《(浙江專用版)2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(二)學(xué)案 新人教A版必修2》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(浙江專用版)2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(二)學(xué)案 新人教A版必修2(16頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、(浙江專用版)2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.3 三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(二)學(xué)案 新人教A版必修2
學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握誘導(dǎo)公式五、六的推導(dǎo),并能應(yīng)用于解決簡單的求值、化簡與證明問題.
2.對誘導(dǎo)公式一至六,能作綜合歸納,體會出六組公式的共性與個性,培養(yǎng)由特殊到一般的數(shù)學(xué)推理意識和能力.
3.繼續(xù)體會知識的“發(fā)生”“發(fā)現(xiàn)”過程,培養(yǎng)研究問題、發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的能力.
知識點一 誘導(dǎo)公式五
完成下表,并由此總結(jié)角α,角-α的三角函數(shù)值間的關(guān)系.
(1)sin=,cos=,sin=cos;
(2)sin=,cos=,sin=cos;
(3)sin=,cos=
2、,sin=cos.
由此可得
誘導(dǎo)公式五
sin=cos?α,
cos=sin?α,
知識點二 誘導(dǎo)公式六
思考 能否利用已有公式得出+α的正弦、余弦與角α的正弦、余弦之間的關(guān)系?
答案 以-α代替公式五中的α得到
sin=cos(-α),
cos=sin(-α).
由此可得
誘導(dǎo)公式六
sin=cos α,
cos=-sinα.
知識點三 誘導(dǎo)公式的推廣與規(guī)律
1.sin=-cos α,cos=-sin α,
sin=-cos α,cos=sin α.
2.誘導(dǎo)公式記憶規(guī)律:
公式一~四歸納:α+2kπ(k∈Z),-α,π±α的三角函數(shù)值,等
3、于角α的同名三角函數(shù)值,前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號,簡記為:“函數(shù)名不變,符號看象限”.
公式五~六歸納:±α的正弦(余弦)函數(shù)值,分別等于α的余弦(正弦)函數(shù)值,前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號,簡記為:“函數(shù)名改變,符號看象限”或“正變余、余變正、符號象限定”.
六組誘導(dǎo)公式可以統(tǒng)一概括為“k·±α(k∈Z)”的誘導(dǎo)公式.
記憶口訣:奇變偶不變,符號看象限.其中“奇、偶”是指k·±α(k∈Z)中k的奇偶性,當(dāng)k為奇數(shù)時,正弦變余弦,余弦變正弦;當(dāng)k為偶數(shù)時,函數(shù)名不變.“符號”看的應(yīng)該是誘導(dǎo)公式中,把α看成銳角時原函數(shù)值的符號,而不是α函數(shù)值的符號.
1.
4、誘導(dǎo)公式五、六中的角α只能是銳角.( × )
提示 誘導(dǎo)公式五、六中的角α是任意角.
2.誘導(dǎo)公式五、六與誘導(dǎo)公式一~四的區(qū)別在于函數(shù)名稱要改變.( √ )
提示 由誘導(dǎo)公式一~六可知其正確.
3.sin=±cos α.( × )
提示 當(dāng)k=2時,sin=sin(π-α)=sin α.
4.口訣“符號看象限”指的是把角α看成銳角時變換后的三角函數(shù)值的符號.( × )
提示 應(yīng)看原三角函數(shù)值的符號.
類型一 利用誘導(dǎo)公式求值
例1 已知cos=,≤α≤,求sin的值.
考點 誘導(dǎo)公式五、六
題點 誘導(dǎo)公式六
解 ∵α+=+,
∴sin=sin=cos=.
反
5、思與感悟 對于這類問題,關(guān)鍵是要能發(fā)現(xiàn)它們的互余、互補(bǔ)關(guān)系:如-α與+α,+α與-α,-α與+α等互余,+θ與-θ,+θ與-θ等互補(bǔ),遇到此類問題,不妨考慮兩個角的和,要善于利用角的變換來解決問題.
跟蹤訓(xùn)練1 已知sin=,求cos的值.
考點 誘導(dǎo)公式五、六
題點 誘導(dǎo)公式五
解 ∵+α+-α=,
∴-α=-.
∴cos=cos
=sin=.
類型二 利用誘導(dǎo)公式證明三角恒等式
例2 求證:=-tan α.
考點 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
題點 綜合運用誘導(dǎo)公式證明
證明 ∵左邊=
=
=
==-
=-tan α=右邊.
∴原等式成立.
反思與感悟 利用誘
6、導(dǎo)公式證明等式問題,關(guān)鍵在于公式的靈活應(yīng)用,其證明的常用方法:
(1)從一邊開始,使得它等于另一邊,一般由繁到簡.
(2)左右歸一法:即證明左右兩邊都等于同一個式子.
(3)湊合法:即針對題設(shè)與結(jié)論間的差異,有針對性地進(jìn)行變形,以消除其差異,簡言之,即化異為同.
跟蹤訓(xùn)練2 (2017·佳木斯檢測)求證:=.
考點 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
題點 綜合運用誘導(dǎo)公式證明
證明 右邊=
=
=
=
===左邊,
所以原等式成立.
類型三 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
例3 已知f(α)=.
(1)化簡f(α);
(2)若角A是△ABC的內(nèi)角,且f(A)=,求tan A-sin
7、A的值.
考點 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
題點 綜合運用誘導(dǎo)公式求值
解 (1)f(α)==cos α.
(2)因為f(A)=cos A=,
又A為△ABC的內(nèi)角,
所以由平方關(guān)系,得sin A==,
所以tan A==,
所以tan A-sin A=-=.
反思與感悟 解決此類問題時,可先用誘導(dǎo)公式化簡變形,將三角函數(shù)的角統(tǒng)一后再用同角三角函數(shù)關(guān)系式,這樣可避免公式交錯使用而導(dǎo)致的混亂.
跟蹤訓(xùn)練3 已知sin α是方程5x2-7x-6=0的根,α是第三象限角,求
·tan2(π-α)的值.
考點 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
題點 綜合運用誘導(dǎo)公式求值
解 方程5x2-7x-6
8、=0的兩根為x1=-,x2=2,
由α是第三象限角,得sin α=-,則cos α=-,
∴·tan2(π-α)
=·tan2α
=·tan2α=-tan2α
=-=-.
1.已知sin α=,則cos等于( )
A. B. C.- D.-
考點 誘導(dǎo)公式五、六
題點 誘導(dǎo)公式六
答案 C
解析 cos=-sin α=-.
2.若cos(2π-α)=,則sin等于( )
A.- B.-
C. D.±
考點 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
題點 綜合運用誘導(dǎo)公式求值
答案 A
解析 ∵cos(2π-α)=cos(-α)=cos α=,
∴s
9、in=-cos α=-.
3.已知sin=,則cos的值為( )
A. B.- C. D.-
考點 誘導(dǎo)公式五、六
題點 誘導(dǎo)公式五
答案 C
解析 cos=cos
=sin=.
4.已知tan θ=2,則等于( )
A.2 B.-2 C.0 D.
考點 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
題點 綜合運用誘導(dǎo)公式求值
答案 B
解析?。?
===-2.
5.已知sin(5π-θ)+sin=,求sin4+cos4的值.
考點 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
題點 綜合運用誘導(dǎo)公式求值
解 ∵sin(5π-θ)+sin
=sin(π-θ)+sin
=sin θ+cos
10、 θ=,
∴sin θcos θ=[(sin θ+cos θ)2-1]
=×=,
∴sin4+cos4=cos4θ+sin4θ
=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ
=1-2×2=.
1.誘導(dǎo)公式的分類及其記憶方式
(1)誘導(dǎo)公式分為兩大類:
①α+k·2π,-α,α+(2k+1)π(k∈Z)的三角函數(shù)值,等于α的同名三角函數(shù)值,前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號,為了便于記憶,可簡單地說成“函數(shù)名不變,符號看象限”.
②α+,-α+的三角函數(shù)值,等于α的異名三角函數(shù)值,前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號,記憶口訣為“函數(shù)名改變,符號看象限”
11、.
(2)以上兩類公式可以歸納為:k·+α(k∈Z)的三角函數(shù)值,當(dāng)k為偶數(shù)時,得α的同名函數(shù)值;當(dāng)k為奇數(shù)時,得α的異名函數(shù)值,然后在前面加上一個把α看成銳角時原函數(shù)值的符號.
2.利用誘導(dǎo)公式求任意角的正弦、余弦函數(shù)值,常采用“負(fù)角化正角,大角化小角,最后轉(zhuǎn)化成內(nèi)的三角函數(shù)值”這種方式求解.
用誘導(dǎo)公式把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為0到之間的角的三角函數(shù)的基本步驟:
一、選擇題
1.已知cos α=,則sin等于( )
A. B.- C. D.-
考點 誘導(dǎo)公式五、六
題點 誘導(dǎo)公式六
答案 A
解析 sin=cos α=.
2.已知sin=,那么cos α等于
12、( )
A.- B.-
C. D.
考點 誘導(dǎo)公式五、六
題點 誘導(dǎo)公式六
答案 C
解析 sin=cos α,故cos α=,故選C.
3.(2017·福建雙十中學(xué)期末)化簡sin·cos·tan的結(jié)果是( )
A.1 B.sin2α C.-cos2α D.-1
考點 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
題點 綜合運用誘導(dǎo)公式求值
答案 C
解析 因為sin=cos α,
cos=cos=-sin α,
tan==,
所以原式=cos α(-sin α)=-cos2α,故選C.
4.(2017·上饒檢測)已知sin 10°=k,則cos 620°的值為(
13、)
A.k B.-k C.±k D.不確定
考點 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
題點 綜合運用誘導(dǎo)公式求值
答案 B
解析 cos 620°=cos(360°+260°)=cos 260°=cos(270°-10°)=-sin 10°=-k.
5.已知f(sin x)=cos 3x,則f(cos 10°)的值為( )
A.- B. C.- D.
考點 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
題點 綜合運用誘導(dǎo)公式求值
答案 A
解析 f(cos 10°)=f(sin 80°)=cos 240°
=cos(180°+60°)=-cos 60°=-.
6.若角A,B,C是△ABC的三個內(nèi)
14、角,則下列等式中一定成立的是( )
A.cos(A+B)=cos C B.sin(A+B)=-sin C
C.cos=sin B D.sin=cos
考點 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
題點 綜合運用誘導(dǎo)公式化簡
答案 D
解析 ∵A+B+C=π,∴A+B=π-C,
∴cos(A+B)=-cos C,sin(A+B)=sin C,故A,B項不正確;
∵A+C=π-B,∴=,
∴cos=cos=sin,故C項不正確;
∵B+C=π-A,
∴sin=sin=cos,故D項正確.
7.若sin(π+α)+cos=-m,則cos+2sin(2π-α)的值為( )
A.-
15、B. C.- D.
考點 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
題點 綜合運用誘導(dǎo)公式求值
答案 C
解析 ∵sin(π+α)+cos=-sin α-sin α=-m,∴sin α=.
故cos+2sin(2π-α)=-sin α-2sin α
=-3sin α=-.
二、填空題
8.化簡= .
考點 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
題點 綜合運用誘導(dǎo)公式化簡
答案?。?
解析 原式=
==-1.
9.若cos α=,且α是第四象限角,則cos= .
考點 誘導(dǎo)公式五、六
題點 誘導(dǎo)公式六
答案
解析 ∵cos α=,且α是第四象限角,
∴sin
16、α=- =- =-.
∴cos=-sin α=.
10.sin21°+sin22°+…+sin288°+sin289°= .
考點 誘導(dǎo)公式五、六
題點 誘導(dǎo)公式五
答案
解析 原式=(sin21°+sin289°)+(sin22°+sin288°)+…+(sin244°+sin246°)+sin245°
=44+=.
11.(2017·四川成都樹德中學(xué)期中)給出下列三個結(jié)論,其中正確結(jié)論的序號是 .
①sin(π+α)=-sin α成立的條件是角α是銳角;
②若cos(nπ-α)=(n∈Z),則cos α=;
③若α≠(k∈Z),則tan=
17、.
考點 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
題點 綜合運用誘導(dǎo)公式化簡
答案?、?
解析 由誘導(dǎo)公式二,知α∈R時,sin(π+α)=-sin α,所以①錯誤.當(dāng)n=2k(k∈Z)時,cos(nπ-α)=cos(-α)=cos α,此時cos α=,當(dāng)n=2k+1(k∈Z)時,cos(nπ-α)=cos[(2k+1)π-α]=cos(π-α)=-cos α,此時cos α=-,所以②錯誤.若α≠(k∈Z),則tan===-,所以③正確.
三、解答題
12.已知角α的終邊經(jīng)過點P(-4,3),求
的值.
考點 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
題點 綜合運用誘導(dǎo)公式求值
解 ∵角α的終邊經(jīng)過點P(-4,3
18、),
∴tan α==-,
∴
==tan α=-.
13.已知sin·cos=,且<α<,求sin α與cos α的值.
考點 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
題點 綜合運用誘導(dǎo)公式求值
解 ∵sin=-cos α,
cos=cos=-sin α,
∴sin α·cos α=,
即2sin α·cos α=.①
又∵sin2α+cos2α=1,②
①+②得(sin α+cos α)2=,
②-①得(sin α-cos α)2=.
又∵α∈,∴sin α>cos α>0,
即sin α+cos α>0,sin α-cos α>0,
∴sin α+cos α=,③
sin
19、α-cos α=,④
③+④得sin α=,③-④得cos α=.
四、探究與拓展
14.已知sin(α-3π)=2cos(α-4π),則= .
考點 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
題點 綜合運用誘導(dǎo)公式化簡
答案 -
解析 ∵sin(α-3π)=2cos(α-4π),∴-sin(3π-α)=2cos(4π-α),∴-sin(π-α)=2cos(-α),∴sin α=-2cos α且cos α≠0,∴原式====-.
15.已知α是第四象限角,且f(α)=.
(1)若cos=,求f(α)的值;
(2)若α=-1 860°,求f(α)的值.
考點 誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用
題點 綜合運用誘導(dǎo)公式求值
解 f(α)=
==.
(1)∵cos=,
∴cos=,
∴cos=,
∴sin α=-,∴f(α)==-5.
(2)當(dāng)α=-1 860°時,f(α)=
==
===-.