《（新課標）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第34講 數(shù)列求和導(dǎo)學(xué)案 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（新課標）2021版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第六章 數(shù)列 第34講 數(shù)列求和導(dǎo)學(xué)案 新人教A版（11頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第34講　數(shù)列求和 【課程要求】 1．熟練掌握等差、等比數(shù)列前n項和公式． 2．熟練掌握非等差、等比數(shù)列求和的幾種方法，如錯位相減、裂項相消以及分組求和等． 對應(yīng)學(xué)生用書p91 【基礎(chǔ)檢測】 1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項和Sn＝.(　　) (2)當(dāng)n≥2時，＝2.(　　) (3)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan之和時，只要把上式等號兩邊同時乘以a即可根據(jù)錯位相減法求得．(　　) (4)數(shù)列的前n項和為n2＋.(　　) (5)推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此

2、法可求得sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(　　) (6)如果數(shù)列{an}是周期為k的周期數(shù)列，那么Skm＝mSk(m，k為大于1的正整數(shù))．(　　) [答案] (1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√　(6)√ 2．[必修5p61A組T4(3)]1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝________(x≠0且x≠1)． [解析]設(shè)Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，① 則xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，② ①－②得(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn ＝－nxn， ∴Sn＝－. [答案]

3、－ 3．[必修5p61A組T5]一個球從100m高處自由落下，每次著地后又跳回到原高度的一半再落下，當(dāng)它第10次著地時，經(jīng)過的路程是(　　) A．100＋200(1－2－9) B．100＋100(1－2－9) C．200(1－2－9) D．100(1－2－9) [解析]第10次著地時，經(jīng)過的路程為100＋2(50＋25＋…＋100×2－9)＝100＋2×100×(2－1＋2－2＋…＋2－9)＝100＋200×＝100＋200(1－2－9)． [答案]A 4.＋＋＋＋…＋＝(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.B. C.D. [解析]因為＋＋＋…＋

4、 ＝ ＝ ＝ ＝. [答案]C 5．設(shè)f(x)＝，利用倒序相加法，則f＋f＋f＋…＋f＝________． [解析]當(dāng)x1＋x2＝1時，f(x1)＋f(x2)＝＋＝＝＝1. 設(shè)S＝f＋f＋f＋…＋f， 倒序相加有 2S＝＋＋…＋＝2020，即S＝1010. [答案]1010 6．?dāng)?shù)列{an}的通項公式為an＝ncos，其前n項和為Sn，則S2019＝________． [解析]因為數(shù)列an＝ncos呈周期性變化，觀察此數(shù)列規(guī)律如下：a1＝0，a2＝－2，a3＝0，a4＝4. 故S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝2. ∴S2019＝S2020－a2020＝505×2－2

5、020·cosπ ＝－1010. [答案]－1010 【知識要點】 求數(shù)列前n項和的基本方法 (1)公式法 數(shù)列{an}為等差或等比數(shù)列時直接運用其前n項和公式求和． 若{an}為等差數(shù)列，則Sn＝＝__na1＋d__． 若{an}為等比數(shù)列，其公比為q， 則當(dāng)q＝1時，Sn＝__na1__({an}為常數(shù)列)； 當(dāng)q≠1時，Sn＝____＝____． (2)裂項相消求和法 數(shù)列{an}滿足通項能分裂為兩項之差，且分裂后相鄰的項正負抵消從而求得其和． (3)倒序相加法 如果一個數(shù)列{an}的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前

6、n項的和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列前n項和公式就是用此法推導(dǎo)的． (4)錯位相減法 如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應(yīng)項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導(dǎo)的． (5)分組轉(zhuǎn)化求和法 一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和然后相加減． (6)并項求和法 一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱為并項求和法．形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋9

7、7)＋…＋(2＋1)＝5050. 對應(yīng)學(xué)生用書p92 分組轉(zhuǎn)化法求和 例1　已知等差數(shù)列的前n項和為Sn，等比數(shù)列的前n項和為Tn.若a1＝b1＝3，a4＝b2，S4－T2＝12. (1)求數(shù)列與的通項公式； (2)求數(shù)列的前n項和． [解析] (1)由a1＝b1，a4＝b2， 則S4－T2＝(a1＋a2＋a3＋a4)－(b1＋b2)＝a2＋a3＝12， 設(shè)等差數(shù)列的公差為d， 則a2＋a3＝2a1＋3d＝6＋3d＝12，所以d＝2. 所以an＝3＋2(n－1)＝2n＋1. 設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題b2＝a4＝9， 即b2＝b1q＝3q＝9，所以q＝3. 所

8、以bn＝3n. (2)an＋bn＝(2n＋1)＋3n， 所以的前n項和為 (a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn) ＝(3＋5＋…＋2n＋1)＋(3＋32＋…＋3n) ＝＋＝n(n＋2)＋. [小結(jié)]一個數(shù)列的通項公式是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或其他可求和的數(shù)列構(gòu)成可以用分組求和法，分別求和再相加減． 1．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，滿足a1＝3，b1＝1，b2＋S2＝10，a5－2b2＝a3. (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項公式； (2)令cn＝設(shè)數(shù)列{cn}的前n項和為Tn，求T2n. [解析] (1)設(shè)數(shù)列{an}的

9、公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q， 由得解得 ∴an＝3＋2(n－1)＝2n＋1，bn＝2n－1. (2)由a1＝3，an＝2n＋1得Sn＝＝n(n＋2)， 則cn＝ 即cn＝ ∴T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n) ＝＋ (2＋23＋…＋22n－1) ＝1－＋＝＋(4n－1)． 錯位相減法求和 例2　(2017·山東理)已知{an}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1＋a2＝6，a1a2＝a3. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2){bn}為各項非零的等差數(shù)列，其前n項和為Sn.已知S2n＋1＝bnbn＋1，求數(shù)列的前n項和Tn. [

10、解析] (1)設(shè){an}的公比為q， 由題意知a1(1＋q)＝6，aq＝a1q2. 又an＞0，解得a1＝2，q＝2， 所以an＝2n. (2)由題意知， S2n＋1＝＝(2n＋1)bn＋1， 又S2n＋1＝bnbn＋1，bn＋1≠0， 所以bn＝2n＋1. 令cn＝，則cn＝， 因此Tn＝＋＋＋…＋＋， 又Tn＝＋＋＋…＋＋， 兩式相減得 Tn＝＋－ ＝＋1－－ ＝－， 所以Tn＝5－. [小結(jié)]用錯位相減法求和應(yīng)注意的問題 (1)要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形． (2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應(yīng)特別注意將兩式“錯項對齊”以

11、便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式． (3)在應(yīng)用錯位相減法求和時，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比等于1和不等于1兩種情況求解． 2．化簡Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的結(jié)果是(　　) A．2n＋1＋n－2B．2n＋1－n＋2 C．2n－n－2D．2n＋1－n－2 [解析]因為Sn＝n＋(n－1)×2＋…＋2×2n－2＋2n－1，① 2Sn＝n×2＋(n－1)×22＋…＋2×2n－1＋2n，② 所以①－②得，－Sn＝n－(2＋22＋23＋…＋2n)＝n＋2－2n＋1，所以Sn＝2n＋1－n－2. [答案]D 裂項相消法求和

12、 例3　已知數(shù)列{an}滿足a1＝3，an＋1＝2an－n＋1，數(shù)列{bn}滿足b1＝2，bn＋1＝bn＋an－n，n∈N*. (1)證明：{an－n}為等比數(shù)列； (2)數(shù)列{cn}滿足cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn. [解析] (1)因為an＋1＝2an－n＋1，所以an＋1－(n＋1)＝2(an－n)． 又a1＝3，所以a1－1＝2， 所以數(shù)列{an－n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列． (2)由(1)知，an－n＝2·2n－1＝2n，an＝2n＋n， 所以bn＋1＝bn＋an－n＝bn＋2n，即bn＋1－bn＝2n. b2－b1＝21，b3－b2＝22，b4－b

13、3＝23，…，bn－bn－1＝2n－1. 以上式子相加，得bn＝2＋＝2n(n≥2)． 當(dāng)n＝1時，b1＝2，滿足bn＝2n， 所以bn＝2n. 所以cn＝＝＝－. 所以Tn＝－＋－＋…＋－＝－. [小結(jié)]常見的拆項公式有： (1)＝－. (2)＝. (3)＝. (4)＝(－)． (5)C＝C－C. (6)n·n！＝(n＋1)?。璶！. (7)an＝Sn－Sn－1(n≥2)． 3．已知各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a＋2an＝4Sn. (1)求Sn； (2)設(shè)bn＝(＋)·，求數(shù)列的前n項和Tn. [解析] (1)由題意得 兩式作差得(a

14、n＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0， 又數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，所以an＋1－an－2＝0， 即an＋1－an＝2. 當(dāng)n＝1時，有a＋2a1＝4S1＝4a1，得a1(a1－2)＝0，則a1＝2， 故數(shù)列{an}是首項為2，公差為2的等差數(shù)列， 所以Sn＝na1＋d＝n2＋n. (2)＝·＝＝－， 所以Tn＝＝＝1－. 并項法求和 例4　已知數(shù)列滿足a1＝1，2anan＋1＋3an＋1＝3an. (1)求的通項公式； (2)若cn＝，求的前2n項的和T2n. [解析] (1)由2anan＋1＋3an＋1＝3an，得＝＋， 所以－＝， 所以數(shù)列是首項為1，公差

15、為的等差數(shù)列， 所以＝1＋＝n＋，即an＝. (2)設(shè)c2n－1＋c2n＝－＝， 因為－＝－，所以c2n－1＋c2n＝－·， T2n＝－＋－＋…＋－ ＝－ ＝－×＝－n2－n. [小結(jié)]用并項法求和時，要注意可能要分類討論． 4．已知數(shù)列{an}的首項為a1＝1，其前n項和為Sn，且數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若bn＝an，求數(shù)列的前n項和Tn. [解析] (1)∵數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且＝a1＝1， ∴＝1＋(n－1)×2＝2n－1， ∴Sn＝2n2－n ∴當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1 ＝2n2－n－＝4n－3

16、. ∵a1＝1符合an＝4n－3， ∴an＝4n－3. (2)由(1)可得bn＝an＝·. 當(dāng)n為偶數(shù)時，Tn＝＋＋…＋＝4×＝2n； 當(dāng)n為奇數(shù)時，n＋1為偶數(shù)， Tn＝Tn＋1－bn＋1＝2－＝－2n＋1. 綜上所述，Tn＝ 對應(yīng)學(xué)生用書p94 1．(2017·全國卷Ⅱ理)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a3＝3，S4＝10，則＝________． [解析]設(shè)等差數(shù)列的首項為a1，公差為d， 由題意有：解得 數(shù)列的前n項和Sn＝na1＋d＝n×1＋×1＝. 裂項有：＝＝2， 據(jù)此：＝2 ＝2＝. [答案] 2．(2019·天津理)設(shè)是等差數(shù)列，是等比數(shù)列．已知a1＝4，b1＝6，b2＝2a2－2，b3＝2a3＋4. (1)求和的通項公式； (2)設(shè)數(shù)列滿足c1＝1，cn＝其中k∈N*. (i)求數(shù)列的通項公式； (ii)求a2i ＝＋ ＝＋9×－n ＝27×22n－1＋5×2n－1－n－12. 11