《（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 第28講 平面向量的數(shù)量積導(dǎo)學(xué)案 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第五章 平面向量、復(fù)數(shù) 第28講 平面向量的數(shù)量積導(dǎo)學(xué)案 新人教A版（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第28講　平面向量的數(shù)量積 【課程要求】 1．理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義． 2．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系． 3．掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 4．能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個向量的夾角及判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系． 5．會用向量方法解決一些簡單的平面幾何問題及力學(xué)問題． 對應(yīng)學(xué)生用書p78 【基礎(chǔ)檢測】 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)向量在另一個向量方向上的投影為數(shù)量，而不是向量．(　　) (2)兩個向量的數(shù)量積是一個實數(shù)，向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量．(　　) (3)由a·b＝0可

2、得a＝0或b＝0.(　　) (4)(a·b)c＝a(b·c)．(　　) (5)兩個向量的夾角的范圍是.(　　) (6)若a·b>0，則a和b的夾角為銳角；若a·b<0，則a和b的夾角為鈍角．(　　) [答案] (1)√　(2)√　(3)×　(4)×　(5)×　(6)× 2．[必修4p105例4]已知向量a＝(2，1)，b＝(－1，k)，a·(2a－b)＝0，則k＝________． [解析]∵2a－b＝(4，2)－(－1，k)＝(5，2－k)， 由a·(2a－b)＝0，得(2，1)·(5，2－k)＝0， ∴10＋2－k＝0，解得k＝12. [答案]12 3．[必修4p1

3、06T3]已知|a|＝5，|b|＝4，a·b＝－10，則向量b在向量a方向上的投影為________． [解析]由數(shù)量積的定義知，b在a方向上的投影為 |b|cosθ＝＝－2. [答案]－2 4．已知點A(－1，1)，B(1，2)，C(－2，－1)，D(3，4)，則向量在方向上的投影為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.B.C．－D．－ [解析]由題意知＝(2，1)，＝(5，5)，則在方向上的投影為||·cos〈，〉＝＝. [答案]A 5．已知△ABC的三邊長均為1，且＝c，＝a，＝b，則a·b＋b·c＋a·c＝________． [解析]∵〈a，b

4、〉＝〈b，c〉＝〈a，c〉＝120°，|a|＝|b|＝|c|＝1， ∴a·b＝b·c＝a·c＝1×1×cos120°＝－， ∴a·b＋b·c＋a·c＝－. [答案]－ 6．設(shè)向量a＝(－1，2)，b＝(m，4)，如果向量a與b的夾角為銳角，則m的取值范圍是________． [解析]a·b＝－m＋2×4＝8－m>0，且a≠λb(λ>0)， 解得m<8且m≠－2. [答案] (－∞，－2)∪(－2，8) 【知識要點】 1．兩向量的夾角 已知非零向量a，b，作＝a，＝b，則∠AOB叫做a與b的夾角． a與b的夾角的取值范圍是__[0，π]__． 當(dāng)a與b同向時，它們的夾角為

5、__0__；當(dāng)a與b反向時，它們的夾角為__π__；當(dāng)夾角為90°時，我們說a與b垂直，記作a⊥b. 2．向量數(shù)量積的定義 已知兩個非零向量a與b，我們把__|a||b|cos__θ__叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cosθ. 規(guī)定：零向量與任何向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0. 3．向量數(shù)量積的幾何意義 向量的投影：|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，當(dāng)θ為銳角時，它是正值；當(dāng)θ為鈍角時，__它是負(fù)值__；當(dāng)θ為直角時，它是零． a·b的幾何意義：數(shù)量積a·b等于__a的長度|a|__與b在a方向上的投影|b|cosθ的乘積． 4．平面向量

6、數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ為向量a，b的夾角. 結(jié)論 幾何表示 坐標(biāo)表示 模 |a|＝ |a|＝____ 數(shù)量積 a·b＝|a|·|b|cosθ a·b＝x1x2＋y1y2 夾角 cosθ＝ cosθ＝ a⊥b的 充要條件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|與 |a||b|的 關(guān)系 |a·b|≤|a|·|b|(當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時等號成立) |x1x2＋y1y2|≤ · 5.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)a·b＝b·a. (2)(λa)·b＝λ(a·

7、b)＝a·(λb)(λ∈R)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c. 對應(yīng)學(xué)生用書p79 平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算 例1　(1)已知e1，e2是夾角為的兩個單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，則實數(shù)k的值為________． [解析]因為a·b＝(e1－2e2)·(ke1＋e2)＝ke＋(1－2k)(e1·e2)－2e，且|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝－， 所以k＋(1－2k)·－2＝0，解得k＝. [答案] (2)設(shè)四邊形ABCD為平行四邊形，||＝6，||＝4，若點M，N滿足＝3，＝2，則·等于(　　) A．20B．15C．9D．6

8、 [解析]?。剑? ＝－＝－＋， ∴·＝(4＋3)·(4－3) ＝(162－92)＝(16×62－9×42)＝9， 故選C. [答案]C (3)正方形ABCD邊長為2，中心為O，直線l經(jīng)過中心O，交AB于M，交CD于N, P為平面上一點，且2＝λ＋(1－λ)，則·的最小值是(　　) A．－B．－1C．－D．－2 [解析]由題意可得： ·＝ ＝(42－42)＝2－2， 設(shè)2＝，則＝λ＋(1－λ)， ∵λ＋(1－λ)＝1，∴Q，B，C三點共線． 當(dāng)MN與BD重合時，最大，且max＝2， 據(jù)此：(·)min＝－2＝－. [答案]C [小結(jié)]向量數(shù)量積的2種運(yùn)算方法

9、 方法 運(yùn)用提示 適用題型 定義法 當(dāng)已知向量的模和夾角θ時，可利用定義法求解，即a·b＝|a|·|b|cosθ 適用于平面圖形中的向量數(shù)量積的有關(guān)計算問題 坐標(biāo)法 當(dāng)已知向量的坐標(biāo)時，可利用坐標(biāo)法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2 適用于已知相應(yīng)向量的坐標(biāo)求解數(shù)量積的有關(guān)計算問題 1．已知向量a＝(1，－1)，b＝(2，x)，若a·b＝1，則x＝(　　) A．－1B．－C.D．1 [解析]a·b＝1×2＋(－1)×x＝2－x＝1，∴x＝1. [答案]D 2．已知向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2，若＝λ

10、＋，且⊥，則實數(shù)λ的值為________． [解析]∵向量與的夾角為120°，且||＝3，||＝2， ∴·＝||·||cos120°＝2×3×＝－3. ∵＝λ＋，且⊥， ∴·＝·＝·＝0， 即λ·－·＋||2－λ||2＝0， ∴－3λ＋3＋4－9λ＝0，解得λ＝. [答案] 平面向量的夾角與垂直問題 例2　已知a＝(1，2)，b＝(－3，4)，c＝a＋λb(λ∈R)． (1)λ為何值時，|c|最??？此時c與b的位置關(guān)系如何？ (2)λ為何值時，c與a的夾角最小？此時c與a的位置關(guān)系如何？ [解析] (1)c＝(1－3λ，2＋4λ)， |c|2＝(1－3λ)2＋(2＋4

11、λ)2＝5＋10λ＋25λ2＝25＋4， 當(dāng)λ＝－時，|c|最小，此時c＝， b·c＝(－3，4)·＝0，∴b⊥c， ∴當(dāng)λ＝－時，|c|最小，此時b⊥c. (2)設(shè)c與a的夾角為θ，則cosθ＝＝＝， 要c與a的夾角最小，則cosθ最大， ∵0≤θ≤π，故cosθ的最大值為1，此時θ＝0， cosθ＝1，＝1，解之得λ＝0，c＝(1，2)． ∴λ＝0時，c與a的夾角最小，此時c與a平行． [小結(jié)]求平面向量的夾角的方法 ①定義法：cosθ＝，注意θ的取值范圍為[0，π]． ②坐標(biāo)法：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則cosθ＝. ③解三角形法：可以把所求兩向

12、量的夾角放到三角形中進(jìn)行求解． 3．平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m等于(　　) A．－2B．－1C．1D．2 [解析]因為a＝(1，2)，b＝(4，2)，所以c＝ma＋b＝(m，2m)＋(4，2)＝(m＋4，2m＋2)．根據(jù)題意可得＝，所以＝，解得m＝2. [答案]D 平面向量的模及其應(yīng)用 例3　(1)已知a，b是平面內(nèi)兩個互相垂直的單位向量，若向量c滿足(a－c)·(b－c)＝0，則|c|的最大值是(　　) A．1B．2C.D. [解析]由(a－c)·(b－c)＝0，得a·b－(a＋b)·c＋c2＝0，

13、因為a與b垂直，所以a·b＝0，進(jìn)而可得c2＝(a＋b)·c，即|c|2＝|a＋b||c|cosθ，又由a、b為互相垂直的兩個單位向量可知|a＋b|＝.所以|c|＝cosθ，|c|∈，即|c|的最大值為. [答案]C (2)已知|a|＝4，e為單位向量，當(dāng)a，e的夾角為時，a＋e在a－e上的投影為(　　) A．5B. C.D. [解析]由題設(shè)＝＝，(a＋e)·(a－e)＝42－12＝15，所以＝＝. [答案]D [小結(jié)]解答本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解向量在另一個向量上的投影的概念．求解時先求兩個向量a＋e和a－e的模及數(shù)量積的值，然后再運(yùn)用向量的射影的概念，運(yùn)用公式進(jìn)行計算，從而使得問

14、題獲解． 例4　在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點，A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)． (1)求向量，夾角的大小； (2)若動點D滿足||＝1，求|＋＋|的最大值． [解析] (1)因為A(－1，0)，B(0，)，C(3，0)， 所以＝(4，0)，＝(3，－)， 所以cos〈，〉＝＝， 所以向量，的夾角為30°. (2)因為C的坐標(biāo)為(3，0)且|CD|＝1，所以動點D的軌跡為以C為圓心的單位圓，則D的坐標(biāo)滿足參數(shù)方程(θ為參數(shù)且θ∈[0，2π))，所以設(shè)D的坐標(biāo)為(3＋cosθ，sinθ)(θ∈[0，2π))，則|＋＋|＝＝. 因為2cosθ＋sinθ的最大值為＝，所以|

15、＋＋|的最大值為＝＝1＋. [小結(jié)]求解平面向量模的方法 ①寫出有關(guān)向量的坐標(biāo)，利用公式|a|＝即可． ②當(dāng)利用向量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積公式進(jìn)行求解，|a|＝. 4．(2017·全國卷Ⅰ理)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2， |b|＝1，則|a＋2b|＝________． [解析]法一： |a＋2b|＝ ＝ ＝ ＝＝2. 法二：(數(shù)形結(jié)合法) 由|a|＝|2b|＝2知，以a與2b為鄰邊可作出邊長為2的菱形OACB，如圖，則|a＋2b|＝||. 又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2. [答案]2 對應(yīng)學(xué)生用書p80 1．(2019·

16、全國卷Ⅰ理)已知非零向量a，b滿足＝2，且(a－b)⊥b，則a與b的夾角為(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.B.C.D. [解析]由(a－b)⊥b知a·b－b2＝0，又|a|＝2|b|， 所以2|b|2cosθ－|b|2＝0，cosθ＝，所以θ＝，故選B. [答案]B 2．(2019·全國卷Ⅱ理)已知＝(2，3)，＝(3，t)，||＝1，則·＝(　　) A．－3B．－2C．2D．3 [解析]由＝－＝(1，t－3)，＝＝1，得t＝3，則＝(1，0)，·＝(2，3)·(1，0)＝2×1＋3×0＝2.故選C. [答案]C 3．(2017·北京卷理)已知點P在

17、圓x2＋y2＝1上，點A的坐標(biāo)為(－2，0)，O為原點，則·的最大值為________． [解析]法一：由題意知，＝(2，0)，令P(cosα，sinα)，則＝(cosα＋2，sinα)，·＝(2，0)·(cosα＋2，sinα)＝2cosα＋4≤6，當(dāng)且僅當(dāng)cosα＝1，即α＝0，P(1，0)時“＝”成立，故·的最大值為6. 法二：由題意知，＝(2，0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，則·＝(2，0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1，P(1，0)時“＝”成立，故·的最大值為6. 法三：·表示在方向上的投影與||的乘積．當(dāng)點P在點B(1，0)處時，·有最大值，此時·＝2×3＝6. [答案]6 10