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1、山東省齊河縣高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題 離散型隨機(jī)變量及其分布練習(xí)（含解析） 一、選擇題（本大題共12小題，共60分） 1. 若，且，，則 A. B. 3 C. D. 2 （正確答案）A 解：隨機(jī)變量，且，， ，且，解得，． 故選：A． 根據(jù)隨機(jī)變量符合二項(xiàng)分布和二項(xiàng)分布的期望和方差公式，得到關(guān)于n和p的方程組，整體計(jì)算求解方程組得答案． 本題考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差，考查二項(xiàng)分布的期望公式與方差公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題． 2. 某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，，，則 A.

2、B. C. D. （正確答案）B 解：某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，看做是獨(dú)立重復(fù)事件，滿足， ，可得，可得即． 因?yàn)?，可得，解得或舍去? 故選：B． 利用已知條件，轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)分布，利用方差轉(zhuǎn)化求解即可． 本題考查離散型離散型隨機(jī)變量的期望與方差的求法，獨(dú)立重復(fù)事件的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力． 3. 設(shè)袋中有兩個(gè)紅球一個(gè)黑球，除顏色不同，其他均相同，現(xiàn)有放回的抽取，每次抽取一個(gè)，記下顏色后放回袋中，連續(xù)摸三次，X表示三次中紅球被摸中的次數(shù)，每個(gè)小球被抽取的幾率相同，每次抽取相對(duì)立，則方差 A. 2 B. 1 C. D. （正確答案）C

3、 解：每一次紅球被摸到的概率． 由題意可得：，1，2，． 則． 故選：C． 每一次紅球被摸到的概率由題意可得：，1，2，即可得出． 本小題主要考查二項(xiàng)分布列的性質(zhì)及其數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 4. 袋中裝有10個(gè)紅球、5個(gè)黑球每次隨機(jī)抽取1個(gè)球后，若取得黑球則另換1個(gè)紅球放回袋中，直到取到紅球?yàn)橹谷舫槿〉拇螖?shù)為，則表示“放回5個(gè)紅球”事件的是 A. B. C. D. （正確答案）C 解：由題意知，袋中裝有10個(gè)紅球、5個(gè)黑球，取得黑球則另換1個(gè)紅球放回袋中， 所以“放回5個(gè)紅球”表示前五次抽取黑球，第六次抽取紅球， 即，

4、 故選C． 根據(jù)題意和無放回抽樣的性質(zhì)求出表示“放回5個(gè)紅球”事件的值． 本題考查了離散型隨機(jī)變量的取值，以及無放回抽樣的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題． 5. 已知隨機(jī)變量，若，則，分別是 A. 6和 B. 4和 C. 4和 D. 6和 （正確答案）C 解：由題意，知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，，， 則均值，方差， 又， ， ， ． 故選：C． 先由，得均值，方差，然后由得，再根據(jù)公式求解即可． 解題關(guān)鍵是若兩個(gè)隨機(jī)變量Y，X滿足一次關(guān)系式b為常數(shù)，當(dāng)已知、時(shí)，則有，． 6. 已知5件產(chǎn)品中有2件次品，現(xiàn)逐一檢測，直至能確定所有次品為止，記檢測的次數(shù)為，則 A.

5、3 B. C. D. 4 （正確答案）B 解：由題意知的可能取值為2，3，4， ， ， ， ． 故選：B． 由題意知的可能取值為2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出． 本題離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用． 7. 在“石頭、剪刀、布”的游戲中，規(guī)定：“石頭贏剪刀”、“剪刀贏布”、“布贏石頭”現(xiàn)有甲、乙兩人玩這個(gè)游戲，共玩3局，每一局中每人等可能地獨(dú)立選擇一種手勢設(shè)甲贏乙的局?jǐn)?shù)為，則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是 A. B. C. D. 1 （正確答案）D 解：由題意可得隨機(jī)變量的可

6、能取值為：0、1、2、3， 每一局中甲勝的概率為，平的概率為，輸?shù)母怕蕿椋? 故，， ，， 故，故E 故選D 的可能取值為：0、1、2、3，每一局中甲勝的概率為，進(jìn)而可得，由二項(xiàng)分布的期望的求解可得答案． 本題考查離散型隨機(jī)變量的期望的求解，得出是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題． 8. 設(shè)，隨機(jī)變量的分布列是 0 1 2 P 則當(dāng)p在內(nèi)增大時(shí)， A. 減小 B. 增大 C. 先減小后增大 D. 先增大后減小 （正確答案）D 解：設(shè)，隨機(jī)變量的分布列是 ； 方差是 ， 時(shí)，單調(diào)遞增； 時(shí)，單調(diào)遞減； 先增大后減?。? 故選：D．

7、 求出隨機(jī)變量的分布列與方差，再討論的單調(diào)情況． 本題考查了離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差的計(jì)算問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題． 9. 一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a，得2分的概率為b，不得分的概率為b，，已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2，則的最小值為 A. B. C. D. 4 （正確答案）C 解：由題意可得：，即，b，， ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)． 故選：C． 由題意可得：，即，b，，再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出． 本題考查了數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 10. 口袋中有

8、5個(gè)形狀和大小完全相同的小球，編號(hào)分別為0，1，2，3，4，從中任取3個(gè)球，以表示取出球的最小號(hào)碼，則 A. B. C. D. （正確答案）B 解：由題意可得，1，2． 則，，． 可得分布列為： 0 1 2 P ． 故選：B． 由題意可得，1，可得，，即可得出． 本題考查了隨機(jī)變量分布列及其數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 11. 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為 X 1 2 3 P 則的充要條件是 A. B. C. D. （正確答案）C 解：由離散型隨機(jī)變

9、量X的分布列知： 當(dāng)時(shí)，，解得， 當(dāng)時(shí)，． ． 的充要條件是． 故選：C． 當(dāng)時(shí)，由離散型隨機(jī)變量X的分布列的性質(zhì)列出方程組得，當(dāng)時(shí)，能求出從而得到的充要條件是． 本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為2的充要條件的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)的合理運(yùn)用． 12. 隨機(jī)變量X的分布列如表所示，若，則 X 0 1 P a b A. 9 B. 7 C. 5 D. 3 （正確答案）C 解：， 由隨機(jī)變量X的分布列得： ，解得，， ． ． 故選：C． 由，利用隨機(jī)變量X的分布列列出方程組，求出，，由此能求出，再由

10、，能求出結(jié)果． 本題考查方差的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題． 二、填空題（本大題共4小題，共20分） 13. 一批產(chǎn)品的二等品率為，從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件數(shù)，則 ______ ． （正確答案） 解：由題意可知，該事件滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，是一個(gè)二項(xiàng)分布模型，其中，，， 則． 故答案為：． 判斷概率滿足的類型，然后求解方差即可． 本題考查離散性隨機(jī)變量的期望與方差的求法，判斷概率類型滿足二項(xiàng)分布是解題的關(guān)鍵． 14. 隨機(jī)變量的取值為0，1，2，若

11、，，則 ______ ． （正確答案） 解析：設(shè)，，則由已知得，， 解得，， 所以． 故答案為： 結(jié)合方差的計(jì)算公式可知，應(yīng)先求出，，根據(jù)已知條件結(jié)合分布列的性質(zhì)和期望的計(jì)算公式不難求得． 本題綜合考查了分布列的性質(zhì)以及期望、方差的計(jì)算公式． 15. 射擊比賽每人射2次，約定全部不中得0分，只中一彈得10分，中兩彈得15分，某人每次射擊的命中率均為，則他得分的數(shù)學(xué)期望是______分 （正確答案） 解：射擊的命中的得分為X，X的取值可能為0，10，15． ， ， ， ． 故答案為：． 射擊的命中得分為X，X的取值可能為0，10，15，然后分別求出相應(yīng)的概率

12、，根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式解之即可． 本題主要考查了二項(xiàng)分布與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型，同時(shí)考查了離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望，屬于中檔題． 16. 隨機(jī)變量的分布列為： 0 1 2 3 P x 隨機(jī)變量的方差 ______ ． （正確答案）1 解：由隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)得： ，解得， ， ． 故答案為：1． 由隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)得求出，從而得，由此能求出． 本題考查方差的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意方差性質(zhì)的合理運(yùn)用． 三、解答題（本大題共3小題，共40分） 17. 某公司計(jì)劃購買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰機(jī)器有一易

13、損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)500元現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖： 以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，n表示購買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù)． 求X的分布列； 若要求，確定n的最小值； 以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在與之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？ （正確答案）解：Ⅰ由已知得X的可能取值為16，17，18，19，20

14、，21，22， ， ， ， ， ， ， ， 的分布列為： X 16 17 18 19 20 21 22 P Ⅱ由Ⅰ知： ． ． 中，n的最小值為19． Ⅲ由Ⅰ得： ． 買19個(gè)所需費(fèi)用期望： ， 買20個(gè)所需費(fèi)用期望： ， ， 買19個(gè)更合適． Ⅰ由已知得X的可能取值為16，17，18，19，20，21，22，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列． Ⅱ由X的分布列求出，由此能確定滿足中n的最小值． Ⅲ由X的分布列得求出買19個(gè)所需費(fèi)用期望和買20個(gè)所需費(fèi)用期望

15、，由此能求出買19個(gè)更合適． 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用． 18. 某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫單位：有關(guān)如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表： 最高氣溫 天數(shù)

16、 2 16 36 25 7 4 以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率． 求六月份這種酸奶一天的需求量單位：瓶的分布列； 設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為單位：元，當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量單位：瓶為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？ （正確答案）解：由題意知X的可能取值為200，300，500， ， ， ， 的分布列為： X 200 300 500 P 由題意知這種酸奶一天的需求量至多為500瓶，至少為200瓶， 只需考慮， 當(dāng)時(shí)， 若最高氣溫不低于25，則； 若最高氣溫位于區(qū)間，則； 若最高氣溫低于

17、20，則， ， 當(dāng)時(shí)， 若最高氣溫不低于20，則， 若最高氣溫低于20，則， ． 時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元． 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法，考查數(shù)學(xué)期望的最大值的求法，考查函數(shù)、離散型隨機(jī)變量分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題． 由題意知X的可能取值為200，300，500，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列． 由題意知這種酸奶一天的需求量至多為500瓶，至少為200瓶，只需考慮， 根據(jù)和分類討論經(jīng)，能得到當(dāng)時(shí)，EY最大值為520元． 19. 某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)

18、小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B，設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立． Ⅰ求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率； Ⅱ若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤120萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤100萬元，求該企業(yè)可獲利潤的分布列和數(shù)學(xué)期望． （正確答案）解：Ⅰ設(shè)至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的事件為事件A且事件B為事件A的對(duì)立事件，則事件B為一種新產(chǎn)品都沒有成功， 因?yàn)榧滓已邪l(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和． 則， 再根據(jù)對(duì)立事件的概率之間的公式可得， 故至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率為． Ⅱ由題可得設(shè)企業(yè)可獲得利潤為X，則X的取值有0，120，100，220， 由獨(dú)立試驗(yàn)的概率計(jì)算公式可得， ， ， ， ， 所以X的分布列如下： X 0 120 100 220 則數(shù)學(xué)期望． Ⅰ利用對(duì)立事件的概率公式，計(jì)算即可， Ⅱ求出企業(yè)利潤的分布列，再根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算即可． 本題主要考查了對(duì)立事件的概率，分布列和數(shù)學(xué)期望，培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力，也是近幾年高考題目的?？嫉念}型．