《【創(chuàng)新方案】2020年高考數學一輪復習 第三篇導數及其應用 第1講　變化率與導數、導數的運算教案 理 新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《【創(chuàng)新方案】2020年高考數學一輪復習 第三篇導數及其應用 第1講　變化率與導數、導數的運算教案 理 新人教版（8頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第1講　變化率與導數、導數的運算 【2020年高考會這樣考】 1．利用導數的幾何意義求曲線在某點處的切線方程． 2．考查導數的有關計算，尤其是簡單的函數求導． 【復習指導】 本講復習時，應充分利用具體實際情景，理解導數的意義及幾何意義，應能靈活運用導數公式及導數運算法則進行某些函數求導. 　 基礎梳理 1．函數y＝f(x)從x1到x2的平均變化率 函數y＝f(x)從x1到x2的平均變化率為. 若Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，則平均變化率可表示為. 2．函數y＝f(x)在x＝x0處的導數 (1)定義 稱函數y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率li

2、＝ li 為函數y＝f(x)在x＝x0處的導數，記作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li . (2)幾何意義 函數f(x)在點x0處的導數f′(x0)的幾何意義是在曲線y＝f(x)上點(x0，f(x0))處切線的斜率．相應地，切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 3．函數f(x)的導函數 稱函數f′(x)＝li 為f(x)的導函數，導函數有時也記作y′. 4．基本初等函數的導數公式 若f(x)＝c，則f′(x)＝0； 若f(x)＝xα(α∈R)，則f′(x)＝αxα－1； 若f(x)＝sin x，則f′(x)＝cos x； 若f(x)＝cos

3、x，則f′(x)＝－sin x； 若f(x)＝ax(a>0，且a≠1)，則f′(x)＝axln_a； 若f(x)＝ex，則f′(x)＝ex； 若f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，則f′(x)＝； 若f(x)＝ln x，則f′(x)＝. 5．導數四則運算法則 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； (3)′＝　(g(x)≠0)． 6．復合函數的求導法則 復合函數y＝f(g(x))的導數和函數y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為yx′＝y(tǒng)u′·ux′. 一個區(qū)別

4、曲線y＝f(x)“在”點P(x0，y0)處的切線與“過”點P(x0，y0)的切線的區(qū)別： 曲線y＝f(x)在點P(x0，y0)處的切線是指P為切點，若切線斜率存在時，切線斜率為k＝f′(x0)，是唯一的一條切線；曲線y＝f(x)過點P(x0，y0)的切線，是指切線經過P點，點P可以是切點，也可以不是切點，而且這樣的直線可能有多條． 兩種法則 (1)導數的四則運算法則． (2)復合函數的求導法則． 三個防范 1．利用公式求導時要特別注意除法公式中分子的符號，防止與乘法公式混淆． 2．要正確理解直線與曲線相切和直線與曲線只有一個交點的區(qū)別． 3．正確分解復合函數的結構，由外向內逐層

5、求導，做到不重不漏． 雙基自測 1．下列求導過程中 ①′＝－；②()′＝；③(logax)′＝′＝ ；④(ax)′＝(eln ax)′＝(exln a)′＝exln aln a＝axln a 其中正確的個數是(　　)． A．1 B．2 C．3 D．4 答案　D 2．(人教A版教材習題改編)函數f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的導數為(　　)． A．2(x2－a2) B．2(x2＋a2) C．3(x2－a2) D．3(x2＋a2) 解析　f′(x)＝(x－a)2＋(x＋2a)[2(x－a)]＝3(x2－a2)． 答案　C 3．(2020·湖南)曲線y＝－在點

6、M處的切線的斜率為(　　)． A．－ B. C．－ D. 解析　本小題考查導數的運算、導數的幾何意義，考查運算求解能力． y′＝＝，把x＝代入得導數值為. 答案　B 4．(2020·江西)若f(x)＝x2－2x－4ln x，則f′(x)＞0的解集為(　　)． A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞) C．(2，＋∞) D．(－1,0) 解析　令f′(x)＝2x－2－＝＞0，利用數軸標根法可解得－1＜x＜0或x＞2，又x＞0，所以x＞2.故選C. 答案　C 5．如圖，函數f(x)的圖象是折線段ABC，

7、其中A，B，C的坐標分別為(0,4)，(2,0)，(6,4)，則f(f(0))＝______；li ＝________(用數字作答)． 答案　2?。?　　 考向一　導數的定義 【例1】?利用導數的定義求函數f(x)＝x3在x＝x0處的導數，并求曲線f(x)＝x3在x＝x0處切線與曲線f(x)＝x3的交點． [審題視點] 正確理解導數的定義是求解的關鍵． 解　f′(x0)＝ ＝ ＝ (x2＋xx0＋x)＝3x. 曲線f(x)＝x3在x＝x0處的切線方程為 y－x＝3x·(x－x0)， 即y＝3xx－2x，由 得(x－x0)2(x＋2x0)＝0，解得x＝x0，x＝－2x0

8、. 若x0≠0，則交點坐標為(x0，x)，(－2x0，－8x)； 若x0＝0，則交點坐標為(0,0)． 利用定義求導數的一般過程是：(1)求函數的增量Δy；(2)求平均變化率；(3)求極限li . 【訓練1】 利用導數的定義證明奇函數的導數是偶函數，偶函數的導數是奇函數． 證明　法一　設y＝f(x)是奇函數，即對定義域內的任意x都有f(－x)＝－f(x) f′(x)＝li 則f′(－x)＝li ＝li ＝f′(x) 因此f′(x)為偶函數，同理可證偶函數的導數是奇函數． 法二　設y＝f(x)是奇函數，即對定義域內的任意x都有 f(－x)＝－f(x)，即f(x)＝－f

9、(－x) 因此f′(x)＝[－f(－x)]′＝－ [f(－x)]′＝f′(－x) 則f′(x)為偶函數 同理可證偶函數的導數是奇函數． 考向二　導數的運算 【例2】?求下列各函數的導數： (1)y＝； (2)y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)； (3)y＝sin； (4)y＝＋； [審題視點] 先把式子化為最簡式再進行求導． 解　(1)∵y＝＝x－＋x3＋， ∴y′＝′＋(x3)′＋(x－2sin x)′ ＝－x－＋3x2－2x－3sin x＋x－2cos x. (2)法一　y＝(x2＋3x＋2)(x＋3)＝x3＋6x2＋11x＋6， ∴y′＝3x2＋12x＋11

10、. 法二　y′＝[(x＋1)(x＋2)]′(x＋3)＋(x＋1)(x＋2)(x＋3)′ ＝[(x＋1)′(x＋2)＋(x＋1)(x＋2)′](x＋3)＋(x＋1)·　(x＋2) ＝(x＋2＋x＋1)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝(2x＋3)(x＋3)＋(x＋1)(x＋2) ＝3x2＋12x＋11. (3)∵y＝sin＝－sin x， ∴y′＝′＝－(sin x)′＝－cos x. (4)y＝＋＝＝， ∴y′＝′＝＝. (1)熟記基本初等函數的導數公式及四則運算法則是正確求導的基礎． (2)必要時對于某些求導問題可先化簡函數解析式再求導． 【訓練2】 求下列函數的

11、導數： (1)y＝xnex； (2)y＝； (3)y＝exln x； (4)y＝(x＋1)2(x－1)． 解　(1)y′＝nxn－1ex＋xnex＝xn－1ex(n＋x)． (2)y′＝＝－. (3)y′＝exln x＋ex·＝ex. (4)∵y＝(x＋1)2(x－1)＝(x＋1)(x2－1)＝x3＋x2－x－1， ∴y′＝3x2＋2x－1. 考向三　求復合函數的導數 【例3】?求下列復合函數的導數． (1)y＝(2x－3)5；(2)y＝； (3)y＝sin2；(4)y＝ln(2x＋5)． [審題視點] 正確分解函數的復合層次，逐層求導． 解　(1)設u＝2x－3

12、，則y＝(2x－3)5， 由y＝u5與u＝2x－3復合而成， ∴y′＝f′(u)·u′(x)＝(u5)′(2x－3)′＝5u4·2 ＝10u4＝10(2x－3)4. (2)設u＝3－x，則y＝. 由y＝u與u＝3－x復合而成． y′＝f′(u)·u′(x)＝(u)′(3－x)′＝u－(－1) ＝－u－＝－＝. (3)設y＝u2，u＝sin v，v＝2x＋， 則yx′＝y(tǒng)u′·uv′·vx′＝2u·cos v·2 ＝4sin·cos＝2sin. (4)設y＝ln u，u＝2x＋5，則yx′＝y(tǒng)u′·ux′ y′＝·(2x＋5)′＝. 由復合函數的定義可知，中間變量

13、的選擇應是基本函數的結構，解這類問題的關鍵是正確分析函數的復合層次，一般是從最外層開始，由外向內，一層一層地分析，把復合函數分解成若干個常見的基本函數，逐步確定復合過程． 【訓練3】 求下列函數的導數： (1)y＝；　　　　(2)y＝sin22x； (3)y＝e－xsin 2x; (4)y＝ln. 解　(1)y′＝·2x＝， (2)y′＝(2sin 2x)(cos 2x)×2＝2sin 4x (3)y′＝(－e－x)sin 2x＋e－x(cos 2x)×2 ＝e－x(2cos 2x－sin 2x)． (4)y′＝··2x＝.　　 規(guī)范解答6——如何求曲線上某一點的切線方程

14、 【問題研究】 利用導數的幾何意義求函數在某一點的坐標或某一點處的切線方程是高考常常涉及的問題.這類問題最容易出現的錯誤就是分不清楚所求切線所過的點是不是切點而導致錯誤., 【解決方案】 解這類問題的關鍵就是抓住切點.看準題目所求的是“在曲線上某點處的切線方程”還是“過某點的切線方程”，然后求某點處的斜率，用點斜式寫出切線方程. 【示例】?(本題滿分12分)(2020·山東)已知函數f(x)＝ln x－ax＋－1(a∈R)． (1)當a＝－1時，求曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程； (2)當a≤時，討論f(x)的單調性． (1)求出在點(2，f(2))處的斜率及f(

15、2)，由點斜式寫出切線方程； (2)求f′(x)，再對a分類討論． [解答示范] (1)當a＝－1時，f(x)＝ln x＋x＋－1， x∈(0，＋∞)．所以f′(x)＝，x∈(0，＋∞)，(1分) 因此f′(2)＝1，即曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線斜率為1. 又f(2)＝ln 2＋2， 所以曲線y＝f(x)在點(2，f(2))處的切線方程為 y－(ln 2＋2)＝x－2，即x－y＋ln 2＝0.(3分) (2)因為f(x)＝ln x－ax＋－1，所以f′(x)＝－a＋＝－，x∈(0，＋∞)．(4分) 令g(x)＝ax2－x＋1－a，x∈(0，＋∞)． ①當a

16、＝0時，g(x)＝－x＋1，x∈(0，＋∞)， 所以當x∈(0,1)時，g(x)＞0， 此時f′(x)＜0，函數f(x)單調遞減； 當x∈(1，＋∞)時，g(x)＜0，此時f′(x)＞0，函數f(x)單調遞增；(6分) ②當a≠0時，由f′(x)＝0， 即ax2－x＋1－a＝0，解得x1＝1，x2＝－1. a．當a＝時，x1＝x2，g(x)≥0恒成立，此時f′(x)≤0，函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞減；(7分) b．當0＜a＜時，－1＞1＞0. x∈(0,1)時，g(x)＞0，此時f′(x)＜0，函數f(x)單調遞減； x∈時，g(x)＜0，此時f′(x)＞0，函數f(

17、x)單調遞增；x∈時，g(x)＞0，此時f′(x)＜0，函數f(x)單調遞減；(9分) c．當a＜0時，由于－1＜0，x∈(0,1)時，g(x)＞0，此時f′(x)＜0，函數f(x)單調遞減； x∈(1，＋∞)時，g(x)＜0，此時f′(x)＞0，函數f(x)單調遞增．(11分) 綜上所述： 當a≤0時，函數f(x)在(0,1)上單調遞減， 函數f(x)在(1，＋∞)上單調遞增； 當a＝時，函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞減； 當0＜a＜時，函數f(x)在(0,1)上單調遞減， 函數f(x)在上單調遞增， 函數f(x)在上單調遞減．(12分) 求解切線問題的關鍵是切點坐標，無論是已知切線斜率還是切線經過某一點，切點坐標都是化解難點的關鍵所在．