15、)過拋物線C：y2＝4x的焦點F的直線l與拋物線C交于P，Q兩點，與準(zhǔn)線交于點M，且＝3，則||＝________.
解析：過點P作PP1垂直準(zhǔn)線于P1，
由＝3，得|PM|＝2|PF|，
又由拋物線的定義知|PF|＝|PP1|，
所以|PM|＝2|PP1|.
由三角形相似得＝＝＝，
所以|PP1|＝，所以||＝.
答案：
直線與圓錐曲線的位置關(guān)系
[多維例析]
角度一 直線與圓錐曲線的交點個數(shù)問題
已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，離心率e<.以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的四邊形的周長為8，面積為2.
(1)求橢圓C的方程；
(2)若點P(
16、x0，y0)為橢圓C上一點，直線l的方程為3x0x＋4y0y－12＝0，求證：直線l與橢圓C有且只有一個交點．
[解] (1)依題意，設(shè)橢圓C的方程為＋＝1(a>b>0)，焦距為2c，
由題設(shè)條件知，4a＝8，a＝2，
2××2c×b＝2，b2＋c2＝a2＝4，
所以b＝，c＝1或b＝1，c＝(經(jīng)檢驗不合題意，舍去)，
故橢圓C的方程為＋＝1.
(2)證明：當(dāng)y0＝0時，由＋＝1，
可得x0＝±2，
當(dāng)x0＝2，y0＝0時，直線l的方程為x＝2，直線l與橢圓C有且只有一個交點(2,0)．
當(dāng)x0＝－2，y0＝0時，直線l的方程為x＝－2，直線l與橢圓C有且只有一個交點(－2,
17、0)．
當(dāng)y0≠0時，直線l的方程為y＝，
聯(lián)立
消去y，得(4y＋3x)x2－24x0x＋48－16y＝0.①
由點P(x0，y0)為橢圓C上一點，得＋＝1，
可得4y＋3x＝12.
于是方程①可以化簡為x2－2x0x＋x＝0，
解得x＝x0，
將x＝x0代入方程y＝可得y＝y(tǒng)0，故直線l與橢圓C有且只有一個交點P(x0，y0)，
綜上，直線l與橢圓C有且只有一個交點，且交點為P(x0，y0)．
[類題通法]
直線與圓錐曲線交點個數(shù)問題的解題策略
判斷直線與圓錐曲線的交點個數(shù)時，可直接求解相應(yīng)方程組得到交點坐標(biāo)，也可利用消元后的一元二次方程的判別式來確定，需注意利用判
18、別式的前提是二次項系數(shù)不為0.并且解題時注意應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及設(shè)而不求、整體代換的技巧．
角度二 弦長及面積問題
(2018·蘭州檢測)已知橢圓K：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，其離心率e＝，以原點為圓心，橢圓的半焦距為半徑的圓與直線x－y＋2＝0相切．
(1)求K的方程；
(2)過F2的直線l交K于A，B兩點，M為AB的中點，連接OM并延長交K于點C，若四邊形OACB的面積S滿足：a2＝S，求直線l的斜率．
[解] (1)由題意得解得
故橢圓K的方程為＋y2＝1.
(2)由于直線l的傾斜角不可為零，
所以設(shè)直線l的方程為my＝x－1，
與＋y2＝
19、1聯(lián)立并化簡可得
(m2＋2)y2＋2my－1＝0.
設(shè)M(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則y1＋y2＝－，y1y2＝－，
可得y0＝－，x0＝my0＋1＝.
設(shè)C(x，y)，又＝λ (λ>0)，
所以x＝λx0，y＝λy0.因為C在K上，
故λ2＝1?m2＋2＝λ2.①
設(shè)h1為點O到直線l的距離，h2為點C到直線l的距離，則＝＝?h2＝(λ－1)h1.
又由點到直線的距離公式得，h1＝＝.
而|AB|＝·
＝＝，
所以S＝|AB|(h1＋h2)＝·＝.
由題意知，S＝＝，所以＝?λ＝.
將λ＝代入①式得m＝±1，
所以直線l的斜率為±1.
20、
[類題通法] 弦長問題的解題策略
(1)在涉及弦長的問題中，應(yīng)熟練地利用根與系數(shù)的關(guān)系，設(shè)而不求計算弦長；涉及過焦點的弦的問題，可考慮用圓錐曲線的定義求解．
(2)弦長計算公式：直線AB與圓錐曲線有兩個交點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長|AB|＝·＝ ·，其中k為弦AB所在直線的斜率．
角度三 弦的中點問題
已知拋物線C：y2＝2x的焦點為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點．
(1)若F在線段AB上，R是PQ的中點，證明：AR∥FQ；
(2)若△PQF的面積是△ABF面積的兩倍，求AB中點的軌跡方程．
[解] 由題
21、意可知F，設(shè)l1：y＝a，l2：y＝b，則ab≠0，且A，B，P，Q，R.
(1)證明：記過A，B兩點的直線為l，則l的方程為2x－(a＋b)y＋ab＝0.
因為點F在線段AB上，所以ab＋1＝0，
記直線AR的斜率為k1，直線FQ的斜率為k2，
所以k1＝，k2＝＝－b，
又因為ab＋1＝0，
所以k1＝＝＝＝＝－b，
所以k1＝k2，即AR∥FQ.
(2)設(shè)直線AB與x軸的交點為D(x1,0)，
所以S△ABF＝|a－b||FD|＝|a－b|×，
又S△PQF＝，
所以由題意可得S△PQF＝2S△ABF，
即＝2××|a－b|×，
解得x1＝0(舍去)或x1＝1.
22、
設(shè)滿足條件的AB的中點為E(x，y)．
當(dāng)AB與x軸不垂直時，
由kAB＝kDE，可得＝(x≠1)．
又＝，所以y2＝x－1(x≠1)．
當(dāng)AB與x軸垂直時，E與D重合，所以所求軌跡方程為y2＝x－1.
[類題通法] 弦中點及弦問題的解題策略
(1)對于弦的中點問題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點差法”求解，在使用根與系數(shù)的關(guān)系時，要注意使用條件Δ>0，在用“點差法”時，要檢驗直線與圓錐曲線是否相交．
(2)圓錐曲線以P(x0，y0)(y0≠0)為中點的弦所在直線的斜率分別是k＝－，k＝，k＝(拋物線y2＝2px)．其中k＝(x1≠x2)，(x1，y1)，(x2，y2)為弦的端點
23、坐標(biāo)．
[綜合訓(xùn)練]
1．(2019屆高三·山西八校聯(lián)考)如圖，設(shè)橢圓的中心為原點O，長軸在x軸上，上頂點為A，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，線段OF1，OF2的中點分別為B1，B2，且△AB1B2是面積為4的直角三角形．
(1)求該橢圓的離心率和標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過B1作直線l交橢圓于P，Q兩點，使得PB2⊥QB2，求直線l的方程．
解：(1)設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)，右焦點為F2(c,0)．
因為△AB1B2是直角三角形，且|AB1|＝|AB2|，
所以∠B1AB2＝90°，
因此|OA|＝|OB2|，得b＝.
由c2＝a2－b2，得4b2＝a2－b2
24、，
故a2＝5b2，c2＝4b2，所以離心率e＝＝.
在Rt△AB1B2中，OA⊥B1B2，
故S△AB1B2＝·|B1B2|·|OA|＝|OB2|·|OA|
＝·b＝b2.
由題設(shè)條件S△AB1B2＝4，得b2＝4，所以a2＝5b2＝20.
因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1.
(2)由(1)知B1(－2,0)，B2(2,0)．由題意知直線l的斜率存在且不為0，故可設(shè)直線l的方程為x＝my－2，代入橢圓方程并整理得(m2＋5)y2－4my－16＝0.
設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
則y1＋y2＝，y1y2＝－，
又＝(x1－2，y1)， ＝(x2－2，y2)，
所
25、以·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2
＝(my1－4)(my2－4)＋y1y2
＝(m2＋1)y1y2－4m(y1＋y2)＋16
＝－－＋16
＝－，
由PB2⊥QB2，得·＝0，
即16m2－64＝0，解得m＝±2.
所以滿足條件的直線l有兩條，其方程分別為x＋2y＋2＝0和x－2y＋2＝0.
2.(2018·惠州調(diào)研)如圖，橢圓C：＋＝1(a>b>0)的右頂點為A(2,0)，左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點A且斜率為的直線與y軸交于點P，與橢圓交于另一個點B，且點B在x軸上的射影恰好為點F1.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點P且斜率大于的直線與橢圓交于M，N
26、兩點(|PM|>|PN|)，若S△PAM∶S△PBN＝λ，求實數(shù)λ的取值范圍．
解：(1)因為BF1⊥x軸，所以點B，
所以解得
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1.
(2)因為＝＝＝λ?＝(λ>2)，所以＝－.
由(1)可知P(0，－1)，設(shè)直線MN：y＝kx－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
聯(lián)立化簡得(4k2＋3)x2－8kx－8＝0.
則x1＋x2＝，x1x2＝.
又＝(x1，y1＋1)， ＝(x2，y2＋1)，
則x1＝－x2，即＝－，
所以＝＋2＋
＝－＋2－＝－，
即＝.
因為k>，所以＝∈(1,4)，
則1<<4且λ>2?4<λ<4＋2.
綜上所
27、述，實數(shù)λ的取值范圍為(4,4＋2)．
重難增分
圓錐曲線的定義、方程及性質(zhì)的綜合問題
[典例細(xì)解]
(2017·全國卷Ⅰ)設(shè)A，B是橢圓C：＋＝1長軸的兩個端點．若C上存在點M滿足∠AMB＝120°，則m的取值范圍是( )
A．(0,1]∪[9，＋∞) B．(0， ]∪[9，＋∞)
C．(0,1]∪[4，＋∞) D．(0， ]∪[4，＋∞)
[解析] 當(dāng)0＜m＜3時，焦點在x軸上，
要使C上存在點M滿足∠AMB＝120°，
則≥tan 60°＝，即≥，
解得0＜m≤1.
當(dāng)m＞3時，焦點在y軸上，
要使C上存在點M滿足∠AMB＝12
28、0°，
則≥tan 60°＝，即≥，解得m≥9.
故m的取值范圍為(0,1]∪[9，＋∞)．
[答案] A
[啟思維] 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓的對稱性，求解本題時，要注意橢圓的長軸所在的坐標(biāo)軸，題目中只說A，B為橢圓長軸的兩個端點，并未說明橢圓長軸所在的坐標(biāo)軸，因此，需要根據(jù)m與3的大小關(guān)系，討論橢圓長軸所在的坐標(biāo)軸．
(2017·全國卷Ⅱ)過拋物線C：y2＝4x的焦點F，且斜率為的直線交C于點M(M在x軸的上方)，l為C的準(zhǔn)線，點N在l上且MN⊥l，則M到直線NF的距離為( )
A. B．2
C．2 D．3
[解析] 法一：依題意，得直線FM的傾斜角為60°
29、，
則|MN|－|MF|cos 60°＝2，
由拋物線的定義，得|MN|＝|MF|＝4.
又∠NMF等于直線FM的傾斜角，即∠NMF＝60°，
因此△MNF是邊長為4的等邊三角形，
所以點M到直線NF的距離為4×＝2.
法二：由題意，得F(1,0)，
則直線FM的方程是y＝(x－1)．
由得x＝或x＝3.
由M在x軸的上方，得M(3,2)，
由MN⊥l，得|MN|＝|MF|＝3＋1＝4.
又∠NMF等于直線FM的傾斜角，即∠NMF＝60°，
因此△MNF是邊長為4的等邊三角形，
所以點M到直線NF的距離為4×＝2.
[答案] C
[啟思維] 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方
30、程及其幾何性質(zhì)．涉及拋物線焦點和準(zhǔn)線的有關(guān)問題，應(yīng)充分利用拋物線的定義求解．本題中直線的傾斜角為特殊角60°，通過解三角形更快捷．
(2016·全國卷Ⅲ)已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦點，A，B分別為C的左、右頂點．P為C上一點，且PF⊥x軸．過點A的直線l與線段PF交于點M，與y軸交于點E.若直線BM經(jīng)過OE的中點，則C的離心率為( )
A. B.
C. D.
[解析] 如圖所示，由題意得A(－a,0)，B(a,0)，F(xiàn)(－c,0)．
設(shè)E(0，m)，
由PF∥OE，
得＝，
則|MF|＝.①
又由OE∥MF，得＝，
則|MF|＝.②
31、
由①②得a－c＝(a＋c)，即a＝3c，所以e＝＝.
[答案] A
[啟思維] 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、性質(zhì)及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，解決本題時，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．
[綜合訓(xùn)練]
1．(2018·福州模擬)已知雙曲線E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點M，N在E上，MN∥F1F2，|MN|＝|F1F2|，線段F2M交E于點Q，且＝，則E的離心率為( )
A. B.
C．2 D.
解析：選B 設(shè)雙曲線E的左、右焦點分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，∵M(jìn)N∥F1F2，|MN|＝|F1F2|，
∴|MN|＝c，不妨設(shè)M.
∵
32、＝，∴Q是線段F2M的中點，∴Q.
把M，Q分別代入E的方程－＝1(a>0，b>0)，
可得∴＝15，∴e＝.
2．已知點A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線上，過點A的直線與C在第一象限相切于點B，記C的焦點為F，則直線BF的斜率為( )
A. B.
C. D.
解析：選D 拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線為直線x＝－，
因為點A(－2,3)在準(zhǔn)線上，
所以－＝－2，即p＝4，
從而C：y2＝8x，焦點為F(2,0)．
設(shè)切線方程為y－3＝k(x＋2)，
代入y2＝8x，消去x，
化簡得y2－y＋2k＋3＝0(k≠0)，①
由Δ＝1－4××(2k
33、＋3)＝0，得k＝－2或k＝，
因為切點在第一象限，所以k＝.
將k＝代入①中得y＝8，
再將y＝8代入y2＝8x中，得x＝8，
所以點B的坐標(biāo)為(8,8)，
所以直線BF的斜率為＝.
3.(2018·石家莊模擬)如圖，兩個橢圓的方程分別為＋＝1(a>b>0)和＋＝1(a>b>0，m>1)，從大橢圓的兩個頂點分別向小橢圓引切線AC，BD，若AC，BD的斜率之積恒為－，則大橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析：選A 易知大橢圓和小橢圓的離心率相等．大橢圓的方程為＋＝1，則A(ma,0)，B(0，mb)，設(shè)切線AC的方程為y＝k1(x－ma)，
聯(lián)立
34、消去y，得(a2k＋b2)x2－2mka3x＋m2ka4－a2b2＝0，
由Δ＝(－2mka3)2－4(ka2＋b2)(m2ka4－a2b2)＝0，
化簡得ka2－m2ka2＋b2＝0?k＝·，
設(shè)直線BD的斜率為k2，
同理可得k＝(m2－1)，
∴kk＝··(m2－1)＝＝2，
∴＝，∴e＝ ＝.[專題跟蹤檢測](對應(yīng)配套卷P193)
一、全練保分考法——保大分
1．直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點，若橢圓中心到l的距離為其短軸長的，則該橢圓的離心率為( )
A. B.
C. D.
解析：選B 不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點B(0，
35、b)和一個焦點F(c,0)，則直線l的方程為＋＝1，即bx＋cy－bc＝0.由題意知＝×2b，解得＝，即e＝.故選 B.
2．(2019屆高三·湖南長郡中學(xué)模擬)已知F為雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一個焦點，其關(guān)于雙曲線C的一條漸近線的對稱點在另一條漸近線上，則雙曲線C的離心率為( )
A. B.
C．2 D.
解析：選C 依題意，設(shè)雙曲線的漸近線y＝x的傾斜角為θ，則有3θ＝π，θ＝，＝tan ＝，雙曲線C的離心率e＝ ＝2.
3．(2019屆高三·南寧、柳州名校聯(lián)考)已知雙曲線－＝1(b>0)的一個焦點與拋物線y2＝8x的焦點重合，則該雙曲線的漸近線方程為(
36、)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±3x D．y＝±x
解析：選B 由題意知，拋物線的焦點是(2,0)，即雙曲線－＝1的一個焦點坐標(biāo)是(2,0)，則c＝2，且雙曲線的焦點在x軸上，所以3＋b＝22，即b＝1，于是雙曲線的漸近線方程為y＝±x.
4．(2018·昆明調(diào)研)過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點F且傾斜角為銳角的直線l與C交于A，B兩點，過線段AB的中點N且垂直于l的直線與C的準(zhǔn)線交于點M，若|MN|＝|AB|，則l的傾斜角為( )
A．15° B．30°
C．45° D．60°
解析：選B 分別過A，B，N作拋物線的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A
37、′，B′，Q，由拋物線的定義知|AF|＝|AA′|，|BF|＝|BB′|，|NQ|＝(|AA′|＋|BB′|)＝|AB|，因為|MN|＝|AB|，所以|NQ|＝|MN|，所以∠MNQ＝60°，即直線MN的傾斜角為120°，又直線MN與直線l垂直且直線l的傾斜角為銳角，所以直線l的傾斜角為30°.
5．(2018·南昌模擬)已知F1，F(xiàn)2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且∠F1PF2＝，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為( )
A. B.
C．1 D.
解析：選B 如圖，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓和雙曲線的左、右焦點，P是第一象限的點，橢圓的長半軸長為a1，雙曲線
38、的實半軸長為a2，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義得|PF1|＋|PF2|＝2a1，|PF1|－|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1＋a2，|PF2|＝a1－a2.設(shè)|F1F2|＝2c，又∠F1PF2＝，則在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝(a1＋a2)2＋(a1－a2)2－2(a1＋a2)(a1－a2)cos ，化簡得(2－)a＋(2＋)a＝4c2，設(shè)橢圓的離心率為e1，雙曲線的離心率為e2，∴＋＝4，
又＋≥2＝，
∴≤4，即e1·e2≥，
∴橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為.
6．(2018·長春質(zhì)檢)已知O為坐標(biāo)原點，設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2－y2＝1的左、右焦點，P為雙
39、曲線上任意一點，過點F1作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為H，則|OH|＝( )
A．1 B．2
C．4 D.
解析：選A 不妨設(shè)P在雙曲線的左支，如圖，延長F1H交PF2于點M，由于PH既是∠F1PF2的平分線又垂直于F1M，故△PF1M為等腰三角形，|PF1|＝|PM|且H為F1M的中點，所以O(shè)H為△MF1F2的中位線，所以|OH|＝|MF2|＝(|PF2|－|PM|)＝(|PF2|－|PF1|)＝1.
7．已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點，離心率為，E的右焦點與拋物線C：y2＝8x的焦點重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個交點，則|AB|＝________.
解析：拋物線C：
40、y2＝8x的焦點坐標(biāo)為(2,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－2.從而橢圓E的半焦距c＝2.可設(shè)橢圓E的方程為＋＝1(a>b>0)，因為離心率e＝＝，所以a＝4，所以b2＝a2－c2＝12.由題意知|AB|＝＝2×＝6.
答案：6
8．(2018·南寧模擬)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一條弦所在的直線方程是x－y＋5＝0，弦的中點坐標(biāo)是M(－4，1)，則橢圓的離心率是________．
解析：設(shè)直線x－y＋5＝0與橢圓＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，
因為AB的中點M(－4,1)，
所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.
易知直線AB的斜率k＝＝1.
由兩式相減得，
41、＋＝0，
所以＝－·，所以＝，
于是橢圓的離心率e＝＝＝.
答案：
9．(2019屆高三·惠州調(diào)研)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線－＝1(a>0，b>0)的兩個焦點，過其中一個焦點與雙曲線的一條漸近線平行的直線交雙曲線另一條漸近線于點M，若點M在以線段F1F2為直徑的圓內(nèi)，則雙曲線離心率的取值范圍是________．
解析：如圖，不妨設(shè)F1(0，c)，F(xiàn)2(0，－c)，則過點F1與漸近線y＝x平行的直線為y＝x＋c，聯(lián)立
解得即M.因為點M在以線段F1F2為直徑的圓x2＋y2＝c2內(nèi)，故2＋2
42、心率的取值范圍是(1,2)．
答案：(1,2)
10．(2018·遼寧五校協(xié)作體聯(lián)考)已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，上頂點為B，若△BF1F2的周長為6，且點F1到直線BF2的距離為 B.
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)A1，A2是橢圓C長軸的兩個端點，P是橢圓C上不同于A1，A2的任意一點，直線A1P交直線x＝m于點M，若以MP為直徑的圓過點A2，求實數(shù)m的值．
解：(1)由題意得F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，B(0，b)，
則2a＋2c＝6.①
直線BF2的方程為bx＋cy－bc＝0，
所以＝b，即2c＝a.②
又a2＝b2＋c2，③
43、
所以由①②③可得a＝2，b＝，
所以橢圓C的方程為＋＝1.
(2)不妨設(shè)A1(－2,0)，A2(2,0)，P(x0，y0)，
則直線A1P的方程為y＝(x＋2)，
所以M.
又點P在橢圓C上，所以y＝3.
若以MP為直徑的圓過點A2，則A2M⊥A2P，
即·＝0，
所以·(x0－2，y0)
＝(m－2)(x0－2)＋(m＋2)
＝(m－2)(x0－2)＋(m＋2)
＝(x0－2)＝0.
又點P不同于點A1，A2，所以x0≠±2，
所以m－＝0，解得m＝14.
11．(2018·唐山模擬)在直角坐標(biāo)系xOy中，長為＋1的線段的兩端點C，D分別在x軸、y軸上滑動，＝
44、 .記點P的軌跡為曲線E.
(1)求曲線E的方程；
(2)經(jīng)過點(0,1)作直線與曲線E相交于A，B兩點，＝＋，當(dāng)點M在曲線E上時，求四邊形AOBM的面積．
解：(1)設(shè)C(m,0)，D(0，n)，P(x，y)．
由＝ ，得(x－m，y)＝(－x，n－y)，
所以得
由||＝＋1，得m2＋n2＝(＋1)2，
所以(＋1)2x2＋y2＝(＋1)2，
整理，得曲線E的方程為x2＋＝1.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由＝＋，知點M坐標(biāo)為(x1＋x2，y1＋y2)．
由題意知，直線AB的斜率存在．
設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1，
代入曲線E的方程，得(k
45、2＋2)x2＋2kx－1＝0，
則x1＋x2＝－，x1x2＝－.
y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝.
由點M在曲線E上，知(x1＋x2)2＋＝1，
即＋＝1，
解得k2＝2.
所以|AB|＝|x1－x2|
＝＝，
又原點到直線AB的距離d＝＝，
所以平行四邊形OAMB的面積S＝|AB|·d＝.
12．(2019屆高三·洛陽第一次統(tǒng)考)已知短軸長為2的橢圓E：＋＝1(a>b>0)，直線n的橫、縱截距分別為a，－1，且原點O到直線n的距離為.
(1)求橢圓E的方程；
(2)直線l經(jīng)過橢圓E的右焦點F且與橢圓E交于A，B兩點，若橢圓E上存在一點C滿足＋ －2 ＝0，求直線l
46、的方程．
解：(1)∵橢圓E的短軸長為2，∴b＝1.
依題意設(shè)直線n的方程為－y＝1，
由＝，解得a＝，
故橢圓E的方程為＋y2＝1.
(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，
當(dāng)直線l的斜率為0時，顯然不符合題意．
當(dāng)直線l的斜率不為0或直線l的斜率不存在時，F(xiàn)(，0)，設(shè)直線l的方程為x＝ty＋，
由消去x，得(t2＋3)y2＋2ty－1＝0，
∴y1＋y2＝－，y1y2＝－，①
∵＋ －2＝0，
∴x3＝x1＋x2，y3＝y(tǒng)1＋y2，
又點C在橢圓E上，
∴＋y＝2＋2＝＋＋＝1，
又＋y＝1，＋y＝1，
∴x1x2＋y1y2＝0，②
47、
將x1＝ty1＋，x2＝ty2＋及①代入②得t2＝1，
即t＝1或t＝－1.
故直線l的方程為x＋y－＝0或x－y－＝0.
二、強化壓軸考法——拉開分
1．(2018·全國卷Ⅲ)設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，O是坐標(biāo)原點．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若|PF1|＝|OP|，則C的離心率為( )
A. B．2
C. D.
解析：選C 法一：不妨設(shè)一條漸近線的方程為y＝x，
則F2到y(tǒng)＝x的距離d＝＝b.
在Rt△F2PO中，|F2O|＝c，
所以|PO|＝a，所以|PF1|＝a，
又|F1O|＝c，所以在△F1
48、PO與Rt△F2PO中，
根據(jù)余弦定理得
cos∠POF1＝＝－cos∠POF2＝－，
即3a2＋c2－(a)2＝0，得3a2＝c2，所以e＝＝.
法二：如圖，過點F1向OP的反向延長線作垂線，垂足為P′，連接P′F2，由題意可知，四邊形PF1P′F2為平行四邊形，且△PP′F2是直角三角形．因為|F2P|＝b，|F2O|＝c，所以|OP|＝a.
又|PF1|＝a＝|F2P′|，|PP′|＝2a，所以|F2P|＝a＝b，所以c＝＝a，所以e＝＝.
2．(2018·合肥質(zhì)檢)已知橢圓M：＋y2＝1，圓C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共點P，設(shè)圓C在點P處的切線斜率為k1，橢圓M
49、在點P處的切線斜率為k2，則的取值范圍為( )
A．(1,6) B．(1,5)
C．(3,6) D．(3,5)
解析：選D 由于橢圓M：＋y2＝1，圓C：x2＋y2＝6－a2在第一象限有公共點P，所以解得3
50、值為( )
A．24 B．16
C．8 D．－16
解析：選B 由＝2知G是線段AB的中點，
∴＝(＋)，
∴(－)2－42＝(－)2－(＋)2＝－4·.
由A，B是動直線l與拋物線C：x2＝4y的交點，
不妨設(shè)A，B，
∴－4·＝－4
＝－4 ＝16－42≤16，
∴(－)2－42的最大值為16.
4．(2018·合肥檢測)已知拋物線y2＝4x的焦點為F，直線l過點F交拋物線于A，B兩點，且|AF|＝3|FB|.直線l1，l2分別過點A，B，且與x軸平行，在直線l1，l2上分別取點M，N(M，N分別在點A，B的右側(cè))，分別作∠ABN和∠BAM的角平分線并相交于
51、點P，則△PAB的面積為( )
A. B.
C. D.
解析：選C 因為拋物線方程為y2＝4x，所以其焦點F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，如圖所示，不妨設(shè)點B在x軸上方，過點B向l1作垂線，垂足為C.設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，因為|AF|＝3|FB|，所以xA＋1＝3(xB＋1)，所以xA－xB＝2(xB＋1)＝2|FB|，所以cos∠BAC＝＝，所以∠BAC＝60°，因為AP，BP分別為∠BAM與∠ABN的角平分線，所以∠BAP＝60°，∠ABP＝30°，所以∠APB＝90°，所以|AP|＝2|FB|＝2xB＋2，所以S△PAB＝|AP||AB|sin 60°＝
52、×2(xB＋1)×4(xB＋1)×＝2(xB＋1)2.由∠BAC＝60°，F(xiàn)(1,0)可得直線AB的方程為y＝－(x－1)，聯(lián)立解得x＝或x＝3，易知xB＝，所以S△PAB＝2×2＝.
5．已知等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝4，∠BAD＝60°，雙曲線以A，B為焦點，且與線段CD(包括端點C，D)有兩個交點，則該雙曲線的離心率的取值范圍是________．
解析：以AB所在直線為x軸，AB中點為坐標(biāo)原點O，過點O且垂直于AB的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(－2,0)，B(2,0)，C(1，)．設(shè)以A，B為焦點的雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)，則c
53、＝2.由a2＋b2＝c2，得b2＝4－a2，當(dāng)x＝1時，y2＝a2＋－5.要使雙曲線與線段CD(包括端點C，D)有兩個交點，則a2＋－5≥3，解得a2≥4＋2或0＜a2≤4－2，由a2≥4＋2得a≥＋1＞2，舍去，∴a2≤4－2，即0＜a≤－1.∴雙曲線的離心率e＝≥＝＋1.即該雙曲線的離心率的取值范圍是[＋1，＋∞)．
答案：[＋1，＋∞)
6．(2018·洛陽統(tǒng)考)已知F1，F(xiàn)2分別為雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦點，P(x0，y0)是雙曲線C右支上的一點，連接PF1并過F1作垂直于PF1的直線交雙曲線左支于R，Q，其中R(－x0，－y0)，△QF1P為等腰三角形，則雙曲
54、線C的離心率為________．
解析：設(shè)O為坐標(biāo)原點，連接OP，OR，F(xiàn)2P，F(xiàn)2R，
因為P，R關(guān)于原點對稱，所以|OP|＝|OR|，
又|OF1|＝|OF2|，PF1⊥RQ，
故四邊形F1RF2P為矩形．
設(shè)|PF1|＝m，由雙曲線的定義，得|PF2|＝m－2a.
法一：因為△QF1P為等腰直角三角形，
所以|QF1|＝|PF1|＝m，|PQ|＝m，
連接QF2，則|QF2|＝m＋2a.
在△QPF2中，∠QPF2＝45°＋90°＝135°，
由余弦定理得(m＋2a)2＝(m－2a)2＋(m)2－2(m－2a)·m·cos 135°，化簡得m＝3a.
在Rt△F1PF2中，|PF1|＝3a，|PF2|＝a，|F1F2|＝2c，
所以(3a)2＋a2＝(2c)2，即5a2＝2c2，＝，
即雙曲線的離心率為.
法二：因為△QF1P為等腰直角三角形，
所以|QF1|＝|PF1|＝m，連接QF2，
則在Rt△QRF2中，|RQ|＝2m－2a，
|RF2|＝m，|QF2|＝m＋2a，
由勾股定理得(2m－2a)2＋m2＝(m＋2a)2，
化簡得m＝3a.
在Rt△F1PF2中，|PF1|＝3a，|PF2|＝a，|F1F2|＝2c，
所以(3a)2＋a2＝(2c)2，即5a2＝2c2，＝，
即雙曲線的離心率為.
答案：
（通用版）2022年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第一部分 專題十二 圓錐曲線的方程與性質(zhì)講義 理（重點生含解析）
