《2019-2020學年新教材高中數學 第三章 函數的概念與性質 3.1.2.1 函數的表示法學案 新人教A版必修第一冊》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019-2020學年新教材高中數學 第三章 函數的概念與性質 3.1.2.1 函數的表示法學案 新人教A版必修第一冊（13頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第1課時　函數的表示法 1．了解函數的三種表示法及各自的優(yōu)缺點． 2．掌握求函數解析式的常見方法． 3．嘗試作圖并從圖象上獲取有用的信息． 溫馨提示：列表法、圖象法和解析法是從三個不同的角度刻畫自變量與函數值的對應關系，同一個函數可以用不同的方法表示． 1．①如圖是我國人口出生率變化曲線： ②下表是大氣中氰化物濃度與污染源距離的關系表： 污染源距離 50 100 200 300 500 氰化物濃度 0.678 0.398 0.121 0.05 0.01 (1)實例①中的圖能表示兩個變量之間存在函數關系嗎？如果能，自變量是什么？ (

2、2)實例②中的表格能表示兩個變量之間存在函數關系嗎？如果能，定義域是什么？值域是什么？ (3)實例中的函數關系能否用解析式表示？ [答案]　(1)能．表示出生率是年份的函數，其中年份為自變量 (2)能．表示濃度是距離的函數，其中，定義域為{50,100,200,300,500}，值域為{0.678,0.398,0.121,0.05,0.01} (3)不能．并不是所有的函數都有解析式 2．判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”) (1)任何一個函數都可以用列表法表示．(　　) (2)任何一個函數都可以用解析法表示．(　　) (3)函數f(x)＝2x＋1可以用圖象法表示．(　　)

3、 (4)函數的圖象一定是定義區(qū)間上一條連續(xù)不斷的曲線．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 題型一函數的表示法 【典例1】　某商場新進了10臺彩電，每臺售價3000元，試求售出臺數x與收款數y之間的函數關系，分別用列表法、圖象法、解析法表示出來． [思路導引]　把自變量與函數值的對應關系分別用表格、圖象和數學表達式加以刻畫． [解]?、倭斜矸? x(臺) 1 2 3 4 5 y(元) 3000 6000 9000 12000 15000 x(臺) 6 7 8 9 10 y(元) 18000 21000 24000

4、 27000 30000 ②圖象法：如圖所示． ③解析法：y＝3000x，x∈{1,2,3，…，10}． 理解函數的表示法的3個關注點 (1)列表法、圖象法、解析法均是函數的表示法，無論用哪種方式表示函數，都必須滿足函數的概念． (2)判斷所給圖象、表格、解析式是否表示函數的關鍵在于是否滿足函數的定義． (3)函數的三種表示法互相兼容或補充，許多函數是可以用三種方法表示的，但在實際操作中，仍以解析法為主． 1．已知函數f(x)，g(x)分別由下表給出． 則f[g(1)]的值為________；當g[f(x)]＝2時，x＝________. [解析]　由于函數關系

5、是用表格形式給出的，知g(1)＝3，∴f[g(1)]＝f(3)＝1.由于g(2)＝2，∴f(x)＝2， ∴x＝1. [答案]　1　1 題型二函數的圖象 【典例2】　作出下列函數的圖象并求出其值域． (1)y＝，x∈[2，＋∞)； (2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]． [思路導引]　通過“列表→描點→連線”作出函數圖象，借助圖象求出函數值域． [解]　(1)列表： x 2 3 4 5 … y 1 … 畫圖象，當x∈[2，＋∞)時，圖象是反比例函數y＝的一部分(圖1)，觀察圖象可知其值域為(0,1]． 　　 (2)列表： x －2 －1

6、 0 1 2 y 0 －1 0 3 8 畫圖象，圖象是拋物線y＝x2＋2x在－2≤x≤2之間的部分(圖2)．由圖可得函數的值域是[－1,8]． 描點法作函數圖象的3個關注點 (1)畫函數圖象時首先關注函數的定義域，即在定義域內作圖． (2)圖象是實線或實點，定義域外的部分有時可用虛線來襯托整個圖象． (3)要標出某些關鍵點，例如圖象的頂點、端點、與坐標軸的交點等．要分清這些關鍵點是實心點還是空心點． [針對訓練] 2．作出下列各函數的圖象： (1)y＝1－x，x∈Z. (2)y＝2x2－4x－3,0≤x<3. [解]　(1)這個函數的圖象由一些點組成，

7、這些點都在直線y＝1－x上，又x∈Z，從而y∈Z，因此y＝1－x(x∈Z)的圖象是直線y＝1－x上一些孤立的點，如圖1所示． 　　　 圖1　　　　　　　　圖2 (2)因為0≤x<3，所以這個函數的圖象是拋物線y＝2x2－4x－3介于0≤x<3之間的一段，如圖2所示. 題型三函數解析式的求法 【典例3】　(1)已知f(x)是二次函數，且滿足f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)的解析式； (2)已知函數f(＋1)＝x＋2＋1，求f(x)的解析式； (3)已知函數f(x)滿足2f(x)＋f＝3x，求f(x)的解析式． [思路導引]　求函數解析式，就是尋找函數三要素中

8、的對應關系，即在已知自變量和函數值的條件下求對應關系的表達式． [解]　(1)設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， ∵f(0)＝1，∴c＝1. ∴f(x＋1)－f(x)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b. 又f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴∴ ∴f(x)＝x2－x＋1. (2)解法一：∵f(＋1)＝x＋2＋1＝(＋1)2， ∴f(x)＝x2. 又＋1≥1，∴f(x)＝x2(x≥1)． 解法二：令t＝＋1，則x＝(t－1)2. 由于x≥0，所以t≥1. 代入原式有f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＋1＝t2， 所以f(x)＝

9、x2(x≥1)． (3)∵2f(x)＋f＝3x，① ∴將x用替換， 得2f＋f(x)＝，② 聯(lián)立①②得 解得f(x)＝2x－(x≠0)， 即f(x)的解析式是f(x)＝2x－(x≠0)． [變式]　(1)若將本例(2)中條件“f(＋1)＝x＋2＋1”變?yōu)椤癴＝－1”，則f(x)的解析式是什么？ (2)若將本例(3)中條件“2f(x)＋f＝3x”變?yōu)? “f(x)－2f(－x)＝9x＋2”，則f(x)的解析式是什么？ [解]　(1)f＝2－2， 所以f(x)＝x2－2x. 因為≠0，所以＋1≠1，所以f(x)＝x2－2x(x≠1)． (2)由條件知，f(－x)－2f(x)

10、＝－9x＋2， 則 解得f(x)＝3x－2. 求函數解析式的3種常用方法 (1)待定系數法：若已知函數的類型，可用待定系數法求解，即由函數類型設出函數解析式，再根據條件列方程(組)，通過解方程(組)求出待定系數，進而求出函數解析式．如典例3(1)． (2)換元法(有時可用“配湊法”)：已知函數f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式，可用換元法(或“配湊法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f[g(x)]中求出f(t)，從而求出f(x)．如典例3(2)． (3)解方程組法：已知關于f(x)與f或f(－x)的表達式，可根據已知條件再構造出另外一個等式組成方程組，通過解方

11、程組求出f(x)．如典例3(3)． [針對訓練] 3．已知函數f(x)是一次函數，若f[f(x)]＝4x＋8，求f(x)的解析式． [解]　(待定系數法)設f(x)＝ax＋b(a≠0)， 則f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b. 又f[f(x)]＝4x＋8， ∴a2x＋ab＋b＝4x＋8， 即解得或 ∴f(x)＝2x＋或f(x)＝－2x－8. 4．已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)． [解]　解法一(配湊法)：∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6， ∴f(x)＝x2－5x＋6.

12、 解法二(換元法)：令t＝x＋1，則x＝t－1， ∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6， 即f(x)＝x2－5x＋6. 課堂歸納小結 1．函數三種表示法的優(yōu)缺點 2.描點法畫函數圖象的步驟 (1)求函數定義域；(2)化簡解析式；(3)列表；(4)描點；(5)連線． 3．求函數解析式常用的方法 (1)特定系數法；(2)換元法；(3)配湊法；(4)消元法. 1．y與x成反比，且當x＝2時，y＝1，則y關于x的函數關系式為(　　) A．y＝ B．y＝－ C．y＝ D．y＝－ [解析]　設y＝，當x＝2時，y＝1，所以1＝，得k＝2.故y＝.

13、[答案]　C 2．由下表給出函數y＝f(x)，則f[f(1)]等于(　　) x 1 2 3 4 5 y 4 5 3 2 1 A.1 B．2 C．4 D．5 [解析]　由題意得f(1)＝4，所以f[f(1)]＝f(4)＝2. [答案]　B 3．小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后，為了趕時間加快速度行駛．與以上事件吻合得最好的圖象是(　　) [解析]　距學校的距離應逐漸減小，由于小明先是勻速運動，故前段是直線段，途中停留時距離不變，后段加速，直線段比前段下降的快，故應選C. [答案]　C 4．若3f(x－1)＋2f

14、(1－x)＝2x，則f(x)的解析式為__________________． [解析]　(換元法)令t＝x－1，則x＝t＋1，t∈R， 原式變?yōu)?f(t)＋2f(－t)＝2(t＋1)，① 以－t代替t，①式變?yōu)?f(－t)＋2f(t)＝2(1－t)，② 由①②消去f(－t)得f(t)＝2t＋，∴f(x)＝2x＋. [答案]　f(x)＝2x＋ 5．已知f(x)＝x＋b，f(ax＋1)＝3x＋2，求a，b的值． [解]　由f(x)＝x＋b，得f(ax＋1)＝ax＋1＋b. ∴ax＋1＋b＝3x＋2，∴a＝3，b＋1＝2，即a＝3，b＝1. 課后作業(yè)(十七) 復習鞏固 一、選擇

15、題 1．一個面積為100 cm2的等腰梯形，上底長為x cm，下底長為上底長的3倍，則把它的高y表示成x的函數為(　　) A．y＝50x(x>0) B．y＝100x(x>0) C．y＝(x>0) D．y＝(x>0) [解析]　由·y＝100，得2xy＝100，∴y＝(x>0)． [答案]　C 2．已知函數y＝f(x)的對應關系如下表，函數y＝g(x)的圖象是如圖的曲線ABC，其中A(1,3)，B(2,1)，C(3,2)，則f[g(2)]的值為(　　) 　 A．3 B．2 C．1 D．0 [解析]　由函數g(x)的圖象知，g(2)＝1，則f[g(2)]＝f(1)＝

16、2. [答案]　B 3．如果f＝，則當x≠0,1時，f(x)等于(　　) A. B. C. D.－1 [解析]　令＝t，則x＝，代入f＝，則有f(t)＝＝，故選B. [答案]　B 4．若f(x)是一次函數，2f(2)－3f(1)＝5,2f(0)－f(－1)＝1，則f(x)＝(　　) A．3x＋2 B．3x－2 C．2x＋3 D．2x－3 [解析]　設f(x)＝ax＋b，由題設有 解得所以選B. [答案]　B 5．若f(1－2x)＝(x≠0)，那么f等于(　　) A．1 B．3 C．15 D．30 [解析]　解法一：令1－2x＝t，則x＝(t≠1)，∴f(

17、t)＝－1(t≠1)，即f(x)＝－1(x≠1)， ∴f＝16－1＝15. 解法二：令1－2x＝，得x＝， ∴f＝＝15. [答案]　C 二、填空題 6．已知函數f(x)＝x－，且此函數圖象過點(5,4)，則實數m的值為________． [解析]　將點(5,4)代入f(x)＝x－，得m＝5. [答案]　5 7．已知函數f(2x＋1)＝3x＋2，且f(a)＝4，則a＝________. [解析]　因為f(2x＋1)＝(2x＋1)＋，所以f(a)＝a＋.又f(a)＝4，所以a＋＝4，a＝. [答案]　 8．若2f(x)＋f＝2x＋(x≠0)，則f(2)＝________.

18、 [解析]　令x＝2得2f(2)＋f＝，令x＝得2f＋f(2)＝，消去f得f(2)＝. [答案]　 三、解答題 9．作出下列函數的圖象，并指出其值域． (1)y＝x2＋x(－1≤x≤1)； (2)y＝(－2≤x≤1，且x≠0)． [解]　(1)用描點法可以作出函數的圖象如圖(1)． 由圖可知y＝x2＋x(－1≤x≤1)的值域為. (2)用描點法可以作出函數的圖象如圖(2)，由圖可知y＝(－2≤x≤1，且x≠0)的值域為(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 10．求下列函數的解析式： (1)已知函數f(x－1)＝x2－4x，求函數f(x)的解析式； (2)已知f(x)是二次

19、函數，且f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2－4x，求f(x)的解析式． [解]　(1)解法一：已知f(x－1)＝x2－4x，令x－1＝t，則x＝t＋1，代入上式得，f(t)＝(t＋1)2－4(t＋1)＝t2－2t－3，即f(x)＝x2－2x－3(x∈R)． 解法二：∵f(x－1)＝(x－1)2－2(x－1)－3，∴f(x)＝x2－2x－3(x∈R)． (2)設f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，則依題意代入， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c＋a(x－1)2＋b(x－1)＋c＝2x2－4x，即2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2－4x， 利用等式兩邊對應項的系數相等，可得2a＝2

20、,2b＝－4,2a＋2c＝0， 解得，a＝1，b＝－2，c＝－1， ∴f(x)的解析式為f(x)＝x2－2x－1. 綜合運用 11．一水池有2個進水口，1個出水口，進出水速度如圖甲、乙所示．某天0點到6點，該水池的蓄水量如圖丙所示．(至少打開一個水口) 給出以下3個論斷：①0點到3點只進水不出水；②3點到4點不進水只出水；③4點到6點不進水不出水．則正確論斷的個數是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [解析]　由題意可知在0點到3點這段時間，每小時進水量為2，即2個進水口同時進水且不出水，所以①正確；從丙圖可知3點到4點水量減少了1，所以應該是有一個進水口進水，同

21、時出水口也出水，故②錯；當兩個進水口同時進水，出水口也同時出水時，水量保持不變，也可由題干中的“至少打開一個水口”知③錯． [答案]　B 12．從甲城市到乙城市t min的電話費由函數g(t)＝1.06×(0.75[t]＋1)給出，其中t>0，[t]為t的整數部分，則從甲城市到乙城市5.5 min的電話費為(　　) A．5.04元 B．5.56元 C．5.84元 D．5.38元 [解析]　g(5.5)＝1.06(0.75×5＋1)＝5.035≈5.04. [答案]　A 13．設f(x)＝2x＋a，g(x)＝(x2＋3)，且g[f(x)]＝x2－x＋1，則a的值為(　　) A

22、．1 B．－1 C．1或－1 D．1或－2 [解析]　因為g(x)＝(x2＋3)，所以g[f(x)]＝[(2x＋a)2＋3]＝(4x2＋4ax＋a2＋3)＝x2－x＋1，求得a＝－1.故選B. [答案]　B 14．已知x≠0，函數f(x)滿足f＝x2＋，則f(x)＝________. [解析]　f＝x2＋＝2＋2，所以 f(x)＝x2＋2. [答案]　x2＋2 15．已知函數f(x)＝(a，b為常數，且a≠0)滿足f(2)＝1，且f(x)＝x有唯一解，求函數y＝f(x)的解析式和f[f(－3)]的值． [解]　因為f(2)＝1，所以＝1，即2a＋b＝2，① 又因為f(x)＝x有唯一解，即＝x有唯一解，所以ax2＋(b－1)x＝0有兩個相等的實數根，所以Δ＝(b－1)2＝0，即b＝1. 代入①得a＝. 所以f(x)＝＝. 所以f[f(－3)]＝f＝f(6)＝＝. 13