為同一常數(shù)?{an}是等差數(shù)列 解答題中的證明問題 等差

10、中項法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N＋)成立?{an}是等差數(shù)列 通項公式法 an＝pn＋q(p，q為常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列 選擇、填空題中的判定問題 前n項和公式法 驗證Sn＝An2＋Bn(A，B是常數(shù))對任意的正整數(shù)n都成立?{an}是等差數(shù)列 [提能力] 【典例】 已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且滿足：an＋2SnSn－1＝0(n≥2，n∈N＋)，a1＝，判斷{an}是否為等差數(shù)列，并說明你的理由． 解：因為an＝Sn－Sn－1(n≥2)，an＋2SnSn－1＝0， 所以Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0(n≥2)． 所以

11、－＝2(n≥2)． 又S1＝a1＝， 所以是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列． 所以＝2＋(n－1)×2＝2n，故Sn＝. 所以當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝－＝， 所以an＋1＝， 而an＋1－an＝－＝·＝. 所以當(dāng)n≥2時，an＋1－an的值不是一個與n無關(guān)的常數(shù)，故數(shù)列{an}不是等差數(shù)列． [刷好題] 1．若{an}是公差為1的等差數(shù)列，則{a2n－1＋2a2n}是(　　) A．公差為3的等差數(shù)列 B．公差為4的等差數(shù)列 C．公差為6的等差數(shù)列 D．公差為9的等差數(shù)列 解析：選C　∵a2n－1＋2a2n－(a2n－3＋2a2n－2)＝(a2n－1－a2n

12、－3)＋2(a2n－a2n－2)＝2＋2×2＝6， ∴{a2n－1＋2a2n}是公差為6的等差數(shù)列． 2．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＝2－(n≥2，n∈N＋)，設(shè)bn＝(n∈N＋)．求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列． 證明：∵an＝2－，∴an＋1＝2－. ∴bn＋1－bn＝－＝－＝＝1， ∴{bn}是首項為b1＝＝1，公差為1的等差數(shù)列． 等差數(shù)列前n項和的最值 [明技法] 求等差數(shù)列前n項和Sn最值的兩種方法 (1)函數(shù)法：利用等差數(shù)列前n項和的函數(shù)表達(dá)式Sn＝an2＋bn，通過配方結(jié)合圖像借助求二次函數(shù)最值的方法求解． (2)鄰項變號法： ①當(dāng)a1＞0，d＜

13、0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最大值為Sm； ②當(dāng)a1＜0，d＞0時，滿足的項數(shù)m使得Sn取得最小值為Sm. [提能力] 【典例】 在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝10，前n項和為Sn，若S9＝S12，則Sn取得最大值時，n＝________，Sn的最大值為________． 解析：方法一　因為a1＝10，S9＝S12， 所以9×10＋d＝12×10＋d， 所以d＝－1. 所以an＝－n＋11. 所以a11＝0，即當(dāng)n≤10時，an＞0， 當(dāng)n≥12時，an＜0， 所以當(dāng)n＝10或11時，Sn取得最大值，且最大值為 S10＝S11＝10×10＋× (－1)＝55. 方法

14、二　同法一求得d＝－1. 所以Sn＝10n＋·(－1)＝－n2＋n＝－2＋. 因為n∈N＋，所以當(dāng)n＝10或11時，Sn有最大值，且最大值為S10＝S11＝55. 方法三　同法一求得d＝－1. 又由S9＝S12得a10＋a11＋a12＝0. 所以3a11＝0，即a11＝0. 所以當(dāng)n＝10或11時，Sn有最大值． 且最大值為S10＝S11＝55. 答案：10或11　55 [刷好題] 設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，(n＋1)Sn＜nSn＋1(n∈N＋)．若＜－1，則(　　) A．Sn的最大值是S8　　　 B．Sn的最小值是S8 C．Sn的最大值是S7　　　 D．Sn的最小值是S7 解析：選D　由(n＋1)Sn＜nSn＋1得(n＋1)＜n，整理得an＜an＋1，所以等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，又＜－1，所以a8＞0，a7＜0，所以數(shù)列{an}的前7項為負(fù)值，即Sn的最小值是S7.