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1、2020屆高三數(shù)學復(fù)習 直線和圓
【教學內(nèi)容】
直線方程的幾種形式、夾角、距離及圓的有關(guān)概念和性質(zhì)。
【教學目標】
1、熟練掌握直線的傾斜角、斜率k的有關(guān)概念。直線傾斜角θ的取值范圍是0≤θ<180°,而斜率k是傾角θ的正切,當θ為90°時,直線的斜率不存在。因此我們用點斜式或斜截式設(shè)直線方程時要注意分清直線的斜率是否存在。
2、掌握直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式和一般式,并能根據(jù)題目所給的條件,靈活地選擇直線方程的形式。
3、能判斷兩直線的位置關(guān)系或根據(jù)直線的位置關(guān)系,求出字母已知數(shù)的范圍;要能計算直線l1到l2的角或兩直線的夾角及點到直線的距離。
4、熟
2、練掌握圓的幾種標準方程,并能結(jié)合已知條件靈活地設(shè)出圓的方程;要能熟練地運用圓本身的一些性質(zhì)來證題或解題。
5、坐標平面把數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系統(tǒng)一起來了,數(shù)與形相輔相成,相得益彰,要能夠熟練地運用數(shù)形結(jié)合的思想去解決問題。
【知識講解】
例1 求與直線3x+4y+12=0平行,且與坐標軸構(gòu)成的三角形面積是24的直線l的方程。
分析:滿足兩個條件才能確定一條直線。一般地,求直線方程有兩個解法,即用其中一個條件列出含待定系數(shù)的方程,再用另一個條件求出此參數(shù)。
解法一:先用“平行”這個條件設(shè)出l 的方程為3x+4y+m=0①再用“面積”條件去求m,∵直線l交x軸于,交y軸于由,得,代
3、入①得所求直線的方程為:
解法二:先用面積這個條件列出l的方程,設(shè)l在x軸上截距離a,在y軸上截距b,則有,因為l的傾角為鈍角,所以a、b同號,|ab|=ab,l的截距式為,即48x+a2y-48a=0②又該直線與3x+4y+2=0平行,∴,∴代入②得所求直線l 的方程為
說明:與直線Ax+By+C=0平行的直線可寫成Ax+By+C1=0的形式;與Ax+By+C=0垂直的直線的方程可表示為Bx-Ay+C2=0的形式。
例2 已知△ABC的頂點A(3, -1),AB邊上的中線所在直線的方程為6x+10y-59=0,∠B的平分線所在直線的方程為:x-4y+10=0,求邊BC所在直線的方程。
4、
解:設(shè)B(a, b),B在直線BT上,∴a-4b+10=0① 又AB中點在直線CM上,∴點M的坐標滿足方程6x+10y-59=0 ∴② 解①、②組成的方程組可得a=10,b=5 ∴B(10, 5),又由角平分線的定義可知,直線BC到BT的角等于直線BT到直線BA的角,又 ∴ ∴
∴BC所在直線的方程為即2x+9y-65=0
例3 若直線mx+y+2=0與線段AB有交點,其中A(-2, 3),B(3,2),求實數(shù)m的取值范圍。
解:直線mx+y+2=0過一定點C(0, -2),直線mx+y+2=0實際上表示的是過定點(0, -2)的直線系,因為直線與線段A
5、B有交點,則直線只能落在∠ABC的內(nèi)部,設(shè)BC、CA這兩條直線的斜率分別為k1、k2,則由斜率的定義可知,直線mx+y+2=0的斜率k應(yīng)滿足k≥k1或k≤k2, ∵A(-2, 3) B(3, 2)
∴
∴-m≥或-m≤ 即m≤或m≥
說明:此例是典型的運用數(shù)形結(jié)合的思想來解題的問題,這里要清楚直線mx+y+2=0的斜率-m應(yīng)為傾角的正切,而當傾角在(0°,90°)或(90°,180°)內(nèi),角的正切函數(shù)都是單調(diào)遞增的,因此當直線在∠ACB內(nèi)部變化時,k應(yīng)大于或等于kBC,或者k小于或等于kAC,當A、B兩點的坐標變化時,也要能求出m的范圍。
例4 求直線l2:7x-y+4=0到l1:
6、x+y-2=0的角平分線的方程。
解法一:設(shè)l2到l1角平分線l的斜率為k,∵k1=-1,k2=7
∴,解之得k=-3或,由圖形可知k<0,
∴k=-3,又由解得l1與l2的交點,由點斜式得
即6x+2y-3=0
解法二:設(shè)l2到l1的角為θ,則,所以角θ為銳角,而,由二倍角公式可知 ∴或 為銳角,
∴,∴k=-3等同解法一。
解法三:設(shè)l:(x+y-2)+λ(7x-y+4)=0 即(1+7λ)x+(1-λ)y+(4λ-2)=0①
∴,由解法一知,∴,代入①化簡即得:6x+2y-3=0
解法四:用點到直線的距離公式,設(shè)l上任一點P(x, y),則P到l1與l2的距離
7、相等。
∴整理得:6x+2y-3=0與x-3y+7=0,又l是l2到l1的角的平分線,
k<0,∴x-3y+7=0不合題意所以所求直線l的方程為6x+2y-3=0.
例5 已知△ABC三邊所在直線方程AB:x-6=0,BC:x-2y-8=0,CA:x+2y=0,求此三角形外接圓的方程。
解:解方程組可得A(6, -3)、B(6, -1)、C(4, 2)設(shè)方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,則:
解之得:D=,E=4,F(xiàn)=30
所以所求的△ABC的外接圓方程為:
例6 如果一條直線經(jīng)過點M且被圓x2+y2=25所截得的弦長為8,求這條直線的方程。
解:設(shè)
8、所求直線的斜率為k,直線l的方程:,,由條件知圓心O到直線l的距離
∴ ∴
則l的方程為 即3x+4y+15=0又當直線l的斜率不存在時,l的方程x=-3恰好也滿足條件。因此,l的方程為3x+4y+15=0或x+3=0
說明:這里這里我們設(shè)l的點斜式為實際上就已知先假設(shè)了直線l的斜率是存在,但在實際問題中,直線l的斜率不一定存在,因此我們還應(yīng)對斜率不存在的情形進行討論。與此類似的還有如下問題:過圓外一點引圓的切線,切線一定存在且有兩條,我們通常是先設(shè)切線的點斜式方程,然后由圓心到切線的距離等于圓的半徑求出切線的斜率,若求的斜率有兩個值,則就可以代入點斜率得到切線的方程,若求出的k
9、只有一解,則說明另一條切線的斜率一定不存在,如過點(5, -9)作圓x2+y2=25的切線,要注意其中一條切線就是x=5,我們?nèi)粼O(shè)切線的點斜式方程為y+9=k(x-5)只能求出一個k的值;同理,過平面上任一點作與定直線成定角的直線也一定有兩條,若設(shè)所求直線的點斜式,如果由夾角公式求出的k只有一個值話,那么其中一條滿足條件的直線的斜率一定不存在,如過點(3, -2)作直線l,使l與已知直線的夾角為30°,求l的方程就是這樣的問題。
例7 求圓心在直線y=-4x上,且與直線l:x+y-1=0相切于點P(3, -2)的圓的方程。
分析:在解與圓有關(guān)的習題時,我們要充分注意到圓本身的性質(zhì),如圓心到
10、切線的距離等于圓的半徑,過切點垂直于切線的直線必過圓心、兩圓相切,連心線必過切點等等,這樣往往可以使運算變得簡單、方便,因此我們要認真分析已知條件,結(jié)合圓本身的性質(zhì),恰當?shù)卦O(shè)出圓的方程。如本題中,過切點P且垂直于切線的直線必過圓心,因此圓心就是兩直線的交點了,這樣求方程就得計算變得非常的方便。
解:由圓的性質(zhì)可知,過切點P(3, -2)且與切線x+y-1=0垂直的直線l’必過圓心,kl’=1
∴l(xiāng)’:y+2=1·(x-3),x-y-5=0,又已知圓心在直線y=-4x上,解方程組
∴O1(1, -4)即為圓心的坐標,又
所示所求圓的方程為:(x-1)2+(y+4)2=8
例8
11、求通過直線2x+y+4=0及圓x2+y2+2x-4y+1=0的交點,并且有最小面積的圓的方程。
解法一:已知圓的方程可化為:(x+1)2+(y-2)2=4,設(shè)D為弦AB的中點,則直線CD的方程為x-2y+5=0,解方程組:得
即D,|CD|= |AD|=,
又以D的圓心,AB為直徑的圓的面積最小,∴所求圓的方程為:
解法二:設(shè)圓的方程為(x2+y2+2x-4y+1)+λ(2x+y+4)=0
即,又圓的面積為
∴當取最小值時即可:,當λ=時圓面積最小,此時圓的方程為5x2+5y2+26x-12y+37=0
解法三:設(shè)A(x1, y1),B(x2, y2),因為所求圓的面積最小
12、,則此圓一定是以AB為直徑的圓設(shè)它的方程為,即x2+y2-(x1+x2)x-(y1+y2)y+x1x2+y1y2=0,由得:x2+2x+4x2+16+16x+8x+16+1=0
即:5x2+26x+33=0 x1+x2=,x1x2=,y1+y2=-2(x1+x2)-8=
y1y2=4(x+2)(x+2)=4[x1x2+2(x1+x2)+4]=
∴所求圓的方程為
例9 設(shè)P是圓M:(x-5)2+(y-5)2=1上的動點,它關(guān)于A(9, 0)的對稱點為Q,把P繞原點依逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°到點S,求|SQ|的最值。
解:設(shè)P(x, y),則Q(18-x, -y),記P點對應(yīng)的復(fù)
13、數(shù)為x+yi,則S點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為:
(x+yi)·i=-y+xi,即S(-y, x)
∴
其中可以看作是點P到定點B(9, -9)的距離,共最大值為最小值為,則
|SQ|的最大值為
|SQ|的最小值為
【每周一練】
一、選擇題:
1、在△ABC中,∠A>∠B是sinA>sinB的( )
A、充分條件 B、必要條件 C、充要條件 D、既不充分也不必要條件
2、A、B、C三點共線,點C分向量AB所成的比是-3,則B分向量AC所成的比是( )
A、2 B、 C、 D、-2
3
14、、經(jīng)過點P(-2, 1),且在兩坐標軸上截距的絕對值相等的直線有( )
A、1條 B、2條 C、3條 D、4條
4、當α∈R時,由方程x·sinα+y·cosα=5sinα所確定的各直線的位置關(guān)系是( )
A、相互平行 B、垂直 C、有無窮多個交點 D、過同一點
5、若方程a2x2+(a+2)y2+2ax+a=0表示圓,則a的值為( )
A、a=1或a=-2 B、-1
15、 B、 C、 D、
7、設(shè)M是圓(x-5)2+(y-3)2=9上的點,則M點到直線3x+4y-2=0的最短距離是( )
A、9 B、8 C、2 D、5
8、對于直線x·sinα+y+1=0,其傾角的取值范圍是( )
A、 B、 C、 D、
二、填空題:
9、直線3x+2y+m=0與(m2+1)x-3y+2-3m=0的位置關(guān)系是_______________
10、若直線Ax+By+C=0(A、B、C均不為零)與圓x2+y2=1相切,則以|A|、|B|、|C|為邊長的三角形是___________
16、_________
11、直線系方程y=ax+1,a∈R的圖象恒過定點___________
12、△ABC的三個頂點A(0, 3)、B(3, 3)、C(2, 0), 若直線x=a將△ABC分割成面積相等的兩部分,則實數(shù)a的值是________________
13、函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱的圖象的函數(shù)表達式為_____________________
14、從點(2, 3)向圓x2+y2=4作切線,其切線方程為_______________
15、光線沿直線ax+by+c=0 (abc≠0)照射到直線y=x上后反射,則反射線所在直線的方程是_____________
17、______
三、解答題:
16、設(shè)直線l1:mx+8y+n=0與l2:2x+my-1=0平行,求過點(m, n)并與l1、l2垂直且被截得弦長為的直線方程。
17、已知正方形的中心為直線2x-y+2=0和x+y+1=0的交點,正方形一邊所在直線的方程為x+3y-5=0,求其它三邊的方程。
18、證明:直線系(2x-y-6)+λ(x-y-4)=0中,找不到直線,使它與點P(4, -1)的距離等于3。
19、設(shè)A={z| |z|≤},B={z| |z-(a-i)| ≤},若A∩B≠φ,求實數(shù)a的最大值、最小值。
20、已知直線l1和l2關(guān)于直線2x-2y+1=0對稱,若l1的方程是3
18、x-2y+1=0,求l2的方程。
21、在圓x2+y2=4上有定點A(2, 0)及兩個動點B、C,當B、C兩點保持∠BAC=時,求△ABC重心的軌跡方程。
22、求與y軸相切,且與圓x2+y2-4x=0也相切的圓的圓心的軌跡方程。
23、設(shè)圓滿足:①截y軸所得弦長為2;②被x軸分成兩段弧,其弧長的比為3:1,在滿足①、②的所在圓中,求圓心到直線l:x-2y=0的距離最小的圓的方程。
[參考答案]
一、選擇題:
1、C 2、A 3、C 4、D 5、C 6、D 7、C 8、B
二、填空題:
9、相交 10、直角三角形 11、(0, 1) 12、 13、y=f(2-x)
14、x=2或5x-12y+26=0 15、bx+ay+c=0
三、解答題:
16、2x-y+10=0或2x-y-30=0或2x+y+26=0或2x+y-14=0
17、3x-y-3=0 3x-y+9=0 x+3y+7=0
18、略 19、amax=,amin= - 20、4x-6y+3=0
21、 其中0≤x<1
22、y2=8x(x≠0)或y=0(x≠0且x≠2)
23、(x-1)2+(y-1)2=2或(x+1)2+(y+1)2=2