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1、代數推理題怎么解
數學是“教會年輕人思考”的科學, 針對代數推理型問題, 我們不但要尋求它的解法是什么, 還要思考有沒有其它的解法, 更要反思為什么要這樣解, 不這樣解行嗎?我們通過典型的問題, 解析代數推理題的解題思路, 方法和技巧. 在解題思維的過程中, 既重視通性通法的演練, 又注意特殊技巧的作用, 同時將函數與方程, 數形結合, 分類與討論, 等價與化歸等數學思想方法貫穿于整個的解題訓練過程當中.
例1設函數,已知,時恒有,求a的取值范圍.
講解: 由
,
從而只要求直線L不在半圓C下方時, 直線L 的y截距的最小值.
當直線與半圓相切時,
2、易求得舍去).
故.
本例的求解在于 關鍵在于構造新的函數, 進而通過解幾模型進行推理解題, 當中, 滲透著數形結合的數學思想方法, 顯示了解題思維轉換的靈活性和流暢性.
還須指出的是: 數形結合未必一定要畫出圖形, 但圖形早已在你的心中了, 這也許是解題能力的提升, 還請三思而后行.
例2 已知不等式對于大于1的正整數n恒成立,試確定a的取值范圍.
講解: 構造函數,易證(請思考:用什么方法證明呢?)為增函數.
∵n是大于1的 正整數,
對一切大于1的正整數恒成立,必須,
即
這里的構造函數和例1屬于同類型, 學習解題就應當在解題活動的過程中不斷的逐類旁通,
3、 舉一反三, 總結一些解題的小結論. 針對恒成立的問題, 函數最值解法似乎是一種非常有效的同法, 請?zhí)釤捘愕男〗Y論.
例3 已知函數在區(qū)間[-b,1-b]上的最大值為25,求b的值.
講解: 由已知二次函數配方, 得
時,的最大值為4b2+3=25.
上遞增,
上遞增,
.
關于二次函數問題是歷年高考的熱門話題, 值得讀者在復課時重點強化訓練. 針對拋物線頂點橫坐標在不在區(qū)間[-b,1-b], 自然引出解題形態(tài)的三種情況, 這顯示了分類討論的數學思想在解題當中
4、的充分運用. 該分就分, 該合就合, 這種辨證的統(tǒng)一完全依具體的數學問題而定, 需要在解題時靈活把握.
例4已知
的單調區(qū)間;
(2)若
講解: (1) 對 已 知 函 數 進 行 降 次 分 項 變 形 , 得 ,
(2)首先證明任意
事實上,
而
.
函 數 與 不 等 式 證 明 的 綜 合 題 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 識 又 考 能 力 的 好 題 型 , 在 高 考 備 考 中 有 較 高 的 訓 練 價 值.. 針對本例的求解, 你能夠想到證明任意采用逆
5、向分析法, 給出你的想法!
例5 已知函數f(x)=(a>0,a≠1).
(1) 證明函數f(x)的圖象關于點P()對稱.
(2) 令an=,對一切自然數n,先猜想使an>n2成立的最小自然數a,并證明之.
(3) 求證:∈N).
講解: (1)關于函數的圖象關于定點P對稱, 可采用解幾中的坐標證法.
設M(x,y)是f(x)圖象上任一點,則M關于P()的對稱點為M’(1-x,1-y),
∴M′(1-x,1-y)亦在f(x)的圖象上,
故函數f(x)的圖象關于點P()對稱.
(2)將f(n)、f(1-n)的表達式代入an的表達式,化簡可得an=an猜
6、a=3,
即3n>n2.
下面用數學歸納法證明.
設n=k(k≥2)時,3k>k2.
那么n=k+1,3k+1>3·3k>3k2
又3k2-(k+1)2=2(k-)2-≥0(k≥2,k∈N)
∴3n>n2.
(3)∵3k>k2
∴klg3>2lgk
令k=1,2,…,n,得n個同向不等式,并相加得:
函數與數列綜合型問題在高考中頻頻出現(xiàn),是歷年高考試題中的一道亮麗的風景線.針對本例,你能夠猜想出最小自然數a=3嗎? 試試你的數學猜想能力.
例6 已知二次函數,設方程的兩個實根為x1和x2.
(1)如果,若函數的對稱軸為x=x0,求證:x0>-
7、1;
(2)如果,求b的取值范圍.
講解:(1)設,由得, 即
,
故;
(2)由同號.
①若.
又,負根舍去)代入上式得
,解得;
②若 即4a-2b+3<0.
同理可求得.
故當
對你而言, 本例解題思維的障礙點在哪里, 找找看, 如何排除? 下一次遇到同類問題, 你會很順利的克服嗎? 我們力求做到學一題會一類, 不斷提高邏輯推理能力.
例7 對于函數,若存在成立,則稱的不動點。如果函數有且只有兩個不動點0,2,且
(1)求函數的解析式;
(2)已知各項不為零的數列,求數列通項;
(3)如果數列滿足,求證:當時,恒
8、有成立.
講解: 依題意有,化簡為 由違達定理, 得
解得 代入表達式,由
得 不止有兩個不動點,
(2)由題設得 (*)
且 (**)
由(*)與(**)兩式相減得:
解得(舍去)或,由,若這與矛盾,,即{是以-1為首項,-1為公差的等差數列,;
(3)采用反證法,假設則由(1)知
,有
,而當這與假設矛盾,故假設不成立,.
關于本例的第(3)題,我們還可給出直接證法,事實上:
由得<0或
結論成立;
若,此時從而即數列{}在時單調遞減,由,可知上成立.
9、 比較上述兩種證法,你能找出其中的異同嗎? 數學解題后需要進行必要的反思, 學會反思才能長進.
例8 設a,b為常數,:把平面上任意一點
(a,b)映射為函數
(1)證明:不存在兩個不同點對應于同一個函數;
(2)證明:當,這里t為常數;
(3)對于屬于M的一個固定值,得,在映射F的作用下,M1作為象,求其原象,并說明它是什么圖象.
講解: (1)假設有兩個不同的點(a,b),(c,d)對應同一函數,即與相同,
即 對一切實數x均成立.
特別令x=0,得a=c;令,得b=d這與(a,b),(c,d)是兩個不同點矛盾,假設不成立.
故不存在兩個不同點對應
10、同函數.
(2)當時,可得常數a0,b0,使
=
由于為常數,設是常數.
從而.
(3)設,由此得
在映射F之下,的原象是(m,n),則M1的原象是
.
消去t得,即在映射F之下,M1的原象是以原點為圓心,為半徑的圓.
本題將集合, 映射, 函數綜合為一體, 其典型性和新穎性兼顧, 是一道用“活題考死知識”的好題目, 具有很強的訓練價值.
例9 已知函數f(t)滿足對任意實數x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(-2)=-2.
(1)求f(1)的值;
(2)證明:對一切大于1的正整數t,恒有f(t)>t;
(3)試求滿
11、足f(t)=t的整數t的個數,并說明理由.
講解 (1)為求f(1)的值,需令
令.
令.
(2)令(※)
.
由,
,
于是對于一切大于1的正整數t,恒有f(t)>t.
(3)由※及(1)可知.
下面證明當整數.
(※)得
即……,
將諸不等式相加得
.
綜上,滿足條件的整數只有t=1,.
本題的求解顯示了對函數方程f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1中的x、y取特殊值的技巧,這種賦值法在2002年全國高考第(21)題中得到了很好的考查.
例10 已知函數f(x)在(-1,1)上有定義,且滿足x、y∈(-1,1) 有
.
(1)證明:f(x)在(-1,1)上為奇函數;
(2)對數列求;
(3)求證
講解 (1)令則
令則 為奇函數.
(2),
是以-1為首項,2為公比的等比數列.
(3)
而
本例將函數、方程、數列、不等式等代數知識集于一題,是考查分析問題和解決問題能力的范例. 在求解當中,化歸出等比(等差)數列是數列問題常用的解題方法.