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2019-2020學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué) 第三章 函數(shù)的概念與性質(zhì) 3.1.1.1 函數(shù)的概念學(xué)案 新人教A版必修第一冊

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1、第1課時 函數(shù)的概念 1.理解函數(shù)的概念. 2.了解構(gòu)成函數(shù)的三要素. 3.能正確使用函數(shù)、區(qū)間符號. 1.函數(shù)的概念 (1)函數(shù)的定義 設(shè)A,B是非空的實數(shù)集,如果對于集合A中的任意一個數(shù)x,按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f,在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù),記作y=f(x),x∈A. (2)函數(shù)的定義域與值域 函數(shù)y=f(x)中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域,與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.顯然,值域是集合B的子集. (3)對應(yīng)關(guān)系f:除解析式、圖象表格

2、外,還有其他表示 對應(yīng)關(guān)系的方法,引進符號f統(tǒng)一表示對應(yīng)關(guān)系. 溫馨提示:(1)當A,B為非空數(shù)集時,符號“f:A→B”表示A到B的一個函數(shù). (2)集合A中的數(shù)具有任意性,集合B中的數(shù)具有唯一性. (3)符號“f”它表示對應(yīng)關(guān)系,在不同的函數(shù)中f的具體含義不一樣. 2.區(qū)間概念(a,b為實數(shù),且a

3、s確定嗎? (3)下落后的某一時刻,能同時對應(yīng)兩個距離嗎? [答案] (1)0≤t≤3,0≤s≤44.1 (2)確定 (3)不能 2.判斷正誤(正確的打“√”,錯誤的打“×”) (1)區(qū)間表示數(shù)集,數(shù)集一定能用區(qū)間表示.(  ) (2)數(shù)集{x|x≥2}可用區(qū)間表示為[2,+∞].(  ) (3)根據(jù)函數(shù)的定義,定義域中的一個x可以對應(yīng)著不同的y.(  ) (4)函數(shù)的定義域和值域一定是無限集合.(  ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 題型一函數(shù)關(guān)系的判斷 【典例1】 (1)判斷下列對應(yīng)是不是從集合A到集合B的函數(shù). ①A=N,B=N*,對應(yīng)法則f

4、:對集合A中的元素取絕對值與B中元素對應(yīng); ②A={-1,1,2,-2},B={1,4},對應(yīng)法則f:x→y=x2,x∈A,y∈B; ③A={-1,1,2,-2},B={1,2,4},對應(yīng)法則f:x→y=x2,x∈A,y∈B; ④A={三角形},B={x|x>0},對應(yīng)法則f:對A中元素求面積與B中元素對應(yīng). (2)設(shè)M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤y≤2},函數(shù)y=f(x)的定義域為M,值域為N,對于下列四個圖象,不可作為函數(shù)y=f(x)的圖象的是(  ) [思路導(dǎo)引] 在“非空數(shù)集”A中“任取x”,在對應(yīng)關(guān)系“f”作用下,B中“有唯一”的“數(shù)f(x)”與之“對應(yīng)”

5、,稱f:A→B為集合A到集合B的一個函數(shù). [解析] (1)①對于A中的元素0,在f的作用下得0,但0不屬于B,即A中的元素0在B中沒有元素與之對應(yīng),所以不是函數(shù). ②對于A中的元素±1,在f的作用下與B中的1對應(yīng),A中的元素±2,在f的作用下與B中的4對應(yīng),所以滿足A中的任一元素與B中唯一元素對應(yīng),是“多對一”的對應(yīng),故是函數(shù). ③對于A中的任一元素,在對應(yīng)關(guān)系f的作用下,B中都有唯一的元素與之對應(yīng),如±1對應(yīng)1,±2對應(yīng)4,所以是函數(shù). ④集合A不是數(shù)集,故不是函數(shù). (2)由函數(shù)定義可知,任意作一條直線x=a,則與函數(shù)的圖象至多有一個交點,結(jié)合選項可知C中圖象不表示y是x的函數(shù)

6、. [答案] (1)見解析 (2)C (1)判斷對應(yīng)關(guān)系是否為函數(shù)的2個條件 ①A、B必須是非空數(shù)集. ②A中任意一元素在B中有且只有一個元素與之對應(yīng). (2)根據(jù)圖形判斷對應(yīng)是否為函數(shù)的方法 ①任取一條垂直于x軸的直線l. ②在定義域內(nèi)平行移動直線l. ③若l與圖形有且只有一個交點,則是函數(shù);若在定義域內(nèi)沒有交點或有兩個或兩個以上的交點,則不是函數(shù). [針對訓(xùn)練] 1.若集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤3},則下列圖形給出的對應(yīng)中能構(gòu)成從M到N的函數(shù)f:M→N的是(  ) [解析] A中的對應(yīng)不滿足函數(shù)的存在性,即存在x∈M,但N中無與之對

7、應(yīng)的y;B、C均不滿足函數(shù)的唯一性,只有D正確. [答案] D 2.下列對應(yīng)為從集合A到集合B的一個函數(shù)的是______.(填序號) ①A=R,B={x|x>0},f:x→y=|x|; ②A=Z,B=N*,f:x→y=x2; ③A=Z,B=Z,f:x→y=; ④A=[-1,1],B={0},f:x→y=0. [解析]?、僦校螦中的元素0在集合B中沒有元素與之對應(yīng),②中同樣是集合A中的元素0在集合B中沒有元素與之對應(yīng),對于③,集合A中負整數(shù)沒有意義. [答案]?、? 題型二用區(qū)間表示數(shù)集 【典例2】 把下列數(shù)集用區(qū)間表示,并在數(shù)軸上表示出來. (1){x|x≥3}; (

8、2){x|x<-5}; (3){x|-4≤x<2或3

9、表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點. [針對訓(xùn)練] 3.已知全集U=R,A={x|-15}=(-∞,-1]∪(5,+∞). [答案] (-∞,-1]∪(5,+∞) 4.用區(qū)間表示不等式{x|x2-x-6≥0}的解集為______________________. [解析] 不等式x2-x-6=(x-3)(x+2)≥0,解得x≥3或x≤-2,所以不等式的解集為{x|x≤-2或x≥3}=(-∞,-2]∪[3,+∞). [答案] (-∞,-2]∪[3,+∞) 題型三求函數(shù)的定義域 【

10、典例3】 求下列函數(shù)的定義域. (1)y=2+; (2)y=(x-1)0+; (3)y=·; (4)y=-. [思路導(dǎo)引] 函數(shù)定義域即是使自變量x有意義的取值范圍. [解] (1)當且僅當x-2≠0,即x≠2時,函數(shù)y=2+有意義,所以這個函數(shù)的定義域為{x|x≠2}. (2)函數(shù)有意義,當且僅當解得x>-1,且x≠1,所以這個函數(shù)的定義域為{x|x>-1且x≠1}. (3)函數(shù)有意義,當且僅當解得1≤x≤3,所以這個函數(shù)的定義域為{x|1≤x≤3}. (4)要使函數(shù)有意義,自變量x的取值必須滿足即即解得-3≤x≤2且x≠-1,即函數(shù)定義域為{x|-3≤x≤2且x≠-1}.

11、 [變式] (1)將本例(3)中“y=·”改為“y=”,則其定義域是什么? (2)將本例(3)中“y=·”改為“y=”,則其定義域是什么? [解] (1)要使函數(shù)有意義,只需(3-x)(x-1)≥0,解得1≤x≤3,即定義域為{x|1≤x≤3}. (2)要使函數(shù)有意義,則解得1

12、f(x)是實際問題的解析式,則應(yīng)符合實際問題,使實際問題有意義. [針對訓(xùn)練] 5.求下列函數(shù)的定義域: (1)y=; (2)y=; (3)y=. [解] (1)要使函數(shù)有意義,需x2-2x-3≥0,即(x-3)(x+1)≥0,所以x≥3或x≤-1,即函數(shù)的定義域為{x|x≥3或x≤-1}. (2)要使函數(shù)有意義,則|x|-x≠0, 即|x|≠x,得x<0,所以函數(shù)的定義域為(-∞,0). (3)要使函數(shù)有意義,則解得-≤x≤,且x≠±3,即定義域為{x|-≤x≤,且x≠±3}. 課堂歸納小結(jié) 1.函數(shù)的本質(zhì):兩個非空數(shù)集間的一種確定的對應(yīng)關(guān)系.由于函數(shù)的定義域和對應(yīng)

13、關(guān)系一旦確定,值域隨之確定. 2.定義域是一個集合,所以需要寫成集合的形式,在已知函數(shù)解析式又對x沒有其他限制時,定義域就是使函數(shù)式有意義的x的集合. 3.對區(qū)間的幾點認識 (1)區(qū)間是集合,是數(shù)集,區(qū)間的左端點必須小于右端點. (2)用數(shù)軸表示區(qū)間時,用實心點表示包括在區(qū)間內(nèi)的端點,用空心點表示不包括在區(qū)間內(nèi)的端點. (3)在用區(qū)間表示集合時,開和閉不能混淆. (4)“∞”是一個符號,不是一個數(shù),它表示數(shù)的變化趨勢. 1.函數(shù)f(x)=的定義域為(  ) A.[1,2)∪(2,+∞) B.(1,+∞) C.[1,2) D.[1,+∞) [解析] 由題意可知,要

14、使函數(shù)有意義,需滿足即x≥1且x≠2. [答案] A 2.函數(shù)y=+的定義域為(  ) A.{x|x≤1} B.{x|x≥0} C.{x|x≥1或x≤-1} D.{x|0≤x≤1} [解析] 由題意可知解得0≤x≤1. [答案] D 3.函數(shù)f(x)=的定義域為(  ) A.{x|-2≤x≤1} B.{x|-2

15、解析] 結(jié)合區(qū)間的定義知,用區(qū)間表示為[-1,0)∪(1,2]. [答案] [-1,0)∪(1,2] 5.已知矩形的周長為1,它的面積S是其一邊長為x的函數(shù),則其定義域為________(結(jié)果用區(qū)間表示). [解析] 由實際意義知x>0,又矩形的周長為1,所以x<,所以定義域為. [答案]  課后作業(yè)(十五) 復(fù)習(xí)鞏固 一、選擇題 1.若函數(shù)y=f(x)的定義域M={x|-2≤x≤2},值域為N={y|0≤y≤2},則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是(  ) [解析] A中定義域是{x|-2≤x≤0},不是M={x|-2≤x≤2},C中圖象不表示函數(shù)關(guān)系,D中值域不是N={y

16、|0≤y≤2}. [答案] B 2.集合A={x|0≤x≤4},B={y|0≤y≤2},下列不表示從A到B的函數(shù)的是(  ) A.f:x→y=x B.f:x→y=x C.f:x→y=x D.f:x→y= [解析] 對于選項C,當x=4時,y=>2不合題意.故選C. [答案] C 3.下列對應(yīng)關(guān)系或關(guān)系式中,是A到B的函數(shù)的是(  ) A.x2+y2=1,x∈A,y∈B B.A={1,2,3,4},B={0,1},對應(yīng)關(guān)系如圖 C.A=R,B=R,f:x→y= D.A=Z,B=Z,f:x→y= [解析] A錯誤,x2+y2=1可化為y=±,顯然對任意x∈A,y值不一定

17、唯一.B正確,符合函數(shù)的定義.C錯誤,2∈A,在B中找不到與之相對應(yīng)的數(shù).D錯誤,-1∈A,在B中找不到與之相對應(yīng)的數(shù). [答案] B 4.函數(shù)f(x)=的定義域為M,g(x)=的定義域為N,則M∩N=(  ) A.{x|x≥-2} B.{x|-2≤x<2} C.{x|-2

18、義域為(  ) A.R B.{x|x>0} C.{x|00, ∴x<5,又兩邊之和大于第三邊, ∴2x>10-2x,x>, ∴此函數(shù)的定義域為. [答案] D 二、填空題 6.下列說法正確的是________(填所有正確說法的序號). ①函數(shù)的定義域可以是空集; ②函數(shù)的定義域和值域確定后,對應(yīng)關(guān)系也就確定了; ③函數(shù)的定義域、值域都是非空的數(shù)集; ④函數(shù)值域中的每一個值在定義域中都有唯一確定的數(shù)與之對應(yīng). [解析] 由函數(shù)定義知,定義域和值域都是非空的數(shù)集,故①錯誤,③正確;函數(shù)的定義域

19、和值域確定后,可以有不同的對應(yīng)關(guān)系,如y=|x|,y=x2,故②錯誤;函數(shù)值域中的每一個值在定義域中有一個或多個確定的數(shù)與之對應(yīng),故④錯誤. [答案]?、? 7.函數(shù)y=的定義域是________. [解析] 由已知得7+6x-x2≥0,即x2-6x-7≤0,解得-1≤x≤7,故函數(shù)的定義域為[-1,7]. [答案] [-1,7] 8.設(shè)集合A={x|x2-8x-20<0},B=[5,13),則?R(A∩B)=__________________(用區(qū)間表示). [解析] ∵A={x|x2-8x-20<0}={x|-2

20、∞,5)∪[10,+∞). [答案] (-∞,5)∪[10,+∞) 三、解答題 9.求下列函數(shù)的定義域. (1)y=; (2)y=+. [解] (1)由題意得 化簡得即 故函數(shù)的定義域為{x|x<0且x≠-3}. (2)由題意可得 解得 故函數(shù)的定義域為{x|x≤7且x≠±}. 10.為了保護環(huán)境,某公交公司決定購買10臺全新的混合動力公交車,現(xiàn)有A、B兩種型號,其中每臺的價格,年省油量如下表: 型號 A B 價格(萬元/臺) a b 節(jié)省的油量(萬升/年) 2.4 2 經(jīng)調(diào)查,購買一臺A型車比購買一臺B型車多20萬元,購買兩臺A型車比購買三臺B型車

21、少60萬元. (1)請求出a和b; (2)若購買A型車x臺,每年節(jié)省汽油y升,試寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式,并寫出函數(shù)的定義域. [解] (1)根據(jù)題意得:,解得. (2)設(shè)購買A型車x臺,則購買B型車(10-x)臺,根據(jù)題意得y=2.4x+2(10-x)=0.4x+20 其中0≤x≤10,x∈N. 答:每年節(jié)約汽油y升與購買A型車x臺的函數(shù)關(guān)系式為y=0.4x+20(0≤x≤10,且x∈N). 綜合運用 11.函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=a的交點個數(shù)有(  ) A.必有一個 B.一個或兩個 C.至多一個 D.可能兩個以上 [解析] 當a在f(x)定義域內(nèi)時,有一個

22、交點,否則無交點. [答案] C 12.給出四個結(jié)論:①函數(shù)就是定義域到值域的對應(yīng)關(guān)系;②若函數(shù)的定義域只含有一個元素,則值域也只有一個元素;③因f(x)=5(x∈R),這個函數(shù)值不隨x的變化范圍而變化,所以f(0)=5也成立;④定義域和對應(yīng)關(guān)系確定后,函數(shù)值域也就確定了.其中正確的有(  ) A.1個 B.2個 C.3個 D.4個 [解析] 由函數(shù)的概念可知,①不正確,其余三個結(jié)論都正確. [答案] C 13.在下列從集合A到集合B的對應(yīng)關(guān)系中,不能確定y是x的函數(shù)的是(  ) ①A={x|x∈Z},B={y|y∈Z},對應(yīng)法則f:x→y=; ②A={x|x>0,x∈R

23、},B={y|y∈R},對應(yīng)法則f:x→y2=3x; ③A={x|x∈R},B={y|y∈R},對應(yīng)法則f:x→x2+y2=25; ④A=R,B=R,對應(yīng)法則f:x→y=x2; ⑤A={(x,y)|x∈R,y∈R},B=R,對應(yīng)法則f:(x,y)→s=x+y; ⑥A={x|-1≤x≤1,x∈R},B={0},對應(yīng)法則f:x→y=0. A.①⑤⑥ B.②④⑤ C.②③④ D.①②③⑤ [解析]?、僭趯?yīng)法則f下,A中不能被3整除的數(shù)在B中沒有元素與之對應(yīng),所以不能確定y是x的函數(shù).②在對應(yīng)法則f下,A中的數(shù)在B中有兩個數(shù)與之對應(yīng),所以不能確定y是x的函數(shù).③在對應(yīng)法則f下,A中

24、的數(shù)(除去5與-5外)在B中有兩個數(shù)或沒有數(shù)與之對應(yīng),所以不能確定y是x的函數(shù).⑤A不是數(shù)集,所以不能確定y是x的函數(shù).④⑥顯然滿足函數(shù)的特征,故能確定y是x的函數(shù).故選D. [答案] D 14.已知區(qū)間[-2a,3a+5],則a的取值范圍為________. [解析] 由題意可知3a+5>-2a,解得a>-1.故a的取值范圍是(-1,+∞). [答案] (-1,+∞) 15.函數(shù)y=+的定義域為____________________(用區(qū)間表示). [解析] 使根式有意義的實數(shù)x的集合是{x|3-2x-x2≥0}即{x|(3-x)(x+1)≥0}={x|-1≤x≤3},使分式有意義的實數(shù)x的集合是{x|x≠±2},所以函數(shù)y=+的定義域是{x|-1≤x≤3}∩{x|x≠±2}={x|-1≤x≤3,且x≠2}. [答案] [-1,2)∪(2,3] 16.已知函數(shù)y=的定義域是R,求實數(shù)m的取值范圍. [解]?、佼攎=0時,y=,其定義域是R. ②當m≠0時,由定義域為R可知,mx2-6mx+m+8≥0對一切實數(shù)x均成立,于是有 解得0

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