《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2.1.1 函數(shù)的單調(diào)性學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2.1.1 函數(shù)的單調(diào)性學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)（14頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1課時(shí)　函數(shù)的單調(diào)性 1．理解函數(shù)單調(diào)區(qū)間、單調(diào)性等概念． 2．會(huì)劃分函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性． 3．會(huì)用定義證明函數(shù)的單調(diào)性． 1．函數(shù)的單調(diào)性 溫馨提示：定義中的x1，x2有以下3個(gè)特征 (1)任意性，即“任意取x1，x2”中“任意”二字絕不能去掉，證明時(shí)不能以特殊代替一般； (2)有大小，通常規(guī)定x1

2、區(qū)間而言的，它是函數(shù)的一個(gè)局部性質(zhì)． (2)函數(shù)f(x)在定義域的某個(gè)區(qū)間D上單調(diào)，不一定在定義域上單調(diào)．如f(x)＝x2等． (3)并非所有的函數(shù)都具有單調(diào)性，如f(x)＝ ，它的定義域是N，但不具有單調(diào)性． 1．觀察下列函數(shù)圖象： (1)從圖象上看，自變量x增大時(shí)，函數(shù)f(x)的值如何變化？ (2)甲、乙圖中，若x1

3、小 丙：在y軸左側(cè)函數(shù)f(x)的值隨x的增大而減?。辉趛軸右側(cè)，函數(shù)f(x)的值隨x的增大而增大 (2)甲：∵x1f(x2) (3)[0，＋∞)．?x1，x2∈[0，＋∞)，若x1

4、為增函數(shù)．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 題型一函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明 【典例1】　證明函數(shù)f(x)＝x＋在(－∞，－2)上是增函數(shù)． [思路導(dǎo)引]　設(shè)出?x14， x1x2－4>0. ∴f(x1)－f(x2)<0， 即f(x1)

5、單調(diào)性的方法步驟 [針對(duì)訓(xùn)練] 1．求證：函數(shù)f(x)＝在(0，＋∞)上是減函數(shù)，在(－∞，0)上是增函數(shù)． [證明]　?x1，x2∈(－∞，0)，且x10，x1＋x2<0，xx>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，x2＋x1>0，xx>0. ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)． ∴函數(shù)f(

6、x)＝在(0，＋∞)上是減函數(shù). 題型二求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 【典例2】　求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： (1)f(x)＝； (2)f(x)＝|x2－3x＋2|. [思路導(dǎo)引]　(1)先求出函數(shù)的定義域，再利用定義求解；(2)作出函數(shù)y＝x2－3x＋2的圖象，再將x軸下方的圖象翻折到x軸上方，結(jié)合圖象寫出f(x)的單調(diào)區(qū)間． [解]　(1)函數(shù)f(x)＝的定義域?yàn)?－∞，1)∪(1，＋∞)， ?x1，x2∈(－∞，1)，且x10，x1－1<0，x2－1<0， 所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)

7、>f(x2)． 所以函數(shù)f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減，同理函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞減． 綜上，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，1)，(1，＋∞)． (2)f(x)＝|x2－3x＋2| ＝ 作出函數(shù)的圖象，如圖所示． 根據(jù)圖象，可知， 單調(diào)遞增區(qū)間是和[2，＋∞)； 單調(diào)遞減區(qū)間是(－∞，1]和. (1)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的2種方法 ①定義法：即先求出定義域，再利用定義法進(jìn)行判斷求解． ②圖象法：即先畫出圖象，根據(jù)圖象求單調(diào)區(qū)間． (2)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的注意點(diǎn) 一個(gè)函數(shù)出現(xiàn)兩個(gè)或兩個(gè)以上的單調(diào)區(qū)間時(shí)，不能用“∪”連接兩個(gè)單調(diào)區(qū)間，而要用“和”或“，

8、”連接． [針對(duì)訓(xùn)練] 2．函數(shù)f(x)＝＋2的單調(diào)遞減區(qū)間是________________． [解析]　函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)． 當(dāng)x10，∴f(x)在(－∞，0)上為減函數(shù)； 當(dāng)00， ∴f(x)在(0，＋∞)上為減函數(shù)． ∴f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)，(0，＋∞)． [答案]　(－∞，0)，(0，＋∞) 3．作出函數(shù)f(x)＝的圖象，并指出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． [解]　f(x)＝ 的圖象如圖所示． 由圖象可知：函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－

9、∞，1]和(1,2]；單調(diào)遞增區(qū)間為(2，＋∞). 題型三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 【典例3】　(1)已知函數(shù)f(x)＝x2－2(1－a)x＋2在[4，＋∞)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． (2)已知y＝f(x)在定義域(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，且f(1－a)

10、1－a≤4，即a≥－3. ∴所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－3，＋∞)． (2)∵f(x)在R上是減函數(shù)，且f(1－a)2a－1，得a<，∴a的取值范圍是. [變式]　(1)若本例(1)條件改為“函數(shù)f(x)＝x2－2(1－a)x＋2的單調(diào)遞增區(qū)間為[4，＋∞)”，其他條件不變，如何求解？ (2)若本例(2)中“定義域(－∞，＋∞)”改為“定義域(－1,1)”，其他條件不變，如何求解？ [解]　(1)∵f(x)＝x2－2(1－a)x＋2＝[x－(1－a)]2＋2－(1－a)2， ∴f(x)的遞增區(qū)間為[1－a，＋∞)． ∴1－a＝4，得a＝－3. (2

11、)由題意可知 解得02a－1，即a<.② 由①②可知，0

12、數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，＋∞)上是減函數(shù)，則下列關(guān)系式一定成立的是(　　) A．f(a)>f(2a) B．f(a2)a2，∴f(a2＋1)

13、≥2} 課堂歸納小結(jié) 1.若f(x)的定義域?yàn)镈，A?D，B?D，f(x)在A和B上都單調(diào)遞減，未必有f(x)在A∪B上單調(diào)遞減，如函數(shù)y＝. 2.對(duì)增函數(shù)的判斷，當(dāng)x10或>0. 對(duì)減函數(shù)的判斷，當(dāng)x1f(x2)，相應(yīng)地也可用一個(gè)不等式來替代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0或<0. 3.熟悉一些常見函數(shù)的單調(diào)性結(jié)論，包括一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)等. 4.若f(x)，g(x)都是增函數(shù)，h(x)是減函數(shù)，則：①在定義域的交集(非空)

14、上，f(x)＋g(x)單調(diào)遞增，f(x)－h(huán)(x)單調(diào)遞增，②－f(x)單調(diào)遞減，③單調(diào)遞減(f(x)≠0). 5.對(duì)于函數(shù)值恒正(或恒負(fù))的函數(shù)f(x)，證明單調(diào)性時(shí)，也可以作商與1比較. 1．如圖所示，函數(shù)y＝f(x)在下列哪個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)(　　) A．[－4,4] B．[－4，－3]∪[1,4] C．[－3,1] D．[－3,4] [解析]　觀察題中圖象知，函數(shù)在[－3,1]上是增函數(shù)． [答案]　C 2．下列函數(shù)中，在(－∞，0]內(nèi)為增函數(shù)的是(　　) A．y＝x2－2 B．y＝ C．y＝1＋2x D．y＝－(x＋2)2 [解析]　選項(xiàng)A，B在(－

15、∞，0)上為減函數(shù)，選項(xiàng)D在(－2，0]上為減函數(shù)，只有選項(xiàng)C滿足在(－∞，0]內(nèi)為增函數(shù)．故選C. [答案]　C 3．若函數(shù)f(x)＝(2a－1)x＋b是R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A. B. C. D. [解析]　由一次函數(shù)的性質(zhì)得2a－1<0，即a<.故選D. [答案]　D 4．已知函數(shù)f(x)為定義在區(qū)間[－1,1]上的增函數(shù)，則滿足f(x)

16、義證明． [解]　f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． 證明如下：任取x1>x2>0， f(x1)－f(x2)＝－＝， 由x1>x2>0知x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2>0， 故f(x1)－f(x2)>0，即f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增． 課后作業(yè)(十九) 復(fù)習(xí)鞏固 一、選擇題 1．若函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)，在區(qū)間(b，c)上也是增函數(shù)，則函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)∪(b，c)上(　　) A．必是增函數(shù) B．必是減函數(shù) C．是增函數(shù)或減函數(shù) D．無法確定單調(diào)性 [解析]　函數(shù)在區(qū)間(a，b)∪(b，c)上無法確定單調(diào)性．如y＝－在(0，＋∞)

17、上是增函數(shù)，在(－∞，0)上也是增函數(shù)，但在(－∞，0)∪(0，＋∞)上并不具有單調(diào)性． [答案]　D 2．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0,1)上是增函數(shù)的是(　　) A．y＝|x| B．y＝3－x C．y＝ D．y＝－x2＋4 [解析]　因?yàn)椋?<0，所以一次函數(shù)y＝－x＋3在R上遞減，反比例函數(shù)y＝在(0，＋∞)上遞減，二次函數(shù)y＝－x2＋4在(0，＋∞)上遞減．故選A. [答案]　A 3．對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，在給定區(qū)間上有兩個(gè)數(shù)x1，x2，且x1

18、不能確定 [解析]　由單調(diào)性定義可知，不能用特殊值代替一般值． [答案]　D 4．函數(shù)y＝x2＋x＋1(x∈R)的單調(diào)遞減區(qū)間是(　　) A. B．[－1，＋∞) C. D．(－∞，＋∞) [解析]　y＝x2＋x＋1＝2＋，其對(duì)稱軸為x＝－，在對(duì)稱軸左側(cè)單調(diào)遞減，∴當(dāng)x≤－時(shí)單調(diào)遞減． [答案]　C 5．若f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，則下列說法中正確的是(　　) A．f(x)>f(0) B．f(x2)>f(0) C．f(3a＋1)

19、(a2＋1)＝f(2a)； 當(dāng)a≠1時(shí)，f(a2＋1)>f(2a)．故選D. [答案]　D 二、填空題 6．若函數(shù)f(x)＝2x2－mx＋3，當(dāng)x∈[－2，＋∞)時(shí)是增函數(shù)，當(dāng)x∈(－∞，－2)時(shí)是減函數(shù)，則f(1)＝________. [解析]　由條件知x＝－2是函數(shù)f(x)圖象的對(duì)稱軸，所以＝－2，m＝－8，則f(1)＝13. [答案]　13 7．已知函數(shù)f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)是單調(diào)函數(shù)，則a的取值范圍是________． [解析]　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，－a]，所以－a≥－1，解得a≤1. [答案]　(－∞，1] 8．已知f(x)是定義

20、在R上的增函數(shù)，且f(x－2)

21、 結(jié)合圖象可知，f(x)在(－∞，－1)上是單調(diào)增函數(shù)，在[－1,1]上是單調(diào)減函數(shù)，在[1，＋∞)上是單調(diào)增函數(shù)．函數(shù)的值域是R. 10．已知函數(shù)y＝f(x)在[0，＋∞)上是減函數(shù)，試比較 f與f(a2－a＋1)的大小． [解]　∵a2－a＋1＝2＋≥， ∴與a2－a＋1都在區(qū)間[0，＋∞)內(nèi)． 又∵y＝f(x)在區(qū)間[0，＋∞)上是減函數(shù)， ∴f≥f(a2－a＋1). 綜合運(yùn)用 11．如果函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－3在區(qū)間(－∞，4)上是單調(diào)遞增的，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(　　) A．a(chǎn)>－ B．a(chǎn)≥－ C．－≤a<0 D．－≤a≤0 [解析]　當(dāng)a＝0時(shí)，f(

22、x)＝2x－3在區(qū)間(－∞，4)上是單調(diào)遞增的；當(dāng)a>0時(shí)，由函數(shù)f(x)＝ax2＋2x－3的圖象知，不可能在區(qū)間(－∞，4)上是單調(diào)遞增；當(dāng)a<0時(shí)，只有－≥4，即a≥－滿足函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，4)上是單調(diào)遞增的，綜上可知實(shí)數(shù)a的取值范圍是－≤a≤0. [答案]　D 12．已知函數(shù)f(x)＝x2＋bx＋c的圖象的對(duì)稱軸為直線x＝1，則(　　) A．f(－1)

23、又函數(shù)f(x)的圖象為開口向上的拋物線，則f(x)在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)，故f(1)0，則f(－3)與f(－π)的大小關(guān)系是________． [解析]　由(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，可知

24、函數(shù)f(x)為增函數(shù)．又－3>－π，所以f(－3)>f(－π)． [答案]　f(－3)>f(－π) 15．設(shè)f(x)是定義在R上的增函數(shù)，f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，則不等式f(x)＋f(－2)>1的解集為________． [解析]　由條件可得f(x)＋f(－2)＝f(－2x)，又f(3)＝1，∴不等式f(x)＋f(－2)>1，即為f(－2x)>f(3)． ∵f(x)是定義在R上的增函數(shù)，∴－2x>3， 解得x<－.故不等式f(x)＋f(－2)>1的解集為. [答案]　 16．已知函數(shù)f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [解]　設(shè)11. ∵函數(shù)f(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)， ∴f(x1)－f(x2)＝x1－＋－ ＝(x1－x2)<0. ∵x1－x2<0，∴1＋>0，即a>－x1x2. ∵11，∴－x1x2<－1，∴a≥－1. ∴a的取值范圍是[－1，＋∞)． 14