2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2.1.2 函數(shù)的最大(小)值學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)
《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2.1.2 函數(shù)的最大(小)值學(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.2.1.2 函數(shù)的最大(?。┲祵W(xué)案 新人教A版必修第一冊(cè)(16頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第2課時(shí) 函數(shù)的最大(小)值 1.理解函數(shù)的最大(小)值的概念及其幾何意義. 2.會(huì)借助單調(diào)性求最值. 3.掌握求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值. 1.最大值 (1)定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足: ①?x∈I,都有f(x)≤M; ②?x0∈I,使得f(x0)=M. 那么,稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值. (2)幾何意義:函數(shù)y=f(x)的最大值是圖象最高點(diǎn)的縱坐標(biāo). 2.最小值 (1)定義:一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿足: ①?x∈I,都有f(x)≥M; ②?x0∈I,使得f(x0)=M. 那么,
2、稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值. (2)幾何意義:函數(shù)y=f(x)的最小值是圖象最低點(diǎn)的縱坐標(biāo). 溫馨提示:(1)最大(小)值必須是一個(gè)函數(shù)值,是值域中的一個(gè)元素. (2)并不是每一個(gè)函數(shù)都有最值,如函數(shù)y=,既沒有最大值,也沒有最小值. (3)最值是函數(shù)的整體性質(zhì),即在函數(shù)的整個(gè)定義域內(nèi)研究其最值. 1.函數(shù)y=f(x)在[-2,2]上的圖象如圖所示,試指出此函數(shù)的最小值、最大值和相應(yīng)的x的值. [答案] f(x)的最小值為-1,此時(shí)x=-2; f(x)的最大值為2,此時(shí)x=1 2.判斷正誤(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”) (1)任何函數(shù)都有最大值或最小值.(
3、 ) (2)函數(shù)的最小值一定比最大值?。? ) (3)函數(shù)f(x)=-x在[2,3)上的最大值為-2,無最小值.( ) (4)函數(shù)最大值對(duì)應(yīng)圖象中的最高點(diǎn),且該點(diǎn)只有一個(gè).( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 題型一圖象法求函數(shù)的最大(小)值 【典例1】 (1)已知函數(shù)f(x)=求f(x)的最大值、最小值; (2)畫出函數(shù)f(x)=的圖象,并寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,函數(shù)的最小值. [思路導(dǎo)引] 作出函數(shù)f(x)的圖象,結(jié)合圖象求解. [解] (1)作出函數(shù)f(x)的圖象(如圖1). 由圖象可知,當(dāng)x=±1時(shí),f(x)取最大值為f(±1)=1;
4、當(dāng)x=0時(shí),f(x)取最小值f(0)=0,故f(x)的最大值為1,最小值為0. (2)f(x)的圖象如圖2所示,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞,0)和[0,+∞),函數(shù)的最小值為f(0)=-1. 圖象法求最大(小)值的步驟 [針對(duì)訓(xùn)練] 1.利用圖象求下列函數(shù)的最大值和最小值. (1)y=-,x∈[1,3]; (2)y=|x+1|-|x-2|. [解] (1)作出函數(shù)圖象如右圖所示,該函數(shù)的圖象既有最高點(diǎn),也有最低點(diǎn)(1,-2),所以函數(shù)y=-,x∈[1,3]有最大值-,最小值-2; (2)y=|x+1|-|x-2| = 作出函數(shù)的圖象,由右圖可知,
5、y∈[-3,3].所以函數(shù)的最大值為3,最小值為-3.
題型二利用單調(diào)性求函數(shù)的最大(小)值
【典例2】 已知函數(shù)f(x)=x+.
(1)證明:f(x)在(1,+∞)內(nèi)是增函數(shù);
(2)求f(x)在[2,4]上的最值.
[解] (1)證明:設(shè)?x1,x2∈(1,+∞),且x1 6、[2,4]時(shí),f(2)≤f(x)≤f(4).
又f(2)=2+=,f(4)=4+=,
∴f(x)在[2,4]上的最大值為,最小值為.
函數(shù)的最值與單調(diào)性的關(guān)系
(1)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b]上是增函數(shù),在區(qū)間[b,c)上是減函數(shù),則函數(shù)y=f(x),x∈(a,c)在x=b處有最大值f(b).
(2)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b]上是減函數(shù),在區(qū)間[b,c)上是增函數(shù),則函數(shù)y=f(x),x∈(a,c)在x=b處有最小值f(b).
(3)如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上是增(減)函數(shù),則在區(qū)間[a,b]的左、右端點(diǎn)處分別取得最小(大)值、最大(小)值.
7、
[針對(duì)訓(xùn)練]
2.已知函數(shù)f(x)=,x∈[2,5],判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性,并求函數(shù)f(x)的最大值和最小值.
[解] 任取2≤x1 8、最小值.
(2)求二次函數(shù)f(x)=x2-2ax+2在[2,4]上的最小值.
[思路導(dǎo)引] 找出f(x)的對(duì)稱軸,分析對(duì)稱軸與給定區(qū)間的關(guān)系,結(jié)合單調(diào)性求最值.
[解] (1)函數(shù)f(x)=3x2-12x+5=3(x-2)2-7,函數(shù)f(x)=3(x-2)2-7的圖象如圖所示,由圖可知,函數(shù)f(x)在[0,2)上遞減,在[2,3]上遞增,并且f(0)=5,f(2)=-7,f(3)=-4,所以在[0,3]上,f(x)max=f(0)=5,f(x)min=f(2)=-7.
(2)∵函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是x=a,
∴當(dāng)a<2時(shí),f(x)在[2,4]上是增函數(shù),
∴f(x)min=f(2) 9、=6-4a.
當(dāng)a>4時(shí),f(x)在[2,4]上是減函數(shù),
∴f(x)min=f(4)=18-8a.
當(dāng)2≤a≤4時(shí),f(x)min=f(a)=2-a2.
∴f(x)min=
[變式] 本例(2)條件變?yōu)?,若f(x)=x2-2ax+2,當(dāng)x∈[2,4]時(shí),f(x)≤a恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
[解] 在[2,4]內(nèi),f(x)≤a恒成立,
即a≥x2-2ax+2在[2,4]內(nèi)恒成立,
即a≥f(x)max,x∈[2,4].
又f(x)max=
①當(dāng)a≤3時(shí),a≥18-8a,解得a≥2,此時(shí)有2≤a≤3.
②當(dāng)a>3時(shí),a≥6-4a,解得a≥,此時(shí)有a>3.
綜上有實(shí)數(shù) 10、a的取值范圍是[2,+∞).
求解二次函數(shù)最值問題的順序
(1)確定對(duì)稱軸與拋物線的開口方向、作圖.
(2)在圖象上標(biāo)出定義域的位置.
(3)觀察單調(diào)性寫出最值.
[針對(duì)訓(xùn)練]
3.已知函數(shù)f(x)=x2+2x+a(x∈[0,2])有最小值-2,則f(x)的最大值為( )
A.4 B.6 C.1 D.2
[解析] 函數(shù)f(x)=x2+2x+a的對(duì)稱軸為x=-1,在[0,2]上為增函數(shù),所以f(x)的最小值為f(0)=a=-2,f(x)的最大值為f(2)=8+a=6.
[答案] B
4.已知函數(shù)f(x)=x2-6x+8,x∈[1,a],并且f(x)的最小值為f
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