《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學一輪復習 第二篇 函數(shù)與基本初等函數(shù)Ⅰ第3講　函數(shù)的奇偶性與周期性教案 理 新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學一輪復習 第二篇 函數(shù)與基本初等函數(shù)Ⅰ第3講　函數(shù)的奇偶性與周期性教案 理 新人教版（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第3講　函數(shù)的奇偶性與周期性 【2020年高考會這樣考】 1．判斷函數(shù)的奇偶性． 2．利用函數(shù)奇偶性、周期性求函數(shù)值及求參數(shù)值． 3．考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應用． 【復習指導】 本講復習時應結(jié)合具體實例和函數(shù)的圖象，理解函數(shù)的奇偶性、周期性的概念，明確它們在研究函數(shù)中的作用和功能．重點解決綜合利用函數(shù)的性質(zhì)解決有關問題． 基礎梳理 1．奇、偶函數(shù)的概念 一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)． 一般地，如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做奇函

2、數(shù)． 奇函數(shù)的圖象關于原點對稱；偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱． 2．奇、偶函數(shù)的性質(zhì) (1)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反． (2)在公共定義域內(nèi) ①兩個奇函數(shù)的和是奇函數(shù)，兩個奇函數(shù)的積是偶函數(shù)； ②兩個偶函數(shù)的和、積都是偶函數(shù)； ③一個奇函數(shù)，一個偶函數(shù)的積是奇函數(shù)． 3．周期性 (1)周期函數(shù)：對于函數(shù)y＝f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期． (2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的

3、正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期． 一條規(guī)律 奇、偶函數(shù)的定義域關于原點對稱． 函數(shù)的定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件． 兩個性質(zhì) (1)若奇函數(shù)f(x)在x＝0處有定義，則f(0)＝0. (2)設f(x)，g(x)的定義域分別是D1，D2，那么在它們的公共定義域上： 奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 三種方法 判斷函數(shù)的奇偶性，一般有三種方法：(1)定義法；(2)圖象法；(3)性質(zhì)法． 三條結(jié)論 (1)若對于R上的任意的x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關于直

4、線x＝a對稱． (2)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)，且f(2b－x)＝f(x)(其中a＜b)，則：y＝f(x)是以2(b－a)為周期的周期函數(shù)． (3)若f(x＋a)＝－f(x)或f(x＋a)＝或f(x＋a)＝－，那么函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期為T＝2a； (3)若f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)，那么函數(shù)f(x)是周期函數(shù)，其中一個周期為T＝2|a－b|. 雙基自測 1．(2020·全國)設f(x)是周期為2的奇函數(shù)，當0≤x≤1時，f(x)＝2x(1－x)，則f＝(　　)． A.－ B.－ C. D. 解析　因為

5、f(x)是周期為2的奇函數(shù)，所以f＝－f＝－f＝－.故選A. 答案　A 2．(2020·福州一中月考)f(x)＝－x的圖象關于(　　)． A．y軸對稱 B．直線y＝－x對稱 C．坐標原點對稱 D．直線y＝x對稱 解析　f(x)的定義域為(－∞，0)∪(0，＋∞)，又f(－x)＝－(－x)＝－＝－f(x)，則f(x)為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱． 答案　C 3．(2020·廣東)設函數(shù)f(x)和g(x)分別是R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，則下列結(jié)論恒成立的是(　　)． A．f(x)＋|g(x)|是偶函數(shù) B．f(x)－|g(x)|是奇函數(shù) C．|f(x)|＋g(x)是

6、偶函數(shù) D．|f(x)|－g(x)是奇函數(shù) 解析　由題意知f(x)與|g(x)|均為偶函數(shù)，A項：偶＋偶＝偶；B項：偶－偶＝偶，B錯；C項與D項：分別為偶＋奇＝偶，偶－奇＝奇均不恒成立，故選A. 答案　A 4．(2020·福建)對于函數(shù)f(x)＝asin x＋bx＋c(其中，a，b∈R，c∈Z)，選取a，b，c的一組值計算f(1)和f(－1)，所得出的正確結(jié)果一定不可能是(　　)． A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2 解析　∵f(1)＝asin 1＋b＋c，f(－1)＝－asin 1－b＋c且c∈Z，∴f(1)＋f(－1)＝2c是偶數(shù)，只有D項中兩數(shù)和為

7、奇數(shù)，故不可能是D. 答案　D 5．(2020·浙江)若函數(shù)f(x)＝x2－|x＋a|為偶函數(shù)，則實數(shù)a＝________. 解析　法一　∵f(－x)＝f(x)對于x∈R恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|對于x∈R恒成立，兩邊平方整理得ax＝0對于x∈R恒成立，故a＝0. 法二　由f(－1)＝f(1)， 得|a－1|＝|a＋1|，得a＝0. 答案0　 考向一　判斷函數(shù)的奇偶性 【例1】?下列函數(shù)： ①f(x)＝ ＋ ；②f(x)＝x3－x；③f(x)＝ln(x＋)；④f(x)＝；⑤f(x)＝lg.其中奇函數(shù)的個數(shù)是(　　)． A．2 B．3

8、 C．4 D．5 [審題視點] 利用函數(shù)奇偶性的定義判斷． 解析?、賔(x)＝＋的定義域為{－1,1}，又f(－x)＝±f(x)＝0， 則f(x)＝＋是奇函數(shù)，也是偶函數(shù)； ②f(x)＝x3－x的定義域為R， 又f(－x)＝(－x)3－(－x)＝－(x3－x)＝－f(x)， 則f(x)＝x3－x是奇函數(shù)； ③由x＋>x＋|x|≥0知f(x)＝ln(x＋)的定義域為R， 又f(－x)＝ln(－x＋)＝ln＝ －ln(x＋)＝－f(x)， 則f(x)為奇函數(shù)； ④f(x)＝的定義域為R， 又f(－x)＝＝－＝－f(x)， 則f(x)為奇函數(shù)； ⑤由>0得－

9、1

10、f(x)， 所以f(x)是奇函數(shù)． (2)f(x)的定義域是(－∞，＋∞)． 當a＝0時，f(x)＝x2－|x|＋2， f(－x)＝x2－|－x|＋2＝x2－|x|＋2＝f(x)． 因此f(x)是偶函數(shù)； 當a≠0時，f(a)＝a2＋2， f(－a)＝a2－|2a|＋2， f(－a)≠f(a)，且f(－a)≠－f(a)． 因此f(x)既不是偶函數(shù)也不是奇函數(shù)． 考向二　函數(shù)奇偶性的應用 【例2】?已知f(x)＝x(x≠0)． (1)判斷f(x)的奇偶性；(2)證明：f(x)＞0. [審題視點] (1)用定義判斷或用特值法否定；(2)由奇偶性知只須求對稱區(qū)間上的函數(shù)值大

11、于0. (1)解　法一　f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞) ∵f(x)＝x＝·. ∴f(－x)＝·＝·＝f(x)． 故f(x)是偶函數(shù)． 法二　f(x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)， ∵f(1)＝，f(－1)＝，∴f(x)不是奇函數(shù)． ∵f(x)－f(－x)＝x＋x ＝x＝x＝x(－1＋1)＝0， ∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函數(shù)． (2)證明　當x＞0時，2x＞1,2x－1＞0， 所以f(x)＝x＞0. 當x＜0時，－x＞0，所以f(－x)＞0，又f(x)是偶函數(shù)， ∴f(－x)＝f(x)，所以f(x)＞0. 綜上，均有f(x)＞0.

12、 根據(jù)函數(shù)的奇偶性，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是常用的方法．奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反．所以對具有奇偶性的函數(shù)的單調(diào)性的研究，只需研究對稱區(qū)間上的單調(diào)性即可． 【訓練2】 已知奇函數(shù)f(x)的定義域為[－2,2]，且在區(qū)間[－2,0]內(nèi)遞減，求滿足：f(1－m)＋f(1－m2)＜0的實數(shù)m的取值范圍． 解　∵f(x)的定義域為[－2,2]， ∴有 解得－1≤m≤.① 又f(x)為奇函數(shù)，且在[－2,0]上遞減， ∴在[－2,2]上遞減， ∴f(1－m)＜－f(1－m2)＝f(m2－1)?1－m＞m2－1， 即－2＜m＜1.② 綜合①②可知，－1≤

13、m＜1. 考向三　函數(shù)的奇偶性與周期性 【例3】?已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，且f(x)的圖象關于x＝1對稱，當x∈[0,1]時，f(x)＝2x－1， (1)求證：f(x)是周期函數(shù)； (2)當x∈[1,2]時，求f(x)的解析式； (3)計算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2020)的值． [審題視點] (1)只需證明f(x＋T)＝f(x)，即可說明f(x)為周期函數(shù)； (2)由f(x)在[0,1]上的解析式及f(x)圖象關于x＝1對稱求得f(x)在[1,2]上的解析式； (3)由周期性求和的值． (1)證明　函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(－x)＝－f(

14、x)，函數(shù)f(x)的圖象關于x＝1對稱，則f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，所以f(4＋x)＝f[(2＋x)＋2]＝－f(2＋x)＝f(x)，所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)． (2)解　當x∈[1,2]時，2－x∈[0,1]， 又f(x)的圖象關于x＝1對稱，則f(x)＝f(2－x)＝22－x－1，x∈[1,2]． (3)解　∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0， f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－1 又f(x)是以4為周期的周期函數(shù)． ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2020) ＝f(2 012)＋f(2 013)＝f(0)＋f(1)＝1. 判斷函數(shù)

15、的周期只需證明f(x＋T)＝f(x)(T≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T，函數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他性質(zhì)綜合命題，是高考考查的重點問題． 【訓練3】 已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且g(x)＝f(x－1)，則f(2 013)＋f(2 015)的值為(　　)． A．－1 B．1 C．0 D．無法計算 解析　由題意，得g(－x)＝f(－x－1)， 又∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴g(－x)＝－g(x)，f(－x)＝f(x)， ∴f(x－1)＝－f(x＋1)， ∴f(x)＝－f(x＋2)，∴f(x)＝f(x

16、＋4)， ∴f(x)的周期為4， ∴f(2 013)＝f(1)，f(2 015)＝f(3)＝f(－1)， 又∵f(1)＝f(－1)＝g(0)＝0， ∴f(2 013)＋f(2 015)＝0. 答案　C　　 規(guī)范解答3——如何解決奇偶性、單調(diào)性、周期性的交匯問題 【問題研究】 函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性是函數(shù)的三大性質(zhì)，它們之間既有區(qū)別又有聯(lián)系，高考作為考查學生綜合能力的選拔性考試，在命題時，常常將它們綜合在一起命制試題. 【解決方案】 根據(jù)奇偶性的定義知，函數(shù)的奇偶性主要體現(xiàn)為f(－x)與f(x)的相等或相反關系，而根據(jù)周期函數(shù)的定義知，函數(shù)的周期性主要體現(xiàn)為f(x＋T)與f

17、(x)的關系，它們都與f(x)有關，因此，在一些題目中，函數(shù)的周期性常常通過函數(shù)的奇偶性得到.函數(shù)的奇偶性體現(xiàn)的是一種對稱關系，而函數(shù)的單調(diào)性體現(xiàn)的是函數(shù)值隨自變量變化而變化的規(guī)律，因此，在解題時，往往需借助函數(shù)的奇偶性或周期性來確定函數(shù)在另一區(qū)間上的單調(diào)性，即實現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換，再利用單調(diào)性來解決相關問題. 【示例】?(本題滿分12分)(2020·沈陽模擬)設f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，f(x＋2)＝－f(x)，當0≤x≤1時，f(x)＝x. (1)求f(π)的值； (2)當－4≤x≤4時，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積； (3)寫出(－∞，＋∞)內(nèi)函數(shù)f(x)的單調(diào)增(

18、或減)區(qū)間． 第(1)問先求函數(shù)f(x)的周期，再求f(π)； 第(2)問，推斷函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱，再結(jié)合周期畫出圖象，由圖象易求面積； 第(3)問，由圖象觀察寫出． [解答示范] (1)由f(x＋2)＝－f(x)得， f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是以4為周期的周期函數(shù)，(2分) ∴f(π)＝f(－1×4＋π)＝f(π－4)＝－f(4－π) ＝－(4－π)＝π－4.(4分) (2)由f(x)是奇函數(shù)與f(x＋2)＝－f(x)，得：f[(x－1)＋2]＝－f(x－1)＝f[－(x－1)]，即f(1＋x)＝f

19、(1－x)． 故知函數(shù)y＝f(x)的圖象關于直線x＝1對稱．(6分) 又0≤x≤1時，f(x)＝x，且f(x)的圖象關于原點成中心對稱，則f(x)的圖象如圖所示．(8分) 當－4≤x≤4時，f(x)的圖象與x軸圍成的圖形面積為S，則 S＝4S△OAB＝4×＝4.(10分) (3)函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[4k－1,4k＋1](k∈Z)，單調(diào)遞減區(qū)間[4k＋1,4k＋3](k∈Z)．(12分) 關于奇偶性、單調(diào)性、周期性的綜合性問題，關鍵是利用奇偶性和周期性將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問題． 【試一試】 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區(qū)間[0,2]上是增函數(shù)，則(　　)． A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25) C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)＜f(11) [嘗試解答]　由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)且f(x)在[0,2]上是增函數(shù)可以推知，f(x)在[－2,2]上遞增，又f(x－4)＝－f(x)?f(x－8)＝－f(x－4)＝f(x)，故函數(shù)f(x)以8為周期，f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(3－4)＝f(1)，f(80)＝f(0)，故f(－25)＜f(80)＜f(11)．故選D. 答案　D