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1、二年級數(shù)學 奧數(shù)講座 找規(guī)律(一)
例1 觀察下面由點組成的圖形(點群),請回答:
?。?)方框內(nèi)的點群包含多少個點?
?。?)第(10)個點群中包含多少個點?
?。?)前十個點群中,所有點的總數(shù)是多少?
解:數(shù)一數(shù)可知:前四個點群中包含的點數(shù)分別是:
1,4,7,10。
可見,這是一個等差數(shù)列,在每相鄰的兩個數(shù)中,后一個數(shù)都比前一個數(shù)大3(即公差是3)。
?。?)因為方框內(nèi)應是第(5)個點群,它的點數(shù)應該是10+3=13(個)。
(2)列表,依次寫出各點群的點數(shù),
可知第(10)個點群包含有28個點。
?。?)前十個點群
2、,所有點的總數(shù)是:
1+4+7+10+13+16+19+22+25+28=145(個)
例2 圖6—2表示“寶塔”,它們的層數(shù)不同,但都是由一樣大的小三角形擺成的。仔細觀察后,請你回答:
?。?)五層的“寶塔”的最下層包含多少個小三角形?
(2)整個五層“寶塔”一共包含多少個小三角形?
(3) 從第(1)到第(10)的十個“寶塔”,共包含多少個小三角形?
解:(1)數(shù)一數(shù)“寶塔”每層包含的小三角形數(shù):
可見1,3,5,7是個奇數(shù)列,所以由這個規(guī)律猜出第五層應包含的小三角形是9個。
(2)整個五層塔共包含的小三角形個數(shù)是:
1+
3、3+5+7+9=25(個)。
(3)每個“寶塔”所包含的小三角形數(shù)可列表如下:
由此發(fā)現(xiàn)從第(1)到第(10)共十個“寶塔”所包含的小三角形數(shù)是從1開始的自然數(shù)平方數(shù)列前十項之和:
例3 下面的圖形表示由一些方磚堆起來的“寶塔”。仔細觀察后,請你回答:
(1)從上往下數(shù),第五層包含幾塊磚?
?。?)整個五層的“寶塔”共包含多少塊磚?
?。?)若另有一座這樣的十層寶塔,共包含多少塊磚?
解:(1)數(shù)一數(shù),“寶塔”每層包含的方磚塊數(shù):
可見各層的方磚塊數(shù)組成自然數(shù)平方數(shù)列,按此規(guī)律,第五層應包含的方磚塊數(shù)是:
5×5=25(塊)。
4、
?。?)整個五層“寶塔”共包含的方磚塊數(shù)應是從1開始的前五個自然數(shù)的平方數(shù)相加之和,即:
1+4+9+16+25=55(塊)。
?。?)根據(jù)上面得到的規(guī)律,可求出十層寶塔所包含的方磚的塊數(shù):
附送:
2019-2020年二年級數(shù)學 奧數(shù)講座 找規(guī)律(三)
數(shù)學家看問題,總想找規(guī)律.我們學數(shù)學,也要向他們學習。找規(guī)律,要從簡單的情況著手,仔細觀察,得到啟示,大膽猜想,找出一般規(guī)律,還要進行驗證,最后還需要證明(在小學階段不要求同學們進行證明)。
例1 沿直尺的邊緣把紙上的兩個點連起來,這個圖形就叫做線段。這兩個點就叫線段的端點,如圖8—1—1所示。不難看出
5、,線段也可以看成是直線上兩點間的部分。如果一條直線上標出11個點,如圖8—1—2所示,任何兩點間的部分都是一條線段,問共有多少條線段。
解:先從簡單的情況著手。
?。?)畫一畫,數(shù)一數(shù):(見圖8—1—3)
?。?)試著分析:
2個點,線段條數(shù):1=1
3個點,線段條數(shù):3=2+1
4個點,線段條數(shù):6=3+2+1
5個點,線段條數(shù):10=4+3+2+1
?。?)大膽猜想:一條直線上有若干點時線段的條數(shù)總是從1開始的一串自然數(shù)相加之和,其中最大的自然數(shù)比點數(shù)小1。
?。?)進行驗證:對于更多點的情況,對猜想進行驗證,看猜想是否正確,如果正確,
6、就增加了對猜想的信心。如:
6個點時:對不對?
——對。見圖 8—1—4。
線段條數(shù):5+4+3+2+1=15(條)。
?。?)應用規(guī)律:應用猜想到的規(guī)律解決更復雜的問題。
當直線上有11個點時,線段的條數(shù)應是:
10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=55(條)。
例2 如圖8—2中(1)~(5)所示兩條直線相交只有1個交點,3條直線相交最多有3個交點,4條直線相交最多有6個交點,……那么,11條直線相交最多有多少交點?
解:從簡單情況著手研究:
?。?)畫一畫、數(shù)一數(shù)
圖8-2
?。?)試著分析:
7、直線條數(shù) 最多交點數(shù)
1 0
2 1=1
3 3=2+1
4 6=3+2+1
5 10=4+3+2+1
(3)大膽猜想:若干條直線相交時,最多的交點數(shù)是從1開始的一串自然數(shù)相加之和,其中最大的自然數(shù)比直線條數(shù)小1。
(4)進行驗證:見圖8—3。取6條直線相交,畫一畫,數(shù)一數(shù),看一看最多交點個數(shù)與猜想的是否一致,若相符,則更增強了對猜想的信心。
用猜想的算法進行計算:最多交點數(shù)應是
5+4+3+2+1=15(個)。
?。?)應用規(guī)律:應用猜想到的規(guī)律解決更復雜的問題。當有11條直線相交時,最多的交點數(shù)應是:
10+9+8+7+6
8、+5+4+3+2+1=55(個)。
例3 如圖8—4所示,一張大餅,切1刀最多切成2塊,切2刀最多切成4塊,切3刀最多切成7塊,……問切10刀最多切成多少塊?
解:從最簡單情況著手研究。
?。?)畫一畫、數(shù)一數(shù)
(2)試著分析:
所切刀數(shù) 切出的塊數(shù)
0 1
1 2=1+1
2 4=1+1+2
3 7=1+1+2+3
4 11=1+1+2+3+4
?。?)大膽猜想:把一張大餅切若干刀時,切成的最多塊數(shù)等于從1開始的一串自然數(shù)相加之和加1。其中最大的自然數(shù)等于切的刀數(shù)。
?。?)進行驗證:見圖8—5對大餅切5刀的情況用兩種方法求解,看結果是否一致,若一致則更增強了對猜想的信心。
?、贁?shù)一數(shù):16塊。
?、谒阋凰悖?+1+2+3+4+5=16(塊)。
?。?)應用規(guī)律:把大餅切10刀時,最多切成的塊數(shù)是:
1+1+2+3+4+5+6+7+8+9+10
=1+55
=56(塊)。