《（新課標）2021版高考數(shù)學一輪總復習 第二章 函數(shù) 第7講 函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性導學案 新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（新課標）2021版高考數(shù)學一輪總復習 第二章 函數(shù) 第7講 函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性導學案 新人教A版（12頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第7講　函數(shù)的奇偶性、周期性與對稱性 【課程要求】 1．理解函數(shù)奇偶性的概念，了解函數(shù)周期性的定義，判斷函數(shù)的奇偶性． 2．利用函數(shù)奇偶性、周期性求函數(shù)值及參數(shù)值． 3．掌握函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應用． 對應學生用書p16 【基礎檢測】 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．判斷下面結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”) (1)函數(shù)y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函數(shù)．(　　) (2)偶函數(shù)圖象不一定過原點，奇函數(shù)的圖象一定過原點．(　　) (3)如果函數(shù)f(x)，g(x)為定義域相同的偶函數(shù)，則F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函數(shù)．(　　) (

2、4)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)關于直線x＝a對稱．(　　) (5)若T是函數(shù)的一個周期，則nT(n∈Z，n≠0)也是函數(shù)的周期．(　　) [答案] (1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√ 2．[必修1p39A組T6]已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x＞0時，f(x)＝x(1＋x)，則f(－1)＝__________． [解析]f(1)＝1×2＝2，又f(x)為奇函數(shù)， ∴f(－1)＝－f(1)＝－2. [答案]－2 3．[必修1p45B組T4]設f(x)是定義在R上的周期為2的函數(shù)，當x∈[－1，1)時，f(x)＝則f＝______

3、____． [解析]f＝f＝－4×＋2＝1. [答案]1 4．[必修1p39A組T6]設奇函數(shù)f(x)的定義域為[－5，5]，若當x∈[0，5]時，f(x)的圖象如圖所示，則不等式f(x)＜0的解集為____________． [解析]由圖象可知，當0＜x＜2時，f(x)＞0；當2＜x≤5時， f(x)＜0，又f(x)是奇函數(shù)， ∴當－2＜x＜0時，f(x)＜0，當－5≤x<－2時，f(x)>0. 綜上，f(x)＜0的解集為(－2，0)∪(2，5]． [答案] (－2，0)∪(2，5] 5．已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1，2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是

4、(　　) A．－B.C．－D. [解析]依題意得f(－x)＝f(x)，∴b＝0，又a－1＝－2a， ∴a＝，∴a＋b＝，故選B. [答案]B 6．已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋2)＝對x∈R恒成立，當x∈[0，2]時，f(x)＝2x，則f＝(　　) A.B.C.D．－1 [解析]∵f(x＋2)＝，∴f(x＋4)＝＝f(x)對x∈R恒成立， ∴f(x)的周期為4， 又因為f(x)是定義在R上的偶函數(shù)， ∴f＝f＝f， ∵當x∈[0，2]時，f(x)＝2x，∴f＝. [答案]B 【知識要點】 1．函數(shù)的奇偶性 奇偶性 定義 圖象特點 偶函數(shù) 如果

5、對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有__f(－x)＝f(x)__，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù) 關于__y軸__對稱 奇函數(shù) 如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有__f(－x)＝－f(x)__，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù) 關于__原點__對稱 2.函數(shù)的周期性 (1)周期函數(shù) 對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有__f(x＋T)＝f(x)__，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期． (2)最小正周期 如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個__最小的正數(shù)__，那么這個__最小正數(shù)__就叫做f(x)的最

6、小正周期． 3．函數(shù)奇偶性常用結論 (1)如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)＝f(|x|)． (2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調(diào)性． (3)在公共定義域內(nèi)有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 4．函數(shù)周期性常用結論 對f(x)定義域內(nèi)任一自變量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)． (2)若f(x＋a)＝，則T＝2a(a>0)． (3)若f(x＋a)＝－，則T＝2a(a>0)． 對應學生用書p17 函數(shù)奇偶性的判斷 例1　(1)下列函數(shù)為奇函數(shù)的是(　　)

7、 A．y＝lnxB．y＝ex C．y＝xsinxD．y＝ex－e－x [解析]對于選項A，定義域為(0，＋∞)，不關于原點對稱，故不是奇函數(shù)．所以選項A錯； 對于選項B，f(－x)＝e－x＝≠－f(x)，故選項B錯； 對于選項C，f(－x)＝－xsin(－x)＝－x(－sinx)＝xsinx＝f(x)，所以y＝xsinx為偶函數(shù)，故選項C錯； 對于選項D，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，所以函數(shù)y＝ex－e－x為奇函數(shù)，故選項D正確． [答案]D (2)(多選)設函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結論中正

8、確的是(　　) A．f(x)g(x)是偶函數(shù)B．|f(x)|g(x)是偶函數(shù) C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù)D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù) [解析]因為f(－x)g(－x)＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)是奇函數(shù)； 因為|f(－x)|g(－x)＝|f(x)|g(x)，所以|f(x)|g(x)是偶函數(shù)； 因為f(－x)|g(－x)|＝－f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是奇函數(shù)； 因為|f(－x)g(－x)|＝|f(x)g(x)|，所以|f(x)g(x)|是偶函數(shù)． [答案]BC [小結]1.判斷函數(shù)的奇偶性包括兩個必備條件： (1)定義域關于原點對稱

9、，這是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件，所以首先考慮定義域； (2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系，可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立． 2．常用結論： (1)奇±奇為奇；偶±偶為偶；奇±偶為非奇非偶； 奇×(÷)奇為偶；奇×(÷)偶為奇；偶×(÷)偶為偶． (2)若函數(shù)f(x)的定義域關于原點對稱，則函數(shù)f(x)能表示成一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的和的形式．記偶函數(shù)g(x)＝[f(x)＋f(－x)]，奇函數(shù)h(x)＝[f(x)－f(－x)]，則f(x)＝g(x)＋h(x)． (3)復合函數(shù)y＝

10、f[g(x)]的奇偶性原理：內(nèi)偶則偶，兩奇為奇． (4)若奇函數(shù)y＝f(x)在x＝0處有意義，則有f(0)＝0；偶函數(shù)y＝f(x)必滿足f(x)＝f(|x|)． 1．已知函數(shù)f(x)＝x2－，則下列判斷正確的是(　　) A．f(x)是偶函數(shù)不是奇函數(shù) B．f(x)是奇函數(shù)不是偶函數(shù) C．f(x)既是偶函數(shù)又是奇函數(shù) D．f(x)既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù) [解析]該函數(shù)的定義域為R， f(－x)＝(－x)2－＝x2－ ＝＝＝ ＝－x2＋＝－f(x)， 所以函數(shù)f(x)是奇函數(shù)， f(1)＝1－＝，f(－1)＝1－＝－， 所以函數(shù)f(x)不是偶函數(shù)． [答案]B

11、2．函數(shù)f(x)＝loga(2＋x)，g(x)＝loga(2－x)(a>0且a≠1)，則函數(shù)F(x)＝f(x)＋g(x)，G(x)＝f(x)－g(x)的奇偶性是(　　) A．F(x)是奇函數(shù)，G(x)是奇函數(shù) B．F(x)是偶函數(shù)，G(x)是奇函數(shù) C．F(x)是偶函數(shù)，G(x)是偶函數(shù) D．F(x)是奇函數(shù)，G(x)是偶函數(shù) [解析]F(x)，G(x)定義域均為(－2，2)， 由已知F(－x)＝f(－x)＋g(－x)＝loga(2－x)＋loga(2＋x)＝F(x)， G(－x)＝f(－x)－g(－x)＝loga(2－x)－loga(2＋x)＝－G(x)， ∴F(x)是偶函數(shù)

12、，G(x)是奇函數(shù)． [答案]B 函數(shù)的奇偶性的應用 例2　(1)設函數(shù)f(x)＝ln－，則不等式f(x)>f(2x－1)的解集為(　　) A.B. C.D.∪ [解析]f(x)的定義域為{x|x≠0}，∵f(－x)＝f(x)， ∴f(x)為偶函數(shù)； 當x>0時，f(x)＝lnx－單調(diào)遞增， 所以由f(x)>f(2x－1)，可得 解得

13、in＝b－t.∵g(x)max＋g(x)min＝0，∴a＋b－2t＝0，即2－2t＝0，解得t＝1. [答案]1 [小結]已知函數(shù)奇偶性可以解決以下問題： (1)求函數(shù)值，將待求值利用奇偶性轉化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解； (2)畫函數(shù)圖象，利用奇偶性可畫出另一對稱區(qū)間上的圖象． (3)求函數(shù)解析式：①將所求解析式自變量的范圍轉化為已知解析式中自變量的范圍；②將轉化后的自變量代入已知解析式；③利用函數(shù)的奇偶性求出解析式． (4)求參數(shù)值：在定義域關于原點對稱的前提下，根據(jù)奇函數(shù)滿足f(－x)＝－f(x)或偶函數(shù)滿足f(－x)＝f(x)列等式，根據(jù)等式兩側對應相等確定參數(shù)的值．特別要注

14、意的是：若能夠確定奇函數(shù)的定義域中包含0，可以根據(jù)f(0)＝0列式求解，若不能確定則不可用此法． [注意]利用“奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上有最值，則f(x)max＋f(x)min＝0”的性質(zhì)解決有關最值問題． 3．函數(shù)y＝f(x)是R上的奇函數(shù)，當x<0時，f(x)＝2x，則當x>0時，f(x)＝(　　) A．－2xB．2－x C．－2－xD．2x [解析]當x>0時，－x<0，∵x<0時，f(x)＝2x，∴當x>0時，f(－x)＝2－x.∵f(x)是R上的奇函數(shù)，∴當x>0時，f(x)＝－f(－x)＝－2－x. [答案]C 4．若函數(shù)f(x)＝xln(x＋)為偶函數(shù)，則a

15、＝__________． [解析]∵f(x)＝xln(x＋)為偶函數(shù)， ∴f(－x)＝f(x)，即－xln(－x)＝xln(x＋)，從而ln[()2－x2]＝0，即lna＝0，故a＝1. [答案]1 函數(shù)的周期性與對稱性及應用 例3　(1)設函數(shù)f(x)(x∈R)滿足f(x＋π)＝f(x)＋sinx．當0≤x＜π時，f(x)＝0，則f＝(　　) A.B. C．0D．－ [解析]∵f(x＋2π)＝f(x＋π)＋sin(x＋π)＝f(x)＋sinx－sinx＝f(x)，∴f(x)的周期T＝2π，又∵當0≤x＜π時，f(x)＝0，∴f＝0，∴f＝f＋sin＝0，∴f＝，∴f＝f＝f＝

16、. [答案]A (2)已知函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)＝(x－1)2的圖象關于y軸對稱，若存在a∈R，使x∈[1，m](m>1)時，f(x＋a)≤4x成立，則m的最大值為(　　) A．3B．6C．9D．12 [解析]由于函數(shù)f(x)與函數(shù)g(x)＝(x－1)2的圖象關于y軸對稱，因此f(x)＝(x＋1)2，由f(x＋a)≤4x得(x＋a＋1)2≤4x，把x＝1代入得－4≤a≤0.當a＝0時，(x＋1)2≤4x，解得x＝1，當a＝－4時，(x－3)2≤4x，解之得1≤x≤9，因此m的最大值為9. [答案]C (3)對函數(shù)f(x)，在使f(x)≥M成立的所有常數(shù)M中，我們把M的最大值叫做

17、函數(shù)f(x)的下確界．現(xiàn)已知定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(1－x)＝f(1＋x)，當x∈[0，1]時，f(x)＝－3x2＋2，則f(x)的下確界為(　　) A．2B．1C．0D．－1 [解析]由題意知，f(x)的周期為2，畫出函數(shù)f(x)在R上的部分圖象如圖所示，易得下確界為－1.故選D. [答案]D [小結](1)判斷函數(shù)的周期性只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)即可，且周期為T. (2)根據(jù)函數(shù)的周期性，可以由函數(shù)的局部性質(zhì)得到函數(shù)的整體性質(zhì)，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題． (3)在解決具體問題時，要注意結論“若T是函數(shù)的周期，則kT(k∈Z且k≠0)也

18、是函數(shù)的周期”的應用． (4)函數(shù)周期性的三個常用結論(a>0)： ①若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a， ②若f(x＋a)＝，則T＝2a， ③若f(x＋a)＝－，則T＝2a. (5)函數(shù)對稱性代數(shù)表示： 函數(shù)f(x)為奇函數(shù)?f(x)＝－f(－x)，函數(shù)f(x)為偶函數(shù)?f(x)＝f(－x)(定義域關于原點對稱)； 函數(shù)f(x)關于點(a，b)對稱?f(x)＋f(－x＋2a)＝2b，函數(shù)f(x)關于直線x＝m對稱?f(x)＝f(－x＋2m)． 5．奇函數(shù)f(x)的定義域為R，若f(x＋1)為偶函數(shù)，且f(1)＝2，則f(4)＋f(5)的值為(　　) A．2B．1C．

19、－1D．－2 [解析]∵f(x＋1)為偶函數(shù)， ∴f(－x＋1)＝f(x＋1)， 則f(－x)＝f(x＋2)， 又y＝f(x)為奇函數(shù)， 則f(－x)＝－f(x)＝f(x＋2)，且f(0)＝0. 從而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，y＝f(x)的周期為4. ∴f(4)＋f(5)＝f(0)＋f(1)＝0＋2＝2. [答案]A 6．設f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)，在區(qū)間[－1，1]上，f(x)＝其中a，b∈R.若f＝f，則a＋3b的值為____________． [解析]因為f(x)是定義在R上且周期為2的函數(shù)， 所以f＝f且f(－1)＝f(1)， 故f＝f

20、， 從而＝－a＋1， 即3a＋2b＝－2.① 由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝， 即b＝－2a.② 由①②得a＝2，b＝－4，從而a＋3b＝－10. [答案]－10 函數(shù)性質(zhì)的綜合應用 例4　(1)定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋2)＝－f(x)，且在[0，2)上單調(diào)遞減，則下列結論正確的是(　　) A．0

21、)是以4為周期的周期函數(shù)，所以f(3)＝f(－1)． 又f(x)在[0，2)上單調(diào)遞減，所以函數(shù)f(x)在(－2，2)上單調(diào)遞減，所以f(－1)>f(0)>f(1)， 即f(1)<00的解集為(　　) A．(－∞，0)∪(4，＋∞) B．(－∞，－1)∪(3，＋∞) C．(－∞，－1)∪(4，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞) [解析]因為函數(shù)f(x＋1)為偶函數(shù)得f(x＋1)＝f(－x＋1)，所以f(x)關于x＝1對稱， 因

22、為f(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(－∞，1)上單調(diào)遞減， 因為f(－1)＝0，所以f(3)＝0， 因此由f(x－1)>0得x－1>3或x－1<－1， 解得x>4或x<0. [答案]A (3)定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)＋f(x＋2)＝0，且f(4－x)＝f(x)．現(xiàn)有以下三個命題：①8是函數(shù)f(x)的一個周期；②f(x)的圖象關于直線x＝2對稱；③f(x)是偶函數(shù)．其中正確命題的序號是__________． [解析]由f(x)＋f(x＋2)＝0， 得f(x＋2)＝－f(x)， 則f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 即4是f(x)的一個周期

23、，8也是f(x)的一個周期； 由f(4－x)＝f(x)，得f(x)的圖象關于直線x＝2對稱； 由f(4－x)＝f(x)與f(x＋4)＝f(x)， 得f(－x)＝f(x)，即函數(shù)f(x)為偶函數(shù)． [答案]①②③ [小結](1)關于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問題，關鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉化為已知區(qū)間上的問題． (2)掌握以下兩個結論，會給解題帶來方便：①f(x)為偶函數(shù)?f(x)＝f(|x|)．②若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有意義，則f(0)＝0. (3)函數(shù)的奇偶性、周期性及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì)，在高考中常常將它們綜合在一起命題，解題時，往往需要借助函數(shù)的

24、奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉換，再利用單調(diào)性解決相關問題． 7．已知f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數(shù)，若f(1)<1，f(5)＝，則實數(shù)a的取值范圍是(　　) A．－1

25、．3D．4 [解析]因為y＝f(x－1)的圖象關于x＝1對稱， 所以y＝f(x)的圖象關于x＝0對稱，即f(x)為偶函數(shù)， 因為f(x＋2)－f(x)＝2f(1)， 所以f(－1＋2)－f(－1)＝2f(1)， 所以f(1)＝0，f(x＋2)＝f(x)， 因此f＝f＝2，f(2021)＝f(1)＝0， f＋f＝2. [答案]B 對應學生用書p19 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 1．(2018·全國卷Ⅱ理)已知f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數(shù)，滿足f(1－x)＝f(1＋x)．若f(1)＝2，則f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝(　　)

26、A．－50B．0C．2D．50 [解析]因為f(x)是定義域為(－∞，＋∞)的奇函數(shù)，且f(1－x)＝f(1＋x)，所以f(1＋x)＝－f(x－1)， ∴f(3＋x)＝－f(x＋1)＝f(x－1)，∴T＝4， 因此f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)， 因為f(3)＝－f(1)，f(4)＝－f(2)， 所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝0， ∵f(2)＝f(－2)＝－f(2)，∴f(2)＝0，從而f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝f(1)＝2. [答案]C 2．(2019·全國卷Ⅱ理)已知f(x)是奇函數(shù)，且當x<0時，f(x)＝－eax.若f(ln2)＝8，則a＝__________． [解析]因為f(x)是奇函數(shù)，且當x<0時，f(x)＝－eax. 又因為ln2∈(0，1)，f(ln2)＝8， 所以－e－aln2＝－8，兩邊取以e為底的對數(shù)得－aln2＝3ln2，所以－a＝3，即a＝－3. [答案]－3 12