《（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第33講 等比數(shù)列及其前n項和導(dǎo)學(xué)案 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標(biāo)）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第33講 等比數(shù)列及其前n項和導(dǎo)學(xué)案 新人教A版（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第33講　等比數(shù)列及其前n項和 【課程要求】 1．掌握等比數(shù)列的定義與性質(zhì)、通項公式、前n項和公式等． 2．掌握等比數(shù)列的判斷方法． 3．掌握等比數(shù)列求和的方法． 對應(yīng)學(xué)生用書p89 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 【基礎(chǔ)檢測】 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)滿足an＋1＝qan(n∈N*，q為常數(shù))的數(shù)列{an}為等比數(shù)列．(　　) (2)G為a，b的等比中項?G2＝ab.(　　) (3)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，bn＝a2n－1＋a2n，則數(shù)列{bn}也是等比數(shù)列．(　　) (4)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)

2、列{lnan}是等差數(shù)列．(　　) (5)數(shù)列{an}的通項公式是an＝an，則其前n項和為Sn＝.(　　) (6)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列．(　　) [答案] (1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)× 2．[必修5p51例3]已知{an}是等比數(shù)列，a2＝2，a5＝，則公比q＝______． [解析]由題意知q3＝＝，∴q＝. [答案] 3．[必修5p54A組T8]在9與243中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)的和為________． [解析]設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知， 243＝9×q3

3、，q3＝27，∴q＝3. ∴插入的兩個數(shù)分別為9×3＝27，27×3＝81. 所以這兩個數(shù)的和為108. [答案]108 4．已知1，a，b，c，4成等比數(shù)列，其中a，b，c為實數(shù)，則b＝________． [解析]∵1，a，b，c，4成等比數(shù)列，設(shè)其公比為q， 則b2＝1×4＝4，且b＝1×q2>0，∴b＝2， [答案]2 5．一種專門占據(jù)內(nèi)存的計算機(jī)病毒開機(jī)時占據(jù)內(nèi)存1KB，然后每3分鐘自身復(fù)制一次，復(fù)制后所占內(nèi)存是原來的2倍，那么開機(jī)________分鐘，該病毒占據(jù)內(nèi)存64MB(1MB＝210KB)． [解析]由題意可知，病毒每復(fù)制一次所占內(nèi)存的大小構(gòu)成一等比數(shù)列{

4、an}，且a1＝2，q＝2，∴an＝2n， 則2n＝64×210＝216，∴n＝16. 即病毒共復(fù)制了16次． ∴所需時間為16×3＝48(分鐘)． [答案]48 【知識要點】 1．等比數(shù)列的定義 一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母__q__表示(q≠0)． 2．等比數(shù)列的通項公式 設(shè)等比數(shù)列{an}的首項為a1，公比為q，則它的通項an＝a1·qn－1(n∈N*)． 3．等比中項 若G2＝a·b(ab≠0)，那么G叫做a與b的等比中項． 4．等比數(shù)列的前n項和公式 等比

5、數(shù)列{an}的公比為q(q≠0)，其前n項和為Sn， 當(dāng)q＝1時，Sn＝na1； 當(dāng)q≠1時，Sn＝＝. 5．等比數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項公式的推廣：an＝am·qn－m(n，m∈N*)． (2)若{an}為等比數(shù)列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak·al＝am·an． (3)若{an}，{bn}(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比數(shù)列． (4)等比數(shù)列前n項和的性質(zhì) 公比不為－1的等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，則Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比數(shù)列，其公比為__qn__． 對應(yīng)學(xué)生用書p9

6、0 等比數(shù)列基本量的運算 例1　(1)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，則＝________． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 [解析]∵ ∴ 由①除以②可得＝2， 解得q＝，代入①得a1＝2， ∴an＝2×＝， ∴Sn＝＝4， ∴＝＝2n－1. [答案]2n－1 (2)已知{an}為等比數(shù)列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，則a1＋a10＝(　　) A．－7B．－5C．7D．5 [解析]由題得a4a7＝－8，∵a4＋a7＝2，∴a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4， 即或∴或 所以a1＋a10＝－8＋(－8)＝

7、－7或a1＋a10＝1＋(－2)3＝－7. [答案]A [小結(jié)]1.等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)可迎刃而解． 2．等比數(shù)列求和公式中，用Sn＝時，注意前提是q≠1. 1．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＝，a3a5＝4(a4－1)，則a2等于(　　) A．2B．1C.D. [解析]由{an}為等比數(shù)列，得a3a5＝a， 又a3a5＝4(a4－1)，所以a＝4(a4－1)， 解得a4＝2.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 則由a4＝a1q3，得2＝q3，解得q＝2， 所以a2＝a1

8、q＝.故選C. [答案]C 等比數(shù)列的性質(zhì) 例2　(1)在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a5a11＝4，a6a12＝8，則a8a9＝________ [解析]由等比數(shù)列的性質(zhì)得a＝a5a11＝4，a＝a6a12＝8， 因為數(shù)列的各項均為正， 所以a8＝2，a9＝2， 所以a8a9＝4. [答案]4 (2)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，Sn為其前n項和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，則S12等于(　　) A．40B．60C．32D．50 [解析]由等比數(shù)列的性質(zhì)可知，數(shù)列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比數(shù)列，即數(shù)列4，8，S9－S6，S1

9、2－S9是等比數(shù)列，因此S12＝4＋8＋16＋32＝60，故選B. [答案]B [小結(jié)](1)在等比數(shù)列的基本運算問題中，一般利用通項公式與前n項和公式，建立方程組求解，但如果能靈活運用等比數(shù)列的性質(zhì)“若m＋n＝p＋q，則有aman＝apaq”，可以減少運算量． (2)等比數(shù)列的項經(jīng)過適當(dāng)?shù)慕M合后構(gòu)成的新數(shù)列也具有某種性質(zhì)，例如等比數(shù)列Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等比數(shù)列，公比為qk(q≠－1)． 2．已知等比數(shù)列{an}，且a6＋a8＝4，則a8(a4＋2a6＋a8)的值為(　　) A．2B．4C．8D．16 [解析]∵a6＋a8＝4，∴a8(a4＋2a6＋a8)

10、＝a8a4＋2a8a6＋a＝(a6＋a8)2＝16.故選D. [答案]D 等比數(shù)列的判定與證明 例3　已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ為實數(shù)，n為正整數(shù)． (1)證明：對任意實數(shù)λ，數(shù)列{an}不是等比數(shù)列； (2)證明：當(dāng)λ≠－18時，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列． [解析] (1)假設(shè)存在一個實數(shù)λ，使{an}是等比數(shù)列， 則有a＝a1a3，即＝λ ?λ2－4λ＋9＝λ2－4λ?9＝0，矛盾． 所以對任意實數(shù)λ，{an}不是等比數(shù)列． (2)bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]

11、＝(－1)n＋1 ＝－(－1)n·(an－3n＋21)＝－bn. 又λ≠－18，所以b1＝－(λ＋18)≠0. 由上式知bn≠0，所以＝－(n∈N*)． 故當(dāng)λ≠－18時，數(shù)列{bn}是以－(λ＋18)為首項，－為公比的等比數(shù)列． [小結(jié)]等比數(shù)列的四種常用判定方法 (1)定義法：若＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列． (2)中項公式法：若數(shù)列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列． (3)通項公式法：若數(shù)列通項公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{

12、an}是等比數(shù)列． (4)前n項和公式法：若數(shù)列{an}的前n項和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0，1)，則{an}是等比數(shù)列． 其中，(1)，(2)是判定等比數(shù)列的常用方法，常用于證明，(3)，(4)常用于選擇題、填空題中的判定． 若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可． 3．(2016·全國卷Ⅲ理)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝1＋λan，其中λ≠0. (1)證明{an}是等比數(shù)列，并求其通項公式； (2)若S5＝，求λ. [解析] (1)由題意得a1＝S1＝1＋λa1， 故λ≠1，a1＝，a1≠0. 由Sn＝1＋λan，

13、Sn＋1＝1＋λan＋1，得an＋1＝λan＋1－λan， 即an＋1(λ－1)＝λan，由a1≠0，λ≠0得an≠0， 所以＝. 因此{(lán)an}是首項為，公比為的等比數(shù)列， 于是an＝. (2)由(1)得Sn＝1－. 由S5＝得1－＝，即＝. 解得λ＝－1. 等比數(shù)列前n項和的最值問題 例4　在等比數(shù)列中，an>0，公比q∈，且a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，又a3與a5的等比中項為2. (1)求數(shù)列的通項公式； (2)設(shè)bn＝log2an，數(shù)列的前n項和為Sn，當(dāng)＋＋…＋最大時，求n的值． [解析] (1)∵a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，∴a＋2a3

14、a5＋a＝25， 又an>0，∴a3＋a5＝5. 又a3與a5的等比中項為2， ∴a3a5＝4，而q∈， ∴a3>a5，a3＝4，a5＝1，∴q＝，a1＝16， ∴an＝16×，即an＝25－n. (2)bn＝log2an＝5－n，∴bn＋1－bn＝－1. ∴是以b1＝4為首項，－1為公差的等差數(shù)列， ∴Sn＝，∴＝， ∴當(dāng)n≤8時，>0；當(dāng)n＝9時，＝0； 當(dāng)n>9時，<0. ∴當(dāng)n＝8或9時，＋＋…＋最大． 4．已知數(shù)列滿足a1＝13，3an＋1＋an－4＝0，Sn為其前n項和，則使不等式|Sn－n－9|>成立的n的最大值為(　　) A．7B．8C．9D．10

15、 [解析]由3an＋1＋an－4＝0可得3＋＝0， 即＝－，所以數(shù)列是等比數(shù)列， 又a1＝13，所以a1－1＝12， 故＝ ＝＝9>， 解得1≤n≤8(n∈N*)， 所以n的最大值為8.選B. [答案]B 對應(yīng)學(xué)生用書p91 1．(2019·全國卷Ⅲ理)已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的前4項和為15，且a5＝3a3＋4a1，則a3＝(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A．16B．8 C．4D．2 [解析]設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的公比為q，則 解得∴a3＝a1q2＝4，故選C. [答案]C 2．(2018·全國卷Ⅲ理)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通項公式； (2)記Sn為{an}的前n項和．若Sm＝63，求m. [解析] (1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝. 由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解． 若an＝2n－1，則Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6. 綜上，m＝6. 11