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1、一　完美的圖形——圓 　　一、圓的定義 感知圓的特征:以前學過長方形、正方形、平行四邊形、梯形、三角形等,都是由線段圍成的平面圖形,而圓是由曲線圍成的一種平面圖形。 二、圓的各部分名稱 1.圓心:用圓規(guī)畫出圓以后,針尖固定的一點就是圓心,通常用字母O表示。 2.半徑:連接圓心和圓上任意一點的線段叫作半徑,一般用字母r表示。 把圓規(guī)兩腳分開,兩腳之間的距離就是圓的半徑。 3.直徑:通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫作直徑,一般用字母d表示。 直徑是一個圓內最長的線段。 三、圓的主要特征 1.在同圓或等圓內,有無數條半徑,有無數條直徑。所有的半徑都相等,所有的直徑都相等。

2、 2.在同圓或等圓內,直徑的長度是半徑的2倍,半徑的長度是直徑的12。用字母表示為d=2r或r=d2。 3.如果一個圖形沿著一條直線對折,兩側的圖形能夠完全重合,這個圖形是軸對稱圖形。圓是軸對稱圖形且有無數條對稱軸。 4. 畫圓的方法: (1)用手指畫圓。以大拇指為圓心,以食指與大拇指之間的距離為半徑,旋轉一周所形成的圖形就是圓。 (2)用線繩、圖釘和筆畫圓。用圖釘固定線繩的一端作圓心,將筆系在線繩的另一端,拉直繩子作半徑,旋轉線繩一周所形成的圖形就是圓。 (3)用圓規(guī)畫圓。將圓規(guī)的一個針腳固定在本上作圓心,用圓規(guī)兩腳間的距離作半徑,旋轉圓規(guī)一周所形成的圖形就是圓。 (

3、4)用物體的圓形面畫圓。按住物體的圓形面,用筆在物體的圓形面的圓周上畫一圈,所形成的圖形就是一個圓。 四、圓的周長的認識 1.圍成圓的曲線的長叫作圓的周長。 2.圓的周長與圓的直徑有關,圓的直徑越長,圓的周長就越大。 五、 圓周率的意義及圓的周長公式 1.圓周率實驗:在圓形紙片上做個記號,與直尺0刻度線對齊,在直尺上滾動一周,求出圓的周長。 2.發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律,就是圓的周長比它的直徑的3倍多一些。 3.圓周率:任意一個圓的周長與它的直徑的比值是一個固定的數,我們把它叫作圓周率。用字母π(pài)表示。 4.一個圓的周長總是它直徑的3倍多一些,這個比值是一個固定的數。圓周率π是一

4、個無限不循環(huán)小數。在計算時,一般取π ≈ 3.14。 5.圓的周長公式: C= πd → d = C ÷π或C=2π r → r = C ÷ 2π。 6.區(qū)分圓周長的一半和半圓的周長: (1)圓周長的一半:等于圓的周長÷2。計算方法:2π r ÷ 2,即 π r。 (2)半圓的周長:等于圓的周長的一半加直徑。 計算方法:πr+2r,即 5.14 r 。 7.正方形里最大的圓與正方形的關系。 兩者聯(lián)系:正方形的邊長=圓的直徑,圓的面積=78.5%×正方形的面積。 8.在長方形或正方形內畫最大圓的方法。 (1)在正方形里畫最大的圓。 ①畫出正方形的兩條對角線;②以對角線的交點

5、為圓心,以邊長為直徑畫圓。 (2)長方形里最大的圓。 兩者聯(lián)系:寬=直徑 畫法: ①畫出長方形的兩條對角線;②以對角線的交點為圓心,以寬為直徑畫圓。 五、常用的3.14的倍數 3.14×2=6.28　　　3.14×3=9.42　　　3.14×4=12.56 3.14×5=15.7　　 3.14×6=18.84　　 3.14×7=21.98　 3.14×8=25.12　　 3.14×9=28.26　　 3.14×12=37.68 3.14×14=43.96　 3.14×16=50.24　 3.14×18=56.52　 3.14×24=75.36　 3.14×25=7

6、8.5　　 3.14×36=113.04 3.14×49=153.86　 3.14×64=200.96　 3.14×81=254.34 六、圓的面積公式 把圓拼成近似的長方形,只是形狀改變了,圖形的大小并沒有發(fā)生變化,因此圓的面積=拼成的近似長方形的面積。 圓的面積推導: 圓可以切拼成近似的長方形,長方形的面積與圓的面積相等(即S長方形=S圓);長方形的寬是圓的半徑(即b=r);長方形的長是圓周長的一半(即a=C÷2=πr)。 S長方形=a × b S圓 =πr×r =πr2 所以,S圓 =πr2。 　七、圓環(huán)的意義及面積的計算 1.圓環(huán)的意義:以同一點

7、為圓心,半徑不相等的兩個圓組成的圖形,兩圓之間的部分就是圓環(huán)。 2.圓環(huán)中半徑較大的圓叫作外圓,半徑較小的圓叫作內圓。外圓半徑與內圓半徑的差叫作環(huán)寬,兩圓中間部分的大小叫作圓環(huán)的面積。 3.外圓的半徑=內圓半徑+1個環(huán)寬;外圓的直徑=內圓直徑+2個環(huán)寬。 4.求圓環(huán)的面積一般是用外圓的面積減去內圓的面積,還可以利用乘法分配律進行簡便計算。S圓環(huán)=S外圓-S內圓=πR2-πr2= π(R2-r2)。 5.幾個直徑和為n的圓的周長=直徑為n的圓的周長(如圖)。 八、扇形的認識 1.扇形是由“一條弧”和“經過這條弧兩端的兩條半徑”所圍成的圖形。 扇形是所在圓上的一部分,∠AOB

8、是圓心角;扇形是由兩條半徑和圓上一段曲線圍成的。 2.扇形與三角形的區(qū)別。 扇形是由兩條半徑和一條弧圍成的圖形;三角形是由三條線段圍成的圖形。盡管有的圖形的兩條邊也是圓的半徑,但是第三條邊不是弧,而是線段,這樣的圖形不能稱為扇形,它是三角形?；∈菆A的一部分,是曲線,而線段是直線的一部分。 圓與其他平面圖形不同,圓是由曲線圍成的。 直徑和半徑的關系只能在同圓和等圓中。 用字母表示:d=2r。 不能說直徑是圓的對稱軸。因為對稱軸是一條直線。 圓心決定圓的位置,半徑決定圓的大小。 半徑越大,畫出的圓越大。 我們通常選用圓規(guī)畫圓

9、,既便捷又準確。 世界上第一個把圓周率的值精確到7位小數的人是我國的數學家祖沖之。 在判斷時,圓的周長與它的直徑的比值是π,而不是3.14。 在長方形或正方形內畫最大圓,關鍵是以對角線的交點為圓心,以正方形的邊長或長方形的寬為直徑。 記憶常用3.14的倍數,可以使平時的計算快捷、正確。 注意:切拼后的長方形的周長比圓的周長多了兩條半徑。C長方形=2πr+2r =C圓+d。 周長相等的平面圖形中,圓的面積最大;面積相等的平面圖形中,圓的周長最短。 要求圓的面積,只要知道圓的半徑或者圓半徑的平方即可。 　 幾個直徑和為n的圓的面積<直徑為n的圓的面積。 圓環(huán)的意義: 兩個同心圓形成一個圓環(huán)。 設小圓和大圓(或內圓和外圓)的半徑分別為r和R。(R﹥r) 同樣大小的外圓,內圓越小,圓環(huán)的面積越大。 半圓環(huán)的面積=它所在的圓環(huán)面積的一半。 單獨一個圓,半徑(直徑)越大,周長就越大,面積也越大;如果兩個圓的半徑相等,那么它們的周長就相等,面積也相等。 在同一個圓中,扇形的大小與這個扇形的圓心角的大小有關,圓心角大的扇形大,圓心角小的扇形小。 在同圓或等圓中,圓心角越大,扇形越大;反之,圓心角越小,扇形就越小。