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1、2020年高考試題解析數(shù)學(xué)（理科）分項(xiàng)版14 復(fù)數(shù)、推理與證明 一、選擇題: 1. (2020年高考山東卷理科2)復(fù)數(shù)z=(為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為 （A）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 4.(2020年高考浙江卷理科2)把復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)記作，若，為虛數(shù)單位，則= （A） （B） （C）（D） 【答案】 A 【解析】 故選A 5．(2020年高考廣東卷理科1)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足(1+i)z=2，其中i為虛數(shù)單位，則Z=（ ） A．1+i B．1-i C．2+2i D．2-2i 【解析】B.由題得

2、所以選B. 6.(2020年高考遼寧卷理科1)a為正實(shí)數(shù)，i為虛數(shù)單位，，則a=（ ） （A）2 （B） (C) (D)1 答案： B 解析：,a>0,故a=. 7. (2020年高考全國新課標(biāo)卷理科1)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（ ） A B C D; 解析：C，因?yàn)?，所以，共軛復(fù)數(shù)為，選C 點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)的概念和運(yùn)算，先化簡后寫出共軛復(fù)數(shù)即可。 8.(2020年高考江西卷理科1)若，則復(fù)數(shù) A. B. C. D. 【答案】D

3、 【解析】因?yàn)?，所以復(fù)數(shù),選D. 9. (2020年高考江西卷理科7)觀察下列各式：=3125，=15625，=78125，…，則的末四位數(shù)字為 A．3125 B．5625 C．0625 D．8125 【答案】D 【解析】觀察發(fā)現(xiàn)冪指數(shù)是奇數(shù)的,結(jié)果后三位數(shù)字為125,故排除B、C選項(xiàng);而,故A也不正確, 所以選D. 10．(2020年高考江西卷理科10)如右圖，一個(gè)直徑為l的小圓沿著直徑為2的大圓內(nèi)壁的逆時(shí)針方向滾動(dòng)，M和N是小圓的一條固定直徑的兩個(gè)端點(diǎn)．那么，當(dāng)小圓這樣滾過大圓內(nèi)壁的一周，點(diǎn)M，N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是

4、12．(2020年高考湖北卷理科1)i為虛數(shù)單位，則= A.－i B.－1 C.i D.1 答案：A 解析：因?yàn)?故所以選A. 13．(2020年高考陜西卷理科7)設(shè)集合， 則為 （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】：由即 由得即故選C 14.(2020年高考重慶卷理科1)復(fù)數(shù) （A） (B) (C) (D) 解析：選B. 。 二、填空題: 1. (2020年高考山東卷理科15)設(shè)函數(shù),觀察:

5、 根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得： 當(dāng)且時(shí)， . 【答案】 【解析】觀察知:四個(gè)等式等號(hào)右邊的分母為,即,所以歸納出分母為的分母為,故當(dāng)且時(shí)，. 2.(2020年高考安徽卷理科15)在平面直角坐標(biāo)系中，如果與都是整數(shù)，就稱點(diǎn)為整點(diǎn)，下列命題中正確的是_____________（寫出所有正確命題的編號(hào)）. ①存在這樣的直線，既不與坐標(biāo)軸平行又不經(jīng)過任何整點(diǎn) ②如果與都是無理數(shù)，則直線不經(jīng)過任何整點(diǎn) ③直線經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)經(jīng)過兩個(gè)不同的整點(diǎn) ④直線經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)的充分必要條件是：與都是有理數(shù) ⑤存在恰經(jīng)過一個(gè)整點(diǎn)的直線 【答案】

6、①③⑤ 【命題意圖】本題考查直線方程，考查邏輯推理能力.難度較大. 【解析】①正確，令滿足①；②錯(cuò)誤，若，過整點(diǎn)（－1,0）；③正確，設(shè)是過原點(diǎn)的直線，若此直線過兩個(gè)整點(diǎn)，則有，，兩式相減得，則點(diǎn)也在直線上，通過這種方法可以得到直線經(jīng)過無窮多個(gè)整點(diǎn)，通過上下平移得對(duì)于也成立；④錯(cuò)誤，當(dāng)與都是有理數(shù)時(shí)，令顯然不過任何整點(diǎn)；⑤正確. 如：直線恰過一個(gè)整點(diǎn) 【解題指導(dǎo)】：這類不定項(xiàng)多選題類型，難度非常大，必須每一個(gè)選項(xiàng)都有足夠的把握確定其正誤，解題時(shí)須耐心細(xì)致。 3. (2020年高考湖北卷理科15)給n個(gè)自上而下相連的正方形著黑色或白色.當(dāng)n≤4時(shí)，在所有不同的著色方案中，黑色正方形互不相

7、鄰的著色方案如下圖所示： n=1 n=2 n=3 n=4 由此推斷，當(dāng)n=6時(shí)，黑色正方形互不相鄰的著色方案共有 種，至少有兩個(gè) 黑色正方形相鄰的著色方案共有 種.（結(jié)果用數(shù)值表示） 答案：21，43 解析：根據(jù)著色方案可知，n=6時(shí)，若有3個(gè)黑色正方形則有3種，有2個(gè)黑色正方形有4+3+2+1+1=11種，有1個(gè)黑色正方形有6種；有0個(gè)黑色正方形有1種，所以共有3+11+6+1=21種. n=6時(shí)，當(dāng)至少有2個(gè)黑色正方形相鄰時(shí)，畫出圖形可分為： ①有2個(gè)黑色正方形相鄰時(shí)，共23種， ②有3個(gè)黑色正方形相鄰時(shí)，共

8、12種， ③有4個(gè)黑色正方形相鄰時(shí)，共5種， ④有5個(gè)黑色正方形相鄰時(shí)，共2種， ⑤有6個(gè)黑色正方形相鄰時(shí)，共1種. 故共有23+12+5+2+1=43種. 4．(2020年高考陜西卷理科13)觀察下列等式 照此規(guī)律，第個(gè)等式為 【答案】 【解析】：第個(gè)等式是首項(xiàng)為，公差1，項(xiàng)數(shù)為的等差數(shù)列，即 3、(2020年高考安徽卷江蘇3)設(shè)復(fù)數(shù)i滿足（i是虛數(shù)單位），則的實(shí)部是_________ 【答案】1 【解析】因?yàn)?，所?故的實(shí)部是1. 三、解答題: 1．(2020年高考上海卷理科19)（12分）已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），復(fù)數(shù)的虛部為，是實(shí)數(shù)，求

9、。 解： ………………（4分） 設(shè)，則，………………（12分） ∵ ，∴ ………………（12分） （19）(2011年高考安徽卷理科19)（本小題滿分12分） （Ⅰ）設(shè)證明， （Ⅱ），證明. 【命題意圖】：本題考查不等式的基本性質(zhì)，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和對(duì)數(shù)換底公式等基本知識(shí)，考查代數(shù)式恒定變形能力和推理論證能力。 【證明】：(Ⅰ)由于，所以 要證明： 只要證明： 只要證明： 只要證明： 只要證明： 由于，上式顯然成立，所以原命題成立。 2. (2020年高考天津卷理科20)（本小題滿分14分） 已知數(shù)列與滿足：， ，且． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）設(shè)，證明：是等

10、比數(shù)列； （Ⅲ）設(shè)證明：． 【解析】本小題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算能力、推理論證能力、綜合分析能力和解決問題的能力及分類討論的思想方法. （Ⅰ）解:由,,可得, 又 當(dāng)n=1時(shí),,由,,得; 當(dāng)n=2時(shí),,可得. 當(dāng)n=3時(shí),,可得. （Ⅱ）證明:對(duì)任意, ,① ,② ,③ ②-③得 ④, 將④代入①,可得即(),又, 故,因此,所以是等比數(shù)列. （III）證明：由（II）可得， 于是，對(duì)任意，有 將以上各式相加，得 即， 此式當(dāng)k=1時(shí)也成立.由④式得 從而 所以，對(duì)任意， 對(duì)于

11、n=1，不等式顯然成立. 所以，對(duì)任意 3. (2020年高考湖南卷理科16)對(duì)于，將表示為，當(dāng)時(shí)， ，當(dāng)時(shí)，為或.記為上述表示中為的個(gè)數(shù)（例如：， ，故，），則（1） ；（2） . 答案：2; 1093 4. (2020年高考湖南卷理科22)（本小題滿分13分）已知函數(shù) 求函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由； 設(shè)數(shù)列滿足證明：存在常數(shù) 使得對(duì)于任意的都有 解：由知，，而且， ，則為的一個(gè)零點(diǎn)，且在內(nèi)由零點(diǎn)， 因此至少有兩個(gè)零點(diǎn). 解法1 記則 當(dāng)時(shí)，因此在上單調(diào)遞增，則在上至多有一個(gè)零點(diǎn)， 又因?yàn)?，，則在內(nèi)有零點(diǎn).所以在上有

12、且只有一個(gè)零點(diǎn)，記此零點(diǎn)為，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 所以， 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而則在內(nèi)無零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則在內(nèi)至多只有一個(gè)零點(diǎn)，從而在上至多有一個(gè)零點(diǎn). 綜上所述，有且只有兩個(gè)零點(diǎn). 解法2 由，記則 當(dāng)時(shí)，因此在上單調(diào)遞增，則在上至多有一個(gè)零點(diǎn)， 從而在上至多有一個(gè)零點(diǎn). 綜上所述，有且只有兩個(gè)零點(diǎn). 記的正零點(diǎn)為，即 （1）當(dāng)時(shí)，由得，而，因此. 由此猜測：.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明. ①當(dāng)時(shí)，顯然成立， ②假設(shè)當(dāng)時(shí)，成立，則當(dāng)時(shí)，由 知 因此，當(dāng)時(shí)，成立 故對(duì)任意的成立 5. (2020年高考廣東卷理科20)設(shè)數(shù)列滿足, (1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2)

13、證明：對(duì)于一切正整數(shù)n, 【解析】（1）由 令， 當(dāng) ①當(dāng)時(shí)， ②當(dāng) （2）當(dāng)時(shí)，（欲證） ， 當(dāng) 綜上所述 6．(2020年高考廣東卷理科21)（本小題滿分14分） 【解析】解：（1）證明：切線的方程為 當(dāng) 當(dāng) （2）的方程分別為 求得的坐標(biāo)，由于，故有 1）先證： （）設(shè) 當(dāng) 當(dāng) （）設(shè) 當(dāng) 注意到 2）次證： （）已知利用（1）有 （）設(shè)，斷言必有 若不然，令Y是上線段上異于兩端點(diǎn)的點(diǎn)的集合， 由已證的等價(jià)式1）再由（

14、1）得，矛盾。 故必有再由等價(jià)式1）， 綜上， （3）求得的交點(diǎn) 而是Ｌ的切點(diǎn)為的切線，且與軸交于， 由（１）線段Q1Q2，有 當(dāng) 在（0，2）上，令 由于 在[0，2]上取得最大值 故 , 故 7. (2020年高考湖北卷理科21)（本小題滿分14分） (Ⅰ)已知函數(shù)，求函數(shù)的最大值； (Ⅱ)設(shè)均為正數(shù)，證明： （1）若，則； （2）若，則 本題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)，同時(shí)考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理論證的能力，以及化歸與轉(zhuǎn)化的思想. 解析： （Ⅰ）的定義域?yàn)?，令，解得? 當(dāng)

15、時(shí)，，在（0，1）內(nèi)是增函數(shù)； 當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)是減函數(shù)； 故函數(shù)在處取得最大值 （Ⅱ） （1）由（Ⅰ）知，當(dāng)時(shí)，有，即， ，從而有，得， 求和得, ,,即 . （2）①先證. 令，則,于是 由（1）得，即 . ②再證. 記，令，則， 于是由（1）得. 即， 綜合①②，（2）得證. 8.(2020年高考全國卷理科20)設(shè)數(shù)列滿足且 （Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè) 【解析】：（Ⅰ）由得， 前項(xiàng)為， 【解析】：（Ⅰ） 故 （Ⅱ）法一：第次抽取時(shí)概率為，則抽得的20個(gè)號(hào)碼互不相同的概率 由（Ⅰ），當(dāng) 即有故 于是即。故 法二： 所

16、以是上凸函數(shù)，于是 因此 故 綜上： 10．(2020年高考江蘇卷23)（本小題滿分10分） 設(shè)整數(shù)，是平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)，其中 （1）記為滿足的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求； （2）記為滿足是整數(shù)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)，求 解析：考察計(jì)數(shù)原理、等差數(shù)列求和、分類討論、歸納推理能力，較難題。 （1）因?yàn)闈M足的每一組解構(gòu)成一個(gè)點(diǎn)P,所以。 （2）設(shè)，則 對(duì)每一個(gè)k對(duì)應(yīng)的解數(shù)為：n-3k,構(gòu)成以3為公差的等差數(shù)列； 當(dāng)n-1被3整除時(shí)，解數(shù)一共有： 當(dāng)n-1被3除余1時(shí)，解數(shù)一共有： 當(dāng)n-1被3除余2時(shí)，解數(shù)一共有： 11．(2020年高考北京卷理科20)（本小題共13分）

17、 若數(shù)列滿足，數(shù)列為數(shù)列，記=． （Ⅰ）寫出一個(gè)滿足，且〉0的數(shù)列； （Ⅱ）若，n=2000，證明：E數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是=2020； （Ⅲ）對(duì)任意給定的整數(shù)n（n≥2），是否存在首項(xiàng)為0的E數(shù)列，使得=0？如果存在，寫出一個(gè)滿足條件的E數(shù)列；如果不存在，說明理由。 解：（Ⅰ）0，1，2，1，0是一具滿足條件的E數(shù)列A5。 （答案不唯一，0，1，0，1，0也是一個(gè)滿足條件的E的數(shù)列A5） （Ⅱ）必要性：因?yàn)镋數(shù)列A5是遞增數(shù)列， 所以. 所以A5是首項(xiàng)為12，公差為1的等差數(shù)列. 所以a2000=12+（2000—1）×1=2020. 充分性，由于a2000—a1000≤1， a2000—a1000≤1 …… a2—a1≤1 所以a2000—a≤19999，即a2000≤a1+1999. 又因?yàn)閍1=12，a2000=2020, 所以a2000=a1+1999. 故是遞增數(shù)列. 綜上，結(jié)論得證。 （Ⅲ）令 因?yàn)? …… 所以 因?yàn)? 所以為偶數(shù), 所以要使為偶數(shù), 即4整除. 當(dāng) 時(shí)，有 當(dāng)?shù)捻?xiàng)滿足， 當(dāng)不能被4整除，此時(shí)不存在E數(shù)列An， 使得