《（新課標）2021版高考數(shù)學一輪總復習 第一章 集合、常用邏輯用語 第2講 命題及其關系、充分條件與必要條件導學案 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（新課標）2021版高考數(shù)學一輪總復習 第一章 集合、常用邏輯用語 第2講 命題及其關系、充分條件與必要條件導學案 新人教A版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第2講　命題及其關系、充分條件與必要條件　 【課程要求】 1．理解命題的概念及命題構成，了解“若p，則q”形式命題的逆命題、否命題與逆否命題，會分析四種命題的相互關系． 2．理解必要條件、充分條件與充要條件的意義． 對應學生用書p4 【基礎檢測】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)“對頂角相等”是命題．(　　) (2)命題“若p，則q”的否命題是“若p，則綈q”．(　　) (3)當q是p的必要條件時，p是q的充分條件．(　　) (4)當p是q的充要條件時，也可說成q成立當且僅當p成立．(　　)

2、 (5)若p是q的充分不必要條件，則綈p是綈q的必要不充分條件．(　　) [答案] (1)√　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ 2．[選修2－1p8T3]下列命題是真命題的是(　　) A．矩形的對角線相等 B．若a＞b，c＞d，則ac＞bd C．若整數(shù)a是素數(shù)，則a是奇數(shù) D．命題“若x2＞0，則x＞1”的逆否命題 [答案]A 3．[選修2－1p12T2(2)]“x－3＝0”是“(x－3)(x－4)＝0”的____________條件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) [答案]充分不必要 4．命題“若x2>y2，則x>y”的否命

3、題是(　　) A．若xy2，則xy2，則x>y”的否命題是“若x2≤y2，則x≤y”． [答案]D 5．若x∈R，則“x>1”是“<1”的(　　) A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件 [解析]當x>1時，<1成立，而當<1時，x>1或x<0，所以“x>1”是“<1”的充分不必要條件，選A. [答案]A 6．已知命題：“若x≥0，y≥0，則xy≥0”，則原命題、逆命題、否命題、

4、逆否命題這四個命題中，真命題的個數(shù)是(　　) A．1B．2C．3D．4 [解析]由題得原命題“若x≥0，y≥0，則xy≥0”是真命題，所以其逆否命題也是真命題． 逆命題為：“若xy≥0，則x≥0，y≥0”，是假命題，所以否命題也是假命題，所以四個命題中，真命題的個數(shù)為2. [答案]B 【知識要點】 1．命題 用語言、符號或式子表達的，可以__判斷真假__的陳述句叫做命題，其中判斷為真的語句叫做__真命題__，判斷為假的語句叫做__假命題__． 2．四種命題及其關系 (1)四種命題間的相互關系 (2)四種命題間的真假關系 ①兩個命題互為逆否命題，它們有__相同__的真假

5、性； ②兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性__沒有關系__． 3．充要條件 充分條件與必要條件的定義 從集合角度理解 若p?q，則p是q的__充分__條件，q是p的__必要__條件 p成立的對象的集合為A，q成立的對象的集合為B p是q的__充分不必要__條件 p?q且q?/　p A是B的__真子集__ p是q的__必要不充分__條件 p?/　q且q?p B是A的__真子集__ p是q的__充要__條件 p?q A＝B p是q的__既不充分也不必要__條件 p?/　q且q?/　p A，B互不__包含__

6、 集合與充要條件的關系 對應學生用書p4 四種命題及其相互關系 例1　(1)命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．若xy，則x2>y2D．若x≥y，則x2≥y2 [解析]根據(jù)原命題和其逆否命題的條件和結論的關系，得命題“若x2>y2，則x>y”的逆否命題是“若x≤y，則x2≤y2”． [答案]B (2)(多選)下列命題是真命題的是(　　) A．“若a21，則ax2－2a

7、x＋a＋3>0的解集為R”的逆否命題 D．“若x(x≠0)為有理數(shù)，則x為無理數(shù)”的逆否命題 [解析]對于A，否命題為“若a2≥b2，則a≥b”，為假命題；對于B，逆命題為“面積相等的三角形是全等三角形”，為假命題；對于C，當a>1時，Δ＝－12a<0，原命題為真，從而其逆否命題為真；對于D，原命題為真命題，從而其逆否命題為真命題． [答案]CD [小結](1)寫一個命題的其他三種命題時，需注意： ①對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫； ②若命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提． (2)判斷一個命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個命題是假命題，只需舉出反例． (

8、3)根據(jù)“原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假”這一性質，當一個命題直接判斷不易進行時，可轉化為判斷其等價命題的真假． 1．命題“已知a>1，若x>0，則ax>1”的否命題為(　　) A．已知00，則ax>1 B．已知a>1，若x≤0，則ax>1 C．已知a>1，若x≤0，則ax≤1 D．已知01”是大前提，在四種命題中不能改變；“x>0”是條件，“ax>1”是結論．由于命題“若p，則q”的否命題為“若綈p，則綈q”，故該命題的否命題為“已知a>1，若x≤0，則ax≤1”．故選C. [答案]

9、C 2．設原命題：“若a＋b≥2，則a，b中至少有一個不小于1”，則原命題與其逆命題的真假情況是(　　) A．原命題真，逆命題假 B．原命題假，逆命題真 C．原命題與逆命題均為真命題 D．原命題與逆命題均為假命題 [解析]可以考慮原命題的逆否命題，即“a，b都小于1，則a＋b<2”，顯然為真．其逆命題，即“若a，b中至少有一個不小于1，則a＋b≥2”為假，如a＝1.2，b＝0.2，則a＋b<2. [答案]A 充分、必要條件的判斷 例2　(1)對于直線m，n和平面α，β，m⊥α成立的一個充分條件是(　　) A．m⊥n，n∥αB．m∥β，β⊥α C．m⊥β，n⊥β，n⊥αD．

10、m⊥n，n⊥β，β⊥α [解析]對于選項C，因為m⊥β，n⊥β，所以m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，故選C. [答案]C (2)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項和為Sn，則“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的(　　) A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件 [解析]法一：∵數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列， ∴S4＝4a1＋6d，S5＝5a1＋10d，S6＝6a1＋15d， ∴S4＋S6＝10a1＋21d，2S5＝10a1＋20d. 若d＞0，則21d＞20d，10a1＋21d＞10a1＋20d， 即S4＋S6＞2S5. 若S4＋S

11、6＞2S5，則10a1＋21d＞10a1＋20d， 即21d＞20d， ∴d＞0.∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要條件． 故選C. 法二：∵S4＋S6＞2S5?S4＋S4＋a5＋a6＞2(S4＋a5)?a6＞a5?a5＋d＞a5?d＞0， ∴“d＞0”是“S4＋S6＞2S5”的充要條件． 故選C. [答案]C [小結]充分條件、必要條件的三種判定方法 (1)定義法：根據(jù)p?q，q?p進行判斷，適用于定義、定理判斷性問題． (2)集合法：根據(jù)p，q成立的對象的集合之間的包含關系進行判斷，多適用于命題中涉及字母范圍的推斷問題． (3)等價轉化法：根據(jù)一個命題與其逆否

12、命題的等價性，進行判斷，適用于條件和結論帶有否定性詞語的命題． 3．已知條件p：x>1或x<－3，條件q：5x－6>x2，則綈p是綈q的(　　) A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件 [解析]由5x－6>x2，得2B”是“sin A>sin B”的(　　) A．充分不必要條件B．必要不充分條件 C．充要條件D．既不充分也不必要條件 [解析]由正弦定理知＝＝2R(R為△

13、ABC外接圓半徑)．若sinA>sinB，則>，即a>b，所以A>B；若A>B，則a>b，所以2RsinA>2RsinB，即sinA>sinB，所以“A>B”是“sin A>sin B”成立的充要條件． [答案]C 根據(jù)充分、必要條件求參數(shù)的取值范圍 例3　(1)已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥6}．若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件，則實數(shù)m的取值范圍是__________． [解析]由y＝x＋在上單調遞減，在(1，2)上單調遞增，得2≤y<，∴A＝. 由x＋m2≥6，得x≥6－m2，∴B＝{x|x≥6－m2}． ∵“x∈A”是“x∈B”的充分不必要條件， ∴AB，∴

14、6－m2≤2，解得m≥2或m≤－2， 故實數(shù)m的取值范圍是∪. [答案]∪ (2)已知集合A＝，B＝{x|－13，即m>2. [答案] [小結]充分條件、必要條件的應用，一般表現(xiàn)在參數(shù)問題的求解上．解題時需注意： (1)把充分條件、必要條件或充要條件轉化為集合之間的關系，然后根據(jù)集合之間的關系列出關于參數(shù)的不等式(或不等式組)求解； (2)要注意區(qū)間端點值的檢驗．

15、 5．若“x>2m2－3”是“－12m2－3”是“－12，q：x2－2x＋1－a2≥0(a>0)，若q是p的必要不充分條件，則實數(shù)a的取值范圍是____________． [解析]由題可得p：x>3或x<－1, q：x2－2x＋1－a2≥0

16、，[x－(1－a)]·[x－(1＋a)]≥0， ∵a＞0，∴1－a＜1＋a，解得x≥1＋a或x≤1－a. 因為q是p的必要不充分條件， 故解得0＜a≤2. [答案] (0，2] 充要條件的證明 例4　設數(shù)列的前n項和為Sn，已知條件p：對?n，m∈N*，當n>m時，總有Sn－Sm＝Sn－m＋md( 其中d為常數(shù))，條件q：數(shù)列是等差數(shù)列． 求證：條件p是條件q的充要條件． [解析] (充分性) ∵當n＞m時，總有Sn－Sm＝Sn－m＋md， ∴當n≥2時，Sn－Sn－1＝S1＋(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d，且n＝1也成立， ∴當n≥2時，an－an－1＝a1＋

17、(n－1)d－a1－(n－2)d＝d， ∴數(shù)列{an}是等差數(shù)列； (必要性) ∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列， ∴當n＞m時，Sn－Sm－Sn－m＝am＋1＋am＋2＋…＋an－Sn－m ＝(n－m)am＋1＋d－ ＝(n－m)(am＋1－a1)＝m(n－m)d， ∴Sn－Sm＝Sn－m＋m(n－m)d， ∴條件p：“對?n，m∈N*，當n>m時，總有Sn－Sm＝Sn－m＋md( 其中d為常數(shù))”是條件q: “數(shù)列是等差數(shù)列”的充要條件． [小結]充分條件、必要條件以其獨特的表達形式成為高考命題的熱點．高考主要考查充分條件、必要條件的判斷，常以選擇題的形式出現(xiàn)，難度不大，屬于基礎

18、題．充分條件、必要條件作為一個重要載體，考查的數(shù)學知識面較廣，幾乎涉及數(shù)學知識各個方面． 對應學生用書p6 (2019·全國卷Ⅱ理)設α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是(　　) A．α內有無數(shù)條直線與β平行 B．α內有兩條相交直線與β平行 C．α，β平行于同一條直線 D．α，β垂直于同一平面 [解析]由面面平行的判定定理知：α內有兩條相交直線都與β平行是α∥β的充分條件； 由面面平行的性質定理知，若α∥β，則α內任意一條直線都與β平行，所以α內有兩條相交直線都與β平行是α∥β的必要條件． 故α∥β的充要條件是α內有兩條相交直線與β平行． 故選B. [答案]B 9