第十五章 波與粒子
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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. ------------------------------------------author ------------------------------------------date 第十五章 波與粒子 第十五章 波與粒子 第十五章 波與粒子 15-1 在恒星演化過(guò)程中,當(dāng)能源耗盡時(shí),星體將在萬(wàn)有引力作用下發(fā)生坍縮,而成為密度極高的星體。同時(shí),由
2、于先前的核燃燒,這種星體的溫度仍然很高,因而發(fā)出白光,故得名為白矮星。天狼星的一個(gè)伴星,是人們發(fā)現(xiàn)的第一顆白矮星,如果測(cè)得其最大單色輻出度所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)為,試根據(jù)維恩位移律估計(jì)它的表面溫度。 解 根據(jù)維恩位移律: 可以計(jì)算這顆白矮星的表面溫度,為: 15-2 三個(gè)大小相同并可看作為黑體的球體,測(cè)得其最大單色輻出度所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)分別為、和,試求它們的溫度以及它們?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)向空間輻射的能量之比。 解 根據(jù)維恩位移律可以求得它們的溫度,分別為: ,,. 根據(jù)斯特藩-玻耳茲曼定律:和上面已經(jīng)得到的溫度,就可以求出它們的輻出度。輻出度是表示該黑體在單位時(shí)間內(nèi)從其表面單位面積上輻射出的能量,因?yàn)?/p>
3、三個(gè)球體大小相同,它們?cè)趩挝粫r(shí)間內(nèi)向空間輻射的能量之比,就等于它們的輻出度之比,即: 15-3 試由普朗克公式在短波近似情況下導(dǎo)出維恩公式,在長(zhǎng)波近似情況下導(dǎo)出瑞利-金斯公式。 解:黑體的單色輻出度可以用普朗克公式表示: (1) (1)在短波近似情況下,有:?, 所以: 這樣就可以在普朗克公式中略去1,而成為下面的形式: (2) 令:、,并代入上式,得: 這正是維恩公式。 (2)在長(zhǎng)波近似情況下,有:,所以: 于是,普朗克公式稱為下面的形式: 這正是瑞利-金斯公式。 15-4什么是光電效應(yīng)?光電效應(yīng)有哪些重要規(guī)律?在解釋這些規(guī)律時(shí)經(jīng)典理論遇到什么困難
4、?在這些困難中,你認(rèn)為最突出的是什么? 答:金屬中的自由電子在光的照射下,吸收光能而逸出金屬表面,這種現(xiàn)象稱為光電效應(yīng)。 光電效應(yīng)有下列四條重要規(guī)律:(1)單位時(shí)間內(nèi)逸出金屬表面的光電子數(shù)與入射光強(qiáng)成正比。(2)光電子的初動(dòng)能隨入射光的頻率上升而線性增大,與入射光強(qiáng)無(wú)關(guān)。(3)如果入射光的頻率低于該金屬的紅限,則無(wú)論入射光強(qiáng)多大,都不會(huì)使這種金屬產(chǎn)生光電效應(yīng)。(4)只要入射光的頻率大于該金屬的紅限,當(dāng)光照射到這種金屬的表面時(shí),幾乎立即產(chǎn)生光電子,而無(wú)論光強(qiáng)多小。 從波動(dòng)論看,作為電磁波的光波投射到金屬表面上,引起金屬中自由電子的受迫振動(dòng),當(dāng)自由電子從入射光波中吸收到足夠的能量后,就可以克
5、服金屬表面的約束而逸出,成為光電子,用這個(gè)觀點(diǎn)解釋光電效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)規(guī)律,所遇到的主要困難有以下幾點(diǎn)。(1)光電子初動(dòng)能問(wèn)題:從上述觀點(diǎn)看,光電子初動(dòng)能應(yīng)正比于入射光的強(qiáng)度,光強(qiáng)度又正比于光波振幅的平方,所以光電子的初動(dòng)能應(yīng)正比于入射光的振幅的平方。而實(shí)際上光電子的初動(dòng)能正比于入射光的頻率,與入射光的強(qiáng)度無(wú)關(guān),與人射光的振幅無(wú)關(guān)。 (2)光電效應(yīng)的紅限問(wèn)題:按照波動(dòng)論,光強(qiáng)度正比于光波振幅的平方,如果入射光的頻率較低,總可以用增大振幅的方法,使入射光達(dá)到足夠的強(qiáng)度,使自由電子獲得足夠的能量而逸出金屬表面。所以,按波動(dòng)論的觀點(diǎn),光電效應(yīng)不應(yīng)該存在紅限。而實(shí)際上每一種金屬都存在確定的紅限值,當(dāng)入
6、射光的頻率低于該金屬的紅限時(shí),無(wú)論光強(qiáng)多大,都無(wú)電子逸出。(3)發(fā)生光電效應(yīng)的時(shí)間問(wèn)題:根據(jù)波動(dòng)論的解釋,自由電子從入射光波中獲得能量需要一個(gè)積累的過(guò)程,特別是當(dāng)入射光強(qiáng)度較弱時(shí),更需要較長(zhǎng)的時(shí)間積累能量。而實(shí)際上光電子出現(xiàn)的時(shí)間均小于s,且與人射光的強(qiáng)弱無(wú)關(guān)。 其中最突出的問(wèn)題是:光電效應(yīng)的紅限問(wèn)題和發(fā)生光電效應(yīng)的時(shí)間問(wèn)題。 15-5 試求波長(zhǎng)為下列數(shù)值的光子的能量、動(dòng)量和質(zhì)量:(1)波長(zhǎng)為的紅外線;(2)波長(zhǎng)為的可見(jiàn)光;(3)波長(zhǎng)為的紫外線;(4)波長(zhǎng)為的X射線;(5)波長(zhǎng)為的射線。 解:(1)對(duì)于波長(zhǎng)為的紅外線,能量為:; 動(dòng)量為:;質(zhì)量為:. (2)對(duì)于波長(zhǎng)為的可見(jiàn)光,能量為
7、: 動(dòng)量為:;質(zhì)量為: (3)對(duì)于波長(zhǎng)為的紫外線,能量為:; 動(dòng)量為:;質(zhì)量為: (4)對(duì)于波長(zhǎng)為的X射線,能量為:; 動(dòng)量為:;質(zhì)量為: (5)對(duì)于波長(zhǎng)為的射線,能量為:; 動(dòng)量為:;質(zhì)量為: 15-6 已知金屬鎢的逸出功為4.38 eV,若用波長(zhǎng)為429 nm的紫光照射其表面,問(wèn)能否產(chǎn)生光電子?若在鎢的表面涂敷一層銫,其逸出功變?yōu)?.61 eV,結(jié)果又將如何?若能產(chǎn)生光電子,求光電子的最大初動(dòng)能。 解:入射光子的能量為: 金屬鎢的逸出功為: 因?yàn)?,所以不能產(chǎn)生光電子。 當(dāng)在鎢表面涂敷銫,逸出功變?yōu)椋? 這時(shí),所以能夠產(chǎn)生光電子。根據(jù)光電效應(yīng)的愛(ài)因斯坦方程: 光電
8、子的最大出動(dòng)能為: 15-7 金屬鉀的紅限為,若用波長(zhǎng)為436 nm的光照射,求光電子的最大初速度。 解:根據(jù)紅限的定義,可以求得金屬鉀的逸出功: 光電子的最大初動(dòng)能為: 光電子的最大初速度為: 15-8 金屬鈉的紅限為,求:(1)金屬鈉的逸出功;(2)用波長(zhǎng)為500 nm的光照射時(shí)的遏止電勢(shì)差。 解:(1)金屬鈉的逸出功為: (2)因?yàn)槎糁闺妱?shì)差表征了光電子的最大初動(dòng)能,故有: 將此關(guān)系代入光電效應(yīng)的愛(ài)因斯坦方程,得: 于是有: 所以,遏止電勢(shì)差為 -0.666 V 。 15-9 什么是康普頓效應(yīng)?康普頓效應(yīng)有些什么規(guī)律?經(jīng)典理論是如何解釋光散射的? 答:1.
9、康普頓效應(yīng)及其規(guī)律 (1)短波射線(如x射線、Y射線)經(jīng)物質(zhì)散射后,在散射線中除有與入射線同波長(zhǎng)的成分外,還有比入射線波長(zhǎng)更長(zhǎng)的射線產(chǎn)生出來(lái)。這就是康普頓效應(yīng)。波動(dòng)論對(duì)這個(gè)效應(yīng)同樣無(wú)法解釋,而再次陷入困難的境地。 (2)康普頓效應(yīng)的核心之點(diǎn)就是在散射波中存在波長(zhǎng)變長(zhǎng)的部分。但從波動(dòng)論看,入射波的散射是物質(zhì)中的帶電粒子在入射波的作用下發(fā)生受迫振動(dòng),而向四周發(fā)出的輻射。我們知道,穩(wěn)定的受迫振動(dòng)與驅(qū)動(dòng)力同頻率,所以散射波一定與入射波同頻率,不可能發(fā)生波長(zhǎng)變長(zhǎng)的現(xiàn)象。 2.光子論對(duì)康普頓效應(yīng)的解釋 (1)從光子論看,入射光是能量為的光子流,進(jìn)入物質(zhì)內(nèi)的光子將與物
10、質(zhì)粒子發(fā)生彈性碰撞,碰撞過(guò)程遵從能量守恒定律和動(dòng)量守恒定律。光子與點(diǎn)陣離子和自由電子的彈性碰撞,將分別得到波長(zhǎng)不變和波長(zhǎng)變長(zhǎng)的散射波成分,從而圓滿地解釋了康普頓效應(yīng)。 (2)認(rèn)為碰撞前自由電子是靜止的,其總能量等于靜能,碰撞后其總能量變?yōu)?;碰撞前光子的?dòng)量為,碰撞后變?yōu)椤_@些能量和動(dòng)量的表示都是從相對(duì)論關(guān)系中得到的。由于運(yùn)用了這些關(guān)系,康普頓效應(yīng)才得到圓滿解釋,所以說(shuō),康普頓效應(yīng)是一種相對(duì)論效應(yīng)。 15-10 在康普頓效應(yīng)中,入射X射線的波長(zhǎng)是,求在散射角、和的方向上散射線的波長(zhǎng)。 解:根據(jù)波長(zhǎng)改變公式: 散射線的波長(zhǎng)可以表示為: 對(duì)于: 對(duì)于: 對(duì)于: 15-1
11、1 波長(zhǎng)為的X射線被某散射體所散射,求在散射角為的方向上散射X射線的波長(zhǎng)和引起這種散射的反沖電子所獲得的動(dòng)能。 解 在散射角為的方向上散射X射線的波長(zhǎng)為: 反沖電子所獲得的動(dòng)能等于X光子損失的能量,即: 15-12 波長(zhǎng)為的入射光子與散射物質(zhì)中的自由電子發(fā)生碰撞,碰撞后電子的速度達(dá)到了 。求散射光子的波長(zhǎng)和散射角。 解 先求波長(zhǎng)的改變量,再求散射光子的波長(zhǎng),最后求散射角。 求波長(zhǎng)的改變量, 反沖電子的質(zhì)量: 反沖電子獲得的動(dòng)能為: 反沖電子獲得的動(dòng)能就等于光子損失的能量,而光子損失的能量與波長(zhǎng)的改變量有如下關(guān)系: 則得: 由波長(zhǎng)改變量即可求得散射光子的波長(zhǎng),為:
12、 由波長(zhǎng)改變量可求得散射角: 即得: 15-13 如何理解光的波、粒兩重性問(wèn)題? 答:光子論被黑體輻射、光電效應(yīng)和康普頓效應(yīng)以及其他實(shí)驗(yàn)所證實(shí),說(shuō)明它具有一定的正確性。而早已被大量實(shí)驗(yàn)證實(shí)了的光的波動(dòng)論以及其他經(jīng)典物理理論的正確性, 也是無(wú)可非議的。因此,在對(duì)光的本性的解釋上,不應(yīng)該在光子論和波動(dòng)論之間進(jìn)行取舍,而應(yīng)該把它們同樣地看作是光的本性的不同側(cè)面的描述。光在傳播過(guò)程中表現(xiàn)出波的特性,而在與物質(zhì)相互作用的過(guò)程中表現(xiàn)出粒子的特性。這就是說(shuō),光具有波和粒子這兩方面的特性,這稱為光的波粒二象性。 既是粒子,也是波,這在人們的經(jīng)典觀念中是不容易接受的。但是, 用統(tǒng)計(jì)的觀點(diǎn)可以把兩者統(tǒng)
13、一起來(lái)。光是由具有一定能量、動(dòng)量和質(zhì)量的微觀粒子組成的,在它們運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中,在空間某處發(fā)現(xiàn)它們的概率卻遵從波動(dòng)的規(guī)律。 實(shí)際上,這里所說(shuō)的粒子和波,都是人們經(jīng)典觀念中對(duì)物質(zhì)世界認(rèn)識(shí)上的一種抽象和近似。這種抽象和近似是不能用來(lái)對(duì)微觀世界的事物作出恰當(dāng)?shù)拿枋龅模驗(yàn)槲⒂^世界的事物有著與宏觀世界的事物不同的性質(zhì)和規(guī)律。從這個(gè)意義上說(shuō),光既不是粒子,也不是波,即既不是經(jīng)典觀念中的粒子,也不是經(jīng)典觀念中的波。 15-14 從粒子散射實(shí)驗(yàn)中可以得到哪些關(guān)于原子結(jié)構(gòu)的信息? 答:粒子是氦原子核,是由放射性物質(zhì)發(fā)射出來(lái)的帶正電的微觀粒子,粒子的散射實(shí)驗(yàn)表示了。粒子與原子的相互作用,可以為原子的結(jié)構(gòu)提供有
14、用的信息: a)絕大多數(shù)。粒子幾乎按原方向出射,偏轉(zhuǎn)角只有一這表示原子內(nèi)部是空曠的,粒子從這個(gè)空間穿越,幾乎不受到原子中電荷的作用; b)個(gè)別粒子發(fā)生了大角度散射,甚至被反彈的現(xiàn)象表明,原子中心存在一個(gè)很小的堅(jiān)實(shí)體,它集中了原子的幾乎全部質(zhì)量,并且?guī)в姓姾桑@個(gè)堅(jiān)實(shí)體就是原子核。同時(shí)可以推斷,既然原子核帶正電,那么原子中等量的負(fù)電荷一定分布在原子核周圍的空曠空間里。 根據(jù)粒子散射實(shí)驗(yàn),可以得到原子的核型結(jié)構(gòu)模型假設(shè);反之,根據(jù)原子的核型結(jié)構(gòu)模型假設(shè),又可以從理論上計(jì)算出散射。粒子數(shù)隨散射角的分布規(guī)律,并且由計(jì)算所得的規(guī)律與實(shí)驗(yàn)觀測(cè)的結(jié)果的一致性,進(jìn)一步證實(shí)了原子
15、的核型模型假設(shè)的正確性。 15-15原子的核型結(jié)構(gòu)模型與經(jīng)典理論存在哪些矛盾? 答:原子的核型結(jié)構(gòu)模型與經(jīng)典概念是不相容的,表現(xiàn)在下面兩點(diǎn): a)按照經(jīng)典理論,電子繞原子核旋轉(zhuǎn)必定要輻射電磁波,并且所發(fā)射的電波是連續(xù)譜。實(shí)際上,通常情況下的原子并不輻射電磁波,只有從外界吸收了能量之后,才可能發(fā)射電磁波,并且發(fā)射的電磁波頻譜是分立譜,不是連續(xù)譜; b)隨著系統(tǒng)自身能量的不斷減少,電子繞核運(yùn)動(dòng)的軌道半徑將隨之減小,最后電子必定落在原子核上,可見(jiàn),按照經(jīng)典理論,原子的核型結(jié)構(gòu)不是穩(wěn)定結(jié)構(gòu)。實(shí)際上,正常情況下的原于是十分穩(wěn)定的。 15-16 計(jì)算氫原子光譜的萊曼系譜線和巴耳
16、末系譜線的波長(zhǎng)范圍。 解:(1)巴耳末系譜線的波長(zhǎng)范圍: 巴耳末系可以表示為: 當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)與長(zhǎng)波限的波數(shù): 波長(zhǎng)為: 當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)于短波限的波數(shù): 波長(zhǎng)為: (2)萊曼系譜線的波長(zhǎng)范圍: 萊曼系可以表示為: 當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)與長(zhǎng)波限的波數(shù): 波長(zhǎng)為: 當(dāng)時(shí),對(duì)應(yīng)于短波限的波數(shù): 波長(zhǎng)為: 15-17 在氫原子的紫外光譜中有一條波長(zhǎng)為121.57 nm的譜線,問(wèn)這條譜線屬于哪個(gè)線系?它是原子在哪兩個(gè)能級(jí)之間躍遷產(chǎn)生的? 解:波長(zhǎng)為121.57 nm的譜線屬于萊曼系,是從能級(jí)到能級(jí)的躍遷產(chǎn)生的。 15-18 依照玻爾理論求出處于基態(tài)的氫原子的下列各量:量子數(shù)、軌道半徑、角動(dòng)
17、量和動(dòng)量、電子所受的力、電子的角速度、速率、加速度、動(dòng)能、勢(shì)能以及總能量。 解:量子數(shù): ; 軌道半徑: ; 角動(dòng)量:; 動(dòng)量:; 速率:; 角速度:; 受力: 加速度: ; 動(dòng)能: 勢(shì)能:; 總能量: 15-19 計(jì)算的氫原子的直徑和電子的運(yùn)動(dòng)速率。 解 將代入半徑的表達(dá)式,得: 原子的直徑為: 動(dòng)量為: 所以: 15-20 若氫原子處于激發(fā)態(tài)的平均時(shí)間為,問(wèn)氫原子中電子在的軌道上運(yùn)行多少圈才躍遷到基態(tài)并放出光子? 解:由以下兩式:
18、 可以求得電子的運(yùn)動(dòng)速率: 當(dāng)原子處于時(shí),電子的運(yùn)動(dòng)速率為: 電子在此軌道上運(yùn)行一周所用的時(shí)間為: 電子在激發(fā)態(tài)運(yùn)行的平均周數(shù)為: 15-21 求處于以下兩種狀態(tài)的氫原子的電離能 (以eV為單位): (1)基態(tài); (2)?的激發(fā)態(tài)。 解:(1)基態(tài)的電離能,就是將電子從基態(tài)()激發(fā)到完全自由態(tài)()所需要的能量,可如下求得 (2) 的激發(fā)態(tài)的電離能: 15-22 一個(gè)具有5.6 eV動(dòng)能的中子,與一個(gè)處于基態(tài)的靜止氫原子相碰撞,問(wèn)這種碰撞是彈性碰撞,還是非彈性碰撞? 解:當(dāng)具有一定動(dòng)能的中子與處于基態(tài)的靜止氫原子相碰撞時(shí),如果中子的動(dòng)能的大小正好等于氫原子從基
19、態(tài)躍遷到某一激發(fā)態(tài)所需要的能量,碰撞后該中子的動(dòng)能就全部 被氫原子吸收,而使氫原子從基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài),中子和氫原子的動(dòng)能都等于零。這樣的碰撞是完全非彈性的,否則碰撞就是彈性的。 氫原子從基態(tài)躍遷到最低的激發(fā)態(tài)()所需要的能量是: 因?yàn)橹凶拥膭?dòng)能, 所以,碰撞不足以使氫原子從基態(tài)躍遷到激發(fā)態(tài),碰撞是完全彈性的。 15-23 求在溫度為3.0 K的液氦中冷凍著的中子的德布羅意波長(zhǎng)。 解:將冷凍中子系統(tǒng)看成理想氣體系統(tǒng),該系統(tǒng)處于平衡態(tài)時(shí),中子的平均動(dòng)能為: 中子的動(dòng)量為: 于是可求得中子的波長(zhǎng)為: 15-24 分別計(jì)算動(dòng)能為0.10 MeV和1.0 GeV的電子的德布羅意波長(zhǎng)。 解
20、 設(shè)電子的靜質(zhì)量為,根據(jù)相對(duì)論關(guān)系: 和 可以解得: 和 于是可以求得電子的波長(zhǎng):? (1) 對(duì)于動(dòng)能為的電子,將動(dòng)能和其他有關(guān)量代入式(1),可求得德布羅意波長(zhǎng),為:。 對(duì)于動(dòng)能為的電子,由于,式(1)可以簡(jiǎn)化為: (2)所以,其德布羅意波長(zhǎng)為: 15-25 如果電子和光子的波長(zhǎng)都是0.20 nm,那么它們的動(dòng)量和能量各為多大? 解:(1)動(dòng)量:由公式: 可以看到,無(wú)論什么粒子,只要波長(zhǎng)相等,其動(dòng)量的大小就相同。所以電子和光子的動(dòng)量都為: (2)能量:對(duì)于光子,與波長(zhǎng)l相對(duì)應(yīng)的能量是其總能量,因?yàn)樗鼪](méi)有靜能。 對(duì)于電子,與波長(zhǎng)相對(duì)應(yīng)的能量是其動(dòng)能。 15-26 電子運(yùn)動(dòng)速率為,其測(cè)量準(zhǔn)確度為0.01%,若要確定這個(gè)電子的位置,求位置的最小不確定量。 解:根據(jù): 電子位置的最小不確定量為: 15-27 若電子和質(zhì)量為10.0 g的子彈都以的速率運(yùn)動(dòng),并且速率的測(cè)量準(zhǔn)確度都為0.01%,試比較它們的位置的最小不確定量。 解:上面已經(jīng)求得了電子位置的最小不確定量為 子彈位置的最小不確定量為 兩者相比可見(jiàn),由于子彈的質(zhì)量比電子大得多,所以子彈的位置完全可以準(zhǔn)確測(cè)定。 --------------------------------------------------
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