2、等于BT,交半圓于P、Q兩點(diǎn),建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.
(1)寫出直線的方程;
(2)計(jì)算出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo);
(3)證明:由點(diǎn)P發(fā)出的光線,經(jīng)AB反射后,反射光線通過(guò)點(diǎn)Q.
講解: 通過(guò)讀圖, 看出點(diǎn)的坐標(biāo).
(1 ) 顯然, 于是 直線
的方程為;
(2)由方程組
解出 、;
(3),
.
由直線PT的斜率和直線QT的斜率互為相反數(shù)知,由點(diǎn)P發(fā)出的光線經(jīng)點(diǎn)T反射,反射光線通過(guò)點(diǎn)Q.
需要注意的是, Q點(diǎn)的坐標(biāo)本質(zhì)上是三角中的萬(wàn)能公式
3、, 有趣嗎?
例2 已知直線l與橢圓有且僅有一個(gè)交點(diǎn)Q,且與x軸、y軸分別交于R、S,求以線段SR為對(duì)角線的矩形ORPS的一個(gè)頂點(diǎn)P的軌跡方程.
講解:從直線所處的位置, 設(shè)出直線的方程,
由已知,直線l不過(guò)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn),所以設(shè)直線l的方程為
代入橢圓方程 得
化簡(jiǎn)后,得關(guān)于的一元二次方程
于是其判別式
由已知,得△=0.即 ①
在直線方程中,分別令y=0,x=0,求得
令頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y), 由已知,得
代入①式并整理,得 , 即為所求頂點(diǎn)P的軌跡方程.
方程形似橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程, 你
4、能畫出它的圖形嗎?
例3已知雙曲線的離心率,過(guò)的直線到原點(diǎn)的距離是
(1)求雙曲線的方程;
(2)已知直線交雙曲線于不同的點(diǎn)C,D且C,D都在以B為圓心的圓上,求k的值.
講解:∵(1)原點(diǎn)到直線AB:的距離.
故所求雙曲線方程為
(2)把中消去y,整理得 .
設(shè)的中點(diǎn)是,則
即
故所求k=±.
為了求出的值, 需要通過(guò)消元, 想法設(shè)法建構(gòu)的方程.
例4 已知橢圓C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)F1、F2在x軸上,點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且∠F1PF2的最大值為90°,直線l過(guò)左焦點(diǎn)F1與橢圓交于A、B兩點(diǎn),△ABF2
5、的面積最大值為12.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)求橢圓C的方程.
講解:(1)設(shè), 對(duì) 由余弦定理, 得
,
解出
(2)考慮直線的斜率的存在性,可分兩種情況:
i) 當(dāng)k存在時(shí),設(shè)l的方程為………………①
橢圓方程為
由 得 .
于是橢圓方程可轉(zhuǎn)化為 ………………②
將①代入②,消去得 ,
整理為的一元二次方程,得 .
則x1、x2是上述方程的兩根.且
,
也可這樣求解:
,
AB邊上的高
ii) 當(dāng)k不存在時(shí),把直線代入橢圓方程得
由①②知S
6、的最大值為 由題意得=12 所以
故當(dāng)△ABF2面積最大時(shí)橢圓的方程為:
下面給出本題的另一解法,請(qǐng)讀者比較二者的優(yōu)劣:
設(shè)過(guò)左焦點(diǎn)的直線方程為:…………①
(這樣設(shè)直線方程的好處是什么?還請(qǐng)讀者進(jìn)一步反思反思.)
橢圓的方程為:
由得:于是橢圓方程可化為:……②
把①代入②并整理得:
于是是上述方程的兩根.
,
AB邊上的高,
從而
當(dāng)且僅當(dāng)m=0取等號(hào),即
由題意知, 于是 .
故當(dāng)△ABF2面積最大時(shí)橢圓的方程為:
例5 已知直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn),且線段AB的中點(diǎn)在直線上.
(1)求此橢圓的
7、離心率;
(2 )若橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)的在圓上,求此橢圓的方程.
講解:(1)設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 得
,
根據(jù)韋達(dá)定理,得
∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為().
由已知得
故橢圓的離心率為 .
(2)由(1)知從而橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為 設(shè)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為
解得
由已知得
故所求的橢圓方程為 .
例6 已知⊙M:軸上的動(dòng)點(diǎn),QA,QB分別切⊙M于A,B兩點(diǎn),
(1)如果,求直線MQ的方程;
(2)求動(dòng)弦AB的中點(diǎn)P的軌跡方程.
講解:(1)由,可得由射影定理,得 在R
8、t△MOQ中,
,
故,
所以直線AB方程是
(2)連接MB,MQ,設(shè)由
點(diǎn)M,P,Q在一直線上,得
由射影定理得
即 把(*)及(**)消去a,并注意到,可得
適時(shí)應(yīng)用平面幾何知識(shí),這是快速解答本題的要害所在,還請(qǐng)讀者反思其中的奧妙.
例7 如圖,在Rt△ABC中,∠CBA=90°,AB=2,AC=。DO⊥AB于O點(diǎn),OA=OB,DO=2,曲線E過(guò)C點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在E上運(yùn)動(dòng),且保持| PA |+| PB |的值不變.
(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,求曲線E的方程;
(2)過(guò)D點(diǎn)的直線L與曲線E相交于不同的兩點(diǎn)M、N且M在D、N之間
9、,設(shè),
試確定實(shí)數(shù)的取值范圍.
講解: (1)建立平面直角坐標(biāo)系, 如圖所示 .
∵| PA |+| PB |=| CA |+| CB | y
C
=
A O B
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓 .
∵
10、
∴曲線E的方程是 .
(2)設(shè)直線L的方程為 , 代入曲線E的方程,得
設(shè)M1(, 則
①
②
③
i) L與y軸重合時(shí),
ii) L與y軸不重合時(shí),
由①得
又∵,
∵ 或
∴0<<1 ,
11、
∴ .
∵
而 ∴
∴
∴ , ,
∴的取值范圍是 .
值得讀者注意的是,直線L與y軸重合的情況易于遺漏,應(yīng)當(dāng)引起警惕.
例8 直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn),且與拋物線相交于A兩點(diǎn).
(1)求證:;
(2)求證:對(duì)于拋物線的任意給定的一條弦CD,直線l不是CD的垂直平分線.
講解: (1)易求得拋物線的焦點(diǎn).
若l⊥x軸,則l的方程為.
若l不垂直于x軸,可設(shè),代
12、入拋物線方程整理得 .
綜上可知 .
(2)設(shè),則CD的垂直平分線的方程為
假設(shè)過(guò)F,則整理得
,.
這時(shí)的方程為y=0,從而與拋物線只相交于原點(diǎn). 而l與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),因此與l不重合,l不是CD的垂直平分線.
此題是課本題的深化,你能夠找到它的原形嗎?知識(shí)在記憶中積累,能力在聯(lián)想中提升. 課本是高考試題的生長(zhǎng)點(diǎn),復(fù)課切忌忘掉課本!
例9 某工程要將直線公路l一側(cè)的土石,通過(guò)公路上的兩個(gè)道口A和B,沿著道路AP、BP運(yùn)往公路另一側(cè)的P處,PA=100m,PB=150m,∠APB=60°,試說(shuō)明怎樣運(yùn)土石最省工?
講
13、解: 以直線l為x軸,線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)對(duì)立直角坐標(biāo)系,則在l一側(cè)必存在經(jīng)A到P和經(jīng)B到P路程相等的點(diǎn),設(shè)這樣的點(diǎn)為M,則
|MA|+|AP|=|MB|+|BP|,
即 |MA|-|MB|=|BP|-|AP|=50,
,
∴M在雙曲線的右支上.
故曲線右側(cè)的土石層經(jīng)道口B沿BP運(yùn)往P處,曲線左側(cè)的土石層經(jīng)道口A沿AP運(yùn)往P處,按這種方法運(yùn)土石最省工.
相關(guān)解析幾何的實(shí)際應(yīng)用性試題在高考中似乎還未涉及,其實(shí)在課本中還可找到典型的范例,你知道嗎?
解析幾何解答題在歷年的高考中??汲P? 體現(xiàn)在重視能力立意, 強(qiáng)調(diào)思維空間, 是用活題考死知識(shí)的典范. 考題求解時(shí)考查了等價(jià)轉(zhuǎn)化, 數(shù)形結(jié)合, 分類討論, 函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想, 以及定義法, 配方法, 待定系數(shù)法, 參數(shù)法, 判別式法等數(shù)學(xué)通法.