《六年級下冊數(shù)學知識點解析 四、數(shù)的整除性全國通用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《六年級下冊數(shù)學知識點解析 四、數(shù)的整除性全國通用（39頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、四、數(shù)的整除性 153.為什么要學習“數(shù)的整除性”這部分知識？ 　　“數(shù)的整除性”在小學數(shù)學教學中是一個重要的基礎知識。說它重要是因為這部分知識所涉及的基本數(shù)學概念不僅多，而且相對集中，如果不能明確、清晰地掌握這些基本數(shù)學概念的區(qū)別和聯(lián)系，就會引起混淆，而混淆也必然給以后的數(shù)學知識的學習，帶來嚴重的后遺癥。 　　例如：約數(shù)與倍數(shù)、質數(shù)與合數(shù)、奇數(shù)與偶數(shù)、公約數(shù)與公倍數(shù)……這些概念在教學中幾乎同時出現(xiàn)，但又有相反的內(nèi)涵，因此，這些概念必須牢固而又明確地建立起來。 　　還必須看到：“數(shù)的整除性”是學習分數(shù)的前提和準備。在分數(shù)的四則運算中，約分和通分是一定要掌握的基礎知識，而構成這些基礎

2、知識，是離不開“數(shù)的整除性”這部分內(nèi)容的。 　　例如：不掌握求最大公約數(shù)的方法，就不可能進行正確、迅速的約分；不掌握求最小公倍數(shù)的方法，也無法進行正確、迅速的通分。從這個意義上講，學習“數(shù)的整除性”是進一步學習數(shù)學的需要。 　　除此之外，學生在過去的學習中，已經(jīng)知道整數(shù)與整數(shù)的和、差、積都是整數(shù)，但整數(shù)除整數(shù)時，商不一定是整數(shù)，有時會是小數(shù)，到底在什么情況下，整數(shù)與整數(shù)相除，商仍然是整數(shù)呢？這就需要根據(jù)“數(shù)的整除性”的知識來進行正確的判斷了。 　　在未學習“數(shù)的整除性”前，學生是很難準確、迅速地判斷出下列各式的商是不是整數(shù)。 　87459÷3 65246÷7 　　32846÷11 9

3、6375÷25 　　74321÷9 79432÷8 　　由于數(shù)字較大，一時難于做出正確的判斷，一旦掌握了“數(shù)的整除性”這部分知識，這些問題就不難解決了。 154.整除和除盡有什么不同？ 　　整除和除盡是兩個既有區(qū)別又有聯(lián)系的概念，也是兩個易于混淆的概念?？梢酝ㄟ^下面兩道題的計算過程，來加以說明。 　　這兩道題相同的地方是都沒有余數(shù)，都可以說成是“除盡”。但這兩道題又有不同的地方，（1）題中的被除數(shù)、除數(shù)和商都是整數(shù)，這種情況稱作“整除”。按原題可以說成是896能被16整除。（2）題中的被除數(shù)、除數(shù)雖然是整數(shù)，但商不是整數(shù)，而是小數(shù)。這類情況就只能稱作“除盡”，而不能稱作“整除”。

4、按原題可以說成36能被8除盡，而不能說成36能被8整除。 　　又如：3.5÷0.5=7 824÷41.2=20 　　這兩個式子雖然都能除盡，商又是整數(shù)，但被除數(shù)和除數(shù)中， 至少有一個數(shù)不是整數(shù)，因此，這兩個式子只能屬于“除盡”情況，而不能稱作“整除”。 　　由于在小學數(shù)學中，“數(shù)的整除性”所涉及的數(shù)一般都指的是自然數(shù)，不包括0，因此，其定義是：“數(shù)a除以數(shù)b，除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說，a能被b整除?！? 　　“整除”與“除盡”是兩個不同的概念?！俺M”是指在除法中只要除到某一位時沒有余數(shù)，不管被除數(shù)、除數(shù)和商是整數(shù)還是小數(shù)，都可以說是“除盡”?！罢笔侵冈诔ㄖ兄挥斜怀龜?shù)

5、、除數(shù)和商都是整數(shù)的情況下，才可以說是“整除”。 　　“整除”是整數(shù)范圍內(nèi)的除法，而“除盡”則不限于整數(shù)范圍，只要求余數(shù)為零。“整除”與“除盡”的區(qū)別和聯(lián)系在于“整除”也可以稱作“除盡”，但是“除盡”不一定是“整除”?！俺M”中包括了“整除”，“整除”只是“除盡”的一種特殊情況?！俺M”與“整除”的關系可用右邊集合圖來表示。 155.“數(shù)的整除性”有哪些性質？ 　　“數(shù)的整除性”的性質很多，涉及到小學數(shù)學內(nèi)容的有以下幾個： 　?。?）如果兩個整數(shù)a、b都能被c整除，那么a與b的和也能被c整除。 　　例如：42÷7=6 56÷7=8 　?。?2＋56）÷7=14 　　42能被7

6、整除，56也能被7整除，那么42與56的和（98）也能被7整除。 　　反之，如果整數(shù)a、b中，有一個數(shù)能被c整除，而其中一個數(shù)不能被c整除，那么a與b的和就一定不能被c整除。 　　例如：36÷9=4 83÷9=9……2 　?。?6+83）÷9=13……2 　　36能被9整除，83不能被9整除，那么36與83的和（119）不能被9整除。 　?。?）如果兩個整數(shù)a、b都能被c整除，那么a與b的差也能被C整除。 　　例如：88÷11=8， 66÷11=6 　　（88-66）÷11=2 　　88能被11整除，66也能被11整除，那么88與66的差（22）也能被11整除。 　　反之，如

7、果整數(shù)a、b中，有一個數(shù)能被c整除，另一個數(shù)不能被c整除，那么a與b的差就一定不能被c整除。 　　例如：91÷13=7 30÷13=2……4 　　（91-30）÷13=4……9 　　91能被13整除，30不能被13整除，那么91與30的差（61）不能被13整除。 　?。?）如果兩個整數(shù)a、b都不能被c整除。那么a與b的和（或差）能或不能被c整除。這是一個不肯定的結論。 　　例如：65÷7=9……2 33÷7=4……5 　　（65＋33）÷7＝14 　?。?5-33）÷7=4……4 　　65不能被7整除，33也不能被7整除，由于兩個余數(shù)的和（2＋5=7），正好等于除數(shù)，因此，65

8、與33的和（98）能被7整除；而65與33的差則不能被7整除。 　　又如：85÷11=7……8 38÷11=3……5 　?。?5＋38）÷11＝11……2 　　（85-38）÷11=4……3 　　85不能被11整除，38也不能被11整除，此例中85與38的和（123）或差（47）都不能被11整除。 　?。?）如果整數(shù)a能被自然數(shù)c整除，那么a的倍數(shù)（整數(shù)倍）也能被c整除。 　　例如：39÷13=3 　?。?9×4）÷13=12 　　39能被13整除，39的4倍（156）也能被13整除。 　?。?）如果a、b、c這三個數(shù)中，a能被b整除，b又能被c整除，那么a一定能被c整除（這

9、是整除的傳遞性）。 　　例如：有84、21、7三個數(shù) 　　84÷24=4 21÷7=3 　　84÷7＝12 　　84能被21整除，21又能被7整除，那么84就一定能被7整除。 　　反之，如果a、b、c這三個數(shù)中，a與b或b與c之間只要出現(xiàn)一個不能整除的情況，a就一定不能被c整除。 　　例如：有121、11、5三個數(shù) 　　121÷11=11 11÷5=2……1 　　121÷5=24……1 　　121能被11整除，但11不能被5整除，那么121就一定不能被5整除。 156.“倍”與“倍數(shù)”有什么區(qū)別？ 　　“倍”與“倍數(shù)”雖然只有一字之差，卻是兩個不同的數(shù)學概念，只有真正明確

10、它們各自的內(nèi)涵和使用范圍，才不會在理解和應用上造成混淆。 　　“倍”指的是數(shù)量之間的關系，它建立在乘法概念的基礎上，在實際教學中，是從“個”和“份”逐步抽象出來的數(shù)學概念。 　　例如：白布8米，花布的長度有4個8米；或者說把白布8米看作1份，花布的長度是4份。這里所說的“個”與“份”，換成數(shù)學語言就是花布的長度是8米的4“倍”，花布的米數(shù)是8×4=32（米）。由此可見，“倍”的出現(xiàn)是從生活中的“個”與“份”逐步抽象出來的，是建立在乘法概念的基礎上的。 　　“倍數(shù)”指的是數(shù)與數(shù)之間的聯(lián)系，它建立在“數(shù)的整除性”這個大概念的基礎上，是在明確“整除”的前提下，與“約數(shù)”同時建立的。 　　例如

11、：28是7的倍數(shù)，因為28能被7整除。28÷7=4，28是7的4倍，如果用乘法表示這三個數(shù)的數(shù)量關系，則7×4=28，7的4倍是28。由此可見，前者的“倍數(shù)”是嚴格限制在“整除”的范圍內(nèi)，而后者的“倍”只體現(xiàn)在乘法的概念當中，這是兩者的明確區(qū)別。 　　在小學數(shù)學教材中，“倍數(shù)”的運用還有另一種情況，即在比例教學時，當闡述正、反比例關系所提到的“擴大或縮小相同的倍數(shù)”，這里所提到的“倍數(shù)”，是一般除法中的概念，而不是“整除”范圍內(nèi)的概念。比例中所出現(xiàn)的倍數(shù)，所表示的是兩個最相比而得到的數(shù)，這個數(shù)不一定是整數(shù)，也可能是小數(shù)。在研究“數(shù)的整除性”中的倍數(shù)，是不允許出現(xiàn)小數(shù)的。 157.約數(shù)可以等

12、于因數(shù)嗎？ 　　在“數(shù)的整除性”中，約數(shù)和因數(shù)是兩個重要的概念。在小學數(shù)學“教”與“學”中，接觸因數(shù)是在整數(shù)乘法時，被乘數(shù)與乘數(shù)對于積來說，都是因數(shù)。約數(shù)是在“數(shù)的整除性”中出現(xiàn)的，它與倍數(shù)是在“整除”概念的前提下，同時建立起來的概念。按照教材中對約數(shù)所下的定義：“如果數(shù)a能被數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)。”假設把商定為c，其算式為： 　　a÷b=c 反之 b×c=a 　　僅從算式來觀察，似乎約數(shù)與因數(shù)已經(jīng)等同了，實際上并非如此。約數(shù)與因數(shù)是一個問題在不同范疇內(nèi)的兩種不同提法，兩者之間既有聯(lián)系，也有區(qū)別，從上面乘、除法關系的算式中可以看到它們之間的聯(lián)系，但它們之間的區(qū)別則

13、是主要的。 　　以6÷3＝2為例，6能夠被3整除，也能被2整除，因此，對6來說，3和2都是它的約數(shù)。如果換成乘法算式：3×2=6，對于乘積（6）來說， 3和2都是它的因數(shù)。由此可見，只有在“整除”的范疇內(nèi)，才能談得上約數(shù)，而在乘法中，因數(shù)早已經(jīng)存在了。 　　事實上，6除了能被3和2整除外，還能夠被1和6整除，也就是說，6共有1、2、3、6四個約數(shù)。至于3×2=6，3和2固然是6的因數(shù)；但1×6=6，1和6也是6的因數(shù)，這是兩個不同的乘法算式，因此，絕不能說成6有1、2、3、6四個因數(shù)，否則，1×2×3×6=36，其乘積就不是6，而是36了。 　　約數(shù)與因數(shù)的另一個區(qū)別，還在于各自的應用范

14、圍上。約數(shù)的應用范圍是有限的，它只存在于“數(shù)的整除性”這部分知識當中，為學習“公約數(shù)”和“最大公約數(shù)”做好基礎知識上的準備。因數(shù)的應用范圍則比較廣泛，無論整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)、百分數(shù)，以及到中學后所接觸到的負數(shù)，只要出現(xiàn)了乘法，就存在著因數(shù)的概念。 　　例如：在小數(shù)中2.4×0.8=1.92，2.4與0.8都是1.92的因數(shù)。 　　 　　在負數(shù)中（-5）×7=35，-5和7都是-35的因數(shù)。 　　凡此種種，都充分說明：約數(shù)與因數(shù)是兩個不同的概念，是不能等同的。 158.質數(shù)一定是奇數(shù)嗎？偶數(shù)一定是合數(shù) 嗎？ 　　質數(shù)與奇數(shù)，偶數(shù)與合數(shù)涉及到兩組不同的數(shù)學概念。質數(shù)與合數(shù)是相互依存的，奇

15、數(shù)與偶數(shù)也是相互依存的。因此，質數(shù)不一定是奇數(shù)，偶數(shù)也不一定是合數(shù)。 　　這是因為：一個數(shù)只有1和它本身兩個約數(shù)的，這樣的數(shù)叫做質數(shù)（也叫做素數(shù)）。而不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。這兩個概念的內(nèi)涵不同，一般來說，是質數(shù)的也都是奇數(shù)，如：3、13、29、37……。這些數(shù)既是質數(shù)，也都是奇數(shù)。但有一個數(shù)是例外的，這就是“2”。2的約數(shù)只有1和它本身，因此，它是質數(shù)；但2能被2整除，不符合奇數(shù)的定義，所以，2不是奇數(shù)。按照數(shù)學的嚴密性語言來說：“除2以外的質數(shù)都是奇數(shù)”，這樣的判斷才是正確的。 　　還必須看到，“除2以外的質數(shù)都是奇數(shù)”這個結論雖然正確無誤，但反過來說“除2以外，奇數(shù)都是質數(shù)”則是錯

16、誤的，如：27、35、143……這些數(shù)，雖然都是奇數(shù)，但這些數(shù)除了1和它本身這兩個約數(shù)外，還有其他約數(shù)，如：27還有3和9，35還有5和7，143還有11和13，都不符合質數(shù)的定義，因此，這些數(shù)都不是質數(shù)。 　　偶數(shù)也不一定是合數(shù)，因為“能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)”，而合數(shù)的定義是：“除了1和本身，還有別的約數(shù)的，這樣的數(shù)叫做合數(shù)。”這里“2”又是一個重要區(qū)分點，2是偶數(shù)，但不是合數(shù)，準確的說法是：“除2以外的偶數(shù)都是合數(shù)?！? 　　與質數(shù)和奇數(shù)不能反敘述一樣，如果說成“除2以外的合數(shù)都是偶數(shù)”也是錯誤的。例如：45、87、187……這些數(shù)都是合數(shù)，但都不是偶數(shù)。 159.最小的偶數(shù)是幾？

17、　　偶數(shù)概念的出現(xiàn)是在“數(shù)的整除性”這部分知識里，在小學數(shù)學教材中“數(shù)的整除性”一般是限制在自然數(shù)范圍之內(nèi)的，由于0不是自然數(shù)，因此沒有涉及到最小偶數(shù)是幾的問題，但在“教”與“學”中，卻常常遇到這個問題，并且說法不一。 　　按照“能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)”的定義，以及一個數(shù)個位上是0、2、4、6、8的數(shù)就一定能被2整除的規(guī)律，0能夠被2整除，0也應該看作是偶數(shù)。 　　至于在“教”與“學”中所提出的“最小的偶數(shù)是幾”的問題，必須限定一個范圍，一般來講，要區(qū)分三種情況： 　?。?）如果限定在自然數(shù)的范圍內(nèi)，由于已將0排除，最小的偶數(shù)是2； 　　（2）如果擴大自然數(shù)的范圍，把0包括在內(nèi)，最小的

18、偶數(shù)是0。 　?。?）如果限定在整數(shù)范圍內(nèi)，這個“整數(shù)”概念包括負整數(shù)，由于沒有最小的負整數(shù)，因此，在整數(shù)的范圍內(nèi)，也沒有最小的偶數(shù)。 160.“12是倍數(shù)，4是約數(shù)”這種說法對不對？ 　　研究“倍數(shù)”與“約數(shù)”的概念，都是在整除的前提下進行的，因此，它們當中的每一個概念都不是單獨存在的，而是互相依存的?？梢哉f：沒有倍數(shù)就沒有約數(shù)，沒有約數(shù)也就沒有倍數(shù)。按照“如果數(shù)a能被數(shù)b整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)”的定義，通過下面的例子，就可以回答上面提出的問題了。 　　例如：15÷3=5 　　15能被3整除，15是3的倍數(shù)，3是15的約數(shù)。 　　24÷8=3 　　24能被8整

19、除，24是8的倍數(shù)，8是24的約數(shù)。 　　由此可見，12÷4=3，12在能被4整除的情況下，只能說成12是4的倍數(shù)，4是12的約數(shù)。表述倍數(shù)與約數(shù)時，必須完整地說明：誰是誰的倍數(shù)，誰是誰的約數(shù)。如果籠統(tǒng)地說：“誰是倍數(shù)，誰是約數(shù)”則是孤立的肯定，而失去倍數(shù)與約數(shù)本身的意義。所以“12是倍數(shù)，4是約數(shù)”這種說法是不對的。 161.為什么判斷一個數(shù)能不能被2或5整除，只要看這個數(shù)的個位數(shù)？ 　　判斷一個數(shù)能不能被2或5整除，在“數(shù)的整除性”這個范疇內(nèi)是一個重要基礎知識。教材中是通過自然數(shù)乘以2和乘以5的形式，對乘積個位上數(shù)的特征的觀察，從而得出如下的結論：“個位上是0、2、4、6、8的數(shù)，都

20、能被2整除?！焙汀皞€位上是0或者5的數(shù)，都能被5整除?！? 　　有關這個結論的算理，可以通過下面數(shù)例加以說明。 　　例如：（1）364=300＋60＋4 　?。?）876=800＋70＋6 　?。?）4528=4000＋500＋20＋8 　　任何一個數(shù)都可以寫成上面的形式，從中可看到：一個數(shù)千位、百位、十位上的數(shù)字，都表示整千、整百、整十的數(shù)，而整千、整百、整十的數(shù)都能被2整除（或者說都是2的倍數(shù)），這是整除的性質所決定的，那么這個數(shù)能不能被2整除的關鍵，就看個位上的數(shù)了。因此，只要個位上是0、2、4、6、8的數(shù)，這個數(shù)就一定能被2整除。個位上是0的數(shù)，必然是10的倍數(shù)，10能夠被2整

21、除，10的倍數(shù)也一定能被2整除。所以個位上是0的數(shù)，也一定能被2整除了。 　　又如：（1）485=400＋80＋5 　　（2）3765=3000＋700＋60＋5 　?。?）5970=5000＋900十70＋0 　　同理，千位、百位、十位上的數(shù)字，所表示的是整千、整百、整十的數(shù)，這些數(shù)均能被5整除（或者說都是5的倍數(shù)），關鍵是個位上的數(shù)，如果個位上的數(shù)能被5整除，這個數(shù)必然能被5整除。個位上是5的數(shù)，當然能被5整除，個位上是0的數(shù)，必然是10的倍數(shù)，10能被5整除，10的倍數(shù)也必然能被5整除。因此，看一個數(shù)能不能被5整除，只要看這個數(shù)個位上是0或者5，就能正確、迅速地做出判斷。 　　

22、個位上是0的數(shù)，是10的倍數(shù)，10能被2整除，也能被5整除。因此，個位上是0的數(shù)，既能被2整除，又能被5整除。 162.為什么看一個數(shù)能不能被3或9整除，就要看這個數(shù)各數(shù)位上數(shù)字的和能不能被3或9整除？ 　　一個數(shù)只要各數(shù)位數(shù)字的和是3或9的倍數(shù)，就一定能被3或9整除。這個規(guī)律可通過下面例子得到證明。 　　例如：判斷3576，2549能不能被3整除。 　　3576：∵3＋5+7＋6=21（21是3的倍數(shù)） 　　∴3576能被3整除。 　　2549：∵2＋5＋4＋9=20（20不是3的倍數(shù)） 　　∴2549不能被3整除。 　　檢驗：2549÷3=849……2 　　又如：判421

23、2、5282能不能被9整除。 　　4212：∵4+2+1+2=9（9是9的倍數(shù)） 　　∴4212能被9整除。 　　5282：∵5+2+8+2=17（17不是9的倍數(shù)） 　　∴5282不能被9整除。 　　這個規(guī)律主要依據(jù)是： 　?。?）凡各位數(shù)字是9的數(shù)，一定能被3和9整除。如： 　　9÷3=3 9÷9=1 　　99÷3=33 99÷9=11 　　999÷3=333 999÷9=111 　　9999÷3=3333 9999÷9=1111 　　…… …… 　?。?）凡是10的倍數(shù)都可以用下列形式表示：10=9+1 　　100=99+1 　　1000=999+1 　　1

24、0000=9999+1 　　…… 　　80=8×10=8×（9+1） 　　700=7×100=7×（99+1） 　　5000=5×1000=5×（999+1） 　　40000=4×10000=4×（9999+1） 　　……根據(jù)以上兩點，可以通過下面的等式來說明354能不能被3整除的道理： 　　第一個括號里是9的倍數(shù)加上9的倍數(shù)，它是能被3或9整除的。因此，這個數(shù)能不能被3整除，只要看第二個括號的結果就可以了。而第二個括號里恰恰是354各位數(shù)字的和。所以，判斷一個數(shù)能不能被3或9整除，只要看各位數(shù)字的和就可以了。 　　判斷結果：3+5+4=12，12能被3整除，因此，354能

25、被3整除。 　　由于9本身能被3整除，所以能被9整除的數(shù)，一定能被3整除。而能被3整除的數(shù)，卻不一定能被9整除。仍以354為例，3+5+4=12，12能被3整除，卻不能被9整除，因此，354能被3整除，不能被9整除。 　　用上述方法不但能判斷一個數(shù)能不能被3或9整除，而且還能判斷不能整除時，余數(shù)是多少。 　　如：判斷7485能不能被9整除。 　　7+4+8+5=24→2+4=6 　　各位數(shù)字繼續(xù)相加 　　從結果看出：把7485的各位數(shù)字相加，最后所得的和是6不是9，所以7485這個數(shù)不能被9整除。最后得出的6，就是7485除以9的余數(shù)。即： 　　7485÷9=831……6 　　

26、又如：判斷3478能不能被3整除。　　 　　∵3+4+7+8=22 　　 　　∴3478不能被3整除，余數(shù)是1。因為22除以3商7后的余數(shù)是1，也就是3478除以3的余數(shù)1。 　　檢驗： 3478÷3=1159……1 163.怎樣判斷一個數(shù)能不能被6整除？ 　　判斷一個數(shù)能不能被6整除，主要看這個數(shù)能被2整除，又能被3整除，如果都能，那么這個數(shù)就能被6整除。因為把6分解質因數(shù)是2×3，或者說2與3的乘積是6，所以能同時被2和3整除的數(shù)，就能被6整除。 　　在判斷一個數(shù)能不能被6整除時，可按照下列步驟進行： 　?。?）首先看這個數(shù)是不是偶數(shù)，凡是偶數(shù)都能被2整除。這就符合了能被

27、6整除的第一個條件。如果這個數(shù)不是偶數(shù)，那就排除了能被6整除的可能。 　?。?）然后按照能被3整除的數(shù)的特征，即：這個數(shù)各位數(shù)字的和是不是3的倍數(shù)，如果是3的倍數(shù)，這個數(shù)就能被6整除。 　　例如：判斷654能不能被6整除。 　　654是偶數(shù)，自然能被2整除；654各位數(shù)字的和是6+5+4=15，15是3的倍數(shù)，因此，654能被6整除。 　　又如：判斷274能不能被6整除。274是偶數(shù)，但它各位數(shù)字的和是2+7+4=13，13不能被3整除，因此，274不能被6整除。 　　如果用圖來表示，下面兩圓相交部分中的數(shù)就是既能被2整除，又能被3整除，也就是能被6整除的數(shù)。 164.怎樣判斷

28、一個數(shù)能不能被7整除？ 　　判斷一個數(shù)能不能被7整除，不象判斷一個數(shù)能不能被2、5、3整除那佯，根據(jù)這個數(shù)的數(shù)字特征就能直接做出判斷。一般需要采用割減法。 　　割減法的過程是這樣的：把一個數(shù)割去末位數(shù)字，再從留下來的數(shù)中減去所割去數(shù)字的2倍，這樣一次次減下去，如果最后的結果是7的倍數(shù)（包括0），那么原來這個數(shù)就一定能被7整除。 　　例1：判斷3164能不能被7整除。 　　因為14是7的倍數(shù)，所以3164能被7整除。 　　檢驗：3164÷7=452. 　　對于數(shù)字不大的數(shù)，使用割減法判斷能不能被7整除是比較方便的。 　　這個割減的過程，并不需要筆算，口算就可以完成。關于割減

29、法的算理，即：為什么要先割去末位上的數(shù)字，然后再從留下的數(shù)字中減去割去數(shù)字的2倍？這與能不能被7整除有什么關系？講清這個算理，先觀察一下21的倍數(shù)有什么特點。 　　從表中可以看到，21的倍數(shù)恰好是前位數(shù)字是末尾數(shù)字的2倍。那么，把一個數(shù)割去末位數(shù)字，再從前位減去末位數(shù)字的2倍，不正是減去21的倍數(shù)嗎？如例1中割去84，不就是割去末位數(shù)字4的21倍嗎？ 　　由于21=7×3，21包含3個7，所以減去21的倍數(shù)，也就是減去7的倍數(shù)。由此可以看出：判斷一個數(shù)能不能被7整除所用的割減法，其依據(jù)就是利用了21的倍數(shù)的特點。 　　如果一個數(shù)連續(xù)減去7的倍數(shù)，而余下的數(shù)也是7的倍數(shù)，那么原來這個數(shù)

30、也必然是7的倍數(shù)，因而也能被7整除。 　　 　　這個過程不一定書寫出來，也可以在口算中進行。 　　因為用割減法連續(xù)減去的是21的倍數(shù)，如果最后的結果還是21的倍數(shù)，那么這個數(shù)既能被7整除，還能被21整除，當然也能被3整除。 　　例2：判斷2583，5264能不能被7和21整除。 　　2583能被7整除；也能被21整除。 　　檢驗：2583÷7=369 　　2583÷21=123 　　5264能被7整除，不能被21整除。 　　檢驗：5264÷7=752 　　5264÷21=250……14 165.怎樣判斷一個數(shù)能不能被4或25整除？ 　　判斷一個數(shù)能不能被4或25

31、整除是比較容易的，這就是：如果一個數(shù)的末兩位數(shù)能被4或25整除，那么這個數(shù)就一定能被4或25整除。 　　例如：4750=47×100+50 　　928=9×100+28 　　3800=38×100 　　因為25與4相乘的積是100，100既能被4整除，又能被25整除，因此百位以前的數(shù)（100的倍數(shù)）可以不考慮，只要這個數(shù)的末兩位數(shù)能被4或25整除，這個數(shù)就一定能被4或25整除。由此可以得出：凡是一個數(shù)的末兩位數(shù)都是0（必然是100的倍數(shù)），這個數(shù)就一定能被4或25整除。 　　4750的末兩位數(shù)是50，50能被25整除，但不能被4整除，4750只能被25整除，而不能被4整除。 　　9

32、28的末兩位數(shù)是28，28能被4整除，但不能被25整除，928就只能被4整除，而不能被25整除。 　　3800的末兩位數(shù)都是0，說明3800是100的倍數(shù)，因此，3800既能被4整除，也能被25整除。 166.怎樣判斷一個數(shù)能不能被8或125整除？ 　　一個數(shù)能不能被8或125整除，要看這個數(shù)的末三位，這個數(shù)的末三位是8或125的倍數(shù)，這個數(shù)就能被8或125整除。 　　由于1000=8×125，1000既是8的倍數(shù)，也是125的倍數(shù)，所以，凡是一個三位以上的多位數(shù)，只要末三位數(shù)都是0，這個數(shù)就一定能被8和125整除。 　　例如： 　　6048能被8整除，4375能被125整除，

33、86000既能被8整除，又能被125整除，7594和7300這兩個數(shù)，既不能被8整除，也不能被125整除。 　　這種根據(jù)一個數(shù)末三位數(shù)來進行判斷的方法，其算理是：任何一個三位以上的多位數(shù)，都是由1000的倍數(shù)和一個三位數(shù)組成的。 　　例如：9864=9×1000+864 　　56750=56×1000+750 　　93000=93×1000 　　1000既能被8和125整除，1000的倍數(shù)也必然能被8和125整除，因此，一個數(shù)末三位左邊的數(shù)可以不看，只要末三位數(shù)能被8或125整除，這個數(shù)就能被8或125整除。 　　看末三位數(shù)是不是8的倍數(shù)，還可以采用簡便的方法： 　　（1）先看末

34、位數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，倘若是奇數(shù)，可以肯定不是8的倍數(shù)，因為8的倍數(shù)永遠是偶數(shù)。 　?。?）如果是偶數(shù)，用2去除末三位數(shù)，看所得的商是4的倍數(shù)，這個數(shù)就能被8整除。 　　例如： 　　 　　所以7104能被8整除。 　　 　　由于125本身就是三位數(shù)，在所有的三位數(shù)內(nèi)，125的倍數(shù)只有有限的幾個（125、250、375、500、625、750、875、1000），所以，只要熟記這幾個數(shù)據(jù)，就可以準確、迅速地進行判斷了。 167.怎樣判斷一個數(shù)能不能被11整除？ 　　判斷一個數(shù)能不能被11整除與判斷一個數(shù)能不能被7整除一樣，都沒有直接判斷的方法，需要借助間接的方法，這種間接的方法有兩

35、種，其一是“割減法”，其二是奇偶位差法。 　　（1）割減法：判斷被11整除的割減法與判斷被7整除的割減法不同。即：一個數(shù)割去末尾數(shù)字，再從留下來的數(shù)中減去這個末位數(shù)字，這樣一次一次地減下去，如果最后結果是11的倍數(shù)（包括得0），那么這個數(shù)就能被11整除；如果最后結果不是11的倍數(shù)，那么這個數(shù)就不能被11整除。 　　例如：4708……割去末位8 　　因此，4708能被11整除。 　　在判斷時，對于數(shù)目不大的數(shù)，用口算就可以看出結果。 　　通過口算可以得出：891能被11整除；1007不能被11整除。 　?。?）奇偶位差法：把一個數(shù)由右邊向左邊數(shù)，將奇位上的數(shù)字與偶位上的數(shù)字分

36、別加起來，再求它們的差，如果這個差是11的倍數(shù)（包括0），那么原來這個數(shù)就一定能被11整除。 　　例如①：判斷283679能不能被11整除。 　　23-12=11 　　因此，283679能被11整除。 　?、谂袛?80637能不能被11整除。 　 　21-7=14 　　因此，480637不能被11整除。 　　上述這種方法叫做奇偶位差法，算理可通過下列算式說明。 　　9÷9=1 9÷11（不能整除） 　　99÷9=11 99÷11=9 　　999÷9=111 99÷11（不能整除） 　　9999÷9=1111 9999÷11=909 　　99999÷9=11111

37、9999÷11（不能整除） 　　999999÷9=111111 999999÷11=90909 　　…… …… 　　由以上兩算式中可以看到：全部由9組成的任何一個數(shù)，都能被9整除，但除以11則不一定，只有當9的個數(shù)成偶數(shù)時，才能被11整除，當9的個數(shù)是奇數(shù)時，則不能被11整除。 　　當一個數(shù)首尾數(shù)字相同，中間都是0，而且0的個數(shù)成偶數(shù)時，這個數(shù)也能被11整除。 　　如：11÷11=1 　　1001÷11=91 　　300003÷11=27273 　　…… 　　通過用奇偶位差法的分解來判斷8712能不能被11整除，從中也可以進一步理解這種判斷方法的算理。 　　8712=800

38、0+700+10+2 ① 　　偶 奇 偶 奇 　　偶位上的數(shù)可以寫成： 　　8000=8×1000=8×（1001-1） ② 　　10=1×10=1×（11-1） ③ 　　奇位上的數(shù)可以寫成： 　　700=7×100=7×（99+1） ④ 　　把②③④式代到①式中去。 　　第一個括號中所得的結果，肯定能被11整除，原數(shù)能不能被11整除，決定于第二個括號中所得的數(shù)，而第二個括號中的數(shù)，恰恰是奇位數(shù)字與偶位數(shù)字之差，由此而得出了用奇偶位差法來判斷一個數(shù)能不能被11整除。 168.怎樣判斷一個數(shù)能不能被13整除？ 　　一個數(shù)能不能被13整除，在判斷上也沒有直接的方法，需要借助

39、間接的方法，這種間接的方法是：一個多位數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差，這個差如果能被13整除，那么原來的這個多位數(shù)就能被13整除。 　　例如：判斷383357能不能被13整除。 　　383357這個數(shù)的末三位數(shù)是357，末三位以前的數(shù)字所組成約數(shù)是383，這兩個數(shù)之差是383-357=26。 　　∵26能被13整除， 　　∴383357也能被13整除。 　　又如：判斷35062能不能被13整除。 　　35062這個數(shù)的末三位數(shù)是62，末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)是35，這兩個數(shù)之差是：62-35=27。 　　∵27不能被13整除， 　　∴35062也不能被13整除。

40、 　　這個方法也同樣適用于判斷一個數(shù)能不能被7或11整除。 169.怎樣判斷一個數(shù)能不能被17整除？ 　　判斷一個數(shù)能不能被17整除，也沒有直接的方法，間接的方法也使用“割減法”。不過這里使用的割減法與判斷一個數(shù)能不能被7整除的割減法，不完全一樣。它也是先割去原來數(shù)的末位數(shù)字，然后再從留下來的數(shù)中減去割去數(shù)字的5倍，倘若數(shù)字還大，就依照上述步驟繼續(xù)割減，當最后的結果是17的倍數(shù)時，那么原來這個數(shù)就一定能被17整除。如果最后結果不是17的倍數(shù)時，那么原來這個數(shù)就一定不能被17整除。 　　例如：判斷9894能不能被17整除。 　　最后結果是51，51能被17整除，所以9894也能被1

41、7整除。 　　又如：判斷8765能不能被17整除。 　　由于80不能被17整除，因此，8765也不能被17整除。 　　這種判斷一個數(shù)能不能被17整除的割減法的算理是：先割去末位數(shù)字，實際上是減去末尾數(shù)字本身的1倍，再從前位減去所割數(shù)字的5倍，實際上又減去了所割數(shù)字的50倍，加上已經(jīng)減去的1倍，一共減去所割數(shù)字的51倍。因為51=17×3，51既是17的倍數(shù)，減得的結果是17或是17的倍數(shù)（包括0），都證明原來這個數(shù)一定能被17整除，反之，則不能。 　　如果要求判斷的數(shù)不大，判斷過程也完全可以用口算進行。 　　如：判斷782和693能不能被17整除。 　　從上述口算過程可以得

42、出：782能被17整除；693不能被17整除。 170.怎樣判斷一個數(shù)能不能被12、15、18、45整除？ 　　判斷一個數(shù)能不能被12、15、18、45整除都沒有直接的方法，可以按照前面提到的判斷被6整除的做法，從而找出一個間接的方法來。 　　（1）怎樣判斷一個數(shù)能不能被12整除。 　　因為12=3×4 a÷12=a÷3÷4 　　由此可以得出：如果一個數(shù)能被3整除又能被4整除，那么這個數(shù)就一定能被12整除。判斷被3和4整除的數(shù)的特征，在前面已經(jīng)做了解答，只要滿足被3和4整除的這兩個條件,這個數(shù)就一定能被12整除。即：一個數(shù)的各位數(shù)字的和是3的倍數(shù)，末兩位的數(shù)又是4的倍數(shù)，這個數(shù)就一定

43、能被12整除。 　　例如：判斷3084能不能被12整除。 　　3084的各位數(shù)字的和是3+0+8+4=15， 　　15是3的倍數(shù)，3084的末兩位數(shù)是84，84又是4的倍數(shù)，所以3084能被12整除。 　　檢驗：3084÷12=257 　　又如：判斷4734能不能被12整除。 　　4734的各位數(shù)字的和是4+7+3+4=18，18是3的倍數(shù)，但4734的末兩位數(shù)是34，34不是4的倍數(shù)，所以4734不能被12整除。 　　檢驗：4734÷12=394……6 　?。?）判斷一個數(shù)能不能被15整除。 　　因為15=3×5 a÷15=a÷3÷5 　　由此可以得出：一個數(shù)既能被3整除

44、，又能被5整除，這個數(shù)就一定能被15整除。即：一個數(shù)的各位數(shù)字的和是3的倍數(shù)，而它末位數(shù)字是0或5，這個數(shù)就能被15整除。 　　例如：判斷8715能不能被15整除。 　　8715的各位數(shù)字的和是8+7+1+5=21，21是3的倍數(shù)，8715的末位數(shù)字又是5，所以8715這個數(shù)能被15整除。 　　檢驗：8715÷15=581 　?。?）判斷一個數(shù)能不能被18整除。 　　因為18=2×9 a÷18=a÷2÷9 　　由此可以得出：一個數(shù)既能被2整除，又能被9整除，那么這個數(shù)就一定能被18整除。即：一個末位數(shù)字是0、2、4、6、8的數(shù)，而它的各位數(shù)字的和又是9的倍數(shù)，這個數(shù)就能被18整除。

45、 　　例如：判斷52416能不能被18整除。 　　52416的末位數(shù)字是6，能被2整除，而52416的各位數(shù)字的和是5+2+4+1+6=18，18又是9的倍數(shù)，因此，52416一定能被18整除。 　?。?）判斷一個數(shù)能不能被45整除？ 　　因為45=5×9 a÷45=a÷5÷9 　　由此可以得出：一個數(shù)既能被5整除，又是9的倍數(shù)，那么這個數(shù)就一定能被45整除。即：一個數(shù)的末位數(shù)字是5或0，而它的各位數(shù)字的和又是9的倍數(shù)，這個數(shù)就一定能被45整除。 　　例如：判斷98865能不能被45整除。 　　98865的末位數(shù)字是5，可以被5整除，98865的各位數(shù)字的和是9+8+8+6+5=

46、36，36又是9的倍數(shù)，因此，98865一定能被45整除。 　　使用上述4種間接判斷方法，要特別注意一個問題，即：一個數(shù)所分解的兩個數(shù)，這兩個數(shù)必須是互質數(shù)，否則就會發(fā)生判斷上的錯誤。 　　例如：12不能分解成2×6，18也不能分解成3×6。如果12=2×6，2與6并不是互質數(shù)，且6=2×3，這樣，2就重復考慮了兩次，結果就形成了能被6整除的數(shù)就能被12整除的錯誤結論。 　　如果18=3×6，3與6這兩個數(shù)也不是互質數(shù)，6又可以分解成2×3，這樣，3又重復考慮了兩次。6是3的倍數(shù)，也會導致能被6整除的數(shù)就能被18整除的錯誤結論。事實上，如：246、462這些數(shù)，都滿足能被3和6整除的條件

47、，但卻不能被18整除。 171.為什么三個連續(xù)數(shù)相乘的積一定是6的倍數(shù)？ 　　三個連續(xù)數(shù)相乘的積一定是6的倍數(shù)，這決定于自然數(shù)列的排列規(guī)律。因為在自然數(shù)列里，所有的偶數(shù)都是2的倍數(shù)，也就是每隔一個數(shù)必是一個2的倍數(shù)，而每隔兩個數(shù)，必是3的倍數(shù)。 　　例如：從11起自然數(shù)列的順序是這樣的： 　　從上面自然數(shù)列中可以看出：無論從任何一個數(shù)開始，三個連續(xù)數(shù)中，必定有2和3的倍數(shù)，而2與3的乘積是6，所以在三個連續(xù)數(shù)的乘積里，必定有6的倍數(shù)?；蛘哒f：三個連續(xù)數(shù)相乘的積一定是6的倍數(shù)。 　　例如：14、15、16三個連續(xù)數(shù)。 　　這三個連續(xù)數(shù)中，14和16是2的倍數(shù)，15是3的倍數(shù)，因此

48、，這三個連續(xù)數(shù)相乘的積，一定是6的倍數(shù)。14、15、16相乘積是14×15×16=3360，而3360是6的560倍。 172.質數(shù)、質因數(shù)和互質數(shù)有什么區(qū)別？ 　　質數(shù)、質因數(shù)和互質數(shù)這三個術語的概念極易混淆，因為它們都有“質”和“數(shù)”兩個字。正確地區(qū)分這幾個概念，對掌握數(shù)的整除性這部分基礎知識，有著極其重要的意義。 　　（1）質數(shù)：一個自然數(shù)，如果只有1和它本身兩個約數(shù)，這個數(shù)叫做質數(shù)（也稱素數(shù)）。 　　例如： 　　1的約數(shù)有：1； 　　2的約數(shù)有：1，2； 　　3的約數(shù)有：1，3； 　　4的約數(shù)有：1，2，4； 　　6的約數(shù)有：1，2，3，6； 　　7的約數(shù)有：1，7

49、； 　　12的約數(shù)有：1，2，3，4，6，12； 　　…… 　　從上面各數(shù)的約數(shù)個數(shù)中可以看到：一個自然數(shù)的約數(shù)個數(shù)有三種情況： 　?、僦挥幸粋€約數(shù)的，如1。因此，1不是質數(shù)，也不是合數(shù)。 　?、谥挥袃蓚€約數(shù)的（1和它本身），如2，3，7…… 　　③有兩個以上約數(shù)的，如4，6，12…… 　　屬于第②種情況的，叫做質數(shù)。屬于第③種情況的，即：除了1和本身以外，還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)。 　?。?）質因數(shù)：一般地說，一個數(shù)的因數(shù)是質數(shù)，就叫做這個數(shù)的質因數(shù)。 　　例如：18=2×3×3 　　這里的2、3、3都是18的因數(shù)，而2和3本身又都是質數(shù)，于是我們就把2、3、3叫

50、做18的質因數(shù)。這里需要注意的是：18也可以寫成3與6的乘積，即：18=3×6，無疑3和6都是18的因數(shù)，但3本身是質數(shù)，可以稱做18的質因數(shù)，而6是合數(shù)，則不能稱做18的質因數(shù)。 　?。?）互質數(shù)：兩個或幾個自然數(shù)，當它們的最大公約數(shù)是1的時候，這兩個或幾個數(shù)，就叫做互質數(shù)（也叫互素數(shù)）。 　　例如：5和7，4和11，8和9，7、11和15，12、20和35……。 　　上述這幾組數(shù)，它們的最大公約數(shù)都是1，因此，它們都是互質數(shù)。在以上兩個互質數(shù)中，如7、11和15這三個數(shù)，7和11是互質數(shù)，11和15是互質數(shù)，7和15也是互質數(shù)。這類情況，我們就叫做這三個數(shù)“兩兩互質”。但12、20和

51、35這組數(shù)中，雖然它們也是互質數(shù)，但不是兩兩互質，因為12和35是互質數(shù)，至于12和20、20和35都不是互質數(shù)。 　　需要注意的是：不管兩個數(shù)互質或者兩個的數(shù)以上互質，這些數(shù)本身卻不一定是質數(shù)，如5和7是互質數(shù)，它們本身都是質數(shù)；4和11是互質數(shù)，其中4并不是質數(shù)；8和9是互質數(shù)，但8和9本身都不是質數(shù)。 　　總之，質數(shù)是指一個數(shù)。譬如說：“2是質數(shù)，11是質數(shù)”等等。質因數(shù)雖然也是指一個數(shù)，但是它是針對另一個數(shù)而說的。譬如說：“5是35的質因數(shù)?！比绻x開35，孤立地說：“5是質因數(shù)?！眲t是不妥當?shù)摹Ｒ虼?，質因數(shù)具有雙重身份：第一必須是個質數(shù)；第二必須是另一個數(shù)的因數(shù)。 　　互質數(shù)同

52、質數(shù)、質因數(shù)都不同，它不是指一個數(shù)，而是指除了1以外，再沒有其他公約數(shù)的兩個或兩個以上的數(shù)。 　　由此可見：掌握質數(shù)、質因數(shù)和互質數(shù)這幾個術語的概念，其中質數(shù)是基礎，這三者之間既有聯(lián)系，又有區(qū)別，要透徹理解和正確區(qū)分，才能防止混淆。 173.怎樣判斷一個數(shù)是不是質數(shù)？ 　　正確而迅速地判斷一個自然數(shù)是不是質數(shù)，在數(shù)的整除性這部分知識中，是一項重要的基本技能。 　　由于大于2的質數(shù)一定是奇數(shù)（奇數(shù)又不一定都是質數(shù)），所以，在判斷一個自然數(shù)是不是質數(shù)時，首先要看它是奇數(shù)還是偶數(shù)。如果是大于2的偶數(shù)，這個數(shù)肯定不是質數(shù)，而是合數(shù)；如果是奇數(shù)，那就有可能是質數(shù)。在這種情況下，一般使用以下兩種方

53、法： 　?。?）查表法： 　　主要是指查“質數(shù)表”。編制質數(shù)表的過程是：按照自然數(shù)列，第一個數(shù)1不是質數(shù)，因此要除外，然后按順序寫出2至500的所有自然數(shù)，這些數(shù)中2是質數(shù)，把它留下，把2后面所有2的倍數(shù)劃去，2后面的3是質數(shù)，接著再把3后面所有3的倍數(shù)劃去，如此繼續(xù)下去，剩下的便是500以內(nèi)的全部質數(shù)。 　　最早使用上述方法來尋求質數(shù)的人，是古代希臘數(shù)學家埃拉托斯特尼，由于他在開始時，先把自然數(shù)寫在一塊蠟板上，把不是質數(shù)的數(shù)（合數(shù)）分別刺上一個孔，這樣，在蠟板上就被刺上了許多象篩子一樣的孔，后來，大家就把這種尋求質數(shù)的方法叫做“篩法”。 　　下面是用篩法尋找出的500以內(nèi)質數(shù)表：

54、 　　這類的質數(shù)表還可以編制成數(shù)字范圍更大一些的，如1000以內(nèi)質數(shù)表等。判斷一個自然數(shù)是不是質數(shù)，如在表所規(guī)定的數(shù)字范圍內(nèi)，即可用查表的方法進行判斷。 　?。?）試除法： 　　在手頭上沒有質數(shù)表的情況下，可以用試除法來判斷一個自然數(shù)是不是質數(shù)。例如判斷143、179是不是質數(shù)，就可以按從小到大的順序用2、3、5、7、11……等質數(shù)去試除。一般情況下用20以內(nèi)的2、3、5、7、11、13、17、19這8個質數(shù)去除就可以了。如143，這個數(shù)的個位是3，排除了被2、5整除的可能性，它各位數(shù)字的和是1+4+3=8，也不可能被3整除，通過口算也證明不能被7整除，當試除到11時，商正好是13，到此

55、就可以斷定143不是質數(shù)。 　　對179試除過程如下： 　　179÷2=59……2 　　179÷3=66……1 　　179÷5=35……4 　　179÷7=25……4 　　179÷11=16……3 　　179÷13=13……10 　　179÷17=10……9 　　當179÷17所得到的不完全商10比除數(shù)17小時，就不需要繼續(xù)再試除，而斷定179是質數(shù)。這是因為2、3、5、7、11、13、17都不是179的質因數(shù)，因此，179不會再有比17大的質因數(shù)，或者說179不可能被小于10的數(shù)整除，所以，179必是質數(shù)無疑。 　　綜上所述，用試除法判斷一個自然數(shù)a是不是質數(shù)時，只要用各

56、個質數(shù)從小到大依次去除a，如果到某一個質數(shù)正好整除，這個a就可以斷定不是質數(shù)；如果不能整除，當不完全商又小于這個質數(shù)時，就不必再繼續(xù)試除，可以斷定a必然是質數(shù)。 174.怎樣把一個合數(shù)分解質因數(shù)？ 　　分解質因數(shù)在數(shù)的整除性這部分知識中，既是整除、約數(shù)、質數(shù)等基礎知識的綜合運用，也是后面學習最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的前提和準備，所以，在數(shù)的整除中,它具有承上啟下的作用。 　　把一個合數(shù)分解質因數(shù)，就是把這個合數(shù)用質因數(shù)相乘的形式表示出來?；蛘哒f，把一個合數(shù)寫成幾個質數(shù)的連乘積。譬如36是合數(shù)，把36分解成因數(shù)相乘，會有以下幾種情況： 　?。?）36=1×36 （2）36=2×18 　　

57、（3）36=4×9 （4）36=3×12 　　（5）36＝6×6 　　在上面五種分解中，只有（2）式的2和（4）式的3是質數(shù),其他都不是。要分解質因數(shù)就要把不是質數(shù)的數(shù)（1不是質數(shù)，也不是合數(shù)，排除在外），再分解成質數(shù)連乘的形式。如（3）式中的4和9都是合數(shù)，4可以分解為：2×2； 9可以分解為： 3 × 3。這樣，把 36分解質因數(shù)，36=2×2×3×3。事實上，除（l）式外，（2）（4）（5）式繼續(xù)分解，其最后結果也是同樣的。 　　把一個合數(shù)分解質因數(shù)，具體過程可采用短除法。 　　例如：把420分解質因數(shù)。（從最小的質因數(shù)開始） 　　由短除式中可以看到，420有2、2、5、3

58、、7五個質因數(shù)，420分解質因數(shù)的結果是：420=2×2×5×3×7。 　　在進行分解質因數(shù)時，最后的書寫格式要特別注意，一定要把所要分解的合數(shù)寫在等號的左邊，如：24=2×2×2×3，105=3×5×7等，而不能寫在等號的右邊，如：2× 2×2×3= 24，這樣就與乘法算式相混淆，而不是分解質因數(shù)了。 175.怎樣找出一個合數(shù)所有的約數(shù)？ 　　把一個合數(shù)所有的約數(shù)都找出來，對數(shù)目不大的合數(shù)，可以通過口算找出來，例如：9的約數(shù)有1、3、9；15的約數(shù)有1、3、5、15；21的約數(shù)有1、3、7、21等。對于數(shù)目較大的數(shù)，單純靠口算，就有可能會遺漏中間的約數(shù)。通?？梢韵劝堰@個合數(shù)分解質因數(shù)，

59、再把各個質因數(shù)依次搭配結合，就可以找出它的所有約數(shù)。 　　例如：找出420的所有約數(shù)。 　　先把120分解質因數(shù) 　　420=2×2×3×5×7 　?。?）上面這些約數(shù)中有質數(shù)：2、3、5、7四個。 　　（2）由兩個質數(shù)結合成的有： 　　2×2=4 2×3=6 　　2×5=10 2×7=l4 　　3×5=15 3×7＝21 　　5×7=35 　　有4、6、10、14、15、21、35七個。 　?。?）由三個質數(shù)結合成的有： 　　2×2×3=12 2×2×5＝20 　　2×2×7＝28 2×3×5＝30 　　2×3×7=42 2×5×7＝70 　　3×5×7＝105

60、 　　有12、20、28、30、42、70、105七個。 　　(4）由四個質數(shù)結合成的有： 　　2×2×3×5=60 2×2×3×7=84 　　2×2×5×7=140 2×3×5×7=210 　　有60、84、140、210四個。 　　因此，420的約數(shù)有4＋7＋7＋4=22（個），再加上1和420本身，共24個約數(shù)。 　　除上述方法外，還可以先把一個合數(shù)分解質因數(shù)，然后把每個質因數(shù)的個數(shù)加1，連乘起來，所得的積就是這個合數(shù)的所有約數(shù)的個數(shù)，并且包括了1和它本身。 　　仍以420為例： 　　∴420有 24個約數(shù)。 　　∴360也有 24個約數(shù)。 176.為什么用

61、短除法能求出幾個數(shù)的最大公約數(shù)？ 　　求幾個數(shù)最大公約數(shù)的方法，開始時用觀察比較的方法，即：先把每個數(shù)的約數(shù)找出來，然后再找出公約數(shù)，最后在公約數(shù)中找出最大公約數(shù)。 　　例如：求12與18的最大公約數(shù)。 　　12的約數(shù)有：1、2、3、4、6、12。 　　18的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18。 　　12與18的公約數(shù)有：1、2、3、6。 　　12與18的最大公約數(shù)是6。 　　這種方法對求兩個以上數(shù)的最大公約數(shù)，特別是數(shù)目較大的數(shù)，顯然是不方便的。于是又采用了給每個數(shù)分別分解質因數(shù)的方法。 　　12=2×2×3 　　18=2×3×3 　　12與18都可以分成幾種形式不同的乘積

62、，但分成質因數(shù)連乘積就只有以上一種，而且不能再分解了。所分出的質因數(shù)無疑都能整除原數(shù)，因此這些質因數(shù)也都是原數(shù)的約數(shù)。從分解的結果看，12與 18都有公約數(shù) 2和 3，而它們的乘積2×3=6，就是 12與18的最大公約數(shù)。 　　采用分解質因數(shù)的方法，也是采用短除的形式，只不過是分別短除，然后再找公約數(shù)和最大公約數(shù)。如果把這兩個數(shù)合在一起短除，則更容易找出公約數(shù)和最大公約數(shù)。 　　從短除中不難看出，12與18都有公約數(shù)2和3，它們的乘積2×3=6就是12與18的最大公約數(shù)。與前邊分別分解質因數(shù)相比較，可以發(fā)現(xiàn)：不僅結果相同，而且短除法豎式左邊就是這兩個數(shù)的公共質因數(shù)，而兩個數(shù)的最大公約數(shù)

63、，就是這兩個數(shù)的公共質因數(shù)的連乘積。 177.為什么用短除法能求出幾個數(shù)的最小公倍數(shù)？ 　　最小公倍數(shù)的定義是：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。求幾個數(shù)最小公倍數(shù)的方法，可以用分別分解質因數(shù)的方法，先找出幾個數(shù)公有的質因數(shù)，再找出各自獨有的質因數(shù)，把這些質因數(shù)連乘起來，最后得出的積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。 　　例如：求12和20的最小公倍數(shù)。 　　12和20的最小公倍數(shù)是2×2×3×5=60 　　把分別分解合在一起，就是短除法。這樣做，不僅結果一樣，還減少了中間計算的層次，通常采用的就是這種方法。 　　仍如上例： 　　短

64、除豎式左邊是這兩個數(shù)的公有質因數(shù)，豎式下邊是這兩個數(shù)各自獨有的質因數(shù)。根據(jù)兩個數(shù)的最小公倍數(shù)一定能被這兩個數(shù)整除，所以，最小公倍數(shù)必須包含這兩個數(shù)里的所有質因數(shù)。豎式左邊的公有質因數(shù)與豎式下邊各自獨有質因數(shù)的連乘積，才是最小公倍數(shù)的道理，就在于此。 　　在求三個數(shù)的最小公倍數(shù)時，兩個數(shù)中共同的質因數(shù)要篩去，如果不篩去，所求出來的雖然也是這三個數(shù)的公倍數(shù)，但不是最小公倍數(shù)。所以，只要有兩個數(shù)能被同一質數(shù)整除，就應該繼續(xù)除下去，直到除到豎式下邊的三個數(shù)兩兩互質為止。 　　例如：求15、30和50的最小公倍數(shù)。 　　∴15、 30和50的最小公倍數(shù)是5×2×3×5=150。 178.兩個

65、數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)有什么聯(lián)系？ 　　兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)是兩個完全不同的概念，但它們之間又存在著一定的規(guī)律。以12和20的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)為例： 　　12和20的最大公約數(shù)是2×2=4； 　　12和20的最小公倍數(shù)是2×2×3×5=60。 　　12與20的積是12×20=240，它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積是 4 × 60=240。兩個積正好一樣，這并非巧合，而是一種規(guī)律，即：兩個自然數(shù)的積等于這兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的積。通過原來算式的因數(shù)交換可以得到證明： 　　再如：45與105的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)為： 　 　　45與105的最

66、大公約數(shù)是3×5=15； 　　45與105的最小公倍數(shù)是3×5×3×7=315。 　　45與105的乘積是45×105=4725，再看最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積也是15×315=4725。由此可證明，兩個數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)是有聯(lián)系的，這種聯(lián)系是通過以上規(guī)律來體現(xiàn)的，這個規(guī)律如果用字母公式表示為： 　　一般地，a×b=（a，b）× [a，b] 　　依據(jù)這個規(guī)律，在求兩個數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)時，可以推導出新的公式。即：已知12與20的最大公約數(shù)是4，求它們的最小公倍數(shù)是多少？ 　　最小公倍數(shù)=兩數(shù)的乘積/最大公藥數(shù)=12×20/4=60 　　如果已知12與20的最小公倍數(shù)是60，求它們的最大公約數(shù)是多少？ 　　最大公約數(shù)=兩數(shù)的乘積/最小公倍數(shù)=12×20/60=4 179.怎樣用求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法解答實際問題？ 　　在實際生活中，有些應用題需要用求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)的方法去解答，用其他解應用題的方法將無濟于事。 　　例1：將一塊長24厘米，寬18厘米，厚12厘米的長方體木料，鋸成盡可能大的同樣大小的正方體木塊，可以鋸成多少塊？ 　　由