《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學一輪復習 第二篇 函數(shù)與基本初等函數(shù)Ⅰ第8講　函數(shù)與方程教案 理 新人教版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《【創(chuàng)新方案】2020年高考數(shù)學一輪復習 第二篇 函數(shù)與基本初等函數(shù)Ⅰ第8講　函數(shù)與方程教案 理 新人教版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第8講　函數(shù)與方程 【2020年高考會這樣考】 1．考查具體函數(shù)的零點的取值范圍和零點個數(shù)． 2．利用函數(shù)零點求解參數(shù)的取值范圍． 3．利用二分法求方程的近似解． 【復習指導】 (1)準確理解函數(shù)零點的概念，方程的根、函數(shù)與x軸的交點，三者之間的區(qū)別與聯(lián)系，能夠?qū)崿F(xiàn)彼此之間的靈活轉(zhuǎn)化，并能利用特殊點的函數(shù)值，根據(jù)零點存在性定理來判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間；(2)靈活運用函數(shù)圖象，將函數(shù)零點轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點，注重數(shù)形結(jié)合思想的應用． 基礎梳理 1．函數(shù)的零點 (1)函數(shù)零點的定義 對于函數(shù)y＝f(x)，我們把使f(x)＝0的實數(shù)x叫做函數(shù)y＝f(x)的零點． (2)

2、幾個等價關系 方程f(x)＝0有實數(shù)根?函數(shù)y＝f(x)的圖象與x軸有交點?函數(shù)y＝f(x)有零點． (3)函數(shù)零點的判定(零點存在性定理) 如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有零點，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，這個c也就是方程f(x)＝0的根． 2．二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)零點的分布 根的分布(m＜n ＜p為常數(shù)) 圖象 滿足條件 x1＜x2＜m m＜x1＜x2 x1＜m＜x2 f(m)＜0 m＜x1＜x2＜n

3、 m＜x1＜ n＜x2＜p 只有一根在 (m，n)之間 或f(m)·f(n) ＜0 3.二分法求方程的近似解 (1)二分法的定義 對于在區(qū)間[a，b]上連續(xù)不斷且f(a)·f(b)＜0的函數(shù)y＝f(x)，通過不斷地把函數(shù)f(x)的零點所在的區(qū)間一分為二，使區(qū)間的兩個端點逐步逼近零點，進而得到零點近似值的方法叫做二分法． (2)給定精確度ε，用二分法求函數(shù)f(x)零點近似值的步驟如下： ①確定區(qū)間[a，b]，驗證f(a)·f(b)＜0，給定精確度ε；②求區(qū)間(a，b)的中點c；③計算f(c)； (ⅰ)若f(c)＝0，則c就是函數(shù)的零點； (ⅱ)若

4、f(a)·f(c)＜0，則令b＝c(此時零點x0∈(a，c))； (ⅲ)若f(c)·f(b)＜0，則令a＝c(此時零點x0∈(c，b))． ④判斷是否達到精確度ε.即：若|a－b|＜ε，則得到零點近似值a(或b)；否則重復②③④. 一個口訣 用二分法求函數(shù)零點近似值的口訣為：定區(qū)間，找中點，中值計算兩邊看．同號去，異號算，零點落在異號間．周而復始怎么辦？精確度上來判斷． 兩個防范 (1)函數(shù)y＝f(x)的零點即方程f(x)＝0的實根，是數(shù)不是點． (2)若函數(shù)y＝f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖象是連續(xù)不間斷的，并且在區(qū)間端點的函數(shù)值符號相反，即f(a)·f(b)＜0，滿足

5、這些條件一定有零點，不滿足這些條件也不能說就沒有零點．如圖， f(a)·f(b)＞0，f(x)在區(qū)間(a，b)上照樣存在零點，而且有兩個．所以說零點存在性定理的條件是充分條件，但并不必要． 三種方法 函數(shù)零點個數(shù)的判斷方法： (1)直接求零點：令f(x)＝0，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點； (2)零點存在性定理：利用定理不僅要求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)＜0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點； (3)利用圖象交點的個數(shù)：畫出兩個函數(shù)的圖象，看其交點的個數(shù)，其中交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同

6、的零點． 雙基自測 1．(2020·福建)若關于x的方程x2＋mx＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是(　　)． A．(－1,1) B．(－2,2) C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析　由一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，可得：判別式Δ＞0，即m2－4＞0，解得m＜－2或m＞2，故選C. 答案　C 2．若函數(shù)y＝f(x)在R上遞增，則函數(shù)y＝f(x)的零點(　　)． A．至少有一個 B．至多有一個 C．有且只有一個 D．可能有無數(shù)個 答案　B 3．如圖所示的函數(shù)圖象與x軸均有交點，其中不能用二分法求圖中交

7、點橫坐標的是(　　)． A．①② B．①③ C．①④ D．③④ 答案　B 4．(2020·新課標全國)在下列區(qū)間中，函數(shù)f(x)＝ex＋4x－3的零點所在的區(qū)間為 (　　)． A. B. C. D. 解析　因為f＝e＋4×－3＝e－2＜0，f＝e＋4×－3＝e－1＞0，所以f(x)＝ex＋4x－3的零點所在的區(qū)間為. 答案　C 5．(人教A版教材習題改編)已知函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a在區(qū)間(0,1)上有零點，則實數(shù)a的取值范圍是________． 解析　函數(shù)f(x)＝x2＋x＋a在(0,1)上遞增．由已知條件f(0)f(1)<0，即a(a＋2)<0，解得

8、－2

9、零點是否唯一等． 【訓練1】 函數(shù)f(x)＝log3x＋x－3的零點一定在區(qū)間(　　)． A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4) 解析　法一　函數(shù)f(x)＝log3x＋x－3的定義域為(0，＋∞)，并且在(0，＋∞)上遞增連續(xù)，又f(2)＝log32－1＜0，f(3)＝1＞0，∴函數(shù)f(x)＝log3x＋x－3有唯一的零點且零點在區(qū)間(2,3)內(nèi)． 法二　方程log3x＋x－3＝0可化為log3x＝3－x，在同一坐標系中作出y＝log3x和y＝3－x的圖象如圖所示，可觀察判斷出兩圖象交點橫坐標在區(qū)間(2,3)內(nèi)． 答案　C 考向二　有關二次函數(shù)的零

10、點問題 【例2】?是否存在這樣的實數(shù)a，使函數(shù)f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在區(qū)間[－1,3]上與x軸恒有一個零點，且只有一個零點．若存在，求出a的取值范圍，若不存在，說明理由． [審題視點] 可用零點定理去判斷，注意對函數(shù)端點值的檢驗． 解　∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9a2－16a＋8＝92＋＞0 ∴若實數(shù)a滿足條件，則只需f(－1)·f(3)≤0即可． f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1) ＝4(1－a)(5a＋1)≤0. 所以a≤－或a≥1. 檢驗：(1)當f(－1)＝0時，a＝1.所以f(x)＝x2＋x. 令f(x

11、)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1. 方程在[－1,3]上有兩根，不合題意，故a≠1. (2)當f(3)＝0時，a＝－，此時f(x)＝x2－x－. 令f(x)＝0，即x2－x－＝0， 解之得x＝－或x＝3. 方程在[－1,3]上有兩根，不合題意，故a≠－. 綜上所述，a＜－或a＞1. 解決二次函數(shù)的零點問題：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判別式及根與系數(shù)之間的關系；(3)利用二次函數(shù)的圖象列不等式組． 【訓練2】 關于x的一元二次方程x2－2ax＋a＋2＝0，當a為何實數(shù)時 (1)有兩不同正根； (2)不同兩根在(1,3)之間； (

12、3)有一根大于2，另一根小于2； (4)在(1,3)內(nèi)有且只有一解 解　設f(x)＝x2－2ax＋a＋2， Δ＝4a2－4(a＋2)＝4(a2－a－2)＝4(a－2)(a＋1)． (1)由已知條件解得a>2. (2)由已知條件解得22. (4)由已知條件f(1)f(3)<0解得

13、或≤a<3. 考向三　函數(shù)零點性質(zhì)的應用 【例3】?已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2ex＋t－1，g(x)＝x＋(x>0，其中e表示自然對數(shù)的底數(shù))． (1)若g(x)＝m有零點，求m的取值范圍； (2)確定t的取值范圍，使得g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根． 分析：(1)可結(jié)合圖象也可解方程求之．(2)利用圖象求解． [審題視點] 畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合法求函數(shù)范圍． 解　(1)法一　 ∵g(x)＝x＋≥2＝2e， 等號成立的條件是x＝e. 故g(x)的值域是[2e，＋∞)， 因而只需m≥2e，則g(x)＝m就有零點． 法二　作出g(x)＝x＋的圖象如圖：

14、 可知若使g(x)＝m有零點，則只需m≥2e. 法三　解方程由g(x)＝m， 得x2－mx＋e2＝0. 此方程有大于零的根，故 等價于，故m≥2e. (2)若g(x)－f(x)＝0有兩個相異的實根，即g(x)＝f(x)中函數(shù)g(x)與f(x)的圖象有兩個不同的交點，作出g(x)＝x＋(x>0)的圖象． ∵f(x)＝－x2＋2ex＋t－1 ＝－(x－e)2＋t－1＋e2. 其對稱軸為x＝e，開口向下，最大值為t－1＋e2. 故當t－1＋e2>2e，即t>－e2＋2e＋1時，g(x)與f(x)有兩個交點，即g(x)－f(x)＝0有兩個相異實根． ∴t的取值范圍是(－e2

15、＋2e＋1，＋∞)． 　此類利用零點求參數(shù)的范圍的問題，可利用方程，但有時不易甚至不可能解出，而轉(zhuǎn)化為構造兩函數(shù)圖象求解，使得問題簡單明了，這也體現(xiàn)了，當不是求零點，而是利用零點的個數(shù)，或有零點時求參數(shù)的范圍，一般采用數(shù)形結(jié)合法求解． 【訓練3】 已知函數(shù)f(x)＝ax3－2ax＋3a－4在區(qū)間(－1,1)上有一個零點． (1)求實數(shù)a的取值范圍； (2)若a＝，用二分法求方程f(x)＝0在區(qū)間(－1,1)上的根． 解　(1)若a＝0，則f(x)＝－4與題意不符，∴a≠0， ∴f(－1)·f(1)＝8(a－1)(a－2)＜0，∴1＜a＜2. (2)若a＝，則f(x)＝x3－x＋

16、， ∴f(－1)＞0，f(1)＜0，f(0)＝＞0， ∴零點在(0,1)上，又f＝0， ∴f(x)＝0的根為. 難點突破6——如何利用圖象求解函數(shù)零點問題 數(shù)形結(jié)合是重要的思想方法之一，也是高考考查的熱點問題，利用函數(shù)圖象判斷方程是否有解，有多少個解是常見?？嫉念}型，數(shù)形結(jié)合法是求函數(shù)零點個數(shù)的有效方法，其基本思路是把函數(shù)分成兩個函數(shù)的差，分析的基本思想是分析后的函數(shù)圖象比較容易做出，則函數(shù)零點個數(shù)就是兩函數(shù)圖象交點的個數(shù)． 一、判定函數(shù)零點的個數(shù) 【示例】? (2020·陜西)函數(shù)f(x)＝－cos x在[0，＋∞)內(nèi)(　　)． A．沒有零點 B．有且僅有一個零點 C．有且僅有兩個零點 D．有無窮多個零點 二、判斷零點的范圍 【示例】? (2020·山東)已知函數(shù)f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．當2＜a＜3＜b＜4時，函數(shù)f(x)的零點x0∈(n，n＋1)，n∈N*，則n＝________.