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2020高考數(shù)學(xué)熱點集中營 熱點18 概率與統(tǒng)計大題 新課標(biāo)

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1、 【兩年真題重溫】 下面試驗結(jié)果: 配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 頻數(shù) 8 20 42 22 8 配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 頻數(shù) 4 12 42 32 10 (Ⅰ) 分別估計用配方,配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率; (Ⅱ) 已知用配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(單位:元)與其質(zhì)量指標(biāo)值的關(guān)系式為 . (Ⅱ) 用配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中,其質(zhì)量指標(biāo)落入?yún)^(qū)間,,的

2、頻率分別為,,,因此 ,,. 即的分布列為: 則的數(shù)學(xué)期望. 得到下面試驗結(jié)果: 配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 頻數(shù) 8 20 42 22 8 配方的頻數(shù)分布表 指標(biāo)值分組 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 頻數(shù) 4 12 42 32 10 (Ⅰ) 分別估計用配方,配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率; (Ⅱ) 已知用配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤(單位:元)與

3、其質(zhì)量指標(biāo)值的關(guān)系式為 ,估計用配方生產(chǎn)的一件產(chǎn)品的利潤大于0的概率,并求用配方生產(chǎn)的上述100件產(chǎn)品平均一件的利潤. 樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人,結(jié)果如下: 是否需要志愿 性別 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 (1) 估計該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例; (2) 能否有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關(guān)? (3) 根據(jù)(2)的結(jié)論,能否提供更好的調(diào)查方法來估計該地區(qū)老年人,需要志愿幫助的老年人的比例?說明理由. 0.050 0.010 0.001 3.841

4、6.635 10.828 附: 【解析】命題意圖:本題主要考查統(tǒng)計學(xué)知識,考查利用數(shù)學(xué)知識研究實際問題的能力以及相應(yīng)的運算能力. (2) , 由于所以有99%的把握認(rèn)為該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān). ……8分 (3)由于(2)的結(jié)論知,該地區(qū)的老年人是否需要幫助與性別有關(guān),并且從樣本數(shù)據(jù)能看出該地區(qū)男性老年人與女性老年人中需要幫助的比例有明顯差異,因此在調(diào)查時,先確定該地區(qū)老年人中男,女的比例,再把老年人分成男,女兩層并采用分層抽樣方法比采用簡單反隨即抽樣方法更好. ……12分 【命題意圖猜想】 【最新考綱解讀】 (1)獨立性檢驗 了解獨立性檢驗(只要

5、求2×2列聯(lián)表)的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用. (2)假設(shè)檢驗 了解假設(shè)檢驗的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用. (3)回歸分析 了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用. 【回歸課本整合】 ④按照事先確定的規(guī)則抽取樣本.通常是將S加上間隔k,得到第2個個體編號S+k,再將(S+k)加上k,得到第3個個體編號S+2k,這樣繼續(xù)下去,獲得容量為n的樣本.其樣本編號依次是:S,S+k,S+2k,…,S+(n-1)k. 4.繪制頻率分布直方圖 把橫軸分成若干段,每一段對應(yīng)一個組距,然后以線段為底作一矩形,它的高等于該組的,這樣得出一系列的矩形,每個矩形的面積恰好是該組上的頻率.這些矩形

6、就構(gòu)成了頻率分布直方圖.在頻率分布直方圖中,縱軸表示“頻率/組距”,數(shù)據(jù)落在各小組內(nèi)的頻率用小矩形的面積表示,各小矩形的面積總和等于1. 5.莖葉圖 7.方差、標(biāo)準(zhǔn)差 (1)設(shè)樣本數(shù)據(jù)為x1,x2,…,xn樣本平均數(shù)為,則s2=[(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2] 對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的方法叫回歸分析.其基本步驟是:①畫散點圖,②求回歸直線方程,③用回歸直線方程作預(yù)報. (1)回歸直線:觀察散點圖的特征,如果散點圖中點的分布從整體上看大致在一條直線附近,我們就稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系,這條直線叫做回歸直線. (2)回歸直線方程的求法——最小二乘法.

7、 11.(理)離散型隨機(jī)變量的分布列 1. 2.超幾何分布: 設(shè)有總數(shù)為N件的兩類物品,其中一類有M件,從所有物品中任取n件(n≤N),這n件中所含這類物品件數(shù)X是一個離散型隨機(jī)變量,它取值為m時的概率P(X=m)=(0≤m≤l,l為n和M中較小的一個),稱這種離散型隨機(jī)變量的概率分布為超幾何分布,也稱X服從參數(shù)為N、M、n的超幾何分布.超幾何分布給出了求解這類問題的方法,可以當(dāng)公式直接運用求解. 3.二項分布: 如下: … … … … 由于恰好是二項展開式 中的各項的值,所以稱這樣的隨機(jī)變量服從二項分布,

8、記作,其中,為參數(shù),并記=.… 2.二項分布的期望與方差:若,則 , 【方法技巧提煉】 1.三種抽樣方法的比較 類別 共同點 各自特點 相互聯(lián)系 適用范圍 簡單隨機(jī)抽樣 抽樣過程中每個個體被抽取的機(jī)會均等 從總體中逐個抽取 ? 總體中的個體數(shù)較少 系統(tǒng)抽樣 將總體均勻分成幾部分,按事先確定的規(guī)則在各部分抽取 在起始部分抽樣時采用簡單隨機(jī)抽樣 總體中的個體數(shù)較多 分層抽樣 將總體分成幾層,分層進(jìn)行抽取 各層抽樣時采用簡單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣 總體由差異明顯的幾部分組成 例1 某中學(xué)有員工人,其中中高級教師人,一般教師人,管理人員人,行政每個個體抽到的

9、概率為. (3)(分層抽樣法)四類人員的人數(shù)比為,又,,所以從中高級教師、一般教師、管理人員、行政人員中分別抽取人、人、人、人,每個個體抽到的概率為. 點評:此類通過三個抽樣方法進(jìn)行解析,體會之間的不同點. 7.回歸分析是處理變量相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方法.主要解決:(1)確定特定量之間是否有相關(guān)關(guān)系,如果有就找出它們之間貼近的數(shù)學(xué)表達(dá)式;(2)根據(jù)一組觀察值,預(yù)測變量的取值及判斷變量取值的變化趨勢;(3)求出回歸直線方程. 8.獨立性檢驗是一種假設(shè)檢驗,在對總體的估計中,通過抽取樣本,構(gòu)造合適的隨機(jī)變量,對假設(shè)的正確性進(jìn)行判斷. (2)現(xiàn)有甲乙丙丁四人依次抽獎,用表示獲獎的人數(shù),求的分

10、布列及的值. 解析:(1)設(shè)“世博會會徽”卡有張,由,得,故“海寶”卡有4張,抽獎?wù)攉@獎的概率為; (2)~的分布列為; 0 1 2 3 4 ∴,. 【點評】此題第二問的關(guān)鍵分析出滿足二項分布,從而化解計算.體現(xiàn)在期望和方差的計算. 解析:(Ⅰ) 某職員被聘用的概率為. (Ⅱ)若4位職員中恰有2人被聘用的概率由于當(dāng)且僅當(dāng)時,,此時,解得. 4為職員中被聘用人數(shù)的取值為0、1、2、3, 0 1 2 3 4 由于服從二項分布,所以=2. 【點評】此題巧妙在第二問中涉及到的最值問題

11、.把概率問題和函數(shù)最值問題聯(lián)系到一起.利用了均值不等式求最值,確定P的值. 【考場經(jīng)驗分享】 7. 概率計算題的核心環(huán)節(jié)就是把一個隨機(jī)事件進(jìn)行類似本題的分拆,這中間有三個概念,事件的互斥,事件的對立和事件的相互獨立,在概率的計算中只要弄清楚了這三個概念,根據(jù)實際情況對事件進(jìn)行合理的分拆,就能把復(fù)雜事件的概率計算轉(zhuǎn)化為一個個簡單事件的概率計算,達(dá)到解決問題的目的. 8.在解含有相互獨立事件的概率題時,首先把所求的隨機(jī)事件分拆成若干個互斥事件的和,其次將分拆后的每個事件分拆為若干個相互獨立事件的乘積,這兩個事情做好了,問題的思路就清晰了,接下來就是按照相關(guān)的概率值進(jìn)行計算的問題了,如果某些相

12、互獨立事件符合獨立重復(fù)試驗概型,就把這部分歸結(jié)為用獨立重復(fù)試驗概型,用獨立重復(fù)試驗概型的概率計算公式解答. 【新題預(yù)測演練】 1.[2020·江西卷文] 為了普及環(huán)保知識,增強(qiáng)環(huán)保意識,某大學(xué)隨機(jī)抽取30名學(xué)生參加環(huán)保知識測試,得分(十分制)如圖1-1所示,假設(shè)得分值的中位數(shù)為me,眾數(shù)為m0,平均值為,則(  ) 圖1-1 A.me=m0= B.me=m0< C.me

13、006+0.012)×10=40(名).又=,即x=600. 【答案】0.5 0.53  【解析】===0.5;==3. ==0.01,=-=0.5-0.01×3=0.47,【答案】 C  【解析】 對于變量Y與X而言,Y隨X的增大而增大,故Y與X正相關(guān),即r1>0;對于變量V與U而言,V隨U的增大而減小,故V與U負(fù)相關(guān),即r2<0. ∴r2<0

14、回歸方程為(  ) A.y=x-1 B.y=x+1 C.y=88+x D.y=176 【答案】 C  10. [2020·山東卷] 某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表: 廣告費用x(萬元),4,2,3,5銷售額y(萬元),49,26,39,54根據(jù)上表可得回歸方程=x+中的為9.4,據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為6萬元時銷售額為(  ) A.63.6萬元 B.65.5萬元 C.67.7萬元 D.72.0萬元 【答案】B  【解析】==3.5,==42,由于回歸方程過點(,),所以42=9.4×3.5+,解得=9.1,故回歸方程為 =9.4x+9.1,所以當(dāng)x=6

15、時,y=6×9.4+9.1=65.5. 圖1-4 11.[2020·陜西卷] 設(shè)(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)是變量x和y的n個樣本點,直線l是由這些樣本點通過最小二乘法得到的線性回歸直線(如圖1-4),以下結(jié)論中正確的是(  ) A.x和y的相關(guān)系為直線l的斜率 B.x和y的相關(guān)系數(shù)在0到1之間 C.當(dāng)n為偶數(shù)時,分布在l兩側(cè)的樣本點的個數(shù)一定相同 D.直線l過點(,) 【答案】 D  Y的均值E(Y)=E(X+15)=E(X)+15=4×+15=. …12分 (文)為了檢測某批棉花的質(zhì)量,質(zhì)檢人員隨機(jī)抽取6根,其平均纖維長度為25mm。用表

16、示第n根棉花的纖維長度,且前5根棉花的纖維長度如下表: (1)求X6及這6根棉花的標(biāo)準(zhǔn)差s; (2)從這6根棉花中,隨機(jī)選取2根,求至少有1根的長度在區(qū)間(20,25)內(nèi)的概 解:(Ⅰ)由題意, =25,X6=40. …2分 s2==49, s=7. …5分 至少有1根的長度在區(qū)間(20,25)內(nèi)的概率為1-P=.…12分 13.【唐山市2020學(xué)年度高三年級第一次模擬考試】 解: (Ⅰ)K2=≈2.932>2.706, 由此可知,有90%的把握認(rèn)為對這一問題的看法與性別有關(guān). …3分 (Ⅱ)(?。┯涱}設(shè)事件為A,則

17、 所求概率為P(A)==. …7分 附: 解:(Ⅰ)K2=≈2.932>2.706, 由此可知,有90%的把握認(rèn)為對這一問題的看法與性別有關(guān). …5分 (Ⅱ)記反對“男女同齡退休”的6男士為ai,i=1,2,…,6,其中甲、乙分別為a1,a2,從中選出2人的不同情形為: a1a2,a1a3,a1a4,a1a5,a1a6, a2a3,a2a4,a2a5,a2a6, a3a4,a3a5,a3a6, a4a5,a4a6, a5a6, …9分 共15種可能,其中甲、乙至少有1人的情形有9種, 所求概率為P==. …

18、12分 解:(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖,有“高個子”8人,“非高個子”12人, 用分層抽樣的方法,每個人被抽中的概率是, (Ⅱ)如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取5人,再從這5人中選2人,那么至少有一人是“高個子”的概率是多少? 解:(Ⅰ)8名男志愿者的平均身高為 ;…3分 12名女志愿者身高的中位數(shù)為175. …………6分 15.【2020年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(二)】 (理)某班甲、乙兩名同學(xué)參加l00米達(dá)標(biāo)訓(xùn)練,在相同條件下兩人l0次訓(xùn)練的成績(單位:秒)如下: 解:(Ⅰ) 莖葉圖 ……………………

19、2分 和………………2分 從統(tǒng)計圖中可以看出,乙的成績較為集中,差異程度較小,應(yīng)選派乙同學(xué)代表班級參加比賽更好;………………4分 (Ⅱ)設(shè)事件A為:甲的成績低于12.8,事件B為:乙的成績低于12.8, 則甲、乙兩人成績至少有一個低于秒的概率為:;……………8分(此部分,可根據(jù)解法給步驟分:2分) (Ⅲ)設(shè)甲同學(xué)的成績?yōu)椋彝瑢W(xué)的成績?yōu)椋? 則,……………10分 得, 如圖陰影部分面積即為,則 .…………12分 (文)某班甲、乙兩名同學(xué)參加l00米達(dá)標(biāo)訓(xùn)練,在相同條件下兩人l0次訓(xùn)練的成績(單位:秒)如下: (I)請畫出適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計圖;如果從甲、乙兩名同學(xué)中選一名

20、參加學(xué)校的100米比賽,從成績的穩(wěn)定性方面考慮,選派誰參加比賽更好,并說明理由(不用計算,可通過統(tǒng)計圖直接回答結(jié)論). (Ⅱ)經(jīng)過對甲、乙兩位同學(xué)的若干次成績的統(tǒng)計,甲、乙的成績都均勻分布在[11.5,14.5]之間,現(xiàn)甲、乙比賽一次,求甲、乙成績之差的絕對值小于0.8秒的概率. 解:( ……4分或 …………4分 從統(tǒng)計圖中可以看出,乙的成績較為集中,差異程度較小,應(yīng)選派乙同學(xué)代表班級參加比賽更好;……6分 (Ⅱ)設(shè)甲同學(xué)的成績?yōu)?,乙同學(xué)的成績?yōu)?,則,……………8分 得,如圖陰影部分面積即為,…………10分 則 .……………12分 16.【北京市朝陽區(qū)2020學(xué)年

21、度高三年級期末統(tǒng)一考試】 (理) (Ⅰ)求某個家庭得分為的概率? (Ⅱ)若游戲規(guī)定:一個家庭的得分為參與游戲的兩人得分之和,且得分大于等于8的家庭可以獲得一份獎品.請問某個家庭獲獎的概率為多少? (Ⅲ)若共有5個家庭參加家庭抽獎活動.在(Ⅱ)的條件下,記獲獎的家庭數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望. . ………………………………… 11分 所以分布列為: 0 1 2 3 4 5 所以. 所以的數(shù)學(xué)期望為. ……………………………………………… 13分 17.【北京市石景山區(qū)2020學(xué)年度高三數(shù)第一學(xué)

22、期期末檢測】 (理)甲、乙兩名籃球運動員在四場比賽中的得分?jǐn)?shù)據(jù)以莖葉圖記錄如下: 甲 乙 1 8 6 0 0 2 4 4 2 3 0 (Ⅰ)求乙球員得分的平均數(shù)和方差; (Ⅱ)甲球員四場比賽得分為20,20,26,32,分別從兩人得分中隨機(jī)選取一場的 得分,共有16種情況: 得分和Y的分布列為: Y 38 44 50 56 62 …………11分

23、 數(shù)學(xué)期望 ………………13分 (文)甲、乙兩名籃球運動員在四場比賽中的得分?jǐn)?shù)據(jù)以莖葉圖記錄如下: 甲 乙 1 8 6 0 0 2 4 4 2 3 0 (Ⅰ)求乙球員得分的平均數(shù)和方差; (Ⅱ)甲球員四場比賽得分為20,20,26,32,分別從兩人得分中隨機(jī)選取一場的 得分,共有16種情況: 18.【河北省石家莊市2020屆高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(一)】 (理)某工科院校對A,B兩個專業(yè)的男女生人數(shù)進(jìn)行調(diào)查,得到如下的列

24、聯(lián)表: (I)能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下,認(rèn)為工科院校中“性別”與“專業(yè)”有關(guān)系呢? (II)從專業(yè)A中隨機(jī)抽取2名學(xué)生,記其中女生的人數(shù)為X,求X的分布列和均值. 注: 解:(Ⅰ)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),…………3分 由于, 因此在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為工科院校中“性別”與“專業(yè)”有關(guān)系. ……………6分 (Ⅱ)專業(yè)A中女生12人,男生38人 ;; 所以X的分布列為: X 0 1 2 P ……………10分 均值為:.………………12分 (文)某工科院校對A,B兩個專業(yè)的男女生人數(shù)進(jìn)行調(diào)查,得到如下的列聯(lián)表:

25、 (I) 從B專業(yè)的女生中隨機(jī)抽取2名女生參加某項活動,其中女生甲被選到的概率是多少? (II)能否在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下,認(rèn)為工科院校中“性別”與“專業(yè)”有關(guān)系呢? 注: 解:(Ⅰ)設(shè)B專業(yè)的4名女生為甲、乙、丙、丁,隨機(jī)選取兩個共有(甲,乙),(甲,丙),(甲,丁),(乙,丙),(乙,?。?,(丙,?。?種可能,……………2分 其中選到甲的共有3種可能,……………4分 則女生甲被選到的概率是.……………6分 (Ⅱ)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),………9分 由于,因此在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為工科院校中“性別”與“專業(yè)”有關(guān)系.…………12分 表1 成

26、績分組 人數(shù) 3 m 8 6 表2 成績分組 人數(shù) 2 5 n 5 分別估計男生和女生的平均分?jǐn)?shù),并估計這450名學(xué)生的平均分?jǐn)?shù).(精確到0.01) 解析:(I)由抽樣方法知,被抽取的男生人數(shù)為, (I)求抽取的男生與女生的人數(shù)? (II)從男生和女生中抽查的結(jié)果分別如下表1和表2; 表1 成績分組 人數(shù) 3 m 8 6 表2 成績分組 人數(shù) 2 5 n 5 分別估計男生和女生的平均分?jǐn)?shù),并估計這450名學(xué)生的平均分?jǐn)?shù)。(精確到0.01) 20

27、.【山西省高三第二次四校聯(lián)考】 (1)根據(jù)已知條件填寫下面表格: 組 別 1 2 3 4 5 6 7 8 樣本數(shù) 20. 解:(1)由條形圖得第七組頻率為則. ∴第七組的人數(shù)為3人. - -------1分 組別 1 2 3 4 5 6 7 8 樣本數(shù) 2 4 10 10 15 4 3 2

28、 --------4分 (文)甲乙兩位學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽培訓(xùn),在培訓(xùn)期間他們參加5次預(yù)賽成績記錄如下: 甲: 78 76 74 90 82 乙: 90 70 75 85 80 (1)用莖葉圖表示這兩組數(shù)據(jù); (2)從甲乙兩人所得成績中各隨機(jī)抽取一個,所有情況如下: (78,90) (78,70) (78,75) (78,85) (78,80) (76,90) (76,70) (76,75) (76,85) (76,80) (74,90) (74,70) (74,7

29、5) (74,85) (74,80) (90,90) (90,70) (90,75) (90,85) (90,80) (82,90) (82,70) (82,75) (82,85) (82,80) 共有25種,而甲大于乙的情況有12種,.. ………………8分 (3),,而,. ,,選甲參加更合適.………………12分 解:(Ⅰ)由圖可知,健康上網(wǎng)天數(shù)未超過20天的頻率為 , ………2分 ∴ 健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的學(xué)生人數(shù)是 . 

30、 ………4分 (Ⅱ)隨機(jī)變量Y的所有可能取值為0,1,2. ………5分 P(Y=0)=, P(Y=1)= , P(Y=2)= . ……8分 所以Y的分布列為 Y 0 1 2 P …………………………………………11分 ∴ E(Y)=0×+1×+2×= . ………………………………13分 (文)已知A、B、C三個箱子中各裝有2個完全相同的球,每個箱子里的球,有一個球標(biāo) 種,事件的基本結(jié)果有1種,所以, ,,,. ……………………10分 故所摸出的兩球號碼之和為4、為5的概

31、率相等且最大. 答:猜4或5獲獎的可能性最大. ……………………12分 的分布列和數(shù)學(xué)期望。 所以的分布列為 0 1 2 3 P ……… 10 分 ………12 分 (文)一個盒子中裝有4張卡片,每張卡片上寫有1個數(shù)字,數(shù)字分別是1、2、3、4,現(xiàn)從盒子中隨機(jī)抽取卡片. (1)若一次從中隨機(jī)抽取3張卡片,求3張卡片上數(shù)字之和大于或等于7的概率; (2)若第一次隨機(jī)抽1張卡片,放回后再隨機(jī)抽取1張卡片,求兩次抽取中至少一次抽到數(shù)字2的概率. 共7個. …………………………………………………………………………………10分 所以所求事件的概率為. ………………………………………………12分 . ………………………………………10分 隨機(jī)變量的分布列為: 因為 , 所以 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為. ………………………………………13分

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