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(浙江專用版)2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2.1 任意角的三角函數(shù)(二)學(xué)案 新人教A版必修2

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(浙江專用版)2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2.1 任意角的三角函數(shù)(二)學(xué)案 新人教A版必修2_第1頁
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1、(浙江專用版)2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2.1 任意角的三角函數(shù)(二)學(xué)案 新人教A版必修2 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握正弦、余弦、正切函數(shù)的定義域.2.了解三角函數(shù)線的意義,能用三角函數(shù)線表示一個角的正弦、余弦和正切.3.能利用三角函數(shù)線解決一些簡單的三角函數(shù)問題. 知識點(diǎn)一 三角函數(shù)的定義域 思考 正切函數(shù)y=tan x為什么規(guī)定x∈R且x≠kπ+,k∈Z? 答案 當(dāng)x=kπ+,k∈Z時(shí),角x的終邊在y軸上,此時(shí)任取終邊上一點(diǎn)P(0,yP),因?yàn)闊o意義,因而x的正切值不存在.所以對正切函數(shù)y=tan x,必須要求x∈R且x≠kπ+,k∈Z. 梳理 正弦函數(shù)

2、y=sin x的定義域是R;余弦函數(shù)y=cos x的定義域是R;正切函數(shù)y=tan x的定義域是. 知識點(diǎn)二 三角函數(shù)線 思考1 在平面直角坐標(biāo)系中,任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PM⊥x軸,過點(diǎn)A(1,0)作單位圓的切線,交α的終邊或其反向延長線于點(diǎn)T,如圖所示,結(jié)合三角函數(shù)的定義,你能得到sin α,cos α,tan α與MP,OM,AT的關(guān)系嗎? 答案  sin α=MP,cos α=OM,tan α=AT. 思考2 三角函數(shù)線的方向是如何規(guī)定的? 答案  方向與x軸或y軸的正方向一致的為正值,反之,為負(fù)值. 思考3 三角函數(shù)線的長度和方向各表示什么? 答案

3、  長度等于三角函數(shù)值的絕對值,方向表示三角函數(shù)值的正負(fù). 梳理  圖示 正弦線 角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P作PM垂直于x軸,有向線段MP即為正弦線 余弦線 有向線段OM即為余弦線 正切線 過點(diǎn)A(1,0)作單位圓的切線,這條切線必然平行于y軸,設(shè)它與α的終邊或其反向延長線相交于點(diǎn)T,有向線段AT即為正切線 1.正弦線MP也可寫成PM.( × ) 提示 三角函數(shù)線是有向線段,端點(diǎn)字母不可顛倒. 2.三角函數(shù)線都只能取非負(fù)值.( × ) 提示 三角函數(shù)線表示的值也可取負(fù)值. 3.當(dāng)角α的終邊在y軸上時(shí),余弦線變成一個點(diǎn),正切線

4、不存在.( √ ) 4.當(dāng)角α的終邊在x軸上時(shí),正弦線、正切線都變成點(diǎn).( √ ) 類型一 三角函數(shù)線 例1 作出-的正弦線、余弦線和正切線. 考點(diǎn) 單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn) 三角函數(shù)線的作法 解 如圖所示, sin=MP, cos=OM, tan=AT. 反思與感悟 (1)作正弦線、余弦線時(shí),首先找到角的終邊與單位圓的交點(diǎn),然后過此交點(diǎn)作x軸的垂線,得到垂足,從而得到正弦線和余弦線. (2)作正切線時(shí),應(yīng)從點(diǎn)A(1,0)引單位圓的切線交角的終邊或終邊的反向延長線于一點(diǎn)T,即可得到正切線AT. 跟蹤訓(xùn)練1 在單位圓中畫出滿足sin α=的角α的終邊,并求角α

5、的取值集合. 考點(diǎn) 單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn) 三角函數(shù)線的作法 解 已知角α的正弦值,可知P點(diǎn)縱坐標(biāo)為.所以在y軸上取點(diǎn),過這點(diǎn)作x軸的平行線,交單位圓于P1,P2兩點(diǎn),則OP1,OP2是角α的終邊,因而角α的取值集合為. 類型二 利用三角函數(shù)線比較大小 例2 利用三角函數(shù)線比較sin和sin,cos和cos,tan和tan的大?。? 考點(diǎn) 單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn) 利用三角函數(shù)線比較大小 解 如圖,sin=MP,cos=OM,tan=AT,sin=M′P′,cos=OM′,tan=AT′. 顯然|MP|>|M′P′|,符號皆正, ∴sin>sin; |OM|<|O

6、M′|,符號皆負(fù), ∴cos>cos; |AT|>|AT′|,符號皆負(fù), ∴tan

7、46°的正弦線M1P1,M2P2. ∵|M1P1|>|M2P2|,且符號皆正, ∴sin 1 155°>sin(-1 654°). 類型三 利用三角函數(shù)線解不等式(組) 命題角度1 利用三角函數(shù)線解不等式(組) 例3 在單位圓中畫出適合下列條件的角α的終邊的范圍,并由此寫出角α的集合. (1)sin α≥; (2)cos α≤-. 考點(diǎn) 單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn) 利用三角函數(shù)線解不等式 解 (1)作直線y=交單位圓于A,B兩點(diǎn),連接OA,OB,則OA與OB圍成的區(qū)域(如圖(1)所示的陰影部分,包括邊界),即為角α的終邊的范圍. 故滿足要求的角α的集合為. (

8、2)作直線x=-交單位圓于C,D兩點(diǎn),連接OC與OD,則OC與OD圍成的區(qū)域(如圖(2)所示的陰影部分,包括邊界),即為角α的終邊的范圍. 故滿足條件的角α的集合為. 反思與感悟 用單位圓中的三角函數(shù)線求解簡單的三角不等式,應(yīng)注意以下兩點(diǎn): (1)先找到“正值”區(qū)間,即0~2π內(nèi)滿足條件的角θ的范圍,然后再加上周期; (2)注意區(qū)間是開區(qū)間還是閉區(qū)間. 跟蹤訓(xùn)練3 已知-≤cos θ<,利用單位圓中的三角函數(shù)線,確定角θ的取值范圍. 考點(diǎn) 單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn) 利用三角函數(shù)線解不等式 解 圖中陰影部分就是滿足條件的角θ的范圍, 即. 命題角度2 利用三角函數(shù)線求三角

9、函數(shù)的定義域 例4 求函數(shù)y=lg+的定義域. 考點(diǎn) 單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn) 利用三角函數(shù)線解不等式 解 由題意知,自變量x應(yīng)滿足不等式組 即 則不等式組的解的集合如圖(陰影部分)所示, ∴. 反思與感悟 (1)求函數(shù)的定義域,就是求使解析式有意義的自變量的取值范圍,一般通過解不等式或不等式組求得,對于三角函數(shù)的定義域問題,還要考慮三角函數(shù)自身定義域的限制. (2)要特別注意求一個固定集合與一個含有無限多段的集合的交集時(shí),可以取特殊值把不固定的集合寫成若干個固定集合再求交集. 跟蹤訓(xùn)練4 求函數(shù)f(x)=的定義域. 考點(diǎn) 單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn) 利用三角函數(shù)

10、線解不等式 解 要使函數(shù)f(x)有意義,必須使2sin x-1≥0, 則sin x≥. 如圖,畫出單位圓,作x軸的平行直線y=, 交單位圓于點(diǎn)P1,P2,連接OP1,OP2, 分別過點(diǎn)P1,P2作x軸的垂線,畫出如圖所示的兩條正弦線, 易知這兩條正弦線的長度都等于. 在[0,2π)內(nèi),sin=sin=. 因?yàn)閟in x≥,所以滿足條件的角x的終邊在圖中陰影部分內(nèi)(包括邊界), 所以函數(shù)f(x)的定義域?yàn)? 1.如圖在單位圓中,角α的正弦線、正切線完全正確的是(  ) A.正弦線為PM,正切線為A′T′ B.正弦線為MP,正切線為A′T′ C.正弦線為MP,

11、正切線為AT D.正弦線為PM,正切線為AT 考點(diǎn) 單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn) 三角函數(shù)線的作法 答案 C 2.如果<α<,那么下列不等式成立的是(  ) A.cos α

12、線AT,則OM

13、三角函數(shù)線 題點(diǎn) 三角函數(shù)線的作法 答案 C 解析 由角α的正弦線和余弦線是方向相反、長度相等的有向線段,則α的終邊在第二、四象限的角平分線上. 5.(2017·九江檢測)解不等式3tan α>-. 考點(diǎn) 單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn) 利用三角函數(shù)線解不等式 解 要使3tan α>-,即tan α>-. 由正切線知-+kπ<α<+kπ,k∈Z. 所以不等式的解集為,k∈Z. 1.三角函數(shù)線的意義 三角函數(shù)線是用單位圓中某些特定的有向線段的長度和方向表示三角函數(shù)的值,三角函數(shù)線的長度等于三角函數(shù)值的絕對值,方向表示三角函數(shù)值的正負(fù).具體地說,正弦線、正切線的方向同y軸一

14、致,向上為正,向下為負(fù);余弦線的方向同x軸一致,向右為正,向左為負(fù).三角函數(shù)線將抽象的數(shù)用幾何圖形表示出來,使得問題更形象直觀,為從幾何途徑解決問題提供了方便. 2.三角函數(shù)線的畫法 定義中不僅定義了什么是正弦線、余弦線、正切線,同時(shí)也給出了角α的三角函數(shù)線的畫法,即先找到P,M,T點(diǎn),再畫出MP,OM,AT. 注意三角函數(shù)線是有向線段,要分清始點(diǎn)和終點(diǎn),字母的書寫順序不能顛倒. 3.三角函數(shù)線是三角函數(shù)的幾何表示,它直觀地刻畫了三角函數(shù)的概念.與三角函數(shù)的定義結(jié)合起來,可以從數(shù)與形兩方面認(rèn)識三角函數(shù)的定義,并使得對三角函數(shù)的定義域、函數(shù)值符號的變化規(guī)律、誘導(dǎo)公式一的理解更容易了.

15、 一、選擇題 1.函數(shù)y=tan的定義域?yàn)?  ) A. B. C. D. 考點(diǎn) 正切函數(shù)的定義域、值域 題點(diǎn) 正切函數(shù)的定義域 答案 C 解析 ∵x-≠kπ+,k∈Z,∴x≠kπ+,k∈Z. 2.設(shè)a=sin,b=cos,c=tan,則(  ) A.a(chǎn)

16、余弦線,那么下列結(jié)論正確的是(  ) A.MPOM>0 D.OM>MP>0 考點(diǎn) 單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn) 利用三角函數(shù)線比較大小 答案 D 解析 0<<,作三角函數(shù)線可知OM>MP>0. 4.若0<α<2π,且sin α<,cos α>,則角α的取值范圍是(  ) A. B. C. D.∪ 考點(diǎn) 單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn) 利用三角函數(shù)線解不等式 答案 D 解析 角α的取值范圍為圖中陰影部分, 即∪. 5.有三個命題:①和的正弦線長度相等;②和的正切線相同;③和的余弦線長度相等. 其中正確說法的個數(shù)為

17、(  ) A.1 B.2 C.3 D.0 考點(diǎn) 單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn) 三角函數(shù)線的作法 答案 C 解析 和的正弦線關(guān)于y軸對稱,長度相等;和兩角的正切線相同;和的余弦線長度相等.故①②③都正確,故選C. 6.點(diǎn)P(sin 3-cos 3,sin 3+cos 3)所在的象限為(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 考點(diǎn) 單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn) 利用三角函數(shù)線比較大小 答案 D 解析 因?yàn)椋?<π,作出單位圓如圖所示. 設(shè)MP,OM分別為a,b. sin 3=a>0,cos 3=b<0, 所以sin 3-cos 3>0

18、. 因?yàn)閨MP|<|OM|,即|a|<|b|, 所以sin 3+cos 3=a+b<0. 故點(diǎn)P(sin 3-cos 3,sin 3+cos 3)在第四象限. 7.已知sin α>sin β,那么下列命題成立的是(  ) A.若α,β是第一象限角,則cos α>cos β B.若α,β是第二象限角,則tan α>tan β C.若α,β是第三象限角,則cos α>cos β D.若α,β是第四象限角,則tan α>tan β 考點(diǎn) 單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn) 利用三角函數(shù)線比較大小 答案 D 解析 如圖(1),α,β的終邊分別為OP,OQ,sin α=MP>NQ=sin

19、β,此時(shí)OMNQ,即sin α>sin β,所以ACNQ,即sin α>sin β,所以O(shè)Mtan β,故選D. (1) 二、填空題 8.函數(shù)y=的定義域?yàn)開_______. 考點(diǎn) 單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn) 利用三角函數(shù)線解不等式 答案 (k∈Z) 9.sin 1,cos 1,tan 1的大小關(guān)系

20、是________. 考點(diǎn) 單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn) 利用三角函數(shù)線比較大小 答案 cos 1sin ,利用三角函數(shù)線得角θ的取值范圍是________________. 考點(diǎn) 單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn) 利用三角函數(shù)線解不等式 答案 (k∈Z) 解析 因?yàn)閏os θ>sin , 所以cos θ>sin=sin =, 易知角θ的取值范圍是(k∈Z). 11.函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)開

21、_______. 考點(diǎn) 單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn) 利用三角函數(shù)線解不等式 答案 (k∈Z) 解析 如圖所示. 三、解答題 12.已知-≤sin θ<,利用單位圓中的三角函數(shù)線,確定角θ的范圍. 考點(diǎn) 單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn) 利用三角函數(shù)線解不等式 解 由三角函數(shù)線可知 sin =sin =, sin =sin=-, 且-≤sin θ<, 如圖,畫出單位圓,陰影部分即為所求. 故θ的取值集合是∪(k∈Z). 四、探究與拓展 13.函數(shù)y=logsin x(2cos x+1)的定義域?yàn)開_______. 考點(diǎn) 單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn) 利用三角函數(shù)線解

22、不等式 答案  解析 由題意可知,要使函數(shù)有意義,則需 如圖所示,陰影部分(不含邊界與y軸)即為所求. 所以所求函數(shù)的定義域?yàn)? 14.若α,β是關(guān)于x的一元二次方程x2+2(cos θ+1)x+cos2θ=0的兩實(shí)根,且|α-β|≤2,求θ的范圍. 考點(diǎn) 單位圓與三角函數(shù)線 題點(diǎn) 利用三角函數(shù)線解不等式 解 ∵方程有兩實(shí)根, ∴Δ=4(cos θ+1)2-4cos2θ≥0, ∴cos θ≥-.① ∵|α-β|≤2,∴(α+β)2-4αβ≤8. 由根與系數(shù)的關(guān)系,得 α+β=-2(cos θ+1),αβ=cos2θ, ∴4(cos θ+1)2-4cos2θ≤8,即cos θ≤.② 由①②得-≤cos θ≤, 利用單位圓中的三角函數(shù)線可知+2kπ≤θ≤+2kπ,k∈Z或+2kπ≤θ≤+2kπ,k∈Z. ∴+kπ≤θ≤+kπ,k∈Z. 即θ的范圍是(k∈Z).

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