《（新高考）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三部分 講重點(diǎn) 解答題專練 第7講 選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程教學(xué)案 理》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新高考）2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三部分 講重點(diǎn) 解答題專練 第7講 選修4-4 坐標(biāo)系與參數(shù)方程教學(xué)案 理（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第7講　選修4－4　坐標(biāo)系與參數(shù)方程 ■真題調(diào)研—————————————— 【例1】　[2019·全國(guó)卷Ⅰ]在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為2ρcosθ＋ρsinθ＋11＝0. (1)求C和l的直角坐標(biāo)方程； (2)求C上的點(diǎn)到l距離的最小值． 解：(1)因?yàn)椋?＜≤1，且x2＋2＝2＋＝1，所以C的直角坐標(biāo)方程為x2＋＝1(x≠－1)． l的直角坐標(biāo)方程為2x＋y＋11＝0. (2)由(1)可設(shè)C的參數(shù)方程為(α為參數(shù)，－π＜α＜π)． C上的點(diǎn)到l的距離為 ＝. 當(dāng)α＝－時(shí)

2、，4cos＋11取得最小值7，故C上的點(diǎn)到l距離的最小值為. 【例2】　[2019·全國(guó)卷Ⅱ]在極坐標(biāo)系中，O為極點(diǎn)，點(diǎn)M(ρ0，θ0)(ρ0＞0)在曲線C：ρ＝4sinθ上，直線l過(guò)點(diǎn)A(4,0)且與OM垂直，垂足為P. (1)當(dāng)θ0＝時(shí)，求ρ0及l(fā)的極坐標(biāo)方程； (2)當(dāng)M在C上運(yùn)動(dòng)且P在線段OM上時(shí)，求P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程． 解：(1)因?yàn)镸(ρ0，θ0)在C上，當(dāng)θ0＝時(shí)， ρ0＝4sin＝2. 由已知得|OP|＝|OA|cos＝2. 設(shè)Q(ρ，θ)為l上除P的任意一點(diǎn)．連接OQ，在Rt△OPQ中，ρcos＝|OP|＝2. 經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)P在曲線ρcos＝2上． 所以，l

3、的極坐標(biāo)方程為ρcos＝2. (2) 設(shè)P(ρ，θ)，在Rt△OAP中， |OP|＝|OA|cosθ＝4cosθ，即ρ＝4cosθ. 因?yàn)镻在線段OM上，且AP⊥OM，故θ的取值范圍是. 所以，P點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cosθ，θ∈. 【例3】　[2019·全國(guó)卷Ⅲ]如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，A(2,0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圓的圓心分別是(1,0)，，(1，π)，曲線M1是弧，曲線M2是弧，曲線M3是弧. (1)分別寫出M1，M2，M3的極坐標(biāo)方程； (2)曲線M由M1，M2，M3構(gòu)成，若點(diǎn)P在M上，且|OP|＝，求P的極坐標(biāo)． 解：(1)由題設(shè)可得，弧，，

4、所在圓的極坐標(biāo)方程分別為ρ＝2cosθ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cosθ.所以M1的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ，M2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2sinθ，M3的極坐標(biāo)方程為ρ＝－2cosθ. (2)設(shè)P(ρ，θ)，由題設(shè)及(1)知， 若0≤θ≤，則2cosθ＝，解得θ＝； 若≤θ≤，則2sinθ＝，解得θ＝或θ＝； 若≤θ≤π，則－2cosθ＝，解得θ＝. 綜上，P的極坐標(biāo)為或或或. 【例4】　[2019·江蘇卷]在極坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)A，B，直線l的方程為ρsin＝3. (1)求A，B兩點(diǎn)間的距離； (2)求點(diǎn)B到直線l的距離． 解：(1)設(shè)極點(diǎn)為O.在△OAB中，A，B，由余弦定

5、理，得 AB＝＝. (2)因?yàn)橹本€l的方程為ρsin＝3， 則直線l過(guò)點(diǎn)，傾斜角為. 又B，所以點(diǎn)B到直線l的距離為 (3－)×sin＝2. ■模擬演練—————————————— 1．[2019·南昌二模]已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2－2ρcosθ－2＝0，點(diǎn)P的極坐標(biāo)是. (1)求直線l的極坐標(biāo)方程及點(diǎn)P到直線l的距離； (2)若直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)，求△PMN的面積． 解：(1)由消去t，得y＝x，則ρsinθ＝ρcosθ，所以θ＝， 所以直線l的極坐

6、標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)． 點(diǎn)P到直線l的距離為 d＝×sin＝×＝. (2)由得ρ2－ρ－2＝0， 設(shè)M，N兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的極徑分別為ρ1，ρ2，則ρ1＋ρ2＝1，ρ1ρ2＝－2， 所以|MN|＝|ρ1－ρ2|＝＝3， 所以△PMN的面積S△PMN＝|MN|×d＝×3×＝. 2．[2019·廣州綜合測(cè)試二]在直角坐標(biāo)系xOy中，傾斜角為α的直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝2ρcosθ＋8. (1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)若直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝4，求直線l的傾

7、斜角． 解：(1)解法一：因?yàn)橹本€l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，所以當(dāng)α＝時(shí)，直線l的普通方程為x＝2. 當(dāng)α≠時(shí)，直線l的普通方程為y－＝tanα(x－2)． 將ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入ρ2＝2ρcosθ＋8， 得x2＋y2＝2x＋8. 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x－8＝0. 解法二：直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))， 則有 所以直線l的普通方程為 xsinα－ycosα－(2sinα－cosα)＝0. 將ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入ρ2＝2ρcosθ＋8， 得x2＋y2＝2x＋8. 所以曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x－8＝0.

8、 (2)解法一：曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x－8＝0， 將直線l的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標(biāo)方程整理，得t2＋(2sinα＋2cosα)t－5＝0. 因?yàn)棣ぃ?2sinα＋2cosα)2＋20>0，所以可設(shè)該方程的兩個(gè)根分別為t1，t2， 則t1＋t2＝－(2sinα＋2cosα)，t1t2＝－5. 所以|AB|＝|t1－t2|＝ ＝ ＝4， 整理得(sinα＋cosα)2＝3， 故2sin＝±. 因?yàn)?≤α<π，所以≤α＋<， 所以α＋＝或α＋＝，解得α＝或α＝. 所以直線l的傾斜角為或. 解法二：由(1)得曲線C是以C(1,0)為圓心，3為半徑的圓．直線

9、l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝4， 故圓心C(1,0)到直線l的距離 d＝＝1. ①當(dāng)α＝時(shí)，直線l的普通方程為x＝2，符合題意． ②當(dāng)α∈∪時(shí)，直線l的普通方程為xtanα－y＋－2tanα＝0，所以d＝＝1， 整理得|－tanα|＝，解得α＝. 綜上所述，直線l的傾斜角為或. 3．[2019·太原一模]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ. (1)若曲線C1的參數(shù)方程中的參數(shù)是α，且C1與C2有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求C1的普通方程； (2)已知點(diǎn)A(0,1)，若曲線C1的參

10、數(shù)方程中的參數(shù)是t，0<α<π，且C1與C2相交于P，Q兩個(gè)不同的點(diǎn)，求＋的最大值． 解：(1)∵ρ＝2cosθ，∴曲線C2的直角坐標(biāo)方程為(x－1)2＋y2＝1，∵α是曲線C1：的參數(shù)，∴曲線C1的普通方程為x2＋(y－1)2＝t2， ∵曲線C1與曲線C2有且只有一個(gè)公共點(diǎn)， ∴|t|＝－1或|t|＝＋1， ∴曲線C1的普通方程為x2＋(y－1)2＝(－1)2或x2＋(y－1)2＝(＋1)2. (2)∵t是曲線C1：的參數(shù)， ∴曲線C1是過(guò)點(diǎn)A(0,1)的一條直線， 設(shè)與點(diǎn)P，Q相對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是t1，t2，將代入(x－1)2＋y2＝1， 得t2＋2(sinα－cosα)t＋

11、1＝0， ∴ ∴＋＝＋＝|t1＋t2| ＝2|sin≤2， 當(dāng)α＝時(shí)，Δ＝4(sinα－cosα)2－4＝4>0， ∴＋的最大值為2. 4．[2019·福建質(zhì)檢]在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2＝，點(diǎn)P的極坐標(biāo)為. (1)求C的直角坐標(biāo)方程和P的直角坐標(biāo)； (2)設(shè)l與C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，求|PM|. 解：(1)由ρ2＝得ρ2＋ρ2sin2θ＝2，① 將ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ代入①并整理得， 曲線C的直角坐標(biāo)方程為＋y2＝1. 設(shè)點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為

12、(x，y)，因?yàn)辄c(diǎn)P的極坐標(biāo)為， 所以x＝ρcosθ＝cos＝1，y＝ρsinθ＝sin＝1. 所以點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為(1,1)． (2)解法一：將代入＋y2＝1，并整理得41t2＋110t＋25＝0. Δ＝1102－4×41×25＝8 000＞0， 故可設(shè)方程的兩根為t1，t2， 則t1，t2為A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)，且t1＋t2＝－. 依題意，點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)為， 所以|PM|＝|＝. 解法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)， 則x0＝，y0＝. 由消去t，得y＝x－. 將y＝x－代入＋y2＝1， 并整理得41x2－16x－16＝0， 因?yàn)棣ぃ?－16)2－4×41×(－16)＝2 880>0， 所以x1＋x2＝，x1x2＝－. 所以x0＝，y0＝x0－＝×－＝－， 即M. 所以|PM|＝＝ ＝. 7