《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)(Ⅰ)2.1.1.2 指數(shù)與指數(shù)冪的運算學(xué)案(含解析)新人教版必修1》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二章 基本初等函數(shù)(Ⅰ)2.1.1.2 指數(shù)與指數(shù)冪的運算學(xué)案(含解析)新人教版必修1(5頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、2.1.1 指數(shù)與指數(shù)冪的運算(第二課時)
學(xué)習(xí)目標(biāo)
①理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念;
②掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪和根式之間的互化;
③掌握分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì);
④培養(yǎng)學(xué)生觀察分析和抽象的能力,以及滲透“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想.
合作學(xué)習(xí)
一、設(shè)計問題,創(chuàng)設(shè)情境
問題1:當(dāng)生物死亡后,它機(jī)體內(nèi)原有的碳14會按確定的規(guī)律衰減,大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半,這個時間稱為“半衰期”.根據(jù)此規(guī)律,人們獲得了生物體內(nèi)碳14含量P與死亡年數(shù)t之間的關(guān)系,這個關(guān)系式應(yīng)該怎樣表示呢?
問題2:考古學(xué)家根據(jù)上式可以知道,當(dāng)生物體死亡了6000年,10000年,100000年后,它體內(nèi)碳14的含量P分別為
2、(12)60005730,(12)100005730,(12)1000005730.那么這些數(shù)(12)60005730,(12)100005730,(12)1000005730的意義究竟是什么呢?它和我們初中所學(xué)的指數(shù)有什么區(qū)別?
二、自主探索,嘗試解決
問題3:觀察以下式子,你能總結(jié)出什么規(guī)律?(a>0)
①5a10=3(a2)5=a2=a105;
②a8=(a4)2=a4=a82;
③4a12=4(a3)4=a3=a124;
④a10=(a5)2=a5=a102.
問題4:利用問題3中的規(guī)律,你能表示下列式子嗎?
453,375,5a7,nxm(x>0,m,n∈
3、N*,且n>1).
問題5:你能用方根的意義來解釋問題4中的式子嗎?
問題6:你能把問題3,4中得到的結(jié)論推廣到一般的情形嗎?
規(guī)定:正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是amn=nam(a>0,m,n∈N*,且n>1).
三、信息交流,揭示規(guī)律
問題7:負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是怎樣規(guī)定的?
問題8:你能得出負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義嗎?
規(guī)定:正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a-mn=1amn=1nam(a>0,m,n∈N*,且n>1).
問題9:你認(rèn)為應(yīng)怎樣規(guī)定零的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義呢?
問題10:綜合上述問題7,8,9,如何規(guī)定分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義?
分?jǐn)?shù)指數(shù)
4、冪的意義就是:
正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是amn=nam(a>0,m,n∈N*,且n>1),正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是a-mn=1amn=1nam(a>0,m,n∈N*,且n>1),零的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于零,零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.
問題11:分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義中,為什么規(guī)定a>0,去掉這個規(guī)定會產(chǎn)生什么樣的后果?
問題12:既然指數(shù)的概念已從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù),那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是否也適用于有理數(shù)指數(shù)冪呢?
有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì):
對任意的有理數(shù)r,s,
(1)aras= (a>0,r,s∈R);?
(2)(ar)s= (a>0,r,s∈R
5、);?
(3)(ab)r= (a>0,b>0,r∈R).?
問題13:若a>0,α是一個無理數(shù),則aα該如何理解?
實數(shù)指數(shù)冪有意義,且有相同的運算性質(zhì),即:
aras=ar+s(a>0,r,s∈R);
(ar)s=ars(a>0,r,s∈R);
(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈R).
四、運用規(guī)律,解決問題
【例1】(課本P51,例2)求值:
①823;②25-12;③(12)-5;④(1681)-34.
【例2】用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式.
a3·a;a2·3a2;a3a(a>0).
【例3】計算下列各式(式中字母都是
6、正數(shù)):
(1)(2a23b12)(-6a12b13)÷(-3a16b56);
(2)(m14n-38)8.
【例4】計算下列各式:
(1)(325-125)÷425;
(2)a2a·3a2(a>0).
五、變式演練,深化提高
1.計算:
(1)(235)0+2-2×(214)-12-(0.01)0.5;
(2)(0.0001)-14+(27)23-(4964)-12+(19)-1.5;
(3)481×923;
(4)23×31.5×612.
2.化簡下列各式:
(1)3a72a-3÷3a-83a15÷3a-3a-1;
(2)a43-8a
7、13b4b23+23ab+a23÷(1-23ba)·3a;
(3)[(a-32b2)-1·(ab-3)12(b12)7]13;
(4)1+a-121+a-a+a-12a-1;
(5)(a·3b2)-3÷b-4a-1.
六、反思小結(jié),觀點提煉
(先讓學(xué)生獨自回憶,然后師生共同總結(jié).)
1. .?
2. .?
3. .?
七、作業(yè)精選,鞏固提高
課本P59習(xí)題2.1A組第2,3,4題.
參考答案
一、設(shè)計問題,創(chuàng)設(shè)情境
問題1:P=(12)5730.
問題2:初中所學(xué)的指數(shù)是整數(shù),而這里的指數(shù)是分?jǐn)?shù)形式.
二、自主探索,嘗試解決
問題3:①5a10=a105
8、,②a8=a82,③4a12=a124,④a10=a102的結(jié)果中a的指數(shù)2,4,3,5分別寫成了105,82,124,102,形式上變了,本質(zhì)沒變.根據(jù)4個式子的最后結(jié)果可以總結(jié):當(dāng)根式的被開方數(shù)的指數(shù)能被根指數(shù)整除時,根式可以寫成分?jǐn)?shù)作為指數(shù)的形式(分?jǐn)?shù)指數(shù)冪形式).
問題4:453=534,375=753,5a7=a75,nxm=xmn.
問題5:53的4次方根是534,75的立方根是753,a7的5次方根是a75,xm的n次方根是xmn.結(jié)果表明方根的結(jié)果和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是相通的.
三、信息交流,揭示規(guī)律
問題7:負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義是a-n=1an(a≠0),n∈N*.
問題9:
9、零的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是零的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于零,零的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義,例如0-2=102=10.
問題11:若沒有a>0這個條件會怎樣呢?如(-1)13=3-1=-1,(-1)26=6(-1)2=1具有同樣意義的兩個式子出現(xiàn)了截然不同的結(jié)果,這只說明分?jǐn)?shù)指數(shù)冪在底數(shù)小于零時是無意義的.因此在把根式化成分?jǐn)?shù)指數(shù)時,切記要使底數(shù)大于零.
問題12:ar+s ars arbr
四、運用規(guī)律,解決問題
【例1】解:①823=(23)23=23×23=22=4;
②25-12=(52)-12=52×(-12)=5-1=15;
③(12)-5=(2-1)-5=25=32;
④(1681)-
10、34=(23)4×(-34)=(23)-3=278.
【例2】解:a3·a=a3·a12=a3+12=a72;
a2·3a2=a2·a23=a2+23=a83;
a3a=(a·a13)12=(a43)12=a23.
【例3】解:(1)(2a23b12)(-6a12b13)÷(-3a16b56)=[2×(-6)÷(-3)]a23+12-16·b12+13-56=4ab0=4a;
(2)(m14n-38)8=(m14)8(n-38)8=m2n-3=m2n3.
【例4】解:(1)(325-125)÷425=(523-532)÷512=523-12-532-12=516-5=65-5;
(2)a2a·3a2=a2a12a23=a2-12-23=a56=6a5.
五、變式演練,深化提高
1.(1)1615 (2)3147 (3)363 (4)6
2.(1)a16 (2)a (3)a23 (4)2aa(1-a) (5)1a
六、反思小結(jié),觀點提煉
1.分?jǐn)?shù)指數(shù)是根式的另一種寫法
2.無理數(shù)指數(shù)冪表示一個確定的實數(shù)
3.掌握好分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì),其與整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是一致的
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