5、n 2=sin的圖象.
2.要得到函數(shù)y=sin的圖象,可把函數(shù)y=sin(-x)的圖象向左平移個單位長度得到.( × )
提示 y=sin,故要得到y(tǒng)=sin的圖象,可把函數(shù)y=sin(-x)的圖象向右平移個單位長度.
3.把函數(shù)y=sin x的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍,得到y(tǒng)=sin 2x的圖象.( × )
提示 應(yīng)得到y(tǒng)=sin x的圖象.
4.函數(shù)y=cos的圖象是由函數(shù)y=cos x的圖象向右平移個單位長度得到的.( √ )
提示 由平移的規(guī)律可知其正確.
類型一 平移變換
例1 函數(shù)y=sin的圖象可以看作是由y=sin x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到的
6、?
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
解 函數(shù)y=sin的圖象,可以看作是把曲線y=sin x上所有的點(diǎn)向右平移個單位長度而得到的.
引申探究
1.若將本例中y=sin改為y=cos,其它不變,又該怎樣變換?
解 y=cos=sin=sin,可以看作是把y=sin x上所有的點(diǎn)向左平移個單位長度得到.
2.若將本例改為:函數(shù)y=sin的圖象可由y=sin 2x的圖象經(jīng)過怎樣變換得到?
解 y=sin=sin,可由y=sin 2x的圖象向右平移個單位長度得到.
反思與感悟 對平移變換應(yīng)先觀察函數(shù)名是否相同,若函數(shù)名不同則先化為同名函數(shù).再觀察
7、x前系數(shù),當(dāng)x前系數(shù)不為1時,應(yīng)提取系數(shù)確定平移的單位和方向,方向遵循左加右減,且從ωx→ωx+φ的平移量為個單位長度.
跟蹤訓(xùn)練1 將函數(shù)y=sin 2x的圖象向左平移個單位長度,所得圖象的函數(shù)解析式為( )
A.y=sin
B.y=sin
C.y=sin
D.y=sin
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案 A
解析 依題意將函數(shù)y=sin 2x的圖象向左平移個單位長度得到
y=sin 2=sin.
類型二 伸縮變換
例2 將函數(shù)y=sin圖象上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)伸長為原來的5倍,可得到函數(shù)__________的圖象.
8、
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的伸縮變換
答案 y=sin
引申探究
若將本例中“橫坐標(biāo)伸長為原來的5倍”改為“縱坐標(biāo)伸長為原來的5倍”,其它條件不變,則可得到函數(shù)解析式為________.
答案 y=5sin
反思與感悟 對于函數(shù)y=sin x,若橫坐標(biāo)伸長為原來的ω(ω>1)倍,則得到函數(shù)y=sin .若縱坐標(biāo)伸長為原來的A(A>1)倍,則得到函數(shù)y=Asin x,兩者可理解為橫向伸縮是反比例伸縮變換,縱向伸縮是正比例伸縮變換.
跟蹤訓(xùn)練2 (2017·合肥高一檢測)把y=sin x的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)得到的解析式是_
9、_______.
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的伸縮變換
答案 y=sin 2x
類型三 圖象變換的綜合應(yīng)用
例3 把函數(shù)y=f(x)的圖象上的各點(diǎn)向右平移個單位長度,然后把橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,再把縱坐標(biāo)縮短到原來的倍,所得圖象的解析式是y=2sin,求f(x)的解析式.
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
解 y=2sin
y=3sin
y=3sin
y=3sin=3sin=3cos x.
所以f(x)=3cos x.
反思與感悟 (1)已知變換途徑及變換后的函數(shù)解析式,求變換前函數(shù)圖象的解析式,宜采用逆
10、變換的方法.
(2)已知函數(shù)f(x)圖象的伸縮變換情況,求變換前后圖象的解析式.要明確伸縮的方向及量,然后確定出A或ω即可.
跟蹤訓(xùn)練3 將函數(shù)y=2sin的圖象向左平移m(m>0)個單位長度后,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù),則m的最小值為( )
A. B. C. D.
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
答案 B
解析 因?yàn)楹瘮?shù)y=2sin的圖象向左平移m個單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)為y=2sin,所以+m=kπ+,k∈Z,即m=kπ+,k∈Z.又m>0,所以m的最小值為,故選B.
1.將函數(shù)y=2sin的圖象向右平移個周期后,所得圖象對應(yīng)
11、的函數(shù)為( )
A.y=2sin B.y=2sin
C.y=2sin D.y=2sin
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案 D
解析 函數(shù)y=2sin的周期為T==π,向右平移個周期,即向右平移個單位長度后,得到圖象對應(yīng)的函數(shù)為y=2sin=2sin,故選D.
2.要得到y(tǒng)=sin的圖象,只要將函數(shù)y=sin 的圖象( )
A.向左平移個單位長度
B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度
D.向右平移個單位長度
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案 C
3.要得到函數(shù)y
12、=cos的圖象,只需將函數(shù)y=sin 2x的圖象( )
A.向左平移個單位長度
B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度
D.向右平移個單位長度
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案 A
解析 y=cos=sin
=sin=sin.
由題意知,要得到y(tǒng)=sin的圖象,
只要將y=sin 2x的圖象向左平移個單位長度.
4.將函數(shù)y=sin(-2x)的圖象向左平移個單位長度,所得函數(shù)圖象的解析式為__________________.
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案 y=-co
13、s 2x
解析 y=sin(-2x)y=sin,
即y=sin=-sin=-cos 2x.
5.將函數(shù)f(x)=cos 2x的圖象縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍(橫坐標(biāo)不變),再向左平移個單位長度后得到函數(shù)g(x)的圖象,則g=________.
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
答案?。?
解析 將函數(shù)f(x)=cos 2x的圖象縱坐標(biāo)伸長到原來的2倍,所得圖象對應(yīng)的解析式為y=2cos 2x,
則g(x)=2cos 2=2cos,
故g=2cos=-2.
1.由y=sin x的圖象,通過變換可得到函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的圖象
14、,其變化途徑有兩條
(1)y=sin xy=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ).
(2)y=sin xy=sin ωxy=sin=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ).
注意:兩種途徑的變換順序不同,其中變換的量也有所不同:(1)是先相位變換后周期變換,平移|φ|個單位長度.(2)是先周期變換后相位變換,平移個單位長度,這是很易出錯的地方,應(yīng)特別注意.
2.類似地,y=Acos(ωx+φ) (A>0,ω>0)的圖象也可由y=cos x的圖象變換得到.
一、選擇題
1.(2017·湖州期末)要得到函數(shù)y=sin的圖象,只需將函數(shù)y=sin 2x的
15、圖象( )
A.向右平移個單位長度
B.向左平移個單位長度
C.向右平移個單位長度
D.向左平移個單位長度
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案 A
解析 因?yàn)楹瘮?shù)y=sin=sin,
所以只需將函數(shù)y=sin 2x的圖象向右平移個單位長度即可.
2.若把函數(shù)y=sin的圖象向右平移m(m>0)個單位長度后,得到y(tǒng)=sin x的圖象,則m的最小值為( )
A. B. C. D.
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案 C
解析 依題意,y=sin=sin x,
∴m-=2kπ(k
16、∈Z),∴m=+2kπ(k∈Z),
又m>0,∴m的最小值為.
3.為得到函數(shù)y=cos的圖象,只需將函數(shù)y=sin x的圖象( )
A.向左平移個單位長度
B.向右平移個單位長度
C.向左平移個單位長度
D.向右平移個單位長度
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案 C
解析 y=cos=sin
=sin,
所以只需將函數(shù)y=sin x的圖象向左平移個單位長度.
4.把函數(shù)y=sin的圖象向右平移個單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)是( )
A.非奇非偶函數(shù)
B.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
C.奇函數(shù)
D.偶函數(shù)
考點(diǎn) 三角函數(shù)
17、圖象的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
答案 D
解析 y=sin的圖象向右平移個單位得到y(tǒng)=sin=sin=-cos 2x的圖象,y=-cos 2x是偶函數(shù).
5.(2017·荊州高一檢測)把函數(shù)y=cos 2x+1的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),然后向右平移1個單位長度,再向下平移1個單位長度,得到的圖象是( )
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
答案 B
解析 把函數(shù)y=cos 2x+1的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),得y1=cos x+1,向右平移1個單位長度,得y2=cos(x-1)
18、+1,再向下平移1個單位長度,得y3=cos(x-1).令x=0,得y3>0,令x=+1,得y3=0,觀察即得答案.
6.函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖象上所有的點(diǎn)向左平移個單位長度.若所得圖象與原圖象重合,則ω的值不可能等于( )
A.4 B.6 C.8 D.12
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案 B
解析 對于B選項,f(x)=sin(6x+φ)的圖象向左平移個單位長度,得y=sin=sin(6x+φ+π)=-sin(6x+φ)的圖象.
7.為了得到函數(shù)y=2sin,x∈R的圖象,只需把函數(shù)y=2sin x,x∈R的圖象
19、上所有的點(diǎn)( )
A.向左平移個單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)
B.向右平移個單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的(縱坐標(biāo)不變)
C.向左平移個單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變)
D.向右平移個單位長度,再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變)
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
答案 C
解析 先將y=2sin x,x∈R的圖象向左平移個單位長度,得到函數(shù)y=2sin,x∈R的圖象,再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)y=2sin,x∈R的圖象.
二、
20、填空題
8.函數(shù)y=sin的圖象可以看作把函數(shù)y=sin 2x的圖象向________平移________個單位長度得到的.
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案 右
9.將函數(shù)y=cos 2x的圖象向右平移個單位長度,所得圖象對應(yīng)的解析式為________.
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案 y=cos
解析 由題意得所得圖象對應(yīng)的解析式為y=cos 2=cos.
10.將函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半,縱坐標(biāo)不變,再向右平移個單位長度得到y(tǒng)=sin
21、x的圖象,則f=________.
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
答案
解析 y=sin x的圖象向左平移個單位長度,得到y(tǒng)=sin的圖象,再對每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍,得到y(tǒng)=sin的圖象,即為f(x)=sin(ωx+φ)的圖象,所以f(x)=sin,f=.
11.要得到y(tǒng)=sin的圖象,需將函數(shù)y=cos的圖象上所有的點(diǎn)至少向左平移________個單位長度.
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案
解析 cos=sin,將y=sin的圖象上所有的點(diǎn)向左平移φ(φ>0)個單位長度得y=sin的圖象
22、.
令+=2kπ+,k∈Z.∴φ=4kπ-,k∈Z.
∴當(dāng)k=1時,φ=是φ的最小正值.
12.某同學(xué)給出了以下判斷:
①將y=cos x的圖象向右平移個單位長度,得到y(tǒng)=sin x的圖象;
②將y=sin x的圖象向右平移2個單位長度,可得到y(tǒng)=sin(x+2)的圖象;
③將y=sin(-x)的圖象向左平移2個單位長度,得到y(tǒng)=sin(-x-2)的圖象;
④函數(shù)y=sin的圖象是由y=sin 2x的圖象向左平移個單位長度而得到的.
其中正確的結(jié)論是______.(將所有正確結(jié)論的序號都填上)
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案 ①
23、③
三、解答題
13.使函數(shù)y=f(x)的圖象上的每一點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變,橫坐標(biāo)縮短到原來的倍,然后再將其圖象沿x軸向左平移個單位長度得到的曲線與y=sin 2x的圖象相同,求f(x)的表達(dá)式.
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的綜合應(yīng)用
解 方法一 (正向變換)
y=f(x)y=f(2x)
y=f,即y=f,
∴f=sin 2x.
令2x+=t,則2x=t-,
∴f(t)=sin,即f(x)=sin.
方法二 (逆向變換)
根據(jù)題意,y=sin 2x
y=sin 2=sin
y=sin.
四、探究與拓展
14.(2017·紹興柯橋區(qū)期末)將函數(shù)
24、f(x)=sin(2x+φ)的圖象向左平移個單位長度,再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),所得圖象關(guān)于直線x=對稱,則|φ|的最小值為________.
考點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換
題點(diǎn) 三角函數(shù)圖象的平移變換
答案
解析 f(x)=sin(2x+φ)向左平移個單位長度后得到sin,再將圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),得到sin,此函數(shù)圖象關(guān)于x=對稱,
所以令x=得sin=sin=±1,
所以+φ=+kπ,k∈Z,得φ=-+kπ,k∈Z,則|φ|的最小值為.
15.已知函數(shù)f(x)=2sin ωx,其中常數(shù)ω>0.
(1)若y
25、=f(x)在上單調(diào)遞增,求ω的取值范圍;
(2)令ω=2,將函數(shù)y=f(x)的圖象向左平移個單位長度,再向上平移1個單位長度,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,區(qū)間[a,b](a,b∈R且a