《2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第三章 函數(shù)的概念與性質 3.1.2.2 分段函數(shù)學案 新人教A版必修第一冊》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《2019-2020學年新教材高中數(shù)學 第三章 函數(shù)的概念與性質 3.1.2.2 分段函數(shù)學案 新人教A版必修第一冊(16頁珍藏版)》請在裝配圖網上搜索。
1、第2課時 分段函數(shù)
1.會用解析法及圖象法表示分段函數(shù).
2.給出分段函數(shù),能研究有關性質.
3.對生活中的一些實例,會用分段函數(shù)表示.
1.分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內,對于自變量x的不同取值范圍,有著不同的對應關系的函數(shù).
2.分段函數(shù)是一個函數(shù),其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集;各段函數(shù)的定義域的交集是空集.
溫馨提示:(1)分段函數(shù)雖然由幾部分構成,但它仍是一個函數(shù)而不是幾個函數(shù).
(2)分段函數(shù)的“段”可以是等長的,也可以是不等長的.如y=其“段”是不等長的.
(3)分段函數(shù)的圖象要分段來畫.
1.某市空調公共汽車的標價按下列規(guī)則判定:
2、
①5千米以內,票價2元;
②5千米以上,每增加5千米,票價增加1元(不足5千米的按5千米計算).
已知兩個相鄰的公共汽車站間相距1千米,沿途(包括起點站和終點站)有11個汽車站.
(1)從起點站出發(fā),公共汽車的行程x(千米)與票價y(元)有函數(shù)關系嗎?
(2)函數(shù)的表達式是什么?
(3)x與y之間有何特點?
[答案] (1)有函數(shù)關系
(2)y=
(3)x在不同區(qū)間內取值時,與y所對應的關系不同
2.判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”)
(1)分段函數(shù)由幾個函數(shù)構成.( )
(2)函數(shù)f(x)=是分段函數(shù).( )
(3)分段函數(shù)的圖象不一定是連續(xù)的.(
3、)
(4)y=|x-1|與y=是同一函數(shù).( )
[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√
題型一分段函數(shù)求值
【典例1】 已知函數(shù)f(x)=
(1)求f(f(f(-2)))的值;
(2)若f(a)=,求a.
[思路導引] 根據(jù)自變量取值范圍代入對應解析式求值.
[解] (1)∵-2<-1,∴f(-2)=2×(-2)+3=-1,
∴f[f(-2)]=f(-1)=2,
∴f(f(f(-2)))=f(2)=1+=.
(2)當a>1時,f(a)=1+=,∴a=2>1;
當-1≤a≤1時,f(a)=a2+1=,
∴a=±∈[-1,1];
當a<-1時,f(a)
4、=2a+3=,
∴a=->-1(舍去).
綜上,a=2或a=±.
(1)分段函數(shù)求值,一定要注意所給自變量的值所在的范圍,代入相應的解析式求解.對于含有多層“f”的問題,要按照“由內到外”的順序,逐層處理.
(2)已知函數(shù)值,求自變量的值時,要先將“f”脫掉,轉化為關于自變量的方程求解.
[針對訓練]
1.設函數(shù)f(x)=則f[f(3)]=( )
A. B.3 C. D.
[解析] ∵f(3)=<1,
∴f[f(3)]=2+1=.
[答案] D
2.已知函數(shù)f(x)=若f(x)=-3,則x=________.
[解析] 若x≤1,由x+1=-3得x=-4
5、.
若x>1,由1-x2=-3得x2=4,
解得x=2或x=-2(舍去).
綜上可得,所求x的值為-4或2.
[答案]?。?或2
題型二分段函數(shù)的圖象
【典例2】 (1)作出下列分段函數(shù)的圖象:
①y= ②y=|x+1|.
(2)如圖所示,在邊長為4的正方形ABCD的邊上有一點P,沿著折線BCDA由B(起點)向點A(終點)運動.設點P運動路程為x,△ABP的面積為y,求:
①y與x之間的函數(shù)關系式;
②畫出y=f(x)的圖象.
[思路導引] (1)利用描點法分段作圖;(2)先依據(jù)x的變化范圍求出關系式.
[解] (1)①函數(shù)圖象如圖1所示.
②y=|x+1
6、|=,其圖象如圖2所示.
(2)①y=
②
分段函數(shù)圖象的畫法
(1)作分段函數(shù)的圖象時,分別作出各段的圖象,在作每一段圖象時,先不管定義域的限制,作出其圖象,再保留定義域內的一段圖象即可.
(2)對含有絕對值的函數(shù),要作出其圖象,首先應根據(jù)絕對值的意義去掉絕對值符號,將函數(shù)轉化為分段函數(shù),然后分段作出函數(shù)圖象.
[針對訓練]
3.已知函數(shù)f(x)的圖象如圖所示,求f(x)的解析式并寫出f(x)的值域.
[解] 由于f(x)的圖象由兩條線段組成,
因此可設f(x)=
將點(-1,0),(0,1)代入f(x)=ax+b,
點(1,-1)代入f(x)=c
7、x可得
f(x)=
由圖象可得f(x)的值域為(-1,1).
題型三分段函數(shù)的綜合問題
【典例3】 已知函數(shù)f(x)=|x-3|-|x+1|.
(1)求f(x)的值域;
(2)解不等式:f(x)>0;
(3)若直線y=a與f(x)的圖象無交點,求實數(shù)a的取值范圍.
[思路導引] 去掉絕對值符號,化簡f(x),再分段求解.
[解] 若x≤-1,則x-3<0,x+1≤0,
f(x)=-(x-3)+(x+1)=4;
若-10,
f(x)=-(x-3)-(x+1)=-2x+2;
若x>3,則x-3>0,x+1>0,
f(x)=(x-3)-(x
8、+1)=-4.
∴f(x)=
(1)-10,即①
或②
或③
解①得x≤-1,解②得-10的解集為(-∞,-1]∪(-1,1)∪?=(-∞,1).
(3)f(x)的圖象如圖:
由圖可知,當a∈(-∞,-4)∪(4,+∞)時,直線y=a與f(x)的圖象無交點.
[變式] 若a∈R,試探究方程f(x)=a解的個數(shù).
[解] 由例3(3)知y=f(x)的圖象,作出直線y=a,可以看出:當a=±4時,y=a與y=f(x
9、)有無數(shù)個交點;當-44時,y=a與y=f(x)沒有交點.
綜上可知:
當a=±4時,方程f(x)=a有無數(shù)個解.
當-44時,方程f(x)=a無解.
研究分段函數(shù)要牢牢抓住的2個要點
(1)分段研究.在每一段上研究函數(shù).
(2)合并表達.因為分段函數(shù)無論分成多少段,仍是一個函數(shù),對外是一個整體.
[針對訓練]
4.已知f(x)=
(1)畫出f(x)的圖象;
(2)若f(x)≥,求x的取值范圍;
(3)求f(x)的值域.
[解] (1)利用
10、描點法,作出f(x)的圖象,如圖所示.
(2)由于f=,結合此函數(shù)圖象可知,使f(x)≥的x的取值范圍是∪.
(3)由圖象知,當-1≤x≤1時,f(x)=x2的值域為[0,1],
當x>1或x<-1時,f(x)=1.
所以f(x)的值域為[0,1].
題型四分段函數(shù)在實際問題中的應用
【典例4】 某蔬菜生產基地用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種適宜生長溫度為15~20℃的新品種,如圖是某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關閉及關閉后,大棚里溫度y(℃)隨時間x(h)變化的函數(shù)圖象,其中AB段是恒溫階段,BC段是雙曲線y=的一部分,請根據(jù)圖中信息解答下列問題:
(1)求y與x的函數(shù)關系式;
(
11、2)大棚內的溫度為18℃時是否適宜該品種蔬菜的生長?
(3)恒溫系統(tǒng)在一天內保持大棚里的適宜新品種蔬菜的生長溫度有多少小時?
[思路導引] 利用待定系數(shù)法求出x在每一段上的解析式,再分段研究.
[解] (1)設線段AD的解析式為y=mx+n(m≠0),
將點A(2,20),D(0,10)代入,
得,解得,
∴線段AD的解析式為y=5x+10(0≤x≤2).
∵雙曲線y=經過B(12,20),
∴20=,解得k=240,
∴BC段的解析式為y=(12≤x≤24).
綜上所述,y與x的函數(shù)解析式為:
y=.
(2)當x=18時,y==,由于<15,
∴大棚內的溫度為18℃
12、時不適宜該品種蔬菜的生長.
(3)令y=15,當0≤x≤2時,解5x+10=15,得x=1,
當12≤x≤24時,解=15,得x=16.
由于16-1=15(小時),
∴恒溫系統(tǒng)在一天內保持大棚里的適宜新品種蔬菜的生長溫度有15小時.
對于應用題,要在分析題意基礎上,弄清變量之間的關系,然后選擇適當形式加以表示;若根據(jù)圖象求解析式,則要分段用待定系數(shù)法求出,最后用分段函數(shù)表示,分段函數(shù)要特別地把握準定義域的各個“分點”.
[針對訓練]
5.A,B兩地相距150公里,某汽車以每小時50公里的速度從A地到B地,在B地停留2小時之后,又以每小時60公里的速度返回A地.寫
13、出該車離A地的距離s(公里)關于時間t(小時)的函數(shù)關系,并畫出函數(shù)圖象.
[解] (1)汽車從A地到B地,速度為50公里/小時,則有s=50t,到達B地所需時間為=3(小時).
(2)汽車在B地停留2小時,則有s=150.
(3)汽車從B地返回A地,速度為60公里/小時,則有s=150-60(t-5)=450-60t,從B地到A地用時=2.5(小時).
綜上可得,該汽車離A地的距離s關于時間t的函數(shù)關系式為
s=
函數(shù)圖象如圖所示.
課堂歸納小結
1.分段函數(shù)
(1)分段是針對定義域而言的,將定義域分成幾段,各段的對應關系不一樣.
(2)一般而言,分段函數(shù)的定義域部分
14、是各不相交的,這是由函數(shù)定義中的唯一性決定的.
(3)研究分段函數(shù)時,應根據(jù)“先分后合”的原則,尤其是
作分段函數(shù)的圖象時,可先將各段的圖象分別畫出來,從而得到整個函數(shù)的圖象.
2.與分段函數(shù)有關的實際問題
要理解題意,合理引進變量,確定自變量分段的“段點”,注意在自變量分段的端點處要不重不漏.
1.已知f(x)=則f[f(-7)]的值為( )
A.100 B.10 C.-10 D.-100
[解析] ∵f(-7)=10,∴f[f(-7)]=f(10)=10×10=100.
[答案] A
2.下列圖形是函數(shù)y=x|x|的圖象的是( )
[解析] ∵f(x)
15、=分別畫出y=x2(取x≥0部分)及y=-x2(取x<0部分)即可.
[答案] D
3.函數(shù)f(x)=的值域是( )
A.R B.[0,2]∪{3}
C.[0,+∞) D.[0,3]
[解析] 當0≤x≤1時,0≤f(x)≤2,當1
16、選項A,C;再將點代入,排除D項.
[答案] B
5.設函數(shù)f(x)=若f[f(a)]=2,則a=________.
[解析] 當a≤0時,f(a)=a2+2a+2>0,f[f(a)]<0,顯然不成立;當a>0時,f(a)=-a2,f[f(a)]=a4-2a2+2=2,則a=±或a=0,故a=.
[答案]
課后作業(yè)(十八)
復習鞏固
一、選擇題
1.已知f(x)=則f(-2)=( )
A.2 B.4 C.-2 D.2或4
[解析] f(-2)=-(-2)=2,選A.
[答案] A
2.函數(shù)f(x)=|x-1|的圖象是( )
[解析] f(x)=|x-1
17、|=選B.
[答案] B
3.已知函數(shù)y=使函數(shù)值為5的x的值是( )
A.-2 B.2或-
C.2或-2 D.2或-2或-
[解析] 當x≤0時,令x2+1=5,解得x=-2;當x>0時,令-2x=5,得x=-,不合題意,舍去.
[答案] A
4.已知函數(shù)f(x)的圖象是兩條線段(如圖所示,不含端點),則f等于( )
A.- B.
C.- D.
[解析] 由圖可知,函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=
∴f=-1=-,
∴f=f=-+1=.
[答案] B
5.某單位為鼓勵職工節(jié)約用水,作出了如下規(guī)定:每位職工每月用水量不超過10立方米的,按每立方米
18、m元收費;用水量超過10立方米的,超過部分按每立方米2m元收費.某職工某月繳水費16m元,則該職工這個月實際用水量為( )
A.13立方米 B.14立方米
C.18立方米 D.26立方米
[解析] 該單位職工每月應繳水費y與實際用水量x滿足的關系式為y=由y=16m,可知x>10,令2mx-10m=16m,解得x=13.
[答案] A
二、填空題
6.已知函數(shù)f(x)=,則不等式xf(x-1)≤1的解集為________.
[解析] 原不等式轉化為或解得-1≤x≤1.
[答案] [-1,1]
7.函數(shù)f(x)=的值域是________.
[解析] 當0≤x≤1時,0≤
19、f(x)≤1;
當1
20、x|>1,則=,得x=±,符合|x|>1.
所以若f(x)=,x的值為±.
10.已知函數(shù)f(x)=1+(-2
21、|=|x|sgnx D.|x|=xsgnx
[解析] 由已知得,xsgnx=
而|x|=
所以|x|=xsgnx,故選D.
[答案] D
12.如圖,拋物線y1=ax2與直線y2=bx+c的兩個交點坐標分別為A(-2,4),B(1,1).記f(x)為max{y1,y2},則f(x)的解析式為( )
[解析] 由y1=ax2過點B(1,1)得a=1,∴y=x2.
由y2=bx+c過點A(-2,4),B(1,1),有
解得∴y2=-x+2,結合圖象可得.
f(x)=,選A.
[答案] A
13.已知f(x)=則f+f等于( )
A.-2 B.4 C.2
22、D.-4
[解析] ∵f(x)=
∴f=f=f=f=f=×2=,f=2×=,
∴f+f=+=4.
[答案] B
14.設函數(shù)f(x)=若f(a)>1,則實數(shù)a的取值范圍是________.
[解析] 當a≥0時,f(a)=a-1>1,
解得a>4,符合a≥0;
當a<0時,f(a)=>1,無解.
[答案] (4,+∞)
15.若定義運算a⊙b=則函數(shù)f(x)=x⊙(2-x)的值域為________.
[解析] 由題意得f(x)=畫出函數(shù)f(x)的圖象得值域是(-∞,1].
[答案] (-∞,1]
16.成都市出租車的現(xiàn)行計價標準是:路程在2 km以內(含2 km)
23、按起步價8元收取,超過2 km后的路程按1.9元/km收取,但超過10 km后的路程需加收50%的返空費(即單價為1.9×(1+50%)=2.85(元/km).
(1)將某乘客搭乘一次出租車的費用f(x)(單位:元)表示為行程x(038.8,
∴該乘客換乘比只乘一輛車更省錢.
16