2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第六章 不等式、推理與證明 第五節(jié) 合情推理與演繹推理學(xué)案 理(含解析)新人教A版
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1、第五節(jié) 合情推理與演繹推理 2019考綱考題考情 1.合情推理 (1)歸納推理 ①定義:由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征,推出該類事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理,或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理。 ②特點(diǎn):是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理。 (2)類比推理 ①定義:由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象的某些已知特征,推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理。 ②特點(diǎn):是由特殊到特殊的推理。 2.演繹推理 (1)演繹推理 從一般性的原理出發(fā),推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論,我們把這種推理稱為演繹推理。簡(jiǎn)言之,演繹推理是由一般到特殊的推理。 (2)“三段論”
2、是演繹推理的一般模式 ①大前提——已知的一般原理。 ②小前提——所研究的特殊情況。 ③結(jié)論——根據(jù)一般原理,對(duì)特殊情況做出的判斷。 1.合情推理包括歸納推理和類比推理,其結(jié)論是猜想,不一定正確,若要確定其正確性,則需要證明。 2.在進(jìn)行類比推理時(shí),要從本質(zhì)上去類比,只從一點(diǎn)表面現(xiàn)象去類比,就會(huì)犯機(jī)械類比的錯(cuò)誤。 3.應(yīng)用三段論解決問題時(shí),要明確什么是大前提、小前提,如果前提與推理形式是正確的,結(jié)論必定是正確的。若大前提或小前提錯(cuò)誤,盡管推理形式是正確的,但所得結(jié)論是錯(cuò)誤的。 一、走進(jìn)教材 1.(選修2-2P84A組T3改編)對(duì)于任意正整數(shù)n,2n與n2的大小關(guān)
3、系為( )
A.當(dāng)n≥2時(shí),2n≥n2 B.當(dāng)n≥3時(shí),2n≥n2
C.當(dāng)n≥4時(shí),2n>n2 D.當(dāng)n≥5時(shí),2n>n2
解析 當(dāng)n=2時(shí),2n=n2;當(dāng)n=3時(shí),2n
4、列類比,在等差數(shù)列中是和,在等比數(shù)列中是積,故有b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,且n∈N*)。 答案 b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,且n∈N*) 二、走近高考 3.(2017·全國卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同學(xué)一起去向老師詢問成語競(jìng)賽的成績(jī)。老師說:你們四人中有2位優(yōu)秀,2位良好,我現(xiàn)在給甲看乙、丙的成績(jī),給乙看丙的成績(jī),給丁看甲的成績(jī)??春蠹讓?duì)大家說:我還是不知道我的成績(jī)。根據(jù)以上信息,則( ) A.乙可以知道四人的成績(jī) B.丁可以知道四人的成績(jī) C.乙、丁可以知道對(duì)方的成績(jī) D.乙、丁可以知道自己的成績(jī) 解析 由于甲不知道自己的成績(jī),故乙、
5、丙的成績(jī)中一個(gè)為優(yōu)秀、一個(gè)為良好,所以丁看到甲的成績(jī)后一定能斷定自己的成績(jī),乙看到丙的成績(jī)后可以知道自己的成績(jī)。故選D。 答案 D 4.(2016·全國卷Ⅱ)有三張卡片,分別寫有1和2,1和3,2和3,甲,乙,丙三人各取走一張卡片,甲看了乙的卡片后說:“我與乙的卡片上相同的數(shù)字不是2”,乙看了丙的卡片后說:“我與丙的卡片上相同的數(shù)字不是1”,丙說:“我的卡片上的數(shù)字之和不是5”,則甲的卡片上的數(shù)字是________。 解析 由題意得,丙不拿2和3。若丙拿1和2,則乙拿2和3,甲拿1和3,滿足題意;若丙拿1和3,則乙拿2和3,甲拿1和2,不滿足題意。故甲卡片上的數(shù)字是1和3。 答案 1和
6、3 三、走出誤區(qū) 微提醒:①歸納推理沒有找出規(guī)律;②類比推理類比規(guī)律錯(cuò)誤。 5.已知x∈(0,+∞),觀察下列各式: x+≥2, x+≥++≥3, x+=+++≥4, …… 類比得,x+≥n+1(n∈N*),則a=________。 解析 由已知三個(gè)式子知n=1時(shí),a=1;n=2時(shí),a=22=4;n=3時(shí),a=33=27,由此歸納可得a=nn。 答案 nn 6.在平面幾何中有如下結(jié)論:正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1,外接圓面積為S2,則=,推廣到空間可以得到類似結(jié)論:已知正四面體P-ABC的內(nèi)切球體積為V1,外接球體積為V2,則=________。 解析 從平面圖形類
7、比空間圖形,從二維類比三維,可得如下結(jié)論:正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑之比為3∶1,故正四面體P-ABC的內(nèi)切球體積V1與外接球體積V2之比等于=3=。 答案 考點(diǎn)一歸納推理 【例1】 (1)已知13+23=2,13+23+33=2,13+23+33+43=2,…。若13+23+33+43+…+n3=3 025,則n=( ) A.8 B.9 C.10 D.11 (2)(2019·湖南五市十校聯(lián)考)圖①是美麗的“勾股樹”,它是一個(gè)直角三角形分別以它的每一邊向外作正方形而得到。圖②是第1代“勾股樹”,重復(fù)圖②的作法,得到圖③為第2代“勾股樹”,以此類推,已知最大的
8、正方形面積為1,則第n代“勾股樹”所有正方形的面積的和為( ) A.n B.n2 C.n-1 D.n+1 解析 (1)觀察所提供的式子可知,等號(hào)左邊最后一個(gè)數(shù)是n3時(shí),等號(hào)右邊的數(shù)為2,因此,令2=3 025,則=55,所以n=10。故選C。 (2)最大的正方形面積為1,當(dāng)n=1時(shí),由勾股定理知正方形面積的和為2,依次類推,可得所有正方形面積的和為n+1。故選D。 答案 (1)C (2)D 歸納推理是從特殊到一般的推理,所以應(yīng)根據(jù)題中所給的現(xiàn)有的圖形、數(shù)據(jù)、結(jié)構(gòu)等著手分析,從而找出一般性的規(guī)律或結(jié)論。 【變式訓(xùn)練】 《聊齋志異》中有這樣一首詩:“挑水砍柴不堪苦,
9、請(qǐng)歸但求穿墻術(shù)。得訣自詡無所阻,額上墳起終不悟?!痹谶@里,我們稱形如以下形式的等式具有“穿墻術(shù)”:2=,3=,4=,5=,則按照以上規(guī)律,若8=具有“穿墻術(shù)”,則n=( ) A.35 B.48 C.63 D.80 解析 根據(jù)規(guī)律得3=1×3,8=2×4,15=3×5,24=4×6,…,所以n=7×9=63。故選C。 答案 C 考點(diǎn)二類比推理 【例2】 (1)(2019·四川廣元一模)二維空間中,圓的一維測(cè)度(周長(zhǎng))l=2πr,二維測(cè)度(面積)S=πr2,三維空間中,球的二維測(cè)度(表面積)S=4πr2,三維測(cè)度(體積)V=πr3,應(yīng)用合情推理,若四維空間中,“超球”的三維測(cè)度V=8
10、πr3,則其四維測(cè)度W=( ) A.2πr4 B.3πr4 C.4πr4 D.6πr4 (2)若P0(x0,y0)在橢圓+=1(a>b>0)外,過P0作橢圓的兩條切線的切點(diǎn)為P1,P2,則切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程是+=1。那么對(duì)于雙曲線則有如下命題:若P0(x0,y0)在雙曲線-=1(a>0,b>0)外,過P0作雙曲線的兩條切線,切點(diǎn)為P1,P2,則切點(diǎn)弦P1P2所在直線的方程是________。 解析 (1)由題意得,二維空間中,二維測(cè)度的導(dǎo)數(shù)為一維測(cè)度;三維空間中,三維測(cè)度的導(dǎo)數(shù)為二維測(cè)度。由此歸納,在四維空間中,四維測(cè)度的導(dǎo)數(shù)為三維測(cè)度,故W=2πr4。故選A。 (2)由
11、橢圓與雙曲線類比可得,切點(diǎn)弦P1P2所在的直線方程是-=1。 答案 (1)A (2)-=1 1.進(jìn)行類比推理,應(yīng)從具體問題出發(fā),通過觀察、分析、聯(lián)想進(jìn)行類比,提出猜想。其中找到合適的類比對(duì)象是解題的關(guān)鍵。 2.類比推理常見的情形有平面與空間類比;低維的與高維的類比;等差數(shù)列與等比數(shù)列類比;數(shù)的運(yùn)算與向量的運(yùn)算類比;圓錐曲線間的類比等。 【變式訓(xùn)練】 (2018·桂林模擬)我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》的論割圓術(shù)中有:“割之彌細(xì),所失彌少,割之又割,以至于不可割,則與圓周合體而無所失矣。”它體現(xiàn)了一種無限與有限的轉(zhuǎn)化過程。比如在表達(dá)式1+中“…”即代表無限次重復(fù),但原式卻是個(gè)定
12、值,它可以通過方程1+=x求得x=。類比上述過程,則=________。 解析 由題意可得=x(x≥0),整理得(x+1)(x-2 018)=0(x≥0),解得x=2 018,即=2 018。 答案 2 018 考點(diǎn)三演繹推理 【例3】 (1)(2019·山東淄博一模)有一段“三段論”推理是這樣的:對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x),若f′(x0)=0,則x=x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),因?yàn)閒(x)=x3在x=0處的導(dǎo)數(shù)值為0,所以x=0是f(x)=x3的極值點(diǎn),以上推理( ) A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤 D.結(jié)論正確 (2)(2019·湖南模擬)天干地支紀(jì)年法源于中國
13、,中國自古便有十天干與十二地支。十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配,排列起來,天干在前,地支在后,天干由“甲”起,地支由“子”起,例如,第一年為“甲子”,第二年為“乙丑”,第三年為“丙寅”,……,以此類推,排列到“癸酉”后,天干回到“甲”重新開始,即“甲戌”“乙亥”,然后地支回到“子”重新開始,即“丙子”,以此類推。已知1949年為“己丑”年,那么到中華人民共和國成立80年時(shí)為________年( ) A.丙酉 B.戊申 C.己申 D.己酉 解析 (1)大前提是“對(duì)
14、于可導(dǎo)函數(shù)f(x),若f′(x0)=0,則x=x0是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)”,不是真命題,因?yàn)閷?duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x),如果f′(x0)=0,且滿足在x0附近左右兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)值異號(hào),那么x=x0才是函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),所以大前提錯(cuò)誤。故選A。 (2)天干以10循環(huán),地支以12循環(huán),從1949年到2029年經(jīng)過80年,且1949年為“己丑”年,以1949年的天干和地支分別為首項(xiàng),80÷10=8,則2029年的天干為己;80÷12=6……8,則2029年的地支為酉。故選D。 答案 (1)A (2)D 演繹推理的推證規(guī)則 1.演繹推理是從一般到特殊的推理,其一般形式是三段論,應(yīng)用三段論
15、解決問題時(shí),應(yīng)當(dāng)首先明確什么是大前提和小前提,如果前提是顯然的,則可以省略。 2.在推理論證過程中,一些稍復(fù)雜一點(diǎn)的證明題常常要由幾個(gè)三段論才能完成。 【變式訓(xùn)練】 (1)用“三段論”推理:任何實(shí)數(shù)的絕對(duì)值大于0,因?yàn)閍是實(shí)數(shù),所以a的絕對(duì)值大于0。你認(rèn)為這個(gè)推理( ) A.大前提錯(cuò)誤 B.小前提錯(cuò)誤 C.推理形式錯(cuò)誤 D.是正確的 (2)在一次調(diào)查中,甲、乙、丙、丁四名同學(xué)的閱讀量有如下關(guān)系:甲、丙閱讀量之和與乙、丁閱讀量之和相同,甲、乙閱讀量之和大于丙、丁閱讀量之和,丁的閱讀量大于乙、丙閱讀量之和。那么這四名同學(xué)按閱讀量從大到小排序依次為________。 解析 (1)實(shí)數(shù)0
16、的絕對(duì)值等于0,不大于0,大前提錯(cuò)誤。 (2)因?yàn)榧住⒈喿x量之和等于乙、丁閱讀量之和,甲、乙閱讀量之和大于丙、丁閱讀量之和,所以乙的閱讀量大于丙的閱讀量,甲的閱讀量大于丁的閱讀量,因?yàn)槎〉拈喿x量大于乙、丙閱讀量之和,所以這四名同學(xué)按閱讀量從大到小排序依次為甲、丁、乙、丙。 答案 (1)A (2)甲、丁、乙、丙 1.(配合例1使用)給出以下數(shù)對(duì)序列: (1,1) (1,2)(2,1) (1,3)(2,2)(3,1) (1,4)(2,3)(3,2)(4,1) …… 記第i行的第j個(gè)數(shù)對(duì)為aij,如a43=(3,2),則anm=( ) A.(m,n-m+1) B.(m-1
17、,n-m) C.(m-1,n-m+1) D.(m,n-m) 解析 由前4行的特點(diǎn),歸納可得:若anm=(a,b),則a=m,b=n-m+1,所以anm=(m,n-m+1)。 答案 A 2.(配合例1使用)觀察下列式子:1,1+2+1,1+2+3+2+1,1+2+3+4+3+2+1,…,由以上可推測(cè)出一個(gè)一般性結(jié)論:對(duì)于n∈N*,則1+2+…+n+…+2+1=________。 解析 由1=12,1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=42,…,歸納猜想可得1+2+…+n+…+2+1=n2。 答案 n2 3.(配合例2使用)如圖,在△A
18、BC中,O為其內(nèi)切圓圓心,過O的直線將三角形面積分為相等的兩部分,且該直線與AC,BC分別相交于點(diǎn)F,E,則四邊形ABEF與△CEF的周長(zhǎng)相等。試將此結(jié)論類比到空間,寫出一個(gè)與其相關(guān)的命題,并證明該命題的正確性。 解 如圖,截面AEF經(jīng)過四面體ABCD的內(nèi)切球(與四個(gè)面都相切的球)的球心O,且與BC,DC分別交于點(diǎn)E,F(xiàn),若截面將四面體分為體積相等的兩部分,則四棱錐A-BEFD與三棱錐A-EFC的表面積相等。 下面證明該結(jié)論的正確性: 設(shè)內(nèi)切球半徑為R, 則VA-BEFD=(S△ABD+S△ABE+S△ADF+S四邊形BEFD)×R=VA-EFC=(S△AEC+S△AC
19、F+S△ECF)×R, 即S△ABD+S△ABE+S△ADF+S四邊形BEFD=S△AEC+S△ACF+S△ECF,兩邊同加S△AEF可得結(jié)論。 4.(配合例3使用)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn,已知a1=1,an+1=Sn(n∈N*)。證明: (1)數(shù)列是等比數(shù)列; (2)Sn+1=4an。 證明 (1)因?yàn)閍n+1=Sn+1-Sn,an+1=Sn, 所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn), 即nSn+1=2(n+1)Sn。 故=2·,(小前提) 故是以2為公比,1為首項(xiàng)的等比數(shù)列。(結(jié)論) (大前提是等比數(shù)列的定義) (2)由(1)可知數(shù)列是等比數(shù)列,(大前提) 所以=4·(n≥2), 即Sn+1=4(n+1)·=4··Sn-1=4an(n≥2)。 又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) 所以對(duì)于任意正整數(shù)n,都有Sn+1=4an。(結(jié)論) 8
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