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1、立體幾何題怎么解
高考立體幾何試題一般共有4道(客觀題3道, 主觀題1道), 共計總分27分左右,考查的知識點在20個以內(nèi). 選擇填空題考核立幾中的計算型問題, 而解答題著重考查立幾中的邏輯推理型問題, 當然, 二者均應以正確的空間想象為前提. 隨著新的課程改革的進一步實施,立體幾何考題正朝著”多一點思考,少一點計算”的發(fā)展.從歷年的考題變化看, 以多面體和旋轉(zhuǎn)體為載體的線面位置關系的論證,角與距離的探求是??汲P碌臒衢T話題.
例1 四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的正方形,PB⊥面ABCD.
(1)若面PAD與面ABCD所成的二面角為60°,求這個四棱錐的體積;
2、 (2)證明無論四棱錐的高怎樣變化,面PAD與面PCD所成的二面角恒大于90°
講解:(1)正方形ABCD是四棱錐P—ABCD的底面, 其面積
為從而只要算出四棱錐的高就行了.
面ABCD,
∴BA是PA在面ABCD上的射影.又DA⊥AB,
∴PA⊥DA,
∴∠PAB是面PAD與面ABCD所成的二面角的平面角,
∠PAB=60°.
而PB是四棱錐P—ABCD的高,PB=AB·tg60°=a,
.
(2)不論棱錐的高怎樣變化,棱錐側(cè)面PAD與PCD恒為全等三角形.
作AE
3、⊥DP,垂足為E,連結EC,則△ADE≌△CDE,
是面PAD與面PCD所成的二面角的平面角.
設AC與DB相交于點O,連結EO,則EO⊥AC,
在
故平面PAD與平面PCD所成的二面角恒大于90°.
本小題主要考查線面關系和二面角的概念,以及空間想象能力和邏輯推理能力, 具有一定的探索性, 是一道設計新穎, 特征鮮明的好題.
例2 如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC為等腰直角三角形,∠ACB=900,AC=1,C點到AB1的距離為CE=,D為AB的中點.
(1)求證:AB
4、1⊥平面CED;
(2)求異面直線AB1與CD之間的距離;
(3)求二面角B1—AC—B的平面角.
講解:(1)∵D是AB中點,△ABC為等腰直角三角形,∠ABC=900,∴CD⊥AB又AA1⊥平面ABC,∴CD⊥AA1.
∴CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥AB1,又CE⊥AB1, ∴AB1⊥平面CDE;
(2)由CD⊥平面A1B1BA ∴CD⊥DE
∵AB1⊥平面CDE ∴DE⊥AB1
∴DE是異面直線AB1與CD的公垂線段
∵CE=,AC=1 , ∴CD=
∴;
(3)連結B1C,易證B1C⊥AC,又BC⊥AC ,
∴∠B1CB是二面角B1—A
5、C—B的平面角.
在Rt△CEA中,CE=,BC=AC=1,
∴∠B1AC=600
∴, ∴,
∴ , ∴.
作出公垂線段和二面角的平面角是正確解題的前提, 當然, 準確地作出應當有嚴格的邏輯推理作為基石.
例3 如圖a—l—是120°的二面角,A,B兩點在棱上,AB=2,D在內(nèi),三角形ABD是等腰直角三角形,∠DAB=90°,C在內(nèi),ABC是等腰直角三角形∠ACB=
(I) 求三棱錐D—ABC的體積;
(2)求二面角D—AC—B的大?。?
(3)求異面直線AB、CD所成的角.
講解: (1) 過D向平面做垂線,垂足為O,連強OA并
6、延長至E.
為二面角a—l—的平面角..
是等腰直角三角形,斜邊AB=2.又D到平面的距離DO=
(2)過O在內(nèi)作OM⊥AC,交AC的反向延長線于M,連結DM.則AC⊥DM.∴∠DMO 為二面角D—AC—B的平面角. 又在△DOA中,OA=2cos60°=1.且
(3)在平在內(nèi),過C作AB的平行線交AE于F,∠DCF為異面直線AB、CD所成的角. 為等腰直角三角形,又AF等于C到AB的距離,即△ABC斜邊上的高,
異面直線AB,CD所成的角為arctg
比較例2與例3解法的異同, 你會得出怎樣的啟示? 想想看.
例4
在邊長為a的
7、正三角形的三個角處各剪去一個四邊形.這個四邊形是由兩個全等的直角三角形組成的,并且這三個四邊形也全等,如圖①.若用剩下的部分折成一個無蓋的正三棱柱形容器,如圖②.則當容器的高為多少時,可使這個容器的容積最大,并求出容積的最大值.
圖① 圖②
講解: 設容器的高為x.則容器底面正三角形的邊長為,
.
當且僅當 .
故當容器的高為時,容器的容積最大,其最大容積為
對學過導數(shù)的同學來講,三次函數(shù)的最值問題用導
8、數(shù)求解是最方便的,請讀者不妨一試. 另外,本題的深化似乎與2002年全國高考文科數(shù)學壓軸題有關,還請做做對照. 類似的問題是:
某企業(yè)設計一個容積為V的密閉容器,下部是圓柱形,上部是半球形,當圓柱的底面半徑r和圓柱的高h為何值時,制造這個密閉容器的用料最?。慈萜鞯谋砻娣e最小).
例5 已知三棱錐P—ABC中,PC⊥底面ABC,AB=BC,
D、F分別為AC、PC的中點,DE⊥AP于E.
(1)求證:AP⊥平面BDE;
(2)求證:平面BDE⊥平面BDF;
(3)若AE∶EP=1∶2,求截面BEF分三棱錐
P—ABC所成兩部分的體
9、積比.
講解: (1)∵PC⊥底面ABC,BD平面ABC,∴PC⊥BD.
由AB=BC,D為AC的中點,得BD⊥AC.又PC∩AC=C,∴BD⊥平面PAC. 又PA平面、PAC,∴BD⊥PA.由已知DE⊥PA,DE∩BD=D,∴AP⊥平面BDE.
(2)由BD⊥平面PAC,DE平面PAC,得BD⊥DE.由D、F分別為AC、PC的中點,得DF//AP.
由已知,DE⊥AP,∴DE⊥DF. BD∩DF=D,∴DE⊥平面BDF.
又DE平面BDE,∴平面BDE⊥平面BDF.
(3)設點E和點A到平面PBC的距離分別為h1和h2.則
h1∶h2=EP∶AP
10、=2∶3,
故截面BEF分三棱錐P—ABC所成兩部分體積的比為1∶2或2∶1
值得注意的是, “截面BEF分三棱錐P—ABC所成兩部分的體積比”并沒有說明先后順序, 因而最終的比值答案一般應為兩個, 希不要犯這種”會而不全”的錯誤.
例6 已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半圓,它被過底面中心O1且平行于母線AB的平面所截,若截面與圓錐側(cè)面的交線是焦參數(shù)(焦點到準線的距離)
為p的拋物線.
(1)求圓錐的母線與底面所成的角;
(2)求圓錐的全面積.
講解: (1)設圓錐的底面半徑為R,母線長為l,
由題意得:,
即,
所以母線和底面所成的角為
11、
(2)設截面與圓錐側(cè)面的交線為MON,其中O為截面與
AC的交點,則OO1//AB且
在截面MON內(nèi),以OO1所在有向直線為y軸,O為原點,建立坐標系,則O為拋物的頂點,所以拋物線方程為x2=-2py,點N的坐標為(R,-R),代入方程得
R2=-2p(-R),得R=2p,l=2R=4p.
∴圓錐的全面積為.
將立體幾何與解析幾何相鏈接, 頗具新意, 預示了高考命題的新動向. 類似請思考如下問題:
一圓柱被一平面所截,截口是一個橢圓.已知橢圓的
長軸長為5,短軸長為4,被截后幾何體的最短側(cè)面母
線長為1,則該幾何體的體積等于 .
12、
例7 如圖,幾何體ABCDE中,△ABC是正三角形,EA和DC都垂直于平面ABC,且EA=AB=2a, DC=a,F(xiàn)、G分別為EB和AB的中點.
(1)求證:FD∥平面ABC;
(2)求證:AF⊥BD;
(3) 求二面角B—FC—G的正切值.
講解: ∵F、G分別為EB、AB的中點,
∴FG=EA,又EA、DC都垂直于面ABC, FG=DC,
∴四邊形FGCD為平行四邊形,∴FD∥GC,又GC面ABC,
∴FD∥面ABC.
(2)∵AB=EA,且F為EB中點,∴AF⊥EB ① 又FG∥EA,EA⊥面ABC
∴FG⊥面ABC ∵G
13、為等邊△ABC,AB邊的中點,∴AG⊥GC.
∴AF⊥GC又FD∥GC,∴AF⊥FD ②
由①、②知AF⊥面EBD,又BD面EBD,∴AF⊥BD.
(3)由(1)、(2)知FG⊥GB,GC⊥GB,∴GB⊥面GCF.
過G作GH⊥FC,垂足為H,連HB,∴HB⊥FC.
∴∠GHB為二面角B-FC-G的平面角.
易求.
例8 如圖,正方體ABCD—A1B1C1D1的棱長為1,P、Q分別是線段AD1和BD上的點,且
D1P∶PA=DQ∶QB=5∶12.
(1) 求證PQ∥平面CDD1C1;
(2) 求證PQ⊥AD;
(3) 求線段PQ的長.
14、
講解: (1)在平面AD1內(nèi),作PP1∥AD與DD1交于點P1,在平面AC內(nèi),作
QQ1∥BC交CD于點Q1,連結P1Q1.
∵ , ∴PP1QQ1 .
由四邊形PQQ1P1為平行四邊形, 知PQ∥P1Q1
而P1Q1平面CDD1C1, 所以PQ∥平面CDD1C1
(2)AD⊥平面D1DCC1, ∴AD⊥P1Q1,
又∵PQ∥P1Q1, ∴AD⊥PQ.
(3)由(1)知P1Q1 PQ,
,而棱長CD=1. ∴DQ1=. 同理可求得 P1D=.
在Rt△P1DQ1中,應用勾股定理, 立得
P1Q1=.
做為本題
15、的深化, 筆者提出這樣的問題: P, Q分別是BD,上的動點,試求的最小值, 你能夠應用函數(shù)方法計算嗎? 試試看. 并與如下2002年全國高考試題做以對照, 你會得到什么啟示?
如圖,正方形ABCD、ABEF的邊長都是1,而且平面ABCD、ABEF互相垂直。點M在AC上移動,點N在BF上移動,若CM=BN=
(1) 求MN的長;
(2) 當為何值時,MN的長最??;
(3) 當MN長最小時,求面MNA與面MNB所成的二面角的大小。
立體幾何知識是復課耗時較多, 而考試得分偏底的題型. 只有放底起點, 依據(jù)課本, 熟化知識, 構建空間思維網(wǎng)絡, 掌握解三角形的基本工具, 嚴密規(guī)范表述, 定會突破解答立幾考題的道道難關.