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1、第二十講　三角函數(shù)的圖象 班級(jí)________　姓名________　考號(hào)________　日期________　得分________ 一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)．) 1．(精選考題·天津)下圖是函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(x∈R)在區(qū)間上的圖象，為了得到這個(gè)函數(shù)的圖象，只要將y＝sinx(x∈R)的圖象上所有的點(diǎn)(　　) A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變 C．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)

2、的，縱坐標(biāo)不變 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍，縱坐標(biāo)不變 解析：觀察圖象可知，函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)中A＝1，＝π，故ω＝2，ω×＋φ＝0，得φ＝，所以函數(shù)y＝sin，故只要把y＝sinx的圖象向左平移個(gè)單位，再把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的即可． 答案：A 2．(精選考題·全國(guó)Ⅱ)為了得到函數(shù)y＝sin的圖象，只需把函數(shù)y＝sin的圖象(　　) A．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 B．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 C．向左平移個(gè)長(zhǎng)度單位 D．向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位 解析：由y＝siny＝sin＝sin，即2x＋2φ＋＝2x－，解得φ＝－，即向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位．故選B

3、. 答案：B 3．(精選考題·重慶)已知函數(shù)y＝sin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則(　　) A．ω＝1，φ＝　　　　　　 B．ω＝1，φ＝－ C．ω＝2，φ＝ D．ω＝2，φ＝－ 解析：依題意得T＝＝4＝π，ω＝2，sin＝1.又|φ|<，所以＋φ＝，φ＝－，選D. 答案：D 4．已知函數(shù)y＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0)在區(qū)間[0,2π]上的圖象如圖所示，那么ω＝(　　) A．1　　　　　　　　 B．2 C. D. 解析：由函數(shù)的圖象可知該函數(shù)的周期為π，所以＝π，解得ω＝2. 答案：B 5．已知函數(shù)y＝sincos，則下列判斷正

4、確的是(　　) A．此函數(shù)的最小正周期為2π，其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是 B．此函數(shù)的最小正周期為π，其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是 C．此函數(shù)的最小正周期為2π，其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是 D．此函數(shù)的最小正周期為π，其圖象的一個(gè)對(duì)稱中心是 解析：∵y＝sin·cos＝sin， ∴T＝＝π，且當(dāng)x＝時(shí)，y＝0. 答案：B 6．如果函數(shù)y＝sin2x＋acos2x的圖象關(guān)于直線x＝－對(duì)稱，則實(shí)數(shù)a的值為(　　) A.　　　　　　　　　　B．－ C．1 D．－1 分析：函數(shù)f(x)在x＝－時(shí)取得最值；或考慮有 f＝f對(duì)一切x∈R恒成立． 解析：解法一：設(shè)f(x)＝sin2x＋acos

5、2x，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于直線x＝－對(duì)稱，所以f＝f對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立， 即sin2＋acos2 ＝sin2＋acos2 即sin＋sin ＝a， ∴2sin2x·cos＝－2asin2x·sin， 即(a＋1)·sin2x＝0對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，而sin2x不能恒為0， ∴a＋1＝0，即a＝－1，故選D. 解法二：∵f(x)＝sin2x＋acos2x關(guān)于直線x＝－對(duì)稱． ∴有f＝f對(duì)一切x∈R恒成立． 特別，對(duì)于x＝應(yīng)該成立． 將x＝代入上式，得f(0)＝f， ∴sin0＋acos0＝sin＋acos ∴0＋a＝－1＋a×0. ∴a＝－1.故選D. 解法三：y＝s

6、in2x＋acos2x＝sin(2x＋φ)，其中角φ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，a)．其圖象的對(duì)稱軸方程為2x＋φ＝kπ＋(k∈Z)， 即x＝＋－(k∈Z)． 令＋－＝－(k∈Z)． 得φ＝kπ＋(k∈Z)． 但角φ的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1，a)，故k為奇數(shù)，角φ的終邊與－角的終邊相同，∴a＝－1. 解法四：y＝sin2x＋acos2x＝sin(2x＋φ)，其中角φ滿足tanφ＝a.因?yàn)閒(x)的對(duì)稱軸為y＝－， ∴當(dāng)x＝－時(shí)函數(shù)y＝f(x)有最大值或最小值， 所以＝f或－＝f， 即＝sin＋acos， 或－＝sin＋acos. 解之得a＝－1.故選D. 答案：D 評(píng)析：本題給出了四種不

7、同的解法，充分利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性的特征來(lái)解題．解法一是運(yùn)用了方程思想或恒等式思想求解．解法二是利用了數(shù)形結(jié)合的思想求解，抓住f(m＋x)＝f(m－x)的圖象關(guān)于直線x＝m對(duì)稱的性質(zhì)，取特殊值來(lái)求出待定系數(shù)a的值．解法三利用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的對(duì)稱軸是方程ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)的解x＝(k∈Z)，然后將x＝－代入求出相應(yīng)的φ值，再求a的值．解法四利用對(duì)稱軸的特殊性質(zhì)，在此處函數(shù)f(x)取最大值或最小值．于是有f＝[f(x)]max或f＝[f(x)]min.從而轉(zhuǎn)化為解方程問(wèn)題，體現(xiàn)了方程思想．由此可見，本題體現(xiàn)了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，要從多種解法中悟出其實(shí)質(zhì)東西． 二、填空題：(

8、本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線上．) 7．(精選考題·福建)已知函數(shù)f(x)＝3sin(ω>0)和g(x)＝2cos(2x＋φ)＋1的圖象的對(duì)稱軸完全相同．若x∈，則f(x)的取值范圍是________． 解析：∵f(x)與g(x)的圖象的對(duì)稱軸完全相同，∴f(x)與g(x)的最小正周期相等，∵ω>0，∴ω＝2，∴f(x)＝3sin，∵0≤x≤，∴－≤2x－≤，∴－≤sin≤1，∴－≤3sin≤3，即f(x)的取值范圍為. 答案： 8．設(shè)函數(shù)y＝cosπx的圖象位于y軸右側(cè)所有的對(duì)稱中心從左依次為A1，A2，…，An，….則A50的坐標(biāo)是________

9、． 解析：對(duì)稱中心橫坐標(biāo)為x＝2k＋1，k≥0且k∈N，令k＝49即可得． 答案：(99,0) 9．把函數(shù)y＝cos的圖象向左平移m個(gè)單位(m>0)，所得圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的最小值是________． 解析：由y＝cos(x＋＋m)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以＋m＝kπ，k∈Z，m＝kπ－，當(dāng)k＝1時(shí)，m最小為π. 答案：π 10．定義集合A，B的積A×B＝{(x，y)|x∈A，y∈B}．已知集合M＝{x|0≤x≤2π}，N＝{y|cosx≤y≤1}，則M×N所對(duì)應(yīng)的圖形的面積為________． 解析：如圖所示陰影面積可分割補(bǔ)形為ABCD的面積即BC×CD＝π·2＝2π.

10、 答案：2π 三、解答題：(本大題共3小題，11、12題13分，13題14分，寫出證明過(guò)程或推演步驟．) 11．若方程sinx＋cosx＝a在[0,2π]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x1、x2，求a的取值范圍，并求x1＋x2的值． 分析：設(shè)函數(shù)y1＝sinx＋cosx，y2＝a，在同一平面直角坐標(biāo)系中作出這兩個(gè)函數(shù)的圖象，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合解答即可． 解：設(shè)f(x)＝sinx＋cosx＝2sin，x∈[0,2π]． 令x＋＝t，則f(t)＝2sint，且t∈.在同一平面直角坐標(biāo)系中作出y＝2sint及y＝a的圖象，從圖中可以看出當(dāng)1＜a＜2和－2＜a＜1時(shí)，兩圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程sinx＋cos

11、x＝a在[0,2π]上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解． 當(dāng)1＜a＜2時(shí)，t1＋t2＝π， 即x1＋＋x2＋＝π， ∴x1＋x2＝； 當(dāng)－2＜a＜1時(shí)，t1＋t2＝3π， 即x1＋＋x2＋＝3π， ∴x1＋x2＝. 綜上可得，a的取值范圍是(1,2)∪(－2,1)． 當(dāng)a∈(1,2)時(shí)，x1＋x2＝； 當(dāng)a∈(－2,1)時(shí)，x1＋x2＝. 評(píng)析：本題從方程的角度考查了三角函數(shù)的圖象和對(duì)稱性，運(yùn)用的主要思想方法有：函數(shù)與方程的思想、數(shù)形結(jié)合的思想及換元法．解答本題常見的錯(cuò)誤是在換元時(shí)忽略新變量t的取值范圍，仍把t當(dāng)成在[0,2π]中處理，從而出錯(cuò)． 12．已知函數(shù)f(x)＝Asin(x＋

12、φ)(A＞0,0＜φ＜π)，x∈R的最大值是1，其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M. (1)求f(x)的解析式； (2)已知α，β∈，且f(α)＝，f(β)＝，求f(α－β)的值． 解：(1)∵f(x)＝Asin(x＋φ)(A＞0,0＜φ＜π)的最大值是1，∴A＝1. ∵f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)M， ∴sin＝. ∵0＜φ＜π?φ＝， ∴f(x)＝sin＝cosx. (2)∵f(x)＝cosx，∴f(α)＝cosα＝，f(β)＝cosβ＝，已知α，β∈，所以 sinα＝＝，sinβ＝＝. 故f(α－β)＝cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ＝×＋×＝. 13．(精選考題·山

13、東)已知函數(shù)f(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin(0<φ<π)，其圖象過(guò)點(diǎn). (1)求φ的值； (2)將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，求函數(shù)g(x)在上的最大值和最小值． 解：(1)因?yàn)閒(x)＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ－sin(0<φ<π)， 所以f(x)＝sin2xsinφ＋cosφ－cosφ ＝sin2xsinφ＋cos2xcosφ ＝(sin2xsinφ＋cos2xcosφ) ＝cos(2x－φ)， 又函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)， 所以＝cos， 即cos＝1， 又0<φ<π， 所以φ＝. (2)由(1)知f(x)＝cos，將函數(shù)y＝f(x)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y＝g(x)的圖象，可知 g(x)＝f(2x)＝cos， 因?yàn)閤∈， 所以4x∈， 因此4x－∈， 故－≤cos≤1. 所以y＝g(x)在上的最大值和最小值分別為和－.